Aktive seismische Isolation eines Experiments zum

Aktive seismische Isolation eines
Experiments zum
Standardquantenlimit der
Interferometrie
Diplomarbeit
GEO
phon
PZT
GEO
phon
ff fb
1100
0101
DSP
Angefertigt unter Anleitung von Prof. Dr. K. Danzmann
am Institut für Atom- und Molekülphysik der Universität Hannover
von
Karsten Kötter
Hannover, September 1999
Aktive seismische Isolation eines Experiments zum
Standardquantenlimit der Interferometrie
Diplomarbeit
angefertigt am
Institut für Atom- und Molekülphysik der Universität Hannover
unter Anleitung von
Prof. Dr. K. Danzmann
von
Karsten Kötter
Hannover, September 1999
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1
1
Störquellen und Grenzen der interferometrischen Längenmessung
3
1.1
Längenmessung mit einem optischen Resonator . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Spektrale Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Strahlungsdruckrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Schrotrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5
Thermisches Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.6
Seismisches Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.7
Erwartete lineare spektrale Dichte für die Messung des thermischen Rauschens .
12
2
3
Seismische Isolation
15
2.1
Passive seismische Isolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2
Aktive seismischen Isolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3
Grundlagen der Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.1
Transferfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.3.2
Feedback-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.3.3
Stabilität von Feedback-Regelkreisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3.4
Feedforward-Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.3.5
Sampling zeitkontinuierlicher Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Experimenteller Aufbau
37
3.1
Experimenteller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.2
Aufbau der aktiven seismischen Isolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.2.1
Sensoren und Vorverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.2.2
DSP-Board . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.2.3
Verteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.2.4
Piezo-Aktuatoren und HV-Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
iv
4
INHALTSVERZEICHNIS
Messungen zur aktiven seismischen Isolation
49
4.1
Seismisches Rauschen im Labor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.2
Übersprechen bei der Ansteuerung des unbelasteten Piezos . . . . . . . . . . . .
51
4.3
Seismische Isolation mit Feedforward ohne Last auf dem Piezo . . . . . . . . . .
54
4.4
Seismische Isolation mit Feedback ohne Last auf dem Piezo . . . . . . . . . . .
56
4.5
Seismische Isolation mit Feedback und Feedforward ohne Last auf dem Piezo . .
59
4.6
Übersprechen bei der Ansteuerung des belasteten Piezos . . . . . . . . . . . . .
60
4.7
Seismische Isolation mit Feedback in beiden horizontalen Richtungen und Last
auf dem Piezo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.8
Übersprechen bei der Ansteuerung des Piezos im Stack . . . . . . . . . . . . . .
64
4.9
Vertikale seismische Isolation mit Feedback durch 3 geregelte Stacks . . . . . . .
68
Zusammenfassung und Ausblick
77
Anhang
79
A Schaltpläne
79
B Fotos des Aufbaus
83
Abbildungsverzeichnis
87
Literaturverzeichnis
91
Einleitung
Mit Hilfe von Messgeräten wie Interferometern und optischen Resonatoren können Längenmessungen von extrem hoher Präzision durchgeführt werden. Gravitationswellendetektoren wie das
deutsch-britische Projekt GEO600 nähern sich in ihrer Empfindlichkeit fundamentalen Rauschquellen. Eine fundamentale Grenze der Empfindlichkeit ist das thermische Rauschen der optischen
Komponenten durch die thermische Bewegung ihrer Elementarteilchen. Außerdem beschränkt
das Standard-Quanten-Limit durch Strahlungsdruckrauschen und Schrotrauschen die Messgenauigkeit. Ziel des in Abschnitt 3.1 beschriebenen Experiments zum Standard-Quanten-Limit der
Interferometrie ist es, mit Hilfe eines optischen Resonators diese fundamentalern Rauschquellen
zu untersuchen.
Für eine solche Messung ist es notwendig, alle weiteren Rauschquellen so weit zu unterdrücken,
dass die Spiegelbewegung von der zu untersuchenden Rauschquelle dominiert ist. Vibrationen,
die vom Boden auf die Messapparatur übertragen werden, erzeugen einen großen Anteil des Rauschens der Längenmessung. Es ist deshalb notwendig, den Aufbau seismisch zu isolieren, d.h.
man muss verhindern, dass die Erschütterungen der Erde unmittelbar auf den Aufbau wirken können.
Für die Abschirmung von Vibrationen mit hoher Frequenz eignet sich am besten eine sogenannte
passive Isolation. Diese nutzt die Transferfunktion eines harmonischen Oszillators aus, um eine Anregung durch hohe Frequenzen zu unterdrücken. So ist es möglich, bei Frequenzen größer
als 50 Hz eine Messung ohne Störung durch die Seismik durchzuführen. Der Preis für die Isolation gegen hohe Frequenzen ist eine Überhöhung der Anregung auf der Resonanzfrequenz des
Oszillators.
Um eine Längenmessung mit dem optischen Resonator durchzuführen, muss dieser jedoch mit
Hilfe einer Regelung auf seiner Resonanz gehalten werden. Dazu ist die Überhöhung der Bewegung auf der Pendelresonanz störend. Die hohe Bewegungsamplitude des Spiegels bei niedrigen
Frequenzen erfordert einen großen dynamischen Bereich des Reglers. Je größer jedoch der dynamische Bereich ist, desto stärker beeinflusst der Regler die Bewegung des Spiegels auch bei hohen
Frequenzen, wo das Messintervall liegt. Deshalb ist es wünschenswert, auch die seismische Anregung auf niedrigen Frequenzen zu reduzieren. Dies ist mit aktiver seismischer Isolation möglich.
Hierbei handelt es sich um eine Regelung, der die Bewegung der zu isolierenden Masse für niedrige Frequenzen kontrolliert. Dazu wird mit einem Sensor die seismische Anregung gemessen,
das Signal in einem Regler verarbeitet und dann auf einen Aktuator gegeben, der die seismische
Bewegung kompensiert.
2
E INLEITUNG
In dieser Arbeit wird die Entwicklung einer aktiven seismischen Isolation mit Komponenten des
Gravitationswellendetektors GEO600 beschrieben. Diese Isolation wird sowohl in dem Experiment zum Standard-Quantenlimit als auch im Gravitationswellendetektor GEO600 zum Einsatz
kommen.
Zunächst werden die zu untersuchenden Rauschquellen in diesem Experiment vorgestellt. Es wird
berechnet, wie groß die zu erwartenden Signale und damit die Empfindlichkeit des Experiment
gegen seismisches Rauschen ist. Im folgenden Kapitel wird das natürliche seismische Rauschen
beschrieben, dann wird das Prinzip von passiver und aktiver seismischer Isolation vorgestellt sowie
die notwendigen Grundlagen der Regelungstechnik und der digitalen Signalverarbeitung. Das
dritte Kapitel beschreibt die Komponenten und den Aufbau des Experiments. Schließlich werden
die Messungen zur aktiven Isolation präsentiert. Neben den Messungen zur erreichten seismischen
Isolation in verschiedenen Konfigurationen wurde auch das natürliche Spektrum der seismischen
Anregung vermessen. Außerdem wurden Messungen durchgeführt, die sich mit der Stabilität der
Feedback-Regelung beschäftigen, wie z.B. das Übersprechen der einzelnen Kanäle der Regelung.
Kapitel 1
Störquellen und Grenzen der
interferometrischen Längenmessung
Mit Hilfe interferometrischer Messmethoden lassen sich Längen sehr genau vermessen. Längenmessungen, deren Genauigkeit möglichst bis an grundlegende Grenzen geht, sind z.B. für die
Detektion von Gravitationswellen von großer Bedeutung.
Eine der grundlegenden Grenzen stellt das thermische Rauschen der optischen Komponenten in
der Messapparatur dar. Durch den Betrieb der Apparatur bei einer Temperatur oberhalb des absoluten Nullpunktes wirken fluktuierende Kräfte auf die Komponenten, was sich in Positionsänderungen bemerkbar macht.
Weitere elementare Rauschquellen sind das Schrotrauschen und das Strahlungsdruckrauschen:
Das für die interferometrische Messung verwendete Licht fluktuiert in der Intensität, da die Photonen statistisch in der Zeit verteilt sind. Das führt zu einer Fluktuation der detektierten Photonenzahl pro Zeiteinheit. Dieses Schwanken der Photonenzahlmessung auf Grund ihrer statistischen
Verteilung wird Schrotrauschen genannt. Eine weitere Auswirkung der Fluktuation der Photonen
pro Zeiteinheit ist das Strahlungsdruckrauschen. Durch das Auftreffen und die Reflexion eines
Photos auf einer optischen Komponente entsteht durch den Impulsübertrag eine Kraft, die die Position der optische Komponente ändern kann. Eine Fluktuation in der auftreffenden Photonenzahl
pro Zeiteinheit führt so zu einer Fluktuation der Position der optischen Komponente.
1.1 Längenmessung mit einem optischen Resonator
Eine Längenmessung, die präzise genug ist, um thermisches Rauschen und Strahlungsdruckrauschen zu detektieren, lässt sich mit Hilfe eines optischen Resonators realisieren. Dazu wird ein
Laserstrahl in den Resonator eingekoppelt, dessen Frequenz mit Hilfe einer Pound-Drever-HallRegelung [13] [4] [6] [10] auf den Resonator stabilisiert wird (Aufbau s. Abb. 1.1).
3
4
1. S TÖRQUELLEN UND G RENZEN DER INTERFEROMETRISCHEN L ÄNGENMESSUNG
Man moduliert den Laserstrahl mittels eines elektro-optischen Modulators in der Phase. Das an
Spiegel 1 reflektierte Laserlicht wird auf eine Photodiode geschickt, deren Signal in einem Mischer mit dem Modulationssignal multipliziert wird. Bei geeigneter Wahl der Phase zwischen
den beiden Signalen liegt am Mischerausgang ein Regelsignal an, das die Frequenzverstimmung
des Laserlichts ∆ f gegenüber dem Resonator angibt. Dieses Signal kann zum Nachstellen der
Laserfrequenz auf den Resonator benutzt werden.
Spiegel 1
Laser
EOM
Polarisationsstrahlteiler
Spiegel 2
Piezo
λ
4 -Platte
FrequenzGenerator
Resonator
Photodiode
Regler
Mischer
Abbildung 1.1: Pound-Drever-Hall-Aufbau
Änderungen der Resonatorlänge durch Bewegungen der Spiegel verstimmen dessen Resonanzfrequenz gegenüber der Laserfrequenz und machen sich so im Regelsignal der Pound-DreverHall-Regelung bemerkbar. Bei genügend hoher Empfindlichkeit und Unterdrückung aller anderen
Rauschquellen lassen sich so thermisches Rauschen oder Strahlungsdruckrauschen detektieren.
1.2 Spektrale Dichte
In diesem Abschnitt wird erklärt, wie man Rauschen mit Hilfe der spektralen Dichte quantitativ
beschreiben kann.
Als Zeitserie bezeichnet man den Ausgangswert eines Messapparates als Funktion der Zeit. Misst
man ein bekanntes Signal in einer idealisierten Messung, so ist jeder Messwert der Zeitserie as (t )
vorher genau bestimmt: Die Funktion ist deterministisch. Eine solche Funktion kann durch die
Angabe der Zeitserie a(t) selbst oder durch deren Fourier-Transformierte
As ( f ) =
p1
2π
Z
+∞
∞
as (t ) ei2pi f t dt
(1.1)
charakterisiert werden. Der Wert von A ( f ) gibt an, mit welcher Amplitude (jA ( f )j) und welcher
Phase (arg (A ( f ))) ein Signal der Form ei2π f t in der Zeitserie a (t ) enthalten ist.
5
1.2 Spektrale Dichte
Nimmt man die Zeitserie ar (t ) eines Rauschsignals auf, so ist jeder der Messwerte zufällig bestimmt und nicht vor seiner Messung vorhersagbar. Ermittelt man mehrere Zeitserien eines Rauschsignals, so unterscheiden sie sich in Allgemeinen alle voneinander. Daher ist es nicht sinnvoll, eine Zeitserie zur Charakterisierung des Rauschens einzusetzen. Auch die Fourier-Transformation
Ar ( f ) ist zur Charakterisierung nicht nützlich, da die Phase des Rauschsignals zu verschiedenen
Zeitpunkten nicht miteinander korreliert ist. Misst man also mehrere endlich lange Zeitserien und
mittelt deren Fourierspektren, so erhält man im Grenzfall sehr vieler Messungen die Nullfunktion.
Betrachtet man jedoch den Betrag dieser Fourierspektren jA ( f )j, so enthält dieser Informationen
darüber, wie groß der Anteil eines sinusförmigen Signals der Frequenz f in der Zeitserie ist. Man
kann ein Rauschsignal durch die Leistung pro Frequenzintervall charakterisieren. Dies führt zur
R
Definition der spektralen Dichte S2 ( f ) eines Rauschsignals. Das Integral ff12 S2 ( f ) d f ist proportional zur Leistung, die das Rauschsignal im Frequenzbereich zwischen f1 und f2 enthält.
Die spektrale Dichte ist als Fouriertransformierte der Autokorrelationsfunktion definiert:
Z
S
2
(f) =
∞
Z
=
+∞
Z
|
+∞
∞
a (τ) a (t
{z
τ) dτ
}
Autokorrelationsfunktion von a(t )
+∞
∞
ei2π f t dt
(1.2)
a a (t ) ei2π f t dt
Diese Definition enthält Integrale, die von ∞ bis +∞ laufen, sodass man eine unendlich lange Zeitserie a (t ) für die Berechnung benötigt. Untersucht man eine Rauschquelle, muss man sich
deshalb darauf beschränken, einen Schätzwert für die spektrale Dichte zu bestimmen, der mit einer
endlichen Zahl von Messungen zu ermitteln ist. Dazu misst man einen Anzahl N von Zeitserien
a1 (t ) aN (t ) der Länge T und bestimmt zu jeder einzelnen Zeitserie ai (t ) die Fouriertransformierte Ai ( f ) und daraus das Periodogramm Bi ( f ), was folgendermaßen definiert ist:
Bi ( f ) =
jAi ( f )j2
T
(1.3)
Bildet man den Mittelwert aller N Periodogramme, so erhält man einen Schätzwert für die spektrale Dichte:
2
Ssch
ätz ( f ) =
1 N jAi ( f )j2
N i∑
T
=1
(1.4)
Dieser Schätzwert besitzt eine Frequenzauflösung von T1 , da mit einer Zeitserie der Länge T nur
Frequenzen f aufgelöst werden können, die im Bereich 0 f T1 liegen. Für den Grenzwert
N ! ∞ konvergiert der Schätzwert gegen den Wert der spektralen Dichte S2 ( f ).
6
1. S TÖRQUELLEN UND G RENZEN DER INTERFEROMETRISCHEN L ÄNGENMESSUNG
h̄k
h̄k
h̄∆k = h̄k
h̄∆k
Abbildung 1.2: Stahlungsdruck: Absorption
Abbildung 1.3: Stahlungsdruck: Reflexion eines Photons
Hat der Messwert, dessen Zeitserie bestimmt wird, die Einheit X, so hat die spektrale Dichte die
X2
.
Einheit Hz
Die lineare spektrale Dichte S ( f ) ist als Wurzel der spektralen Dichte definiert:
q
S( f) =
S2 ( f )
(1.5)
1.3 Strahlungsdruckrauschen
Richtet man einen Lichtstrahl auf ein Objekt, welches das Licht entweder absorbiert oder reflektiert, so wird eine Kraft vom Lichtfeld auf das Objekt übertragen. Jedes Photon trägt den Impuls
p = h̄k, wobei h̄ das Plancksche Wirkungsquantum geteilt durch 2π ist und k der Wellenvektor des
Feldes. Wird ein Photon von einem Objekt absorbiert, so wird sein gesamter Impuls h̄k auf das
Objekt übertragen (Abb. 1.2). Bei einer Reflexion des Photons kann je nach Einfallswinkel bis zu
2h̄k übertragen werden (Abb. 1.3).
Photonen
Treffen die Photonen mit einer Stromdichte j (Zeit
Fläche ) auf das Objekt, so beträgt der Druck auf
das Objekt PLicht = h̄∆k j. Diesen Druck nennt man den Strahlungsdruck. Ist die Stromdichte j
der auftreffenden Photonen nicht zeitlich konstant, so ändert sich auch der Strahlungsdruck.
Die Messung der Lichtleistung P entspricht dem Zählen der Photonen, die in einem bestimmten
Zeitintervall eine Fläche durchqueren. Die zeitliche Verteilung der Photonen eines Laserstrahls gehorcht der Poisson-Statistik. Das bedeutet folgendes: Beträgt die mittlere Photonenzahl in einem
Messintervall N Photonen, so ist die Wahrscheinlichkeit w, N Photonen in einem Messintervall zu
zählen, durch die Poisson-Verteilung gegeben:
N
w (N ) =
N e
N!
N
(1.6)
7
1.3 Strahlungsdruckrauschen
Dieses Verteilungsgesetz gilt allgemein für das Auftreten von diskreten Ereignissen, die statistisch
verteilt, also unabhängig voneinander, sind. Für große Photonenzahlen N kann man die PoissonVerteilung durch eine Gauß-Verteilung mit der Standardabweichung
σ=
p
N
(1.7)
nähern:
w (N ) =
p1 e
σ 2π
2
(N N )
2σ2
=
p 1 e
2πN
2
(N N )
2N
(1.8)
Reflektiert man einen Laserstrahl mit der Leistung P, der Frequenz ω und der Wellenlänge λ = 2πc
ω
2h̄ωN
senkrecht auf einem Spiegel, so beträgt die auf ihn wirkende Kraft FLicht = 2P
=
.
Die
Stanc
c
dardabweichung der Kraft in einem Beobachtungsintervall der Länge τ beträgt also:
σF
=
2
2 h̄ω
σP = σN
c
c τ
2 h̄ω p
= N
c τr
2 h̄ω P
= c τ h̄ω
r
1 8h̄πP
=
τ
cλ
(1.9)
Die lineare spektrale Dichte der Photonenzahlmessung SN ( f ) ist eine Konstante, d.h. sie ist unabhängig von der Frequenz. Für die zu Grunde liegende Gaußstatistik gilt, dass die Zählereignisse
statistisch voneinander unabhängig sind. Die Funktion der gezählten Photonen pro Zeitintervall
besitzt also Komponenten aller Frequenzen in gleicher Stärke. Das Gleiche gilt für die lineare
spektrale Dichte SF ( f ) der Kraft:
r
SF ( f ) =
8h̄πP
cλ
(1.10)
Hängt man den Spiegel an einem Faden auf, so führen die Kraftfluktuation SF ( f ) auf dem Spiegel
zu einer Positionsfluktuation Sx ( f ). Um die lineare spektrale Dichte der Positionsfluktuationen
berechnen zu können, braucht man den Zusammenhang zwischen der anregenden Kraft F auf
ein Pendel und der daraus resultierende Auslenkung. Dieser Zusammenhang H ( f ) = Fx(( ff )) , der im
allgemeinen frequenzabhängig ist, wird Transferfunktion genannt. In Abschnitt2.3.1 wird genauer
darauf eingegangen.
8
1. S TÖRQUELLEN UND G RENZEN DER INTERFEROMETRISCHEN L ÄNGENMESSUNG
Die Transferfunktion eines als Pendel aufgehängten Spiegels mit der mechanischen Resonanzfrequenz f0 , der Dämpfungskonstanten γ und der Masse m lautet:
HPendel ( f ) =
x( f )
F (f)
1
=
2
(2π f ) +
m
iγ2π f
2
m + (2π f0 )
(1.11)
Für Sx ( f ) gilt:
Sx ( f ) = jHPendel ( f )j SF ( f )
1
= m
= m
0
=@
2
(2π f ) +
iγ2π f
2
m + (2π f0 )
1
2
(2π f ) +
iγ2π f
m
SF ( f )
r
2 + (2π f0 ) 8h̄πP
cλ
(1.12)
11
4h̄P
λm2 c (2π)3
2
1
f2
f02
2
+
f 2 γ2
2
(2πm)
A
Setzt man den als Pendel aufgehängten Spiegel als Endspiegel eines Resonators ein, so fluktuiert
die Länge des Resonators durch die Spiegelbewegung mit der in Gleichung 1.12 angegebenen
lineare spektralen Dichte.
1.4 Schrotrauschen
Das Messsignal der Pound-Drever-Hall-Regelung stammt von der Lichtintensität, die über eine
Photodiode gemessen wird. Bei der Messung von Lichtintensitäten tritt der Effekt des Schrotrauschens auf. Dieser Effekt hat seinen Ursprung in der schon erwähnten Quantennatur des Lichtes:
Licht besteht aus einzelnen Photonen. Einer Messung der Lichtleistung entspricht dem Zählen
der einzelnen, diskreten Photonen. Durch statistische Schwankungen
p variiert die gemessene Photonenzahl pro Zeitintervall mit der Standardabweichung σ = N. Die relative Genauigkeit der
Messung beträgt Nσ = p1 , d.h. bei hohen Lichtleistungen ist das relative Schrotrauschen niedriger.
