Identifizierungstopologie, Zusammenkleben von topologischen

Identifizierungstopologie,
Zusammenkleben von topologischen
Räumen
Katharina Schalk
[email protected]
Proseminar Lineare Algebra (WS 2013/2014)
Seminarleitung: Prof. Dr. Lorenz Schwachhöfer
Prüfungsdatum: 26.11.2014
Inhaltsverzeichnis
1. Identifizierungstopologie
1.1 Definition............................................................................................................
1.2 Definition............................................................................................................
1.3 Satz......................................................................................................................
2. Zusammenkleben von topologischen Räumen
2.1 Definition..............................................................................................................
2.2 Definition n-dimensionale Zelle...........................................................................
2.3 Definition Ankleben.............................................................................................
3. Literaturverzeichnis
1. Identifizierungstopologie
Jede Abbildung
f : X →Y
induziert eine Äquivalenzrelation durch
x∼ y ⇔ f (x )= f ( y )
Beweis:
1. reflexiv:
x∼ x ⇔ f ( x)= f ( x)
2. symmetrisch:
3. transitiv:
x∼ y ⇔ f (x )= f ( y )⇔ f ( y )= f ( x )⇒ y∼x
x∼ y ⇔ f (x )= f ( y )∧ y∼z ⇔ f ( y )= f (z )⇒ f ( x)= f (z )⇒ x∼z
Wiederholungen:
•
[ x]:={ y∈ X : x∼y } :Äquivalenzklasse
•
X/~ :={[ x]: x∈ X } : Menge der Äquivalenzklassen (Quotientenmenge)
•
̄f : ist Homöomorphismus ( ̄f
stetig und
̄f
ist bijektiv und
̄ stetig)
f (−1)
1.1 Definition:
Sei f : X →Y eine Funtion und X topologischer Raum. Die Quotiententopologie auf Y bzgl. f
ist definiert als: Eine Menge A in Y ist genau dann offen, wenn
p−1( A) offen in X ist. Die
Quotiententopologie ist die feinste Topologie, für die p stetig ist.
Dann ergibt sich eine Projektion
p : X → X/~, mit x → [ x] eine Bijektion
→ f ( X ) , mit [ x] → f ( x ) und eine Injektion
folgende Zerlegung von
j : f ( X )→ Y , mit
̄f : X/~
f ( x )→ f (x) so dass
f entsteht:
f : X → X/~ → f ( X ) →Y
Bild:
X/~
X
p
̄f
f
Y
j
f(X)
x ∈ X und f ( x)⊂Y
̄f ([ x ]):= f ( x)∈ f ( X ) Wohldefiniert:
Injektiv:
x∼ y ⇒ f (x )= f ( y )
̄f ([ x 1 ])= ̄f ([ x 2]) ⇒ f ( x 1 )= f ( x 2 )⇒ x 1∼x 2 ⇒[ x1 ]=[ x 2 ]
Surjektiv: Sei y ∈ f ( X ) . Es gibt x ∈X mit y= f ( x)⇒ y= ̄f ([ x ])= f (x)
1.2 Definition:
f : X →Y sei eine stetige Abbildung, X/~ trage die Quotiententopologie bzgl. p und f(X