N
Benutzt man nun, wie beim Pound-Drever-Hall-Verfahren, die Messung einer Lichtleistung zum
Messen der Resonatorlänge, so täuscht die Schwankung der Lichtleistung auf Grund der Photonenstatistik eine Längenänderung des Resonators vor. Jedoch kann man an Hand des Messsignals
nicht zwischen einer echten Längenänderung und der schrotrauschinduzierten Schwankung des
Signals unterscheiden.
Bei einer Pound-Drever-Hall-Regelung beträgt die lineare spektrale Dichte der scheinbaren Positionsfluktuation durch das Schrotrauschen
Ss r ( f ) =
h̄c2 π
4P fl F 2
(1.13)
9
1.5 Thermisches Rauschen
Hier ist P die Laserleistung, fl die Laserfrequenz und F die Finesse des Resonators. Die detaillierte Rechnung, die zu dieser Gleichung führt, ist in [9] zu finden.
1.5 Thermisches Rauschen
In jedem Körper, der sich auf einer Temperatur oberhalb des absoluten Nullpunktes befindet, wirkt
eine fluktuierende Kraft auf Grund der thermischen Bewegung der in ihm enthaltenen elementaren
Teilchen. Diese fluktuierende Kraft führt zu einer Bewegung, die thermisches Rauschen genannt
wird.
Quantitativ wird diese Kraft durch das Fluktuations-Dissipations-Theorem beschrieben, welches
von H. B. Callen [1] erarbeitet wurde. Es beschreibt Systeme, die linear sind und sich im thermischen Gleichgewicht befinden. Dieses Theorem verwendet den Begriff der Impedanz. Schreibt
man die Bewegungsgleichung eines Systems in einer Form Fext ∝ ẋ, wobei Fext eine externe, auf
das System einwirkende Kraft und ẋ die Ableitung der Ortskoordinate nach der Zeit ist, so wird
die Proportionalitätskonstante zwischen Fext und ẋ die Impedanz Z genannt. Es gilt also:
Fext
=Z
ẋ
(1.14)
Z ist im allgemeinen eine Funktion der Frequenz. Als Admittanz Y bezeichnet man den Kehrwert
der Impedanz:
1
Y ( f ) := Z
(f)
(1.15)
Das Fluktuations-Dissipations-Theorem sagt aus, das die lineare spektrale Dichte der minimalen
Kraftfluktuation, die an einem System angreift, durch den Ausdruck
SFtherm ( f ) =
p
4kb T ℜ (Z ( f ))
(1.16)
gegeben ist. Hierbei ist T die Temperatur des Systems und kb die Boltzmannkonstante.
Für die weitere Rechnung ist es einfacher, im Frequenzbereich zu arbeiten. Dazu werden Fext und
x in spektrale Komponenten mit der Frequenz f und der Amplitude F0 bzw x0 zerlegt:
Fext ( f ) = F0 ei2π f t und x ( f ) = x0 ei2π f t
(1.17)
Einsetzen in Gleichung 1.14 liefert:
F0 ei2π f t
= Z ( f ) (i2π f )
also
jFext ( f ) j
2
=
x0ei2π f t
;
jZ ( f ) j j (2π f ) j jx ( f ) j
2
2
2
(1.18)
10
1. S TÖRQUELLEN UND G RENZEN DER INTERFEROMETRISCHEN L ÄNGENMESSUNG
Um das thermische Rauschen einer Komponente, also die Positionsfluktuationen x2 ( f ), zu erhalten, setzt man Gleichung 1.18 in das Fluktuations-Dissipations-Theorem 1.16 ein:
s
4kb T
Sx ( f ) =
s
jZ ( f ) j2 (2π f )2
ℜ Z (1f )
2
(2π f )
4kb T
=
s
4kb T
=
ℜ (Z ( f ))
2
(2π f )
(1.19)
ℜ (Y ( f ))
Wie das Fluktuations-Dissipations-Theorem angewendet werden kann, um die Positionsfluktuationen eines Spiegels zu errechen, der als Pendel aufgehängt ist, wird im Folgenden vorgeführt.
Die Bewegungsgleichung für einen Spiegel der Masse m, der an einem Faden der Länge l aufgehängt ist und durch viskose Dämpfung mit der Konstanten γ Energie dissipiert, lautet:
Fext
= mẍ + γẋ + κx
(1.20)
Hierbei ist γ die Dämpfungskonstante, und κ = m (2π f0 )2 mir der Resonanzfrequenz f0 =
ist die Erdbeschleunigung.
1 g
2π l .
g
Zur Bestimmung der Impedanz Z schreibt man die Bewegungsgleichung in der Form wie Gleichung 1.14:
Fext
1
ẋ
i2π f
iκ
ẋ
2π f
= m (i2π f ) ẋ + γẋ + κ
=
(i2π f ) m + γ
(1.21)
Dabei wurde ẍ = (i2π f ) ẋ und x = i2π1 f ẋ benutzt (s. Gleichung 1.17).
Impedanz Z ( f ) und Admittanz Y ( f ) haben also die Werte:
Z ( f ) = γ + i2π f m
Y (f) =
γ
iκ
2π f
i2π f m + 2πiκf
γ2 + 2π f m
κ
2π f
(1.22)
2
Nun kann man durch Einsetzen von Y ( f ) in Gleichung 1.19 die Positionsfluktuationen des Spiegels berechnen:
11
1.6 Seismisches Rauschen
s
4kb T
Sx ( f ) =
(2π f )
2
ℜ (Y ( f ))
v
0
u
u
u 4kb T
B
=u
ℜ@
t
2
(π f )
2
γ
(2π f )
v
u
u
=u
t
1
i2π f m + 2πiκf
κ
2π f
γ2 + 2π f m
kb T γ
γ2 +
2π f m
κ
2π f
C
2 A
(1.23)
2 Mit Hilfe des Fluktuations-Dissipations-Theorem ist es also möglich, die lineare spektrale Dichte
der Positionsfluktuation x2 ( f ) eines Systems nur mit Kenntnis der Dissipation, also des Energieverlustes, des Systems zu bestimmen. Die Dissipation wird ausschließlich über die Impedanz
beschrieben, weitere Kenntnisse über die Art der Verlustprozesse des Systems sind nicht nötig.
Systeme mit sehr niedrigen Verlusten dissipieren Energie hauptsächlich durch strukturelle Dämpfung [9] [14]. Ein als Pendel aufgehängter Spiegel, dessen Verluste durch strukturelle Dämpfung
dominiert sind [14] [16] [9], hat nach dem Fluktuations-Dissipations-Theorem eine lineare spektrale Dichte des Rauschens der Ortkoordinate x:
s
Sx ( f ) =
4kb T f02 1
m f Q (2π f )2
f2
2
f02 +
f 2 f02
Q2
(1.24)
1.6 Seismisches Rauschen
Bewegungen des Erdbodens lassen sich mit Geräten messen, die Seismometer oder auch Geophone genannt werden. Diese Geräte wandeln die Geschwindigkeit der Erdbewegung in eine elektrische Spannung um. Es gibt mehrere Funktionsweisen solcher Messapparate. Die Geophone,
die für die in dieser Arbeit vorgestellten Messungen benutzt wurden, werden in Abschnitt3.2.1
genauer beschrieben. Stellt man ein solches Geophon an einem ruhigen Ort auf den Boden und
misst die lineare spektrale Dichte der Bewegung der Erde, so erhält man eine Messkurve, die an
den meisten Orten der Welt den folgenden Verlauf hat.
SSeismik ( f ) =
8
<10
:10
9 pm
Hz
7 pm 1
Hz f 2
1 Hz f
10 Hz
10 Hz f
(1.25)
Ein Teil der seismischen Bewegung ist durch den Menschen verursacht: Fahrzeuge, Maschinen
und auch Trittschall sind solche Quellen menschlichen Ursprungs. Aber auch in Abwesenheit
12
1. S TÖRQUELLEN UND G RENZEN DER INTERFEROMETRISCHEN L ÄNGENMESSUNG
−6
lineare spektrale Dichte pmHz
10
−7
10
−8
10
−9
10
−10
10
−1
10
0
10
Frequenz (Hz)
1
10
Abbildung 1.4: Lineare spektrale Dichte der natürlichen horizontalen seismischen Anregung am Standort
des Gravitationswellendetektors GEO600
jeglicher Zivilisation gibt es einen Rauschuntergrund, der natürlichen Ursprungs ist. Der genaue
Ursprung dieses Rauschen ist nicht vollständig geklärt. Es gibt jedoch Teilerklärungen für einige
Bereiche des Rauschspektrums. So zeigt das seismische Rauschspektrum an den meisten Orten
der Welt einen starken Anteil mit der Periode von 6 Sekunden. Dieser Anteil, auch mikroseismischer Peak genannt, wird mit dem Auftreffen der Ozeanwellen auf die Küstenlinien der Kontinente
erklärt, da diese Ereignisse in etwa die gleiche Frequenz besitzen und außerdem ein Ansteigen des
Peaks bei Messungen nahe der Küste zu beobachten ist. Abbildung 1.4 zeigt eine Messung, die
am Standort des Gravitationswellendetektors GEO600 [3] aufgenommen wurde. Der mikroseismischer Peak bei etwa 0,2 Hz ist deutlich zu sehen. Wie man sieht, liegen die größten spektralen
Anteile der Bewegung einem Bereich unterhalb von 1 Hz. Um die rms-Bewegung durch die Seismik zu reduzieren, ist es deshalb notwendig, besonders die Bewegungen bei niedrigen Frequenzen
abzuschirmen.
Die lineare spektrale Dichte des seismischen Rauschens scheint zunächst gering zu sein. Vergleicht man sie jedoch mit den zu erwartenden Messwerten in Abbildung 1.5, so wird die Notwendigkeit einer seismischen Isolation deutlich.
1.7 Erwartete lineare spektrale Dichte für die Messung des thermischen Rauschens
Abbildung 1.5 zeigt die lineare spektrale Dichte des thermischen Rauschens, wenn das Experiment bei Raumtemperatur mit einem Spiegel der Masse 7 Gramm durchgeführt wird, der an einer
13
1.7 Erwartete lineare spektrale Dichte für die Messung des thermischen Rauschens
0,3 m langen Faser aufgehängt ist. Die Güte der Aufhängung beträgt 100 und ist durch viskose
Dämpfung dominiert.
−8
10
thermisches Rauschen
−9
10
−10
lineare spektrale Dichte ( pmHz )
10
−11
10
−12
10
−13
10
−14
10
−15
10
−16
10
−17
10
−18
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 1.5: Spektrum thermisches Rauschen durch viskose Dämpfung (Q = 100)
Kapitel 2
Seismische Isolation
In Kapitel 1 wurde beschrieben, wie man Längenänderungen eines optischen Resonators sehr
exakt bestimmen kann. Übertragen sich Erschütterungen aus der Umgebung des Experiments auf
die Spiegel, welche die Länge des Resonators definieren und kommt es so zu einer Auslenkung
der Spiegel, so wird dadurch die Genauigkeit der Messung beeinträchtigt.
Um die Messgenauigkeit einer solchen Apparatur nicht durch vom Erdboden übertragene Erschütterungen, sogenanntes seismsiches Rauschen zu begrenzen, ist eine seismische Isolation notwendig. Die Isolation sorgt dafür, dass sich Erschütterungen nur stark abgeschwächt auf den Messapparat übertragen werden. Dadurch ist es möglich zumindest für bestimmte Frequenzbereiche die
Empfindlichkeit gegenüber seismischen Rauschens zu verringern.
In diesem Kapitel wird zunächst das Prinzip der passiven seismischen Isolation dargestellt, das
für die seismische Isolation gegen Anregungen hoher Frequenzen (>20 Hz) eingesetzt wird. Dann
wird das Prinzip der aktiven seismischen Isolation erläutert, die besonders für die Unterdrückung
niederfrequenter Anregungen geeignet ist. Um deren Funktionsweise vollständig zu verstehen,
sind die Kenntnisse einiger Grundlagen der Regelungstechnik notwendig, die ebenfalls in diesem
Kapitel erklärt werden.
2.1 Passive seismische Isolation
Passive seismische Isolation ist relativ einfach zu realisieren. Man nutzt dazu die Transferfunktion
eines einfachen physikalischen Systems, des harmonischen Oszillators. Möchte man eine Masse
m seismisch isolieren, so stellt man sie nicht direkt auf den Boden, sondern hängt sie z.B. als
Pendel auf. Das Pendel
qist für kleine Auslenkungen ein harmonischer Oszillator mit der Reso1
nanzfrequenz f0 = 2π gl . Hierbei ist g die Erdbeschleunigung und l die Länge des Pendels.
Auf die Masse wirkt eine Kraft
15
16
2. S EISMISCHE I SOLATION
F
=m
ẍ = Fgrav + FDämp f ung
= m g φ γ φ̇
(2.1)
wobei φ der Auslenkungswinkel und γ die Dämpfungskonstante ist.
φ
l
Masse
m; γ
Schwerpunkt
Abbildung 2.1: Prinzip der passiven seismischen Isolation
Die Transferfunktion lxgφ , die angibt, wie sich eine Anregung xg des Aufhängepunktes auf die
Masse fortpflanzt, lautet
l φ
xg
=
f02
f02
=
ifγ
f 2 + 2πm
f02
f02
f 2 + iQf
(2.2)
Der Parameter Q = 2π γf0 m = ∆f0f wird als die Güte des Oszillators bezeichnet. Je größer Q, desto
ausgeprägter ist die Resonanz des Oszillators. ∆ f ist die Breite der Resonanzüberhöhung. Als
Breite wird der Abstand der beiden Frequenzen bezeichnet, auf denen die Resonanzüberhöhung
auf die Hälfte des Maximalwertes abgefallen ist. Ein Abfall auf die Hälfe entspricht -6 dB (s. auch
Abb. 2.2). Die so definierte Breite wird FWHM-Breite (full width at half maximum) genannt.
Abbildung 2.2 zeigt den Amplituden- und Phasenverlauf einer solchen Transferfunktion mit einer
Güte von 10 und einer Resonanzfrequenz von 1 Hz.
Wie man sieht, fällt die Transferfunktion für hohe Frequenzen mit f12 ab. Das bedeutet, dass
hochfrequente Anteile der Bewegungen des Bodens nur stark gedämpft auf die Masse übertragen
17
2.1 Passive seismische Isolation
Amplitude (dB)
30
20
10
-
∆f
0
−10
−20
−30
−40
f0
Frequenz (Hz)
Phase (Grad)
0
−50
−100
−150
−200
−1
10
0
10
1
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 2.2: passive seismische Isolation - Amplituden- und Phasenverlauf
werden. Auf diese Weise hat man also eine seismische Isolation realisiert, die jedoch nur für
Frequenzen oberhalb der Resonanzfrequenz des Oszillators funktioniert.
Ein Problem ist die Überhöhung, die die Transferfunktion bei der Resonanzfrequenz aufweist.
Anregungsamplituden in diesem Bereich werden durch den Oszillator verstärkt. Deshalb ist es
bei einer solchen Isolation nötig, das Aufschwingen des Oszillators auf seiner Resonanzfrequenz
zu verhindern. Dazu kann man z. B. eine geschwindigkeitsabhängige Gegenkraft auf die zu
isolierende Masse wirken lassen. Ein Messsignal für die Geschwindigkeit kann man z.B. über
einen Schattensensor gewinnen. Dieser besteht aus einem Fähnchen, einer Leuchtdiode und einer
Photodiode. Leuchtdiode und Photodiode werden so montiert, dass das Licht der Leuchtdiode auf
die in einigen Millimetern Abstand positionierte Photodiode fällt. Das Fähnchen wird an der zu
isolierenden Masse befestigt und ragt in den Spalt zwischen Photodiode und Leuchtdiode hinein,
sodass es das Licht der Leuchtdiode teilweise abdeckt. Aus der Menge des auf die Photodiode
fallenden Lichtes kann man nun auf die Position der Masse schließen. Zeitliches Ableiten dieses
Messsignals liefert die gewünschte Geschwindigkeit der Masse.
Die geschwindigkeitsabhängige Gegenkraft erzeugt man am besten über eine elektronische Schaltung (Regler) und einen entsprechenden Aktuator, z.B. einen Spule und einen auf die Masse
geklebten Magneten. Die Ansteuerung der Aktuatoren muss sicherstellen, dass die Kraft nur
Schwingungen mit Frequenzen nahe der Resonanzfrequenz dämpft. Die Spulen sind direkt der
seismischen Anregung ausgesetzt und dürfen für hohe Frequenzen deshalb nicht an die Masse
gekoppelt sein. Würde man die Dämpfungskraft auch für hohe Frequenzen einwirken lassen, so
18
2. S EISMISCHE I SOLATION
Spule
Masse
Magnet
Regler
Fähnchen
Photodiode
Leuchtdiode
Abbildung 2.3: Dämpfung der Resonanz
wäre dies ein Kurzschluss der seismischen Isolation. Seismische Erschütterungen der Spule mit
hoher Frequenz würden auf die zu isolierende Masse übertragen, sodass die seismische Isolation
wieder zunichte gemacht würde.
Der größte Nachteil von passiver Isolation durch Oszillatoren ist, dass sie für niedrige Frequenzen
(unter 1 Hz) nur schwer zu realisieren ist. Es ist sehr aufwendig, die Resonanzfrequenz eines
mechanischen Systems zu extrem niedrigen Frequenzen zu legen.
q
Um einen harmonischen Oszillator mit niedriger Resonanzfrequenz ω = mκ zu bauen, muss man
nämlich entweder eine kleine Federkonstante κ oder eine große Masse m verwenden. Eine kleine
Federkonstante hat geringe Rückstellkräfte zur Folge, die das System im Gleichgewicht halten.
Deshalb wirkt sich ein kleines κ negativ auf die Stabilität des Systems aus, da die Rückstellkräfte
bei starken Anregungen nicht ausreichen können, um das System im Gleichgewicht zu halten.
Eine große Masse führt meist zu einer sehr unhandlichen und aufwendigen Konstruktion.
2.2 Aktive seismischen Isolation
Aus den in Abschnitt 2.1 erläuterten Gründen lässt sich eine passive seismisch Isolation für niedrige Frequenzen nur schwer realisieren. Deshalb greift man für die seismische Isolation bei niedrigen Frequenzen meist auf ein anderes Konzept zurück: Die aktive seismischen Isolation.
Der seismisch zu isolierende Aufbau wird z.B. oberhalb eines Stellelementes (Aktuator) platziert.
Dieses Stellelement kann Auslenkungen in allen drei Raumrichtungen erzeugen, d.h. man kann
2.3 Grundlagen der Regelungstechnik
19
den auf dem Stellelement ruhenden Aufbau durch Anlegen einer Steuerspannung an den Aktuator
in allen drei Raumrichtungen bewegen. Zusätzlich benötigt man einen Sensor, der die seismische
Anregung misst. Je nach verwendetem Regelungsprinzip platziert man den Sensor entweder oberhalb oder unterhalb des Aktuators. Bei einer Feedforward-Steuerung (s. Abschnitt2.3.2) befindet
sich der Sensor unterhalb der Stellelementes, bei einer Feedback-Regelung (s. Abschnitt 2.3.4)
oberhalb. Kennt man auf Grund des Ausgangssignals des Sensors also die Anregung, die auf den
zu isolierenden Aufbau wirkt, so kann man das Stellelement so ansteuern, dass die seismische
Anregung gerade kompensiert wird. Man benötigt dazu einen elektronischen Regler, der aus dem
Signal des Sensors ein geeignetes Eingangssignal für den Aktuator erzeugt. Dieses Verfahren des
Messens der Anregung und des aktiven Gegensteuerns über einen Regler und Aktuator nennt man
aktive seismische Isolation. Diese Methode funktioniert für alle Frequenzen, für die der Sensor
empfindlich genug ist, die seismische Anregung zu detektierten. Die in Abschnitt3.2.1 beschrieben Sensoren können für Frequenzen oberhalb von etwa 0.1 Hz eingesetzt werden.
2.3 Grundlagen der Regelungstechnik
In diesem Abschnitt sollen kurz einige Grundlagen der Regelungstechnik dargestellt werden, die
zum Verständnis der in Abschnitt 3.2 dargestellten aktiven seismischen Isolation notwendig sind.
Die Regelungstechnik beschäftigt sich mit der Entwicklung und Implementierung von meist elektronischen Systemen, die eine physikalische Größe auf einem definierten Wert, dem Sollwert,
halten soll. Im Fall einer Regelung zur seismischen Isolation ist diese zu kontrollierende Größe die Auslenkung eines bestimmten Punktes, die möglichst auf den Wert Null reduziert werden
soll. Tatsächlich ist es mit einer Regelung aber nur möglich, die Auslenkung zu verringern, nicht
komplett zu unterdrücken. Essentiell für eine Regelung sind drei Komponenten:
Der Sensor: Er wandelt die zu kontrollierende Größe in eine andere Größe (meist elektrische
Spannung) um, die vom Regler verarbeitet werden kann.
Der Aktuator: Der Aktuator ist ein Gerät, das die zu kontrollierende Größe beeinflussen
kann, und das vom Regler angesteuert werden kann.
Der Regler: Er erhält das Signal, das der Sensor erzeugt, und wandelt es in ein Signal
um, welches, wenn es in den Aktuator eingespeist wird, die zu regelnde Größe auf den
gewünschten Wert stellt.
Ob die zu kontrollierende Größe überhaupt den gewünschten Wert annimmt, bzw. wie genau Sollwert und tatsächlicher Wert übereinstimmen, hängt vom Aufbau des Reglers ab. Die Reglungstechnik beschäftigt sich mit der systematischen Suche nach einem ’optimalen’ Regler, d.h. einem
Regler, der auf möglichst einfache Weise die erforderliche Übereinstimmung zwischen Sollwert
und zu kontrollierender Größe gewährleistet.
20
2. S EISMISCHE I SOLATION
2.3.1 Transferfunktionen
Im Folgenden werden wichtige Eigenschaften von linearen zeitinvarianten Systemen oder auch
LTI (linear time-invariant)-Systemen erläutert, die eine wichtige Rolle in der Regelungstechnik
spielen. Ein System im Sinne der Regelungstechnik ist ein Apparat, der aus einem Eingangssignal
ein Ausgangssignal (Antwort) erzeugt. Ein lineares zeitinvariantes System hat zusätzlich folgende
Eigenschaften:
1. Die Antwort des Systems ist linear.
2. Die Antwort des Systems ist zeitunabhängig.
Die Linearität eines Systems ist folgendermaßen definiert:
Seien Ain (t ) und Bin (t ) zwei beliebige Signale und Aout (t ) = R (Ain (t )) sowie Bout (t ) = R (Bin (t ))
die dazugehörigen Antworten des Systems. Ein System ist genau dann linear, wenn gilt:
R (αAin (t ) + βBin (t )) = αAout (t ) + βBout mit α; β 2 R
Aus der Eigenschaft der Linearität folgt also, dass das Superpositionsprinzip gilt: Die Antwort des
Systems auf die Summe zweier Signale ist die Summe der beiden einzelnen Antworten.
Ein System wird als zeitunabhängig bezeichnet, wenn die Antwort des Systems auf ein Eingangssignal nicht von der Zeit abhängt, zu der das Signal angelegt wird.
Als Impulsantwort h (t ) des Systems bezeichnet man die Antwort, die das System auf einen Impuls
δ (t ) als Eingangssignal liefert.
h (t ) = Aout , wenn Ain = δ (t )
(2.3)
Jede Systemantwort läßt sich als Faltung zwischen der Impulsantwort h (t ) und dem Eingangssignal Ain (t ) schreiben:
Z
Aout (t ) =
=h
+∞
∞
h (τ) Ain (t
τ) dτ
Ain (t )
(2.4)
Ein nützliches Hilfsmittel bei der Behandlung von linearen zeitinvarianten Systemen ist die LaplaceTransformation. Sie ist wie folgt definiert:
L (h (t )) := H (s)
Z
:=
+∞
∞
h ( τ) e
sτ
dτ
H (s) nennt man die Laplace-Transformierte von h (t ).
(2.5)
21
2.3 Grundlagen der Regelungstechnik
Ein Eingangssignal der Form e(st ) erzeugt bei einem linearen zeitinvarianten System ein Ausgangssignal der Form H (s) e(st ) , wobei H (s) die Laplacetransformierte der Impulsantwort des
Systems ist. Dies lässt sich wie folgt herleiten:
Aout
Ain (t )
h (τ) Ain (t
= h (t )
Z ∞
=
=
=
=
Z∞∞
Z∞∞
Z∞∞
∞
h (τ) es(t
τ)
h (τ) est e
h ( τ) e
= H (s)
sτ
τ) dτ
dτ
sτ
(2.6)
dτ
dτ est
est
H (s) nennt man die Transferfunktion des Systems.
Die Transferfunktion definiert die Frequenzantwort H (i ω) des Systems. Legt man an den Eingang eines linearen, zeitunabhängigen Systems ein Signal der Form
Ain = A cos (ωt ) =
A
eiωt + e
2
an, so lautet die Antwort des Systems:
Aout
iωt
A
H (iω) eiωt + H ( iω) eiωt
2
= A M cos (ωt + φ)
=
(2.7)
(2.8)
mit H (iω) = M eiφ und H ( iω) = (H (iω)) .
M ist die Verstärkung des Systems und φ die Phasenverschiebung.
Eine Transferfunktion lässt sich in der Pol-Nullstellen-Form darstellen:
∏m (s zi )
H (s) = K ni=1
∏i=1 (s pi )
(2.9)
Hierbei sind zi die Nullstellen und pi die Pole der Funktion H (s). K wird die Verstärkung genannt. Im Gegensatz zu den Polen und Nullstellen, die auch komplexe Zahlen seien können, ist
die Verstärkung K reell.
Die Verstärkung, also den Betrag der Transferfunktion, für den Grenzfall s ! 0 nennt man die
DC-Verstärkung. Sie gibt an, um welchen Faktor ein zeitlich konstantes Signal verstärkt bzw.
abgeschwächt wird. Jeder Pol und jede Nullstelle einer Transferfunktion erzeugt einen charakteristischen Verstärkungs- und Phasenverlauf der Transferfunktion. Man kann die Pole und Nullstellen in jeweils zwei Kategorien verteilen: Einzelne reelle Pole sowie Paare komplexer Pole, die
zueinander komplex konjugiert sind; entsprechendes gilt für Nullstellen.
22
2. S EISMISCHE I SOLATION
Reeller Pol: Hp (s) = K s 1p1 ; ( p1 2 R+ ) Ein System, dessen Transferfunktion nur einen reellen
Pol p1 besitzt, ist ein Tiefpass. Das heißt, dass es hohe Frequenzen stärker dämpft als niedrige.
Im Grenzfall sehr niedriger Frequenzen beträgt die Verstärkung
lim jH (s) j = lim jK s!0
s !0
1
s
p1
j = pK
(2.10)
:
1
Die Phase beträgt in diesem Fall
lim arg (H (s)) = lim arg K s!0
s !0
1
s
p1
Æ:
=0
(2.11)
Wie man sieht, nimmt der Betrag der Frequenzantwort Hp (iω) = iω 1 p1 für steigende ω-Werte ab.
Den Wert von p1 nennt man die Eckfrequenz. Wie man durch Einsetzen in die Frequenzantwort
sieht, wird
q ein Signal mit der Eckfrequenz gegenüber einem zeitunabhängigen Signal um den
Faktor
1
2
gedämpft:
jHp (i p1) j = jK i p
1
1
p1
j=
gegenüber der DC-Verstärkung von
K
p1
K
p1 .
r
1
;
2
(2.12)
Die Phasenverschiebung für diese Frequenz beträgt
arg (Hp (i p1 )) = arg
1
i+1
=
45Æ :
Signale oberhalb der Resonanzfrequenz werden mit 1f abgeschwächt.
Für den Grenzfall sehr hoher Frequenzen geht die Verstärkung gegen 0 und der Phase nähert sich
dem Wert 90Æ .
Abbildung 2.4 zeigt ein Bode-Diagramm einer solchen Transferfunktion. Es zeigt den Verstärkungs- sowie den Phasenverlauf über der Frequenz aufgetragen.
Reelle Nullstelle: Hz = K iω z1 ; (z1 2 R) Ein System mit Transferfunktion Hz ist ein Hochpass. Systeme mit mehr Nullstellen als Polen in der Transferfunktion sind physikalisch nicht zu
realisieren. Wie man am Verstärkungsverlauf in Abbildung 2.5 sieht, würde ein solches System
für die Erzeugung des Ausgangssignals unendlich viel Energie benötigen, da die Verstärkung für
hohe Frequenzen immer weiter ansteigt. In jeder Transferfunktion eines realen Systems ist die
Zahl der Nullstellen deshalb kleiner als die der Pole. Auch hier nennt man den Wert von z1 die
Eckfrequenz. Ein Eingangssignal mit der Eckfrequenz wird gegenüber einem zeitunabhängigen
p
Signal um den Faktor 2, d.h. um +3 dB verstärkt. Die Phasenverschiebung für diese Frequenz
beträgt +45Æ .
Signale oberhalb der Resonanzfrequenz werden proportional zur Frequenz f verstärkt. Für den
Grenzfall sehr hoher Frequenzen beträgt die Phasenverschiebung +90Æ . Abbildung 2.5 zeigt ein
Bode-Diagramm einer Transferfunktion mit einer Nullstelle.
23
2.3 Grundlagen der Regelungstechnik
Amplitude (dB)
0
−5
−10
−15
−20
Frequenz (Hz)
Phase (Grad)
0
−20
−40
−60
−80
−100
−1
10
0
10
1
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 2.4: Transferfunktion mit einem reellen Pol bei 1 Hz
Amplitude (dB)
25
20
15
10
5
0
Frequenz (Hz)
Phase (Grad)
100
80
60
40
20
0
−1
10
0
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 2.5: Transferfunktion mit einer reellen Nullstelle bei 1 Hz
1
10
24
2. S EISMISCHE I SOLATION
Komplexes Paar von Polen: H = (iω p1 )(1 iω p2 ) Ein komplexes Paar von Polen erzeugt eine
Resonanz in der Transferfunktion. Die zu einer Resonanz gehörende Bewegungsgleichung lautet:
F
= mẍ + γẋ + kx
(2.13)
Die zugehörige Transferfunktion lautet:
T (s) =
=
ω20
ω20 + s2 + sγ
m
ω20
ω20 + s2 + ωQ0 s
= ω0
2Q +
p1
4Q2
ω0
2Q
(2.14)
ω20
s
ω0
2Q
p1
4Q2
ω0
2Q
s
Die Pole p1 und p2 haben also die Werte:
p1 =
ω0
+
2Q
p2 =
ω0
2Q
p
1 4Q2
ω0
2Q
p
(2.15)
1 4Q2
ω0
2Q
Nur für Werte von Q, die größer als 0,5 sind, gibt es eine echte Resonanz. p1 und p2 sind in
diesem Fall zueinander komplex konjugiert. Ist die Güte niedriger als 0,5, so sind beide Pole reell.
Die Transferfunktion zeigt dann keine Resonanzüberhöhung mehr, sondern verhält sich wie ein
Tiefpass mit zweiter Ordnung, d.h. mit zwei reellen Polen.
Abbildung 2.6 zeigt ein Bode-Diagramm einer solchen Transferfunktion mit ω0
Q = 10.
=
1 Hz und
Die Frequenzantwort auf der Resonanz ist um den Faktor Q gegenüber der Antwort weit unterhalb
der Resonanz überhöht. Weit oberhalb der Resonanzfrequenz fällt die Amplitude proportional zu
1
ab. Die Phasenverschiebung auf der Resonanz beträgt 90Æ , für sehr hohe Frequenzen erreicht
f2
sie 180Æ .
Komplexes Paar von Nullstellen: H = (iω z1 ) (iω z2 ) Ein komplexes Paar von Nullstellen
erzeugt eine Anti-Resonanz in der Transferfunktion. Die Frequenzantwort auf der Anti-Resonanz
ist um den Faktor Q gegenüber der Antwort weit unterhalb der Anti-Resonanz unterdrückt. Weit
oberhalb der Resonanzfrequenz steigt die Amplitude proportional zu f2 an. Die Phasenverschiebung auf der Resonanz beträgt +90Æ , für sehr hohe Frequenzen erreicht sie +180Æ .
Die Transferfunktion lautet (s. auch Abb. 2.7):
25
2.3 Grundlagen der Regelungstechnik
30
Amplitude (dB)
20
10
0
−10
−20
−30
−40
Frequenz (Hz)
Phase (Grad)
0
−50
−100
−150
−200
−1
10
0
10
1
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 2.6: Transferfunktion mit einem Paar komplexer Pole
40
Amplitude (dB)
30
20
10
0
−10
−20
−30
Frequenz (Hz)
200
Phase (Grad)
150
100
50
0
−1
10
0
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 2.7: Transferfunktion mit einem Paar komplexer Nullstellen
1
10
26
2. S EISMISCHE I SOLATION
T (s) =
ω20 + s2 + sγ
m
ω20
=
ω20 + s2 + ωQ0 s
ω20
ω0
2Q +
=
z1 =
ω0
+
2Q
z2 =
ω0
2Q
p
p
p1
4Q2
ω0
2Q
s
ω0
2Q
p1
4Q2
ω0
2Q
(2.16)
s
ω20
1 4Q2
ω0
2Q
(2.17)
1 4Q2
ω0
2Q
Zeitantwort eines LTI-Systems Wie schon in Abschnitt 2.3.1 erwähnt, nennt man die Antwort
eines LTI-Systems auf ein Signal der Form A (t ) = δ (t ) die Impulsantwort. Die Lage der Pole und
Nullstellen charakterisiert diese Antwort. Der Zusammenhang zwischen der Lage der Pole und
der Impulsantwort ist sehr einfach und lässt sich über die Laplace-Transformation herleiten:
In Gleichung 2.6 wurde gezeigt, dass die Transferfunktion die Laplacetransformierte der Impulsantwort ist. Will man also die Impulsantwort bestimmen, die zu einer Transferfunktion mit einem
Pol der Form H (s) = s 1 p gehört, so muss man nur die Zeitfunktion h (t ) ermitteln, deren Laplacetransformierte die Form s 1 p hat. Es ist prinzipiell möglich, durch inverse Laplace-Transformation
aus der Laplacetransformierten die Zeitfunktion zu erhalten. Praktisch ist es jedoch fast immer
einfacher, die Laplacetransformierte in einfache Terme zu zerlegen und die zugehörigen Zeitfunktionen in Tabellen nachzuschlagen. Die zu H (s) = s 1 p gehörige Zeitfunktion ist elementar, sodass
man sie direkt nachschlagen kann: Sie lautet h (t ) = ept . Abbildung 2.8 zeigt, wie die Lage eines
Pols p die Zeitantwort des Systems beeinflusst.
Der Imaginärteil von p führt zu einer Oszillation eiℑ( p)t . Da komplexe Pole immer als zueinander
komplex konjugiertes Paar auftreten, ergibt sich als Zeitantwort
At (t ) = eiℑ( p)t + eiℑ( p
)t
iℑ( p)t
=e
=2
i( ℑ( p)t )
(2.18)
+e
cos (ℑ ( p) t )
;
also eine kosinusförmige Schwingung mit der Kreisfrequenz des Imaginärteils des Pols. Der Realteil von p sorgt je nach Vorzeichen für ein exponentielles Ansteigen (ℜ ( p) > 0) oder Abklingen
(ℜ ( p) < 0) der Zeitantwort. Im Fall des exponentiellen Ansteigens der Zeitfunktion bezeichnet
man das System als instabil. Klingt die Zeitantwort ab, so ist das System stabil.
∏i=1
i
)
Will man die Stabilität einer Transferfunktion in der Pol-Nullstellen-Form (H (s) = K∏
n
i=1 (s pi )
mit mehreren Polen prüfen, so kann man sich die Linearität der Laplace-Transformation zu Nutze
machen:
m
(s
z)
27
2.3 Grundlagen der Regelungstechnik
Abbildung 2.8: Zeitantwort eines Systems in Abhängigkeit der Lage des Pole der Transferfunktion
L (αa (t ) + βb (t )) =
Z ∞
[α
0
=α
Z ∞
a (t ) + β b (t )] e
a (t ) e
0
st
+β
Z ∞
0
st
dt
b (t ) e
st
dt
(2.19)
= αA (s) + βB (s)
Zerlegt man die Transferfunktion also mit in einen Summe aus Termen, die nur jeweils einen Pol
haben, so kann man die gesamte Zeitantwort durch Addition der einzelnen Frequenzantworten
erhalten. Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung ist es möglich, einen Term der Form
H (s) = K
∏m
i=1 (s
∏ni=1 (s
zi )
pi )
(2.20)
in eine Form
n
H (s) = ∑
i=1 s
ci
pi
(2.21)
zu überführen. Als Zeitantwort ergibt sich auf Grund der Linearität der Laplace-Transformation:
n
h (t ) = ∑ ci e pit
(2.22)
i=1
2.3.2 Feedback-Regelung
In der Regelungstechnik geht es darum, die Ausgangsgröße einer Maschine zu kontrollieren und
auf einem Referenzwert zu halten. Eine sehr einfache Methode ist die Regelung mit einem OpenLoop-Steuerkreis. Abbildung 2.9 zeigt einen solchen Steuerkreis. Das Referenzsignal r wird in
28
2. S EISMISCHE I SOLATION
einen Regler gespeist, der es um den Faktor K verstärkt. Auf dieses Signal wird eine um den Faktor
B
G verstärkte Störung w addiert. Diese Summe der Signale wird in den Regelungseingang der zu
kontrollierenden Maschine gegeben. Aus der Maschine erhält man ein Signal y, das dem mit G
multiplizierten Eingangssignal entspricht. Das Ziel der Regelung ist nun, das Ausgangssignal der
Maschine auf dem Wert r zu halten.
w
B=G
K
+
r
+
G
Σ
y
Maschine
Regler
Abbildung 2.9: Open-Loop-Steuerung
Solange keine Störung vorhanden ist, also w gleich Null ist, kann man leicht sehen, dass y genau
dann dem Wert von r entspricht, wenn für die Verstärkung K des Reglers der Wert G1 gewählt wird.
Es gilt dann
y = rK G = r
1
G = r
G
(2.23)
Die Transferfunktion zwischen dem Referenzeingang r und dem Ausgang y nennt man die OpenLoop-Transferfunktion Hol = K G.
Ist die Störung jedoch nicht Null, so gilt für das Ausgangssignal:
y=
B
rK +w
G
G =
1
B
r +w
G
G
G = r+Bw
(2.24)
Das Ausgangssignal ändert sich also durch eine Störung w um den Wert B w.
Eine bessere Störungsunterdrückung erreicht man mit einer Feedback-Regelung. Hierbei wird das
Ausgangssignal der Maschine entsprechend verstärkt vom Referenzwert subtrahiert und auf den
Eingang gegeben. Abbildung 2.10 zeigt einen solchen Regelkreis.
Für das Ausgangssignal y gilt folgendes, solange w = 0 ist:
(r
y) K G = y
(2.25)
Daraus folgt
y = r
KG
1 + KG
(2.26)
Das Ausgangssignal ist also auch ohne Störung w nicht genau auf dem Referenzwert r. Man kann
diese Differenz jedoch durch Erhöhen der Verstärkung K des Reglers verringern.
29
2.3 Grundlagen der Regelungstechnik
w
K =G
r
+
-
K
Σ
+
+
G
Σ
y
Maschine
Regler
1
Sensor
Abbildung 2.10: Feedback-Regelung
Ist eine Störung w vorhanden, so gilt die folgende Gleichung:
(r
B
y) K + w G
G = y
(2.27)
Für das Ausgangssignal y folgt:
y = r
KG
1
+Bw
1 + KG
1 + KG
(2.28)
Im Gegensatz zur Open-Loop-Regelung wird die Störung w im Ausgangssignal um den Faktor
1
1+KG unterdrückt. Für diesen Fall der Regelung nennt man die Transferfunktion zwischen dem
Referenzeingang r und dem Ausgang y die Closed-Loop-Transferfunktion Hcl = 1+KG
KG .
2.3.3 Stabilität von Feedback-Regelkreisen
Ein Feedback-Regelkreis besitzt zwei charakteristische Transferfunktionen: Die Open-Loop-Transferfunktion Hol = K G, die sich durch Multiplikation der Transferfunktionen von Maschine und Regler ergibt, und die Closed-Loop-Transferfunktion Hcl = 1+KG
KG , die den geschlossenen Regelkreis beschreibt. Ist die Open-Loop-Transferfunktion stabil, so kann die Closed-LoopTransferfunktion trotzdem instabil sein. Schließt man den Regelkreis in einem solchen Fall, so
heißt das, dass der Regler von einer kleinen Störung in die Sättigung gebracht wird und dort
bleibt, oder dass er zu schwingen beginnt.
In Abschnitt 2.3.1 wurde erklärt, wie man die Stabilität einer Transferfunktion untersuchen kann:
Systeme, deren Transferfunktion Pole in der rechten Hälfte der s-Ebene besitzt, sind unstabil
(s. Abb. 2.8). Wenn man eine Transferfunktion für einen Feedback-Regler entwirft, muss man
also darauf achten, dass die Transferfunktion des geschlossenen Regelkreises, die Closed-loopTransferfunktion, keine Pole in der rechten Halbebene aufweist.
30
2. S EISMISCHE I SOLATION
r
G
K
+
Σ
-
y
Maschine
Regler
1
Sensor
Abbildung 2.11: Closed-Loop Regelkreis
Abbildung 2.11 zeigt einen solchen Closed-Loop-Regelkreis.
Als Closed-loop-Transferfunktion bezeichnet man die Transferfunktion vom Referenzeingang r
zum Maschinen-Ausgang y:
Hcl (s) =
Y (s )
R (s)
=
K G (s)
1 + K G (s)
(2.29)
Im Allgemeinen ist auch die Verstärkung K des Reglers eine Funktion der Frequenz, man spricht
deshalb auch von einem Filter. Da jedoch in den Gleichungen die Verstärkung K stets als Produkt mit G (s) auftritt, kann man die Frequenzabhängigkeit von K auch auf die Funktion G (s)
übertragen.
Für die Pole der Transferfunktion gilt:
1 + K G (s) = 0
) jK G (s) j = 1
und
arg (G (s) = 180Æ )
(2.30)
Ein System, in dem alle Pole in der linken Halbebene (ℜ (s) < 0) liegen, ist stabil. Liegt ein Pol
oder mehrere Pole in der rechten Halbebene (ℜ (s) > 0), so ist das System instabil. Im neutral
stabilen Fall liegt ein Pol auf den Imaginärachse der s-Ebene (ℜ (s) = 0).
Variiert man die Verstärkung K des Reglers, so wandern die Pole der Closed-Loop-Transferfunktion über die s-Ebene. Wenn sie den Punkt der neutralen Stabilität passieren, kennzeichnet das den
Übergang des Systems vom stabilen in den instabilen Zustand oder umgekehrt.
Der neutral stabile Punkt eines Pols liegt, wie schon erwähnt, auf der Imaginärachse der s-Ebene.
Durch messen der Frequenzantwort des Open-Loop-Systems kann man diesen Punkt bestimmen.
31
2.3 Grundlagen der Regelungstechnik
Amplitude (dB)
10
6Verstärkungreserve
?
0
−10
−20
−30
−40
−50
Frequenz (Hz)
Phase (Grad)
0
−50
6
?
−100
−150
Phasenreserve
−200
−250
−1
10
0
10
1
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 2.12: Veranschaulichung der Amplituden- und Phasenreserve
Misst man die Frequenzantwort für die Frequenz ω eines Systems, so bestimmt man den Wert von
H (s) für s = iω . Aus Formel 2.30 sieht man, dass das System genau dann neutral stabil ist, wenn
für eine bestimmte Frequenz die Verstärkung jK G (s) j den Wert eins hat und gleichzeitig die
Phase arg (G (s)) 180Æ beträgt. Ein Pol liegt dann genau auf der Imaginärachse der s-Ebene. Die
Frequenz, für die jK G (s) j = 1 gilt, für die also die Open-Loop-Verstärkung den Wert 1 annimmt,
nennt man die Unity-Gain-Frequenz.
Erhöht man von dieser Situation ausgehend die Verstärkung, so wandert der Pol in die rechte Halbebene der s-Ebene und das System wird unstabil. Umgekehrt wandert der Pol bei Verringerung
der Verstärkung in die linke Halbebene.
Damit ein Feedback-Regelkreis stabil ist, muss die Phase der Open-Loop-Transferfunktion an
der Unity-Gain-Frequenz (oberhalb von 180Æ liegen. Den Abstand der Phase bei der UnityGain-Frequenz von dem Wert 180Æ nennt man Phasenreserve. Die Phasenreserve gibt an, wie
weit sich die Phase in für die Stabilität ungünstiger Weise ändern kann, ohne dass der Regelkreis
unstabil wird. In der Praxis sollte die Phasenreserve eines Regler mindestens 60Æ betragen, da sich
Verstärkungs- und Phasenverlauf der Elemente des Regelkreises im Betrieb ändern können. Wählt
man die Phasenreserve zu knapp, wird der Regler durch solche Änderungen eventuell unstabil.
Ein weiterer charakteristischer Wert für die Stabilität eines Regelkreises ist die Verstärkungsreserve. Um diesen Wert zu bestimmen, betrachtet man die Frequenz, für die die Phase der OpenLoop-Verstärkung den Wert 180Æ erreicht. Den Abstand der Verstärkung zum Wert von 0 dB
32
2. S EISMISCHE I SOLATION
an diesem Punkt bezeichnet man als Verstärkungsreserve. Der Wert gibt an, wie weit die OpenLoop-Verstärkung ansteigen kann bis der Regler den neutral stabilen Punkt erreicht.
Die Bestimmung der Stabilitätsgrenzen eines Regelkreises mittels Betrachtung von Phasen- und
Verstärkungsreserve ist jedoch nur gültig für Systeme mit relativ einfachen Verstärkungsverläufen:
Die Verstärkungsverlauf darf nur einmal den Wert 1 kreuzen.
Betrachtet man kompliziertere Systeme, so muss man ein allgemeineres Kriterium heranziehen:
Das Nyquist-Stabilitätskriterium [5] erlaubt es, für Regelkreise mit beliebiger Open-Loop-Transferfunktion die Anzahl Pole der Closed-Loop-Transferfunktion in der rechten Halbebene zu bestimmen.
2.3.4 Feedforward-Steuerung
Eine weitere Methode, eine Größe zu kontrollieren, ist das Feedforward. Bei den oben erläuterten
Feedback-Reglern wurde das Ausgangssignal der zu regelnden Maschine mit einem Sensor detektiert und das daraus erzeugte Regelsignal auf den Eingangs der Maschine gegeben (s. Abb.2.10).
Das Feedforward-Prinzip unterscheidet sich davon, indem hier nicht das Ausgangssignal detektiert wird. Stattdessen wird die auf die Maschine einwirkende Störung w detektiert. Kennt man
die Transferfunktion B, mit der die Störung sich auf den Eingang der Maschine fortpflanzt, so kann
man ein geeignetes Regelsignal auf das Eingangssignal der Maschine addieren, die diese Störung
gerade kompensiert. Abbildung 2.13 zeigt eine Prinzipskizze eines Feedforward-Steuerkreises.
r
1=G
B
G
+
+
Störung w
Σ
1
K=B
Sensor
Regler
y
Maschine
Abbildung 2.13: Prinzipskizze Feedforward
Ein Vorteil dieser Methode gegenüber dem Feedback ist, das es keine Probleme mit der Stabilität des Reglers gibt. Es gibt hier keine Closed-Loop-Transferfunktion, die trotz stabil gewählter
Open-Loop-Transferfunktion unstabil werden kann.
2.3 Grundlagen der Regelungstechnik
33
Um eine wirkungsvolle Störungsunterdrückung zu erreichen, muss jedoch die Transferfunktion
B sehr genau bekannt sein. Sowohl Phase als auch Verstärkung der Reglertransferfunktion K
müssen für den gewählten Regelbereich mit der Funktion B übereinstimmen. Je mehr die im
Regler implementierte Transferfunktion K von der Transferfunktion B abweicht, desto größer ist
die verbleibende Störung nach Subtraktion der Signale.
Außerhalb der Regelbandbreite, wo die Phasenbeziehung zwischen K und B nicht mehr stimmt,
muss K auf sehr kleine Werte abfallen, damit der Regler kein zusätzliches Rauschen eingefügt.
2.3.5 Sampling zeitkontinuierlicher Signale
Der Regler, der für die in Abschnitt 3.2 dargestellte aktive seismische Isolation benutzt wird, wird
mittels eines Digital Signal Processors (DSP) digital implementiert. Am Eingang des DSP liegt
ein analoges Signal an, das erst digitalisiert werden muss, bevor es im DSP verarbeitet werden
kann. Nach der Bearbeitung muss das digitale Signal wieder in ein analoges zurückgewandelt
werden. Sowohl bei der Analog-Digital-Wandlung (AD-Wandlung), dem sogenannten Sampling,
als auch bei der Digital-Analog-Wandlung (DA-Wandlung) sind einige Dinge zu beachten, um das
Signal durch diese Prozessen nicht unbrauchbar zu machen.
Zunächst soll die sogenannte AD-Wandlung betrachtet werden. Sie dient dazu, ein analoges,
zeitkontinuierliches Signal in ein digitales, zeitdiskretes zu überführen. Das analoge Signal nennt
man zeitkontinuierlich, weil man den Wert für jeden beliebigen Zeitpunkt bestimmen kann. Das
digitale Signal ist dagegen zeitdiskret: Es liegen nur Werte des Signals für bestimmte Zeitpunkte
vor. Zwischen diesen Zeitpunkten ist der Wert des Signals nicht definiert.
Will man ein analoges Signal in ein digitales Signal überführen, so misst man zu festgelegten Zeitpunkten t0 ; t1 ; t2 ; den Wert des Signals und repräsentiert diesen durch eine Zahl. Diesen Prozess
nennt man Sampling. Normalerweise sind die Zeitintervalle zwischen den Messungen gleichgroß.
Dann kann man dem Prozess des Sampling eine Frequenz fs = T1 zuordnen, wobei T die Zeit zwischen zwei Messungen ist. Zu beachten ist nun, dass man mit einer festgelegten Samplingfrequenz
nur Signale darstellen kann, deren Frequenzspektrum auf einen bestimmten Frequenzbereich beschränkt ist. Durch den Prozess des Digitalisierens lassen sich Komponenten mit der Frequenz f1
und f1 + fs nicht mehr voneinander unterscheiden. Abbildung 2.14 veranschaulicht diese Tatsache:
Die Abbildung zeigt zwei zeitkontinuierliche Signale, eines mit der Frequenz 0.5 Hz (durchgezogene Linie) und eines mit der Frequenz 1.5 Hz (gestrichelt). Nun wählt man die Samplingfrequenz
1 Hz, d.h. man tastet die Signale mit einem zeitlichen Abstand von 1 Sekunde ab. Wie zu sehen ist,
unterscheidet sich zu keinem Samplezeitpunkt (schwarze Kreise) das Signal mit der Frequenz 0.5
Hz von dem mit der Frequenz 1.5 Hz. Dies gilt allgemein für Frequenzkomponenten, die sich um
die Samplingfrequenz unterschieden. Betrachtet man den Signalwert eines Signals S1 (t ) = ei2π f1 t
mit der Frequenz f1 zu den Sample-Zeitpunkten n T = nfs , wobei n die Samplezeitpunkte durchnummeriert, und vergleicht diesen mit den Werten eines Signals S2 (t ) = ei2π( f1 + fs )t , so ergibt sich:
34
2. S EISMISCHE I SOLATION
1
0.8
0.6
0.4
Amplitude
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
Zeit (t)
Abbildung 2.14: Aliasing bei AD-Wandlung
S1
n
fs
ei2π f
i2π f
= S0 e
e|i2π{zf
n
1 fs
= S0
n
1 fs
n
s fs
}
1
= S0
e
i2π( f1 + fs ) fns
= S2
(2.31)
n
fs
Man sieht, dass das Signal S1 (t ) zu jedem Samplezeitpunkt n T dem Wert des Signals S2 (t )
entspricht, das sich in der Frequenz gerade um die Samplefrequenz fs von S1 (t ) unterscheidet.
Will man also ein analoges Signal digitalisieren, so muss sich das Frequenzspektrum des Signals
auf das Intervall ( fs =2; fs =2) beschränken. Anderenfalls addieren sich die um den Wert fs entfernten Frequenzkomponenten zu dem im Intervall befindlichen Frequenzwert. Die Frequenz fs =2
nennt man Nyquist-Frequenz. Abbildung 2.15 zeigt das Frequenzspektrum eines Signals, das zwischen -1.5 Hz und 1.5 Hz von Null verschieden ist. Abbildung 2.16 zeigt, was geschieht, wenn
man das Signal (Strich-Punkt-Linie) mit einer zu niedrigen Samplingfrequenz von 1 Hz abtastet: Hochfrequente Anteile (gepunktete Linien) werden in das Intervall zwischen -1 Hz und 1
Hz gespiegelt und addieren sich auf das eigentliche Signal. So ergibt sich ein Signal mit dem als
durchgezogene Linie dargestellten Spektrum.
Dieses Auftreten hochfrequenter Anteile des Spektrums bei niedrigen Frequenzen nennt man
Aliasing. Um diesem Effekt vorzubeugen, wird das analoge Signal zuerst durch einen Tiefpassfil-
35
2.3 Grundlagen der Regelungstechnik
1
0.9
1
0.8
0.9
0.7
Amplitude
Amplitude
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
-1.5
0.6
-1
-0.5
0
0.5
1
0
-6
1.5
-4
-2
0
2
4
6
Frequenz (Hz)
Frequenz (Hz)
Abbildung 2.15: Aliasing: Analoges
Signal
Abbildung 2.16: Aliasing: Spiegelung hochfrequenter
Komponenten in das Intervall ( 1Hz; 1Hz)
ter geschickt, bevor es auf den AD-Wandler gegeben wird. Dieser Filter, auch Anti-Aliasing-Filter
genannt, soll das Spektrum des Signals außerhalb des Intervalls ( fs =2; fs =2) so stark abschwächen, dass die zurückgespiegelten Frequenzkomponenten vernachlässigbar klein sind.
1
0.8
0.6
Amplitude
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Zeit (s)
Abbildung 2.17: Treppenbildung durch DA-Wandlung
Bei der Rückwandlung eines digitalen Signals in ein analoges tritt ein weiteres Problem auf: Wie
schon erwähnt, ist enthält die digitale Darstellung nur Informationen über das Signal zu den Samplezeitpunkten n T , zu anderen Zeiten ist es unbekannt. Ein DA-Wandler, der ein digitales Signal
in ein analoges wandelt, setzt sein Ausgangssignal im zeitlichen Abstand T auf den entsprechenden Wert des digitalen Signals und hält den Wert für die Dauer T konstant. Das führt dazu, das das
Ausgangssignal Stufen der Zeitdauer T enthält. Abbildung 2.17 veranschaulicht diesen Effekt.
36
2. S EISMISCHE I SOLATION
Da diese Stufen aus Frequenzanteilen bestehen, die höher liegen als die Komponenten des eigentlichen Signals, das ja auf das Intervall ( fs =2; fs =2) beschränkt ist, kann man sie entfernen,
indem man das Signal nach der DA-Wandlung durch einen Tiefpassfilter schickt. Dieser Filter
wird Anti-Imaging-Filter genannt.
Kapitel 3
Experimenteller Aufbau
3.1 Experimenteller Aufbau
Die hier beschriebene aktive seismische Isolation soll den Messresonator eines Experiments zur
Messung von thermischem und Strahlungsdruckrauschen vor seismischer Anregung schützen. Auf
den Aufbau dieses Experiments wird hier nur kurz eingegangen und ein Überblick vermittelt. Eine
detaillierte Beschreibung ist in [10] zu finden. Grundlagen über die zu untersuchenden Rauschquellen finden sich auch in [16] und [9].
Zentraler Bestandteil des Experiments ist ein optischer Resonator, der aus zwei Spiegeln gebildet
wird. Mit Hilfe dieses Resonators soll das thermische Rauschen der Spiegel gemessen werden.
In einem weiteren Schritt soll dann das auf die Spiegel wirkende Strahlungsdruckrauschen vermessen werden. Hierzu wird die Frequenz eines Lasers und die Länge des optischen Resonators
mit Hilfe einer Pound-Drever-Hall-Regelung aneinander gekoppelt. Bewegungen des Spiegels
werden so im Regelsignal sichtbar und können zur Messung des thermischen Rauschens und des
Strahlungsdruckrauschens dienen. Allerdings müssen die zu untersuchenden Rauschquellen die
Spiegelbewegung dominieren. Deshalb ist eine gute seismische Isolation notwendig, da sonst die
Spiegelbewegung von der seismischen Anregung bestimmt wird. Eine Skizze des Aufbaus ist in
Abbildung 3.1 zu sehen.
Der optische Resonator, an dem die Messung durchgeführt wird, wird in einem Vakuumtank aufgehängt. Der Betrieb unter Vakuum ist nötig, da ansonsten das Gasdruckrauschen die zu untersuchenden Rauschquellen verdeckt. Im Tank wird ein Druck von etwa 10 9 mbar angestrebt. An
den Tankwänden sind drei Stützen angebracht, jeweils im Winkel von 120Æ zueinander. Jede der
drei Stützen trägt einen Stack. Jeder dieser Stacks enthält sowohl die gesamte aktive seismische
Isolation als auch Teile der passiven seismischen Isolation. Eine detaillierte Ansicht eines Stacks
liefert Abbildung 3.2.
Oberhalb der Bodenplatte des Stacks befindet sich der Piezo, auf dem eine Metallhalterung festgeschraubt ist. Diese trägt die zwei Geophone, die die Messsignale für die horizontale Isolation
liefert. Oberhalb dieses Geophonhalters befindet sich ein zylindrischer Metallblock, in den das
37
38
3. E XPERIMENTELLER AUFBAU
Vakuumtank
Blattfedern
Rotational-Stage
Stack-Stabilizer
obere Masse
stack
Rahmen
Zwischenmasse
Fenster
Laserstrahl
Spiegel 1
Spiegel 2
Abbildung 3.1: Experimenteller Aufbau
Geophon für die vertikale Regelung montiert ist. Oberhalb davon schließt sich die Gummilage der
passiven Isolation an: Drei zylinderförmige Gummistücke tragen einen weiteren Metallzylinder,
auf den die Deckplatte des Stacks montiert ist. Die Gummistücke bilden zusammen mit dem auf
ihm lastenden Gewicht einen Oszillator, der Erschütterungen oberhalb seiner Resonanzfrequenz
abschwächt. Die Komponenten des Stacks sind von zwei Metallschläuchen, auch Bälgen genannt,
umschlossen. Einer umgibt den Piezo und den Geophonhalter, dieser ist an der Bodenplatte und
der Masse mit dem vertikalen Geophon verschweißt. Der andere Balg umgibt den Bereich mit
der Gummilage und ist ebenfalls an der Masse mit dem Geophon und der Deckplatte verschweißt.
Einen Überblick über die Anordnung der Komponenten im Stack gibt Abbildung 3.2. Die Geophone und der Piezo sowie deren Funktionsweise werden in Abschnitt3.2 genauer beschrieben.
Die Stacks müssen für den endgültigen Betrieb abgepumpt werden, da sie sich in dem dann
ebenfalls evakuierten Vakuumtank befinden. Ein größerer Luftdruckunterschied zwischen dem
Stackinneren und der Umgebung würde den Stack unbeweglich machen. Jeder Stack besitzt in
der Bodenplatte einen Flansch, der über einen Metallschlauch mit einem Flansch in der Vakuum-
39
3.1 Experimenteller Aufbau
Rotationsgelenk
Gummidämpfer
Zwischenmasse
Balg
Geophon z-Richtung (vertikal)
Geophon x-Richtung (horizontal)
Geophon y-Richtung (horizontal)
Piezo
Bodenplatte
z
y
x
Flansch
Abbildung 3.2: Detailansicht eines Stacks
tankwand verbunden ist. Über diesen Flansch können die Stacks abgepumpt werden. Hier wird
ein Luftdruck von etwa 10 2 mbar angestrebt. Das Erreichen niedrigerer Werte ist kaum möglich,
da einige Materialien des Piezos auf Grund ihrer hohen Ausgasrate nicht hochvakuumkompatibel
sind. Diese hohe Rate, mit der die Komponenten im Innern Gas abgeben, ist auch der Grund,
warum das Innere des Stacks durch die Metallschläuche vom Hochvakuum des Tanks getrennt
sind: Ein Druck von nur 10 9 mbar im Vakuumtank wäre sonst nicht realisierbar.
An den Oberseiten der Stacks befinden sich flexible Halterungen, die um die vertikale Rotationsachse beweglich sind. Diese Halterungen der drei Stacks sind durch einen fünfeckigen Metallrahmen, der Stack-Stabilizer genannt wird, miteinander verbunden. Auf diesem Metallrahmen ruht, gestützt auf drei Lager, ein weiterer, ähnlich geformter Metallrahmen. Dieser Rahmen,
Rotational-Stage genannt, kann gegenüber dem Stack-Stabilizer um die vertikale Achse gedreht
werden. Dadurch kann eine Justierung der an ihm hängenden Spiegel durchgeführt werden. An
der Rotational-Stage sind zwei Blattfedern befestigt, von deren Spitze jeweils ein Draht zu einem quaderförmigen Metallblock führt, der obere Masse genannt wird. Die Pendelschwingungen
dieser Masse wird auf der Resonanz elektronisch gedämpft. Dazu sind sechs Magnete an ihr befestigt, auf die über an der Rotational-Stage angebrachte Spulen Kräfte ausgeübt werden können.
An der oberen Masse hängen zwei Metallblöcke, die Zwischenmassen genannt werden. Auf diese
werden ebenfalls über Magneten und am Rahmen befestigte Spulen Dämpfungskräfte ausgeübt.
40
3. E XPERIMENTELLER AUFBAU
An jeder der beiden Zwischenmassen hängt jeweils ein Spiegel. Beide Spiegel zusammen bilden
den optischen Resonator, der zur Vermessung der Rauschquellen benutzt wird.
Dieser Aufbau enthält mehrere Komponenten der passiven seismischen Isolation. Er gewährleistet
dadurch eine starke Unterdrückung von seismischer Anregungen hoher Frequenzen (> 20 Hz) auf
die Spiegel. Die Blattfedern der Rotational-Stage bilden zusammen mit der an ihnen befestigten
Masse einen Oszillator, der vertikale Anregungen dämpft. Die insgesamt drei Pendelstufen (obere
Masse, Zwischenmasse und Spiegel) sorgen für horizontale seismische Isolation. Außerdem gibt
es noch eine weitere Stufe passiver vertikaler und horizontaler Isolation durch die Gummilagen
in den Stacks, und schließlich soll die aktive Isolation Anregungen mit niedrigen Frequenzen (0.1
bis 30 Hz) unterdrücken.
Große Teile des Aufbaus sind identisch mit Komponenten, die für den Gravitationswellendetektor
GEO600 [3] verwendet werden. Sowohl der Tank, als auch die Stacks sowie Stack-Stabilizer und
Rotational-Stage werden in derselben Form für den Gravitationswellendetektor verwendet. Auch
die Spulen/Magnet-Paare und deren Ansteuerung für die Dämpfung der Pendelresonanzen von
oberer Masse und Zwischenmasse wurden ursprünglich für GEO600 entwickelt.
3.2 Aufbau der aktiven seismischen Isolation
Die aktive seismische Isolation enthält zwei verschiedene Arten von Kontrollsystemen:
Feedback-Regelkreise
Feedforward-Steuerkreise
Als Aktuator wird ein 3-D-Piezo-Stellelement benutzt, das sich durch Anlegen einer elektrischen
Spannung an seinen drei Signaleingängen in allen drei Raumrichtungen stauchen und strecken
lässt. Die aktive Regelung funktioniert nun folgendermaßen: Durch Anlegen eines entsprechenden
Signals aus dem Feedforward- und dem Feedback-Regelkreis soll der Piezo so verformt werden,
dass eine Anregung auf die Bodenplatte des Piezos gerade kompensiert wird, d.h. dass die Oberseite des Piezos sich nicht bewegt, obwohl die Unterseite des Piezos durch seismische Anregung
in Bewegung ist.
Die Feedback-Regelkreise benutzen Geophone mit einer mechanischen Resonanzfrequenz von 2
Hz als Sensoren. Eine genauere Beschreibung der Geophone erfolgt in Kapitel3.2.1. Diese Sensoren befinden sich auf den Piezo-Aktuatoren. Sie messen somit, wie bei einer Feedbackregelung
üblich, das Fehlersignal, was in diesem Fall die Bewegung der Oberseite des Piezos ist. Abbildung
3.3 zeigt den schematischen Aufbau des Feedback-Regelkreises.
Die Feedforward-Steuerkreise benutzen Geophone eines anderen Typs. Diese Geophone haben
eine Resonanzfrequenz von 1 Hz und sind auf dem Boden neben dem Tank befestigt. Sie messen
also direkt die seismische Anregung, ohne dass diese von dem Aktuator gedämpft wird. Abbildung
3.4 zeigt den schematischen Aufbau der Feedforward-Steuerung.
41
3.2 Aufbau der aktiven seismischen Isolation
Seismisches
Rauschen
+
Piezo
Σ
-
HV-Verstärker
Geophon
Verteiler
DSP
Vorverstärker
Abbildung 3.3: Schema Feedback-Regelung
Seismisches
Rauschen
Piezo
+
Σ
HV-Verstärker
Geophon
Vorverstärker
DSP
Verteiler
Abbildung 3.4: Schema Feedforward-Steuerung
Es gibt neun Feedback-Regelkreise: Jeder der drei Stacks enthält drei Regelkreise für alle drei
Raumrichtungen. Die Feedforward-Steuerung benutzt insgesamt nur zwei Sensoren, und zwar für
die beiden horizontalen Richtungen x und y. Jedes dieser beiden Signale wird für alle drei Stacks
benutzt. In vertikaler Richtung erfolgt keine Isolation durch Feedforward.
Abbildung 3.5 gibt einen Überblick über die Anordnung aller wichtigen Komponenten beider
Regelkreise.
42
3. E XPERIMENTELLER AUFBAU
Vakuumtank
passive Isolation
Vorverstärker
DSP
2-Hz-Geophone
Feedback
Verteiler
IN
IN
OUT OUT
OUT
OUT DIG
IN
DISTRIB
COMM C40
COMM C40
RS232
RS232
IN
OUT DIG
OUT
DSP DSP
3-D-Piezo
Feedforward
z
x
1-Hz-Geophone
y
Erdboden
Abbildung 3.5: Prinzipskizze der seismischen Isolation
3.2.1 Sensoren und Vorverstärker
Als Sensoren der aktiven seismischen Isolation werden kommerziell erhältliche Geophone der
Firma MARK Products verwendet. Diese Geophone sind Geschwindigkeitssensoren. Ihre wesentlichen Komponenten sind ein Dauermagnet, eine Spule und eine Feder. Der Magnet ist fest mit
dem Gehäuse verbunden. Die Spule ist mittels der Feder im Feld des Magneten befestigt. Spule,
Feder und Magnet bilden einen mechanischen harmonischen Oszillator. Eine Skizze des Aufbaus
ist in Abbildung 3.6 zu sehen.
Wird das Gehäuse durch seismische Erschütterungen bewegt, so folgt die Spule der Anregung mit
43
3.2 Aufbau der aktiven seismischen Isolation
einer Phasenverzögerung. Durch die resultierende Relativbewegung vr von Spule und Magnet wird
in der Spule eine Spannung U induziert. Relativbewegung und Spannung sind zueinander proporSpannung
ist.
tional, sodass U = A vr gilt, wobei A eine Kalibrationskonstante mit der Einheit Geschwindigkeit
Die Spannung U ist das Messsignal des Geophones.
Gehäuse
Feder
Spule
Magnet
Messsignal
Abbildung 3.6: Prinzipskizze Geophon
Für die Relativbewegung vr gilt:
vr = ẋ
ẋ0
= i2π f (x
x0 ) = i2π f x0
= i2π f x0
x
x0
1
1
(2π f0 )
= i2π f x0
= i2π f x0
x
x0
2
!
2
2π f
(2π f ) + iγ m + (2π f0 )
(2π f )
2
2
2
(3.1)
1
iγ 2πmf
2π f
2
(2π f ) + iγ m + (2π f0 )
wobei x die Position der Spule, x0 die Position des Magneten (und damit auch des Gehäuses) ist,
f2
sowie xx0 = 2 0 f
2 die Transferfunktion eines harmonischen Oszillators mit Resonanzfref
+iγ 2πm + f0
quenz f0 und der Dämpfungskonstanten γ.
Die Transferfunktion der Geophone von der Auslenkung des Gehäuses x0 zur anliegenden Spannung V = A vr an der Spule lautet also:
44
3. E XPERIMENTELLER AUFBAU
TGeophone ( f ) =
A Vr
X0
= i2π f A
= i2π f A
f2
f
iγ 2πm
f
f 2 + iγ 2πm
+ f02
f2
(3.2)
i fQf0
f 2 + i fQf0 + f02
Hierbei ist f0 die Resonanzfrequenz und Q die Güte des Systems Spule-Feder-Magnet. Abbildung
3.7 zeigt die Transferfunktion eines Geophones mit der Resonanzfrequenz f0 = 1 Hz und der Güte
Q = 0; 7.
Amplitude (dB)
50
0
−50
Frequenz (Hz)
Phase (Grad)
100
80
60
40
20
0
−1
10
0
1
10
10
2
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 3.7: Transferfunktion der Geophone mit 2 Hz Resonanzfrequenz
Für die beiden Regelungen der aktiven seismischen Isolation werden unterschiedliche Ausführungen der Geophone benutzt:
Für die Feedback-Regelung kommen Geophone mit einer mechanischen Resonanzfrequenz
von 2 Hz zum Einsatz. Diese Geophone haben den Vorteil, dass sie eine sehr kompakte
Bauform besitzen. Dies ist von Bedeutung, da die Geophone auf den Piezo montiert werden,
der sich innerhalb eines Metallschlauchs befindet, wo nur sehr wenig Platz zur Verfügung
steht. Der Q-Wert der Geophon-Resonanz beträgt etwa 0,7. Bei den benutzten Geophonen
hat die Konstante A Werte zwischen 28 und 32 mV=s .
3.2 Aufbau der aktiven seismischen Isolation
45
Die Geophone für die Feedforward-Steuerung besitzen eine mechanische Resonanzfrequenz
von 1 Hz. Diese niedrigere Resonanzfrequenz ist ein entscheidender Vorteil, wenn man
Anregungen mit sehr niedrigere Frequenz (bis zu 0.1 Hz) detektieren will. Wie man an der
Transferfunktion der Geophone (Gleichung 3.2) sieht, fällt das Signal für kleine Frequenzen
ab. Die Resonanzfrequenz von 1 Hz ist allerdings nur auf Kosten einer größeren Bauform
und eines höheren Gewichts zu erreichen. Da die 1-Hz-Geophone jedoch neben dem Tank
auf dem Boden montiert werden, ist dies kein gravierender Nachteil.
Die in den Geophonen induzierte Spannung beträgt nur einige Millivolt, sodass sie ohne vorherige
Verstärkung nicht im DSP (Digital Signal Processor) verarbeitet werden kann. Der benutzte Verstärker basiert im wesentlichen auf dem Operationsverstärker INA 103, einem besonders rauscharmen Verstärkerbaustein, der für eine Verstärkung von 60 dB optimiert ist. Die bei dieser hohen
Verstärkung auftretenden Offset-Spannungen an Ausgang werden beseitigt, indem das Ausgangssignal AC-gekoppelt abgegriffen wird. Eine weitere Maßnahme, die die Störanfälligkeit des sehr
schwachen Signals verringert, ist der differentielle Betrieb des INA 103. Das Ausgangssignal des
Verstärkers ist proportional zur Differenz der beiden Eingänge. Werden in dem Zuleitungskabel
Störungen induziert, so wirken sie auf beide Drähte des Kabels gleichmäßig. Die Differenz zwischen den Signalen der beiden Drähte bleibt dabei konstant, und damit wir das Signal hinter dem
Verstärker nicht beeinflusst.
Hinter dem ersten Verstärker folgen noch zwei weitere Verstärkungsstufen, die jedoch nicht linear
sind, sondern Filter enthalten. Diese Verstärkerstufen sind mit Standardkomponenten (OP07 und
LF356) realisiert. Den Sinn der Filter in den Verstärkern wird klar, wenn man die Transferfunktion
der Geophone in Abbildung 3.7 betrachtet. Unterhalb der mechanischen Resonanzfrequenz der
Geophone steigt die Resonanzfrequenz näherungsweise proportional zu f3 , oberhalb der Resonanz
bei 2 Hz mit f . Die AC-Kopplung des Verstärkers fügt eine weitere Nullstelle bei 0 Hz hinzu. Es
ergibt sich also folgender Frequenzverlauf:
unterhalb der Resonanz: proportional f4
oberhalb der Resonanz: proportional f2
Für die weitere Bearbeitung des Signals ist es vorteilhafter, wenn die Amplitude der Transferfunktion des Systems keine so starke Abhängigkeit von der Frequenz hat. Deshalb besitzen die
oben angesprochenen Verstärkerstufen je einen Pol mit der Eckfrequenz 0.7 Hz, sodass die Frequenzantwort oberhalb von 2 Hz konstant ist.
Der schematische Aufbau der Schaltung ist in Anhang A zu finden.
3.2.2 DSP-Board
Die Implementierung weiterer Filter für die Regelkreise erfolgt mit Hilfe digitaler Signalverarbeitung. Es wird ein DSP-Board (Digital Signal Processing Board) verwendet, das die Signale der
46
3. E XPERIMENTELLER AUFBAU
Sensoren digitalisiert, das Signal weiterverarbeitet und schließlich wieder in ein analoges Signal
zurückwandelt, das dann auf die Aktuatoren gegeben werden kann.
Die benutzten DSP-Boards stammen von der Firma DIGISONIX. Der DSP ist ein TMS320C40
Prozessor von Texas Instruments, der mit einer Taktrate von 50 MHz betrieben wird. Jedes Board
besitzt 8 Eingänge sowie 8 Ausgänge mit 16 Bit Auflösung. Der Spannungsbereich des Analogeingangs ist 7 Volt. Das erzeugte Ausgangssignal liegt zwischen +3 Volt und -3 Volt. Sowohl
Eingang als auch Ausgang besitzen einen Butterworth-Tiefpassfilter 4. Ordnung. Am Eingang
dient dieser als Anti-Alias-Filter, am Ausgang als Anti-Image-Filter. Die Notwendigkeit und
Funktionsweise dieser Filters wurde in Abschnitt 2.3.5 beschrieben.
Die benutzte Samplefrequenz beträgt 5 KHz. Das Board lässt sich über eine serielle RS-232Schnittstelle mit einem Computer programmieren. Für die seismische Isolation werden 9 Kanäle
für die Feedback-Regelkreise benötigt (6 horizontal, 3 vertikal), sowie zwei weitere Kanäle für die
Feedforward-Steuerung (beide horizontal). Es werden also zwei DSP-Boards benötigt. Im ersten
Board werden alle acht horizontalen Regelungen implementiert, im zweiten die drei vertikalen
Regelungen.
3.2.3 Verteiler
Der Verteiler erhält die Signale von den Vorverstärkern und leitet sie an den DSP weiter. Von dort
gelangen sie zurück zum Verteiler. Die Signale werden um den Faktor 16 verstärkt und durch
zwei Tiefpassfilter mit Eckfrequenzen von 5 Hz bzw. 35 Hz geschickt. Außerdem wird das Signal
um einen Offset von 5 Volt erhöht. Die Verstärkung ist notwendig, da der DSP nur eine Spannung
von maximal 3 Volt liefern kann, der nachfolgende HV-Verstärker aber einen Eingangsbereich von
0 bis 10 Volt besitzt. Die Ansteuerung der Piezos kann nur mit positiven Spannungen von 0 bis
200 Volt geschehen. Deshalb ist das Addieren einer Offsetspannung nötig. Der Tiefpass bei 35
Hz soll hochfrequente Störungen vom Piezo fernhalten.
Der schematische Aufbau der Schaltung ist in Anhang A zu finden.
3.2.4 Piezo-Aktuatoren und HV-Verstärker
Als Aktuatoren werden 3-D-Piezos benutzt, die von der Firma MARCO hergestellt wurden. Sie
sind für eine vertikale Belastung von 75 kg ausgelegt und haben in jeder der drei Raumrichtungen
einen dynamischen Bereich von 50µm, wobei eine Ansteuerspannung U0 von 0 bis 200 Volt
angelegt werden kann.
Dieser große dynamische Bereich von 100 µm kann nicht direkt durch Verformung eines Piezos
erreicht werden. Deshalb wird ein sogenannter Doppelstapel-Antrieb verwendet.
Abbildung 3.8 zeigt das Funktionsprinzip dieses Antriebs: Zwei gegeläufig angesteurte Piezos
bewegen einen Hebel, der die benötigte Auslenkung von bis zu 50 µm in beiden Richtungen zur
47
3.2 Aufbau der aktiven seismischen Isolation
Piezo 1
Piezo 2
Hebel
100µm
Gelenk
U2 = 200 V
U0
U1 = U0
Abbildung 3.8: Aufbau des Piezo-Aktuators
Verfügung stellt. Als gegenläufige Ansteuerung bezeichnet man das Anlegen der Ansteuerspannung U0 an den einen Piezo, sowie das Anlegen von der Maximalspannung 200 V minus der
Ansteuerspannung U0 an den anderen Piezo. Variiert man die Spannung U0 , so wird ein Piezo
kontrahiert, während der andere Piezo gestreckt wird. In der Mittelstellung des Hebels liegt am
Signaleingang des Piezos eine Spannung von 100 Volt an. Beide Piezos sind durch die anliegende
Spannung von je 100 Volt um die gleiche Länge gestreckt, und durch die Längengleichheit der
Piezos befindet sich der Hebel in der Mitte. Soll der Hebel nun angehoben werden, so wird die
Spannung am Signaleingang erhöht. Durch die damit verbundene Erhöhung von U1 wird Piezo
1 weiter gestreckt, während Piezo 2 durch das Absinken von U2 an Länge verliert. Die unterschiedliche Länge führt zu einer Rotation des an den Piezos befestigtem Hebel um die Achse des
Gelenks. Das aus dem Gehäuse ragende Ende des Hebels hebt sich dadurch an.
Außer dem hohen dynamischen Bereich bietet der Doppelstapelantrieb weitere Vorteile: Durch
den symmetrischen Aufbau ist der Antrieb stabil gegen Driften der Piezolänge, die z.B. thermisch
bedingt sein können. Solange sich solche Driften auf beide Piezos gleich auswirken, entsteht kein
Drehmoment um die Gelenkachse, und der Hebel bleibt in seiner Position.
Angesteuert werden die Piezo-Stellelemente über je einen HV-Verstärker, die wie die Aktuatoren
von der Firma MARCO hergestellt wurden. Sie verstärken das Ausgangssignal des Verteilers, das
zwischen 0 und 12 Volt liegt, um 26 dB. So wird der dynamische Bereich der Piezos von 0 bis 200
Volt erreicht.
Kapitel 4
Messungen zur aktiven seismischen
Isolation
4.1 Seismisches Rauschen im Labor
Aufbau
Zur Messung des seismischen Rauschens im Labor wurden die 2-Hz-Geophone verwendet. Es
wurde jeweils ein Geophon mit horizontaler Achse und ein Geophon mit vertikaler Achse an
der Stelle des Labors mit doppelseitigem Klebeband auf dem Boden befestigt, an der später der
Vakuumtank aufgestellt werden soll. Die Signale der Geophone wurden um 60 dB verstärkt.
Mit Hilfe eines FFT-Analysators wurde das Spektrum SV ( f ) des verstärkten Signals gemessen.
Es wurde eine Mittelung über 10 Messungen durchgeführt, um statistische Schwankungen des
Signals zu verringen.
Das gemessene Spektrum ist das Produkt aus den folgender Funktionen:
SSeismik ( f ) : Das Spektrums der seismischen Anregung .
TGeophon ( f ) : Die mechanische Transferfunktion des Geophons mit der Einheit mm=s
A : Der Kalibrationsfaktor des Geophones mit der Einheit mV=s
TVerst ärker ( f ) : Die Transferfunktion des Verstärkers
SV ( f ) = SSeismik ( f ) TGeophon ( f ) TVerst ärker ( f )
Nachdem man also das Messsignal durch die Transferfunktion des Geophons geteilt hat, erhält
man ein Spektrum der seismischen Anregung, das man mit Hilfe der Kalibrationskonstante A des
49
50
4. M ESSUNGEN ZUR AKTIVEN SEISMISCHEN I SOLATION
Geophons kalibrieren kann:
SSeismik ( f ) =
SV ( f )
TGeophon ( f ) A TVerst ärker ( f )
(4.1)
Resultate
Abbildung 4.1 zeigt die gemessenen seismischen Spektren entlang aller drei Raumrichtungen:
Zwei Messungen wurden in horizontaler Richtung durchgeführt (x, y-Richtung), eine weitere in
vertikaler Richtung (z-Richtung). Die Messung fand vormittags an einem Wochentag in einer relativ ruhigen Umgebung statt: Es befanden sich während der Messung keine Personen in der Nähe
der Messgeräte. Die durchgezogene Linie gibt das in Gleichung 1.25 beschriebene seismische
Spektrum an.
−6
10
x-Richtung (vertikal)
y-Richtung (vertikal)
z-Richtung (horizontal)
−7
10
−8
lineare spektrale Dichte pmHz
10
−9
10
−10
10
−11
10
−12
10
−13
10
−14
10
−1
10
0
10
1
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.1: Seismisches Spektrum im Labor
2
10
3
10
51
4.2 Übersprechen bei der Ansteuerung des unbelasteten Piezos
Bewertung der Ergebnisse
Das Spektrum sieht vom Verlauf etwa so aus, wie das Spektrum für einen ruhigen Ort, das in
Abschnitt 1.6 beschrieben wurde. Allerdings verläuft es auf einem etwas höheren Niveau. Die
Ursachen für dieses erhöhte Rauschen sind wohl Erschütterungen, die im weiteren Umkreis der
Messung von Menschen, Autos, laufenden Maschinen usw. erzeugt wurden.
Unterhalb von 10 Hz verläuft das Spektrum auf einem Niveau von etwa 10 8 pmHz . Bei Frequenzen
kleiner als 0,4 Hz sind die Messwerte stark fehlerbehaftet, da die verwendeten 2-Hz-Geophone für
so niedrige Frequenzen kaum noch ein Signal liefern. Das Messsignal ist in diesem Frequenzbereich vom Rauschen dominiert. Durch das Teilen durch die Transferfunktion TGeophon (s. Gleichung 4.1) steigt das Spektrum SSeismik ( f ) an, denn TGeophon geht für niedrige Frequenzen gegen
Null, wie schon in Abbildung 3.7 zu sehen war.
Oberhalb von 10 Hz zeigen die Spektren die typische
Dekade um 40 dB ab.
1
-Abhängigkeit:
f2
Die Werte fallen pro
4.2 Übersprechen bei der Ansteuerung des unbelasteten Piezos
Der für die Regelung benutzte Piezo besitzt für jede der drei Raumrichtungen eine eigene Ansteuerung, sodass ein Bewegen des Piezos in jeder Richtung unabhängig von einer Bewegung in
die anderen Richtungen möglich sein sollte.
Tatsächlich gibt es aber immer ein Übersprechen zwischen den Ansteuerungen der einzelnen Richtungen. Bewegt man zum Beispiel den Piezo in x-Richtung, so wird sich das auch auf die Position
in der y-Richtung auswirken. Diese ungewollte y-Bewegung sollte im Vergleich zur gewünschten
x-Bewegung jedoch sehr klein sein. Den Quotienten zwischen ungewünschter Bewegung entlang
einer Achse und gewünschter Bewegung in Richtung der Ansteuerung nennt man Übersprechen.
Für die Feedback-Regelung ist es sehr wichtig, dass sich die Achsen des Piezos möglichst gut
unabhängig voneinander ansprechen lassen. Jede der drei Achsen besitzt einen eigenen FeedbackRegelkreis, der durch Einstreuen eines starken Signals aus einem anderen Regelkreis unstabil
werden kann.
Deshalb ist es notwendig, das Übersprechen zunächst zu vermessen. Man kann davon ausgehen, dass das Übersprechen frequenzabhängig ist, d.h. es ergeben sich unterschiedliche Werte für
unterschiedliche Anregungsfrequenzen. Der Grund für diese Frequenzabhängigkeit ist, dass vor
allem mechanische Resonanzen des Piezos ein Übersprechen der Achsen untereinander verursachen. Regt man den Piezo mit einer Frequenz an, die in der Nähe einer Resonanz liegt, so sorgt
das Aufschwingen der Resonanz im allgemeinen für eine wesentlich stärkere Bewegung entlang
der zur Anregungsrichtung orthogonalen Achsen im Vergleich zu Anregungsfrequenzen, die weit
entfernt von einer Resonanz liegen.
52
4. M ESSUNGEN ZUR AKTIVEN SEISMISCHEN I SOLATION
Aufbau
Um das Übersprechen zwischen den Kanälen genauer zu untersuchen, werden zwei Geophone auf
den Piezo montiert, jeweils eines für jede der beiden zu untersuchenden Richtungen (z.B. x und
y-Richtung). Der Piezo wird durch Anlegen eines sinusförmigen Signals an den HV-Verstärker in
einer Richtung bewegt (z.B. x-Richtung). Die Auslenkung des Piezos wird durch die Geophone
gemessen. Eine Skizze des Versuchsaufbaus ist in Abbildung 4.2 zu sehen.
Um die direkte Antwort des Piezos zu bestimmen, wird eine Transferfunktion zwischen Eingang x
und Ausgang x gemessen. Um das Übersprechen zu bestimmen, wird dann eine Transferfunktion
zwischen Eingang x und Ausgang y aufgenommen.
Geophon y-Richtung
Geophon x-Richtung
GeophonVorverstärker
HV-Verstärker
Piezo
Ausgang x-Richtung
z
Eingang x-Richtung
Eingang y-Richtung
Ausgang y-Richtung
y
x
Abbildung 4.2: Messung der Übersprechens zwischen den Piezo-Achsen x und y - Piezo ohne Last
Resultate
Abbildung 4.3 zeigt die Transferfunktionen zwischen x-Anregung und x-Bewegung des Piezos
(durchgezogene Linie) und zwischen x-Anregung und y-Bewegung (gestrichelte Linie). Das Übersprechen der Achsen entspricht dem Abstand der Amplitudenverläufe.
Die x-x-Transferfunktion verläuft relativ flach und zeigt bei 80 Hz eine Resonanz des Piezos: Die
Amplitude zeigt eine Überhöhung, während die Phase um 180 Grad abfällt.
Die x-y-Transferfunktion zeigt einen komplizierteren Verlauf. Im Frequenzbereich zwischen 10
und 30 Hz liegen mehrere Pol- und Nullstellenpaare, die die Amplitude gegenüber dem Wert
unterhalb von 10 Hz ansteigen lassen und den Abstand zur x-x-Amplitude auf bis zu 25 dB verringern. Unterhalb von 10 Hz beträgt der Abstand zwischen x-x- und x-y-Transferfunktion etwa
40dB. Auch hier ist eine Resonanz bei 80 Hz zu sehen, die die Amplitude so weit ansteigen lässt,
dass sie den gleichen Wert wie die Amplitude der x-x-Transferfunktion erreicht.
53
4.2 Übersprechen bei der Ansteuerung des unbelasteten Piezos
x ! x-Transferfunktion
x ! y-Transferfunktion
Amplitude (dB)
20
0
−20
−40
−60
0
10
1
10
2
10
Frequenz (Hz)
350
Phase (Grad)
300
250
200
150
100
50
0
0
10
1
10
2
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.3: Messung der Übersprechens zwischen den Piezo-Achsen x und y - Piezo ohne Last
Bewertung der Ergebnisse
Der angestrebte Regelbereich der Feedback-Regelung erstreckt sich von 1 Hz bis 30 Hz. In diesem Bereich beträgt das Übersprechen zwischen den horizontalen Richtungen x und y weniger
als -25 dB, im Bereich unter 10 Hz sogar etwa -40 dB. Angesichts dieser Werte erscheint eine
Feedbackregelung mit mindestens 25 dB Verstärkung möglich.
Als problematisch könnte sich die Resonanz bei etwa 80 Hz erweisen, bei der das Übersprechen
praktisch bis auf 0 dB ansteigt. Bei dieser Messung lag diese Resonanz noch weit außerhalb
des Regelbereiches, sodass keine Beschränkungen für den Regelkreis entstehen. Da die Messung
jedoch ohne eine Belastung des Piezos mit Gewicht durchgeführt wurde, liegt diese Resonanz bei
einer wesentlich höheren Frequenz, als dies später im Betrieb der aktiven Isolation der Fall sein
wird. Grund für die Resonanz ist wahrscheinlich der Piezo-Kristall, der durch seine Elastizität wie
eine Feder mit der Federkonstanten κ wirkt. Zusammen mit der auf
q ihm ruhenden Last m ergibt
1
sich ein harmonischer Oszillator mit der Resonanzfrequenz f = 2π mκ . Erhöht man nun also die
Last m auf dem Piezo, so sinkt die Resonanzfrequenz ab, möglicherweise bis in den Regelbereich
54
4. M ESSUNGEN ZUR AKTIVEN SEISMISCHEN I SOLATION
der Feedback-Regelung.
Es ist also eine genauere Untersuchung des Übersprechens nötig, insbesondere wie eine Veränderung der Last auf dem Piezo sich auf die Lage der Resonanzen und das dadurch verursachte
Übersprechen auswirkt.
4.3 Seismische Isolation mit Feedforward ohne Last auf dem Piezo
Aufbau
Abbildung 4.4 zeigt den Versuchsaufbau, der zum Test der Feedforward-Steuerung benutzt wurde.
Das Regelsignal stammt von einem Geophon mit der mechanischen Resonanzfrequenz von 1 Hz.
Dieses Geophon ist neben dem Piezo montiert. Nachdem das Signal einen Vorverstärker passiert
hat, wird es in den DSP gegeben. Der DSP muss mit einem entsprechenden Filter programmiert
sein, sodass die Transferfunktion der gesamten Steuerung von der Anregung des Geophons bis
zur Auslenkung des Piezos im gewünschten Regelbereich möglichst genau den Wert -1 annimmt
(Verstärkung 1, Phase 180Æ ). Dadurch ist gewährleistet, dass bei einer seismischen Anregung
des Piezos der Regelkreis so reagiert, dass der Piezo die Anregung genau kompensiert. Das Ausgangssignal des DSP wird dann mit dem HV-Verstärker für die Ansteuerung des Piezos aufbereitet
und auf den Aktuator gegeben.
HV-Verstärker
Vorverstärker
Geophon
DSP
PiezoAktuator
Abbildung 4.4: Versuchsaufbau der Feedforward-Steuerung
Resultate
Abbildung 4.5 zeigt die seismischen Spektren oberhalb und unterhalb des Piezos. Sie wurden mit
zwei unabhängigen Geophonen gemessen. Eines befand sich neben dem Piezo, das andere war
auf dem Piezo montiert.
Der benutzte digitale Filter hatte folgende Transferfunktion:
55
4.3 Seismische Isolation mit Feedforward ohne Last auf dem Piezo
Pole (Hz)
Frequenz (Hz)
Nullstellen (Hz)
Frequenz (Hz)
Antiresonanzen
Frequenz (Hz)
Güte Q
0,04
2,779
1,038
0,6856
0,04
4,96
0,04
40
1000
1840
1250
1500
2000
2100
Außerdem wurden zwei Butterworth-Filter zweiter Ordnung verwendet,
deren Eckfrequenzen bei 10 4 bzw. 10 2 Hz lagen.
Tabelle 4.1: Pole und Nullstellen der Feedforward-Filter zur seismischen Isolation einer horizontalen Richtung
title
0
lineare spektrale Dichte des Geophonsignals (dBV)
Messung oberhalb des Piezos
Messung unterhalb des Piezos
−10
−20
−30
−40
−50
−60
0
1
10
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.5: Messung der seismischen Isolation durch Feedforward-Steuerung in einer horizontalen
Richtung
56
4. M ESSUNGEN ZUR AKTIVEN SEISMISCHEN I SOLATION
Bewertung der Ergebnisse
Man sieht, dass durch die hohe Empfindlichkeit der 1-Hz-Geophone eine Regelung auch für sehr
niedrige Frequenzen möglich ist: Eine Unterdrückung der seismisch angeregten Bewegung oberhalb des Piezos findet bis hinunter zu 0,2 Hz statt. Die obere Grenze der Regelung liegt bei etwa
10 Hz. Das Maximum der Reduktion wird in Bereich um 2,5 Hz erzielt und liegt bei 30dB. In
diesem Frequenzbereich ist die Transferfunktion des Regelkreises am besten angepasst.
4.4 Seismische Isolation mit Feedback ohne Last auf dem Piezo
Aufbau
Ebenso wie das Feedforward wurde auch das Feedback zuerst ohne eine Last auf dem Piezo getestet. Abbildung 4.6 zeigt den verwendeten Versuchsaufbau. Auf den Piezo-Aktuator wurde
eine Metallplatte montiert, auf der wiederum ein Geophon befestigt wurde. Das Geophon wird
an einen Geophon-Vorverstärker angeschlossen, dieser gibt die verstärkten Signale des Geophons
an den DSP weiter. Das Ausgangssignal des DSP wird auf den Piezo gegeben, nachdem es im
HV-Verstärker entsprechend verstärkt wurde.
Der entscheidende Schritt bei diesem Experiment war das Programmieren des DSP mit einem
entsprechenden Filter. Wie in Abschnitt 2.3.2 beschrieben, muss für einen stabilen FeedbackRegelkreis sichergestellt sein, dass die Open-Loop-Transferfunktion genug Phasenreserve garantiert und das im gewünschten Regelbereich die Verstärkung entsprechend hoch ist. Die Bestimmung der Transferfunktion erfolgte in zwei Schritten:
Vorverstärker
Geophon
DSP
PiezoAktuator
HV-Verstärker
Abbildung 4.6: Versuchsaufbau der Feedback-Regelung
Zunächst wurde eine „Wunschtransferfunktion“ H1 festgelegt, die mit möglichst wenigen Nullstellen und Polen den Verstärkungs- und Phasenverlauf der gewünschten Open-Loop-Transferfunktion hat. Dazu wurde eine Funktion mit sinnvoll erscheinenden Nullstellen und Pole bestimmt, und
deren Verstärkungs- und Phasenverlauf dann mittels des Programms Matlab im Computer simuliert. Die Lage von Polen und Nullstellen wurde so lange modifiziert, bis ein zufriedenstellendes
57
4.4 Seismische Isolation mit Feedback ohne Last auf dem Piezo
Ergebnis erreicht war. Abbildung 4.7 zeigt den Amplituden- und Phasenverlauf des Filters. Mit
einer maximalen Verstärkung kanpp 21 dB bei 4 Hz liegen die beiden Unity-Gain-Punkte bei 1,2
Hz und 36 Hz. Die Phase bei der Frequenz 1,2 Hz beträgt 138Æ , damit hat die Phaenreserve
einen Wert von 42Æ . Am anderen Unity-Gain-Punkt bei 36 Hz beträgt die Phase 113Æ , was einer
Phasenreserve von 67Æ entspricht.
Amplitude (dB)
40
20
0
−20
−40
Frequenz (Hz)
Phase (Grad)
200
100
0
−100
−200
−1
10
0
1
10
2
10
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.7: Verlauf der Transferfunktion H 1 des Regelfilters
Der Transferfunktion enthält die folgenden Parameter:
Pole (Hz)
Frequenz (Hz)
Nullstellen (Hz)
Frequenz (Hz)
0,1
10 3
10 3
0,4347
Resonanzen
Frequenz (Hz) Güte Q
3,7408
18,389
1,6
0,279
Tabelle 4.2: Pole und Nullstellen der Transferfunktion H 1 des Regelfilters
58
4. M ESSUNGEN ZUR AKTIVEN SEISMISCHEN I SOLATION
Um nun im Regelkreis tatsächlich die Transferfunktion H1 zu erhalten, muss der Verstärkungsund Phasenverlauf aller Komponenten des Regelkreises kompensiert werden, und zusätzlich die
Funktion H1 implementiert werden. Im zweiten Schritt wurde also die Open-Loop-Transferfunktion gemessen, während im DSP kein Filter implementiert wurde. Die so bestimmte Transferfunktion HSyst wurde mit dem Programm LISO [8] angepasst, d.h. die darin enthaltenen Pole und
Nullstellen wurden bestimmt. Programmiert man die Transferfunktion HSyst1 in den DSP, so ist
idealerweise die Verstärkung konstant 1 und die Phase konstant 0. Programmiert man den DSP
mit der Funktion HSyst1 H1 , erhält man die gewünschte Open-Loop-Transferfunktion.
Resultate
Abbildung 4.8 zeigt die erzielte seismische Isolation mit dem oben beschriebenen Aufbau. Auch
hier wurde wieder mit zwei unabhängigen Geophonen gemessen. Ein Geophon befand sich unterhalb des Piezos. Für die Messung oberhalb des Piezos wurde nicht der Sensor benutzt, der das
Fehlersignal für den Regelkreis liefert, sondern es wurde ein drittes Geophon montiert.
lineare spektrale Dichte des Geophonsignals (dBV)
20
10
Messung oberhalb des Piezos
Messung unterhalb des Piezos
0
−10
−20
−30
−40
−50
−60
0
1
10
10
2
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.8: Messung der seismischen Isolation durch Feedback-Regelung in einer horizontalen Richtung
Für die in Abbildung 4.8 gezeigte Messung wurde folgende Transferfunktion in den DSP geladen:
59
4.5 Seismische Isolation mit Feedback und Feedforward ohne Last auf dem Piezo
Pole
Frequenz (Hz)
Nullstellen
Frequenz (Hz)
0,05
0,1
1680
2100
2300
1
1
4,96
28
Resonanzen
Frequenz (Hz) Güte Q
3,7408
18,389
106,96
1,6
0,2795
187,2
Antiresonanzen
Frequenz (Hz) Güte Q
2,206
78,47
105,34
0,77343
39
110,93
Tabelle 4.3: Feedback-Filter zur seismischen Isolation einer horizontalen Richtung
Bewertung der Ergebnisse
Im Frequenzbereich von 1 Hz bis etwa 20 Hz sieht man eine deutliche Verringerung der seismischen Anregung. Das Maximum der Unterdrückung liegt bei 4 Hz und erreicht einen Wert von
etwa 25 dB. Unterhalb von 1 Hz reicht die Empfindlichkeit der Geophone nicht aus, ein brauchbares Fehlersignal für den Regelkreis zu liefern.
4.5 Seismische Isolation mit Feedback und Feedforward ohne Last
auf dem Piezo
Aufbau
Um das Zusammenspiel von Feedback und Feedforward zu testen, wurde zuerst auch nur eine
horizontale Richtung des Piezos sowohl mit Feedback als auch mit Feedforward geregelt. Die
beiden Regelkreise waren identisch zu denen in Abschnitt 4.3 und 4.4 beschrieben. Die beiden
Regelsignale des DSP wurden elektronisch addiert und die Summe dann auf den HV-Verstärker
und den Piezo gegeben.
Resultate
Abbildung 4.9 zeigt die erreichte seismische Isolation durch die Kombination von Feedforward
und Feedback. Wieder wurde das seismische Spektrum mit zwei Geophonen gemessen, von denen
sich eins oberhalb und das andere unterhalb des Piezo-Aktuators befindet.
Bewertung der Ergebnisse
Die Ergebnisse in Abbildung 4.9 zeigen, dass die Kombination von Feedforward und Feedback
eine Unterdrückung des seismischen Spektrums von bis zu 40 dB bei einer Frequenz von 4 Hz
ermöglicht. Dies ist deutlich mehr, als durch eines der beiden Systeme allein erreicht werden
konnte.
60
4. M ESSUNGEN ZUR AKTIVEN SEISMISCHEN I SOLATION
lineare spektrale Dichte des Geophonsignals (dBV)
20
10
Messung oberhalb des Piezos
Messung unterhalb des Piezos
0
−10
−20
−30
−40
−50
−60
0
1
10
10
2
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.9: Messung der seismischen Isolation durch Feedback-Regelung und Feedforward-Steuerung
in einer horizontalen Richtung
4.6 Übersprechen bei der Ansteuerung des belasteten Piezos
Aufbau
Es soll nun untersucht werden, wie sich die Resonanzfrequenzen, und damit der Frequenzbereich
starken Übersprechens zwischen den Kanälen, verlagern, wenn der Piezo belastet wird. Im endgültigen Aufbau, der am Anfang dieses Kapitels beschrieben wurde, befindet sich eine dynamische
Last von etwa 7 kg auf dem Piezo: die Geophonhalter mit Geophonen und die Zwischenmasse unterhalb der Gummistücke, die zur passiven Isolation gehören. Diese Last wird dynamisch genannt,
weil sie starr an die Piezos gekoppelt ist, und somit bei jeder Auslenkung des Piezos mitbewegt
werden muss. Die restliche Masse, die der Piezo tragen muss, befindet sich oberhalb der Gummilage und ist deshalb nicht direkt mit ihm verbunden. Die Gummilage bildet zusammen mit der auf
ihr lastenden Masse einen harmonischen Oszillator. Bei einer Bewegung des Piezos mit Frequenzen oberhalb der mechanischen Resonanzfrequenz von Gummilage und Masse wird die Masse nur
noch sehr schwach mitbewegt, da die Transferfunktion der Oszillators mit der Frequenz abfällt,
wie in Abschnitt 2.1 gezeigt wurde. Eine solche Last, die einer Bewegung nicht direkt folgt, nennt
4.6 Übersprechen bei der Ansteuerung des belasteten Piezos
61
man statisch. Es wird nun davon ausgegangen, dass die entscheidende Größe für die Lage der
Resonanzfrequenz des Systems aus Piezo und auf ihm liegender Masse die dynamische Last ist.
Deshalb wurde der Piezo im folgenden Experiment mit einer Masse von der Größe der dynamischen Last beladen. Der Aufbau dieses Experiments ist fast identisch zu dem in Abbildung 4.2
gezeigten, mit dem Unterschied, dass der Piezo nun ein 7 kg schweres Metallstück trägt. Es wurde
nun auch das Übersprechen zwischen einer horizontalen und der vertikalen Achse bestimmt.
Resultate
Abbildung 4.10 zeigt die Transferfunktionen zwischen x-Anregung und x-Bewegung des Piezos
(durchgezogene Linie) und zwischen x-Anregung und y-Bewegung (gestrichelte Linie). Man kann
also das Übersprechen zwischen den beiden horizontalen Richtungen ablesen.
x ! x-Transferfunktion
x ! y-Transferfunktion
Amplitude (dB)
40
20
0
−20
−40
1
2
10
10
Frequenz (Hz)
350
Phase (Grad)
300
250
200
150
100
50
0
1
2
10
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.10: Messung der Übersprechens zwischen den Piezo-Achsen x und y - Piezo mit 7 kg Last
Abbildung 4.11 zeigt die Ergebnisse des Experiments zur Untersuchung des Übersprechen der
horizontalen x-Achse und der vertikalen z-Achse. Es wurde eine Signal an den x-Eingang des
Piezos angelegt und die Bewegung entlang der x- und z-Achse gemessen.
62
4. M ESSUNGEN ZUR AKTIVEN SEISMISCHEN I SOLATION
x ! x-Transferfunktion
x ! z-Transferfunktion
Amplitude (dB)
40
20
0
−20
−40
1
2
10
10
Frequenz (Hz)
350
Phase (Grad)
300
250
200
150
100
50
0
1
2
10
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.11: Messung der Übersprechens zwischen den Piezo-Achsen x und z - Piezo mit 7 kg Last
Bewertung der Ergebnisse
Wie in Abschnitt 4.2 bereits angedeutet, hat sich die mechanische Resonanz des Systems aus Piezo
und Masse erheblich zu niedrigeren Frequenzen verschoben: Statt bei etwa 80 Hz liegt sie nun nur
noch knapp über 30 Hz. Das Übersprechen zwischen den horizontalen Achsen x und y erreicht
dort Werte von etwa 0 dB. Ein Regelsignal mit einer Frequenz von 32 Hz auf dem x-Eingang
des Piezos erzeugt nicht nur eine Bewegung in x-Richtung, sondern auch eine Bewegung gleicher
Größe in y-Richtung.
Das Übersprechen der horizontalen x-Achse auf die z-Achse erreicht auf der Resonanz bei 34 Hz
einen Wert von knapp -30 dB, was im Vergleich zum Wert von -40 dB weit unter der Resonanz
ein akzeptabler Wert ist. Allerdings sinkt der Wert dann bei 40 Hz auf Grund des starker Abfalls
der x-x-Transferfunktion oberhalb der Resonanz auf 0 dB ab. Also gibt es auch zwischen horizontaler und vertikaler Richtung ein starkes Übersprechen in unmittelbarer Nähe des geplanten
Regelbereichs, der sich von 1 bis 30 Hz erstreckt. Dies kann die Entwicklung eines Feedbackfilters
erschweren, da im Bereich der Unity-Gain-Frequenz bei etwa 30 Hz die Phase des Regelkreises
4.7 Seismische Isolation mit Feedback in beiden horizontalen Richtungen und Last auf dem Piezo
63
nicht unter 180Æ abfallen darf, anderenfalls wird die Regelung instabil. Die Amplituden- und
Phasenschwankungen auf Grund der Resonanzen lassen dies kaum sicherstellen, da kleine Veränderungen der Unity-Gain-Frequenz zu großen Änderungen der Phase führen.
4.7 Seismische Isolation mit Feedback in beiden horizontalen Richtungen und Last auf dem Piezo
Aufbau
Die in Abschnitt 4.6 vorgestellten Ergebnisse zeigen, dass der belastete Piezo bereits bei einer
Frequenz von etwa 30 Hz ein starkes Übersprechen bei der Ansteuerung der beiden horizontalen
Kanäle aufweist. Auf Grund dieser Ergebnisse können Zweifel aufkommen, ob es überhaupt möglich ist, mehrere Feedback-Regelkreise gleichzeitig zu schließen. Deshalb wurde nun untersucht,
wie sich das Übersprechen auf die Stabilität des Feedback-Regelkreises auswirkt. Dazu wurde
der Piezo erneut mit 7kg Gewicht belastet, die gleiche Last, die auch für die Untersuchung des
Übersprechens in Abschnitt 4.6 benutzt wurde. Dann wurde versucht, die Regelkreise für die xund die y-Richtung, also die beiden horizontalen Richtungen, zu schließen. Dazu wurde zunächst
der gleiche digitale Filter benutzt, der auch in Abschnitt4.4 zur Regelung des unbelasteten Piezos
verwendet wurde. Es stellte sich jedoch heraus, dass sich die Transferfunktion auf Grund der Last
entscheidend verändert hatte. Wie In Abbildung 4.10 zu sehen ist, hat die Belastung des Piezos
dazu geführt, dass sich eine Resonanz des Piezos bei etwa 35 Hz befindet. Da der Piezo ja auch
ein Teil des Regelkreises ist, taucht diese Resonanz auch in der Transferfunktion des Regelkreises
auf. Die damit verbundene Verstärkungs- und Phasenveränderung machte den bis dahin benutzten
Regelkreis unstabil.
Zur Lösung dieses Problems ist es nötig, die Resonanz zu kompensieren. Man programmiert
den DSP also mit einem modifizierten Filter, der den Amplituden- und Phasenverlauf der PiezoResonanz ausgleicht. Um die geeigneten Modifikationen zu finden, wurde der Verlauf der OpenLoop-Transferfunktion mit LISO angepasst.
Resultate
Abbildung 4.12 zeigt die seismische Isolation in x-Richtung, während sowohl der x-Regelkreis als
auch der y-Regelkreis geschlossen war. Abbildung 4.13 zeigt das entsprechende Diagramm für
die y-Richtung.
In der x-Richtung wurde eine seismische Unterdrückung von bis 20 dB erreicht. Die Transferfunktion in der y-Richtung ließ sich weniger gut anpassen, als die der x-Richtung. Die Verstärkung
konnte nicht so weit gesteigert werden wie in x-Richtung, sodass sich nur eine Unterdrückung von
maximal 12 dB ergab.
64
4. M ESSUNGEN ZUR AKTIVEN SEISMISCHEN I SOLATION
Frequenz (Hz)
0,05
0,1
1680
2100
2300
Frequenz (Hz)
1
1
4,96
50
Frequenz (Hz)
3,7408
Güte Q
1,6
Frequenz (Hz)
2,206
Güte Q
0,77343
18,4
38,5
0,2853
28,2
30,4
38
Tabelle 4.4: Feedback-Filter zur seismischen Isolation der x-Richtung
Pole
Frequenz (Hz)
0,05
0,1
1680
2100
2300
Nullstellen
Frequenz (Hz)
1
1
4,96
50
Resonanzen
Frequenz (Hz) Güte Q
3,7408
1,6
18,4
38,5
0,2853
28,2
Antiresonanzen
Frequenz (Hz) Güte Q
2,206
0,77343
27,5
38
Tabelle 4.5: Feedback-Filter zur seismischen Isolation der y-Richtung
Bewertung der Ergebnisse
Es ist möglich, trotz des Übersprechens der x- und y-Kanäle die beiden zugehörigen FeedbackRegelkreise zu schließen, ohne das das System instabil wurde. Allerdings galt bei den verwendeten Regelkreisen für jede einzelne Frequenz, das die Verstärkung unterhalb des Wertes des Übersprechens der Kanäle lag. Eventuell ist dies eine Voraussetzung für die Stabilität des Regelkreises.
Die auftretende Resonanz bei 35 Hz konnte im DSP zufriedenstellend kompensiert werden, sodass
ihre Auswirkung auf den Verstärkungs- und Phasenverlauf stark reduziert wurde.
4.8 Übersprechen bei der Ansteuerung des Piezos im Stack
Die bisher beschriebenen Messungen wurden direkt an dem Piezo bzw. an dem mit einem Gewicht
belasteten Piezo durchgeführt. In den nun folgenden Experimenten wurden Messungen an einem
Aufbau durchgeführt, der dem entgültigen Aufbau nahe kommt: Drei Stacks sind in einen Vakuumtank montiert. Die Stacks sind mit einem Stack-Stabilizer verbunden. Die Rotational-Stage
wurde montiert und an die Blattfedern eine Masse mit einem entsprechenden Gewicht gehängt,
das den später daran aufgehängten Komponenten entspricht. Vakuumtank und Stacks waren nicht
abgepumpt.
65
4.8 Übersprechen bei der Ansteuerung des Piezos im Stack
lineare spektrale Dichte des Geophonsignals (dBV)
10
Messung oberhalb des Piezos
Messung unterhalb des Piezos
0
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
0
10
1
10
2
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.12: Messung der seismischen Isolation in x-Richtung durch Feedback-Regelung in x- und
y-Richtung
Aufbau
Zunächst wurde das Übersprechen der Kanäle gemessen. Die in Abschnitt 4.6 beschriebenen
Messungen deuteten darauf hin, das das Übersprechen der Kanäle ein Problem für den Feedbackregelkreis werden könnte. Deshalb wurden die Transferfunktionen zwischen allen drei Achsen
der Piezo-Geophon-Kombination im Stack vermessen. Dazu wurde der Piezo in einem Stack in
Richtung jeweils einer Achse mit einer sinusförmigen Spannung angeregt und die Signale aller
drei Geophone in diesem Stack gemessen.
Resultate
Die Abbildungen 4.14 bis 4.16 zeigen die gemessenen Werte. Das Diagramm 4.14 zeigt die Transferfunktion zwischen der Ansteuerung der x-Achse des Piezos und den Vorverstärkerausgängen,
die zu den in x-, y-, bzw. z-Richtung montierten Geophonen gehören. Diagramm4.15 enthält die
entsprechenden Daten für eine Anregung des Piezos in y-Richtung und Diagramm 4.16 für die
z-Richtung.
66
4. M ESSUNGEN ZUR AKTIVEN SEISMISCHEN I SOLATION
lineare spektrale Dichte des Geophonsignals (dBV)
10
Messung oberhalb des Piezos
Messung unterhalb des Piezos
0
−10
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
0
10
1
10
2
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.13: Messung der seismischen Isolation in y-Richtung durch Feedback-Regelung in x- und
y-Richtung
Bewertung der Ergebnisse
Abbildung 4.14 zeigt die Antwort der drei Geophone auf eine Anregung in x-Richtung. Der
Verlauf der x ! x-Transferfunktion zeigt ein Resonanz-Antiresonanz-Paar um 17 Hz, das jedoch
nur ein niedriges Q besitzt: Die Ampilitude zeigt nur ein schwaches Ansteigen und Abfallen.
Auch die Phase wird von der Resonanz bei dieser Frequenz kaum beeinflusst. Dagegen befinden
sich im Bereich zwischen 30 und 40 Hz mehrere Resonanzen und Antiresonanzen, die zu einer
starken Variation der Amplitude und der Phase in Abhängigkeit der Frequenz führen. Oberhalb
von 40 Hz fällt die Amplitude stark ab. Für die Regelung stellt die starke Frequenzabhängigkeit
von Amplitude und Phase im Bereich von 35 Hz ein Problem dar, da sich dort die obere UnityGain-Frequenz befindet. Wie in Abschnitt 2.3.3 erklärt wurde, entscheidet die Phasenlage bei der
Unity-Gain-Frequenz über die Stabilität des Regelkreises. Die starken Schwankungen in der Phase
können dazu führen, dass leichte Veränderungen in der Unity-Gain-Frequenz zu einer starken
Veränderung der Phase bei dieser Frequenz führen, was den Regelkreis instabil werden lassen
kann. Aus diesem Grund müssen diese Resonanzen im Regelkreis kompensiert werden. Man
wird also Resonanzen und Antiresonanzen in die Transferfunktion des DSP einfügen müssen, die
den Amplituden- und Phasenverlauf im Bereich zwischen 30 und 40 Hz glätten.
67
4.8 Übersprechen bei der Ansteuerung des Piezos im Stack
Amplitude (dB)
60
x ! x-Transferfunktion
x ! y-Transferfunktion
x ! z-Transferfunktion
40
20
0
−20
−40
1
10
2
10
Frequenz (Hz)
Phase (Grad)
200
0
−200
−400
−600
1
10
2
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.14: Transferfunktion der Piezo-Geophon-Kombination; Anregung der x-Richtung
Auch in der x ! y-Transferfunktion ist das Resonanz-Antiresonanz-Paar bei 17 Hz zu sehen,
allerdings mit einer wesentlich stärkeren Auswirkung auf Amplitude und Phase. Die Amplitude
steigt um etwa 20 dB und nähert sich damit bis auf 20 dB dem Wert der x-Auslenkung. Wie
auch bei der x ! y-Transferfunktion befinden sich oberhalb von 28 Hz mehrere Resonanzen und
Antiresonanzen, die das x ! y-Übersprechen auf bis zu -10 dB erhöhen. Die x ! z-Transferfunktion zeigt eine schwächere Ausprägung der Resonanz bei 17 Hz, die Amplitude steigt kaum
an. Oberhalb dieser Frequenz verläuft die Transferfunktion sehr ähnlich wie die x ! y-Transferfunktion. Das Übersprechen der x-Anregung auf die y- und z-Achse beträgt also im geplanten
Regelbereich höchstens -10 dB.
Betrachtet man die y ! y-Transferfunktion in Abbildung 4.15, so sieht man wie in der x ! xTransferfunktion zwischen 30 und 40 Hz eine starke Variation der Amplitude und der Phase. Um
den y-Regelkreis schließen zu können, wird man auch hier eine Kompensation der Resonanzen
und Antiresonanzen im DSP durchführen müssen.
In der y ! x-Transferfunktion ist die Variation der Amplitude durch das Resonanz/AntiresonanzPaar so stark ausgeprägt, dass die Amplitude den Wert der Amplitude der y ! y-Transferfunktion
erreicht. Das Übersprechen steigt also auf einen Wert von 0 dB an. Da dies bei einer Frequenz
auftritt, die sich mitten im geplanten Regelbereich befindet, wo der Regelkreis eine hohe Verstärkung aufweisen wird, kann dies zum Einstreuen starker zusätzlicher Störungen in der x-Richtung
führen. Stellsignale, die für die y-Achse des Piezo bestimmt sind, werden auch auf die x-Achse
68
4. M ESSUNGEN ZUR AKTIVEN SEISMISCHEN I SOLATION
Amplitude (dB)
60
y ! x-Transferfunktion
y ! y-Transferfunktion
y ! z-Transferfunktion
40
20
0
−20
−40
1
10
2
10
Frequenz (Hz)
Phase (Grad)
200
0
−200
−400
−600
1
10
2
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.15: Transferfunktion der Piezo-Geophon-Kombination; Anregung der y-Richtung
übertragen und müssen vom x-Regelkreis unterdrückt werden.
Für höhere Frequenzen verläuft die y ! x-Transferfunktion in etwa so wie die x ! y-Transferfunktion. Auch die y ! z-Transferfunktion unterscheidet sich kaum von der x ! z-Transferfunktion.
Die z ! z-Transferfunktion in Abbildung 4.16 verläuft bis zu einer Frequenz von über 100 Hz
sehr glatt: Sowohl Amplitude als auch Phase fallen gleichmäßig ab. Dies erleichtert die Entwicklung des z-Regelkreises stark, da keine Resonanzen kompensiert werden müssen, die dicht an der
Unity-Gain-Frequenz liegen. Problematisch ist dagegen der Verlauf sowohl der x ! z- als auch
der y ! z-Transferfunktion jeweils im Bereich von 17 Hz: Beide Transferfunktionen steigen bis
auf das Niveau der z ! z-Transferfunktion und erhöhen damit das Übersprechen auf 0 dB.
4.9 Vertikale seismische Isolation mit Feedback durch 3 geregelte
Stacks
Aufbau
Die Ergebnisse von Abschnitt 4.8 sagen aus, dass die Implementierung des vertikalen FeedbackRegelkreises am erfolgversprechendsten ist. Die z ! z-Transferfunktion zeigt bis 100 Hz keine
4.9 Vertikale seismische Isolation mit Feedback durch 3 geregelte Stacks
Amplitude (dB)
60
69
z ! x-Transferfunktion
z ! y-Transferfunktion
z ! z-Transferfunktion
40
20
0
−20
−40
1
10
2
10
Frequenz (Hz)
Phase (Grad)
200
0
−200
−400
−600
1
10
2
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.16: Transferfunktion der Piezo-Geophon-Kombination; Anregung der z-Richtung
Resonanzen, sodass die Entwicklung eines Feedbackfilters unkomplizierter sein sollte, als für die
x und y-Richtung, die Resonanzen bei 35 Hz aufweisen. Deshalb wurde zunächst versucht, eine
Feedback-Regelung zu realisieren, die auf die Filter zurückgreift, die schon für die in Abschnitt
4.4 vorgestellte Regelung benutzt wurden.
Resultate
Implementiert man den in Tabelle 4.9 angegebenen Filter, so zeigt sich, dass die Resonanzen
der z ! z-Transferfunktion oberhalb von 100 Hz, die schon in Abbildung 4.16 zu sehen sind,
die Amplitude so stark ansteigen lassen, dass der Regelkreis auch mit sehr kleiner Verstärkung
unstabil ist. Abbildung 4.17 zeigt die Open-Loop-Transferfunktion von Stack 2.
Auf Grund des Ansteigens der Amplitude durch die Resonanz bei 115 Hz steigt die Verstärkung
des Regelkreises auf Werte, wie sie innerhalb der Regelbandbreite zwischen 1 und 30 Hz erreicht
werden. Wählt man die Verstärkung im Regelbereich deutlich über dem Wert Eins, so ist auch die
Verstärkung für Frequenzen um 115 Hz größer als Eins. Es gibt also zwei weitere Unity-GainFrequenzen um 115 Hz, die den Regelkreis unstabil machen können, falls die Phasen der Regelung
für diese Frequenzen unterhalb von 180Æ liegt. Tatsächlich sieht man in Abbildung 4.17, dass
die Phase bereits bei 100 Hz auf unter 260Æ abgefallen ist. Dadurch wird der Regelkreis instabil,
sobald man ihn schließt.
70
4. M ESSUNGEN ZUR AKTIVEN SEISMISCHEN I SOLATION
Pole
Frequenz (Hz)
Nullstellen
Frequenz (Hz)
0,05
0,1
1680
2100
2300
1
1
4,96
28
Resonanzen
Frequenz (Hz) Güte Q
3,7408
18,389
1,6
0,2795
Antiresonanzen
Frequenz (Hz) Güte Q
2,206
78,47
0,77343
39
Tabelle 4.6: Feedback-Filter zur seismischen Isolation der vertikalen Richtung
0
Amplitude (dB)
−5
−10
−15
−20
−25
−30
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
170
180
190
200
Frequenz (Hz)
350
Phase (Grad)
300
250
200
150
100
50
0
100
110
120
130
140
150
160
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.17: z ! z-Transferfunktion von Stack 2 - Bereich zwischen 100 und 200 Hz
Um dieses Problem zu lösen, ist es nötig, die Verstärkung des Regelkreises für alle Frequenzen
oberhalb des Regelbereichs deutlich unter dem Wert Eins zu halten. Zwei Lösungswege sind dafür
denkbar:
Man könnte durch Einfügen eines Tiefpasses (Pols) die Verstärkung bei 115 Hz verringern. Diese
Lösung ist jedoch nicht praktikabel. Wie man in Abbildung 4.17 sieht, beträgt die Überhöhung
durch die Resonanzüberhöhung bei 115 Hz etwa 8 dB. Aus Abbildung2.4 ist zu ersehen, dass ein
Pol eine Abschwächung um 8 dB etwa bei dem doppelten Wert seiner Eckfrequenz erzeugt. Das
bedeutet, dass der Pol etwa bei 55 Hz platziert werden müsste, um die Resonanz bei 115 Hz ausreichend zu unterdrücken. Die obere Unity-Gain-Frequenz von ca. 30 Hz der Regelung befände
4.9 Vertikale seismische Isolation mit Feedback durch 3 geregelte Stacks
71
sich dann bei etwa der Hälfte der Eckfrequenz des Pols. Ebenfalls in Abbildung2.4 ist zu sehen,
dass die Phasenverschiebung eines Pols für die Hälfte der Eckfrequenz etwa 25Æ beträgt. Die
Phase bei der oberen Unity-Gain-Frequenz würde also durch Einfügen des Pols um 25Æ sinken.
Das hat zur Folge, dass sich die Phasenreserve um jene 25Æ verringert. Um die vorherige Phasenreserve wieder herzustellen, müsste man die Verstärkung verringern, was wiederum die erreichbare
seismische Isolation vermindert.
Aus diesem Grund ist ein Kompensieren der Resonanzen eine bessere Lösung. Dazu wurde die in
Abbildung 4.17 dargestellte Transferfunktion mit Hilfe des Programms LISO angepasst, d.h. die
Frequenzen und Güten des Resonanz-Antiresonanz-Paares werden bestimmt. Die ermittelten Werte für die Resonanz lauten: f0 = 115:144 und Q = 94:94. Für die Antiresonanz ergeben sich die
Werte f0 = 116:53 und Q = 226. Abbildung 4.18 zeigt die graphische Ausgabe des Programms
LISO. Die türkise bzw. violette Kurve geben den Amplituden- bzw Phasenverlauf der gemessenen Transferfunktion an. Die gelbe bzw. rote Kurve ist die Ausgangstransferfunktion, von der
aus die Anpassung beginnt. Der blaue Amplitudenverlauf und der grüne Phasenverlauf zeigen das
Endergebnis der Anpassung.
Abbildung 4.18: graphische Ausgabe des Programms LISO zur Anpassung der z ! z-Transferfunktion von
Stack 2
Programmiert man also zusätzlich zu dem in Tabelle 4.9 angegebenen Filter eine Antiresonanz
( f0 = 115:144, Q = 94:94) und eine Resonaz ( f0 = 116:53, Q = 226) in das DSP-Board, so
erhält man den in Abbildung 4.19 dargestellten Verlauf der Open-Loop-Transferfunktion. Das
Resonanz-Antiresonanz-Paar ist durch die Kompensation im DSP-Board deutlich unterdrückt.
Auch die Transferfunktionen der beiden anderen Stacks besitzen ein Resonanz-Antiresonanz-Paar
im Bereich zwischen 100 und 120 Hz. Da das Resonaz-Antiresonanz-Paar zum einen sehr dicht
beieinander liegt und andererseits die Güte relativ hoch ist, ist das Kompensieren sehr empfindlich
72
4. M ESSUNGEN ZUR AKTIVEN SEISMISCHEN I SOLATION
gegen kleine Änderungen der Parameter. Es muss jeder Stack einzeln vermessen werden und Güte
sowie Resonanzfrequenzen bestimmt werden. Für Stack 3 ergaben sich die Werte f0 = 110:52254
Hz und Q = 71:064395 für die Resonanz, sowie f0 = 113:08909 und Q = 93:300685 für die Antiresonanz. In Stack 1 war das Resonanz-Antiresonanz-Paar so schwach ausgeprägt, dass ein
Betrieb der Regelung ohne Kompensierung möglich war.
0
Amplitude (dB)
−5
−10
−15
−20
−25
−30
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
170
180
190
200
Frequenz (Hz)
350
Phase (Grad)
300
250
200
150
100
50
0
100
110
120
130
140
150
160
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.19: kompensierte z ! z-Transferfunktion von Stack 2 - Bereich zwischen 100 und 200 Hz
Nun kann man versuchen, den Regelkreis mit möglichst hoher Verstärkung stabil zu schließen.
Um die dann erzielte seismische Isolation zu messen, wurde jeweils ein Geophon mit vertikaler
Empfindlichkeit auf den Erdboden neben den Vakuumtank gestellt, sowie ein weiteres oberhalb
des Stacks auf die Rotational-Stage. Die Signale der Geophone wurden verstärkt und mit Hilfe
eines FFT-Analysators die lineare spektrale Dichte der Signale bestimmt. Diese Messung wurde
oberhalb jedes einzelnen der drei Stacks durchgeführt. Die Messwerte sind in den Abbildungen
4.21 bis 4.23 dargestellt. Abbildung 4.20 zeigt zum Vergleich die Signale der beiden Geophone,
während die Regelung ausgeschaltet ist.
Man erkennt oberhalb aller drei Stacks eine deutliche Reduktion des seismischen Rauschens im
Regelbereich, der bei etwa 2 Hz beginnt. Oberhalb von etwa 10 Hz wird die Unterdrückung der
Seismik durch die mechanische Resonanz der passiven Isolation zunichte gemacht. Die Überhöhung der Resonanz bei 16 Hz ist so stark, dass das seismisch Rauschen trotz Reduktion durch
die Regelung auf einem Wert bleibt, der oberhalb des auf dem Boden gemessenen liegt. Das
Maximum der Isolation liegt zwischen 3 und 5 Hz und beträgt etwa 18 dB.
4.9 Vertikale seismische Isolation mit Feedback durch 3 geregelte Stacks
73
−10
lineare spektrale Dichte des Geophonsignals (dBV)
Messung oberhalb des Stacks
Messung auf dem Erdboden
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
0
1
10
10
2
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.20: Signale der Geophone bei ausgeschalteter Regelung
Bewertung der Ergebnisse
Es wurde gezeigt, dass durch den Einsatz einer Feedback-Regelung, welche die vertikale Achse des Piezo-Aktuators ansteuert, eine Reduktion des seismischen Rauschens um bis zu 18 dB
erreicht werden kann. Die Regelbandbreite läuft von 2 Hz bis etwa 30 Hz. Die notwendige
Kompensierung von Resonanzen im Bereich von 110 bis 120 Hz ist durch Anpassen der OpenLoop-Transferfunktion mit dem Computerprogramm LISO möglich.
74
4. M ESSUNGEN ZUR AKTIVEN SEISMISCHEN I SOLATION
−10
lineare spektrale Dichte des Geophonsignals (dBV)
Messung oberhalb des Stacks
Messung auf dem Erdboden
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
0
1
10
10
2
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.21: Messung der seismischen Isolation durch Feedback-Regelung in vertikaler Richtung Stack 1
4.9 Vertikale seismische Isolation mit Feedback durch 3 geregelte Stacks
75
−10
lineare spektrale Dichte des Geophonsignals (dBV)
Messung oberhalb des Stacks
Messung auf dem Erdboden
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
0
1
10
10
2
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.22: Messung der seismischen Isolation durch Feedback-Regelung in vertikaler Richtung Stack 2
76
4. M ESSUNGEN ZUR AKTIVEN SEISMISCHEN I SOLATION
−10
lineare spektrale Dichte des Geophonsignals (dBV)
Messung oberhalb des Stacks
Messung auf dem Erdboden
−20
−30
−40
−50
−60
−70
−80
0
1
10
10
2
10
Frequenz (Hz)
Abbildung 4.23: Messung der seismischen Isolation durch Feedback-Regelung in vertikaler Richtung Stack 3
Zusammenfassung und Ausblick
Mit Hilfe einer aktiven seismischen Isolation, die im Bereich von 0,1 bis 30 Hz arbeitet, ist es möglich, die durch Bewegungen des Erdbodens angeregte rms-Bewegung eines optischen Resonators
stark zu reduzieren. Dadurch erreicht man, dass die Länge des Resonators mit vergleichsweise
kleinen Kräften auf eine Laserfrequenz stabilisiert werden kann.
Ziel dieser Arbeit war es, eine aktive seismische Isolation mit Feedback-Regelkreisen und Feedforward-Steuerungen zu entwickeln. Als Sensoren wurden Geophone verwendet und als Stellelement kam ein 3D-Piezo-Aktuator zum Einsatz. Die aktive seismische Isolation soll in einem
Experiment zum Standard-Quantenlimit der Interferometrie sowie für den Gravitationswellendetektor GEO600 eingesetzt werden.
Zunächst wurden Messungen direkt am Aktuator durchgeführt. Mittels eines Digital-SignalProcessing-Boards, das mit einer speziell entworfenen Transferfunktion programmiert wurde, ist
ein Feedback-Regelkreis sowie eine Feedforward-Steuerung aufgebaut worden. Es wurde gezeigt,
dass eine aktive seismische Isolation sowohl mit Feedforward als auch mit Feedback realisierbar
ist. Mit der Feedback-Regelung wurde bei einer Frequenz von 4 Hz bis zu 25 dB Unterdrückung
erreicht, mit der Feedforward-Steuerung 30 dB bei 2 Hz. Es wurde weiterhin demonstriert, dass
durch Kombination der beiden Verfahren wesentlich höhere Werte der Isolation von bis zu 40 dB
erreicht werden können.
Anschließend wurden die mechanischen Resonanzen des Piezo-Aktuators unter Last sowie das
Übersprechen zwischen den Achsen des Piezos untersucht, was die Stabilität der Regelkreise beeinflussen kann. An einem Aufbau, der mit dem für die Messungen zum Standardquantenlimit
vergleichbar ist, wurde gezeigt, dass eine vertikale seismische Isolation allein durch Feedback von
18 dB zu erreichen ist. Dabei wurde demonstriert, dass die vertikalen mechanische Resonanzen
des Piezos, die außerhalb der gewünschten Regelbandbreite liegen, durch Kompensation im DSP
unterdrückt werden können. Unkompensiert führten die Resonanzen zur Instabilität des Regelkreises. Die horizontalen Achsen des Piezo zeigten mechanische Resonanzen im Regelbereich, so
dass eine Kompensation schwieriger ist und noch nicht vollständig durchgeführt werden konnte.
Diese Kompensation und das Schließen des Regelkreises ist der nächste Schritt. Um die Leistung
der Regelkreise noch zu verbessern, ist es denkbar, ausgefeiltere Filter zu verwenden, um die Verstärkung im Regelbereich noch zu erhöhen. Weiterhin sind die Feedforward-Steuerungen zu entwickeln, um ein vollständigen aktives Isolationssystem zu erhalten, das im StandardquantenlimitExperiment und im Gravitationswellendetektor GEO600 implementiert werden kann.
Anhang A
Schaltpläne
Auf den folgenden Seiten werden die Schaltpläne der verwendeten Elektronik dargestellt. Abbildung A.1 zeigt den Aufbau des Geophonverstärkers für die 1-Hz-Geophone, Abbildung A.2
den für die 2-Hz-Geophone. Der Aufbau des Verteilers, der die Signale der Vorverstärker auf die
Kanäle der DSP-Boards verteilt und die dort erzeugten Signale auf den HV-Verstärker gibt, ist in
Abbildung A.3 dargestellt.
Sämtliche Schaltungen wurden von Aniello Grado mit Hilfe des Computerprogramms Eagle entworfen.
80
A. S CHALTPLÄNE
Abbildung A.1: Schaltplan 1-Hz-Geophon-Vorverstärker
81
Abbildung A.2: Schaltplan 2-Hz-Geophon-Vorverstärker
82
A. S CHALTPLÄNE
Abbildung A.3: Schaltplan Verteiler
Anhang B
Fotos des Aufbaus
Die in diesem Kapitel gezeigten Fotos sollen einen Überblick über die Anordnung der Komponenten der aktiven seismischen Isolation geben. Die Fotos zeigen den Aufbau, der für den Gravitationswellendetektor GEO600 benutzt wird. Er unterscheidet sich nur in dem an dem Blattfedern
aufgehängten Komponenten von dem Aufbau, der für die Messung der Rauschquellen benutzt
wird.
84
B. F OTOS DES AUFBAUS
Rotational-Stage
Stack-Stabilizer
Stacks
Vakuumtank
Abbildung B.1: Vakuumtank
85
Rotational-Stage
Stack-Stabilizer
Gummilage
Zwischenmasse
Geophon-Halter
(ohne Geophone)
Piezo
Abbildung B.2: aktive Isolation - Seitenansicht
86
B. F OTOS DES AUFBAUS
Stack 1
Blattfedern
Stack 2
Rotational-Stage
Stack 3
Abbildung B.3: aktive Isolation - Ansicht von oben
Abbildungsverzeichnis
1.1
Pound-Drever-Hall-Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Stahlungsdruck: Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Stahlungsdruck: Reflexion eines Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Lineare spektrale Dichte der natürlichen horizontalen seismischen Anregung am
Standort des Gravitationswellendetektors GEO600 . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.5
Spektrum thermisches Rauschen durch viskose Dämpfung (Q = 100) . . . . . .
13
2.1
Prinzip der passiven seismischen Isolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2
passive seismische Isolation - Amplituden- und Phasenverlauf . . . . . . . . . .
17
2.3
Dämpfung der Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.4
Transferfunktion mit einem reellen Pol bei 1 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.5
Transferfunktion mit einer reellen Nullstelle bei 1 Hz . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.6
Transferfunktion mit einem Paar komplexer Pole . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.7
Transferfunktion mit einem Paar komplexer Nullstellen . . . . . . . . . . . . . .
25
2.8
Zeitantwort eines Systems in Abhängigkeit der Lage des Pole der Transferfunktion 27
2.9
Open-Loop-Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.10 Feedback-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.11 Closed-Loop Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.12 Veranschaulichung der Amplituden- und Phasenreserve . . . . . . . . . . . . . .
31
2.13 Prinzipskizze Feedforward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.14 Aliasing bei AD-Wandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
88
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
2.15 Aliasing: Analoges Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.16 Aliasing: Spiegelung hochfrequenter Komponenten in das Intervall ( 1Hz; 1Hz)
35
2.17 Treppenbildung durch DA-Wandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.1
Experimenteller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2
Detailansicht eines Stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.3
Schema Feedback-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.4
Schema Feedforward-Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.5
Prinzipskizze der seismischen Isolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.6
Prinzipskizze Geophon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.7
Transferfunktion der Geophone mit 2 Hz Resonanzfrequenz . . . . . . . . . . .
44
3.8
Aufbau des Piezo-Aktuators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.1
Seismisches Spektrum im Labor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.2
Messung der Übersprechens zwischen den Piezo-Achsen x und y - Piezo ohne Last 52
4.3
Messung der Übersprechens zwischen den Piezo-Achsen x und y - Piezo ohne Last 53
4.4
Versuchsaufbau der Feedforward-Steuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.5
Messung der seismischen Isolation durch Feedforward-Steuerung in einer horizontalen Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.6
Versuchsaufbau der Feedback-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.7
Verlauf der Transferfunktion H1 des Regelfilters . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.8
Messung der seismischen Isolation durch Feedback-Regelung in einer horizontalen Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Messung der seismischen Isolation durch Feedback-Regelung und FeedforwardSteuerung in einer horizontalen Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.10 Messung der Übersprechens zwischen den Piezo-Achsen x und y - Piezo mit 7 kg
Last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.11 Messung der Übersprechens zwischen den Piezo-Achsen x und z - Piezo mit 7 kg
Last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.9
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
89
4.12 Messung der seismischen Isolation in x-Richtung durch Feedback-Regelung in xund y-Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.13 Messung der seismischen Isolation in y-Richtung durch Feedback-Regelung in xund y-Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.14 Transferfunktion der Piezo-Geophon-Kombination; Anregung der x-Richtung . .
67
4.15 Transferfunktion der Piezo-Geophon-Kombination; Anregung der y-Richtung . .
68
4.16 Transferfunktion der Piezo-Geophon-Kombination; Anregung der z-Richtung . .
69
4.17 z ! z-Transferfunktion von Stack 2 - Bereich zwischen 100 und 200 Hz . . . . .
70
4.18 graphische Ausgabe des Programms LISO zur Anpassung der z ! z-Transferfunktion von Stack 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.19 kompensierte z ! z-Transferfunktion von Stack 2 - Bereich zwischen 100 und 200
Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
4.20 Signale der Geophone bei ausgeschalteter Regelung . . . . . . . . . . . . . . . .
73
4.21 Messung der seismischen Isolation durch Feedback-Regelung in vertikaler Richtung - Stack 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4.22 Messung der seismischen Isolation durch Feedback-Regelung in vertikaler Richtung - Stack 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.23 Messung der seismischen Isolation durch Feedback-Regelung in vertikaler Richtung - Stack 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
A.1 Schaltplan 1-Hz-Geophon-Vorverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
A.2 Schaltplan 2-Hz-Geophon-Vorverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
A.3 Schaltplan Verteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
B.1 Vakuumtank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
B.2 aktive Isolation - Seitenansicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
B.3 aktive Isolation - Ansicht von oben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Literaturverzeichnis
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[3] K. DANZMANN, H. L ÜCK, A. RÜDIGER, R. S CHILLING, M. S CHREMPEL, W. W INKLER,
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[4] R. W. P. D REVER, J. L. H ALL, F. V. KOWALSKI, J. H OUGH, G. M. F ORD und A. J. M UN LEY: Laser phase and frequency stabilisation using an optical resonator. Appl. Phys. B,
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Systems. Addison-Wesley Publishing Company, 1995. zitiert auf Seite:32
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Institut für Atom- und Molekülphysik, Dezember 1995. zitiert auf Seite:3
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friction. Phys. Lett. A, 201:12–18, 1995. zitiert auf Seite:
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circuits. Private Mitteilung, 1997. zitiert auf Seite: 58
[9] O. J ENNRICH: Das Quantenlimit der Interferometrie. Doktorarbeit, Universität Hannover,
Institut für Atom- und Molekülphysik, Juli 1998. zitiert auf Seite:9, 11, 11, 37
[10] V. L EONHARDT: Aufbau eines Interferometers zur quantenlimitierten Längenmessung. Diplomarbeit, Universität Hannover, Institut für Atom- und Molekülphysik, September 1999.
zitiert auf Seite: 3, 37
[11] J. L OGAN, J. H OUGH und N. A. ROBERTSON: Aspects of the thermal motion of a mass
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LITERATURVERZEICHNIS
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[13] R. V. P OUND: Electronic frequency stabilization of microwave oscillators. Rev. Sci. Instrum., 17:490–505, 1946. zitiert auf Seite: 3
[14] P. R. S AULSON: Fundamentals of Interferometric Gravitational Wave Detectors. World
Scientific, 1994. zitiert auf Seite: 11, 11
[15] P. R. S AULSON: Thermal noise in mechanical experiments. Phys. Rev. D, 42:2437, 1990.
zitiert auf Seite:
[16] S. T RAEGER: Thermisches Rauschen - Eine Empfindlichkeitsgrenze der Interferomtrie. Doktorarbeit, Universität Hannover, Institut für Atom- und Molekülphysik, Juli 1998. zitiert auf
Seite: 11, 37
[17] S. T RAEGER, B. W ILLKE und K. DANZMANN: Monolithically suspended fused silica with
very high mechanical Q. Phys. Lett. A, 225:181–189, 1997. zitiert auf Seite:
Danksagung
Die Anfertigung dieser Arbeit war nur mit Hilfe zahlreicher Personen möglich, denen ich hier
meinen Dank aussprechen möchte.
Zunächst gilt mein Dank Prof. Dr. Karsten Danzmann, der die Durchführung dieser Arbeit überhaupt erst ermöglichte. Sein Optimismus und seine Begeisterung für physikalische Probleme wirkten stets motivierend.
Besonderer Dank geht an die Betreuer, die mich in der Zeit meiner Diplomarbeit hervorragend
unterstützten. Zunächst war dies Stefan Traeger, der mein Interesse an dem Experiment zum Standardquantenlimit der Interferometrie geweckt hat. Einen sehr großen Anteil am Gelingen dieser
Arbeit hat Aniello Grado, der mit mir zusammen die meisten der in dieser Arbeit vorgestellten
Ereignisse erarbeitete und mir mit viel Geduld die notwendigen Kenntnisse in Bereich der Regelungstechnik beibrachte. Die Zusammenarbeit hat mir viel Spaß gemacht und ich konnte in
hohem Maße von seinen Fähigkeiten profitieren. Mit ebensoviel Einsatz und Geduld unterstützte
mich Patrick Klövekorn bei meiner Arbeit. Er fand immer Zeit für mich und half mir mit seiner
freundlichen Art stets bei der Lösung von Problemen.
Mein Dank gilt auch allen anderen Mitarbeitern des Instituts, die für eine angenehmes Arbeitsklima sorgten. Hier möchte ich besonders Volker Leonhardt, Michèle Kirchner und Uta Weiland
nennen, die mich während meines gesamten Studiums begleiteten. Auch den anderen Diplomanden Stefan Goßler, Hartmut Grote und Frank Homann sowie den Doktoranden und Doktoren Volker Quetschke, Mario Müller, Andreas Freise, Alessandra Rocco, Sascha Brozek, Harald Lück,
Benno Willke, Kasem Mossavi, Peter Aufmuth und Rolf-Hermann Rinkleff möchte ich meinen
Dank für ihre Hilfsbereitschaft und Unterstützung aussprechen.
Danken möchte ich auch denjenigen, die sich viel Zeit nahmen, um Manuskripte dieser Arbeit zu
lesen und zahlreiche Fehlerkorrekturen und Verbesserungsvorschläge lieferten: Hier sind Patrick
Klövekorn, Benno Willke, Andreas Freise und Kasem Mossavi zu nennen.
An dieser Stelle möchte ich mich auch bei meiner Familie bedanken, die mich während der gesamten Zeit meines Studiums unterstützte.
Selbstständigkeitserklärung
Hiermit versichere ich, die vorliegende Arbeit selbständig und nur mit den angegebenen Hilfsmitteln erstellt zu haben.
Hannover, den 30. September 1999
(Karsten Kötter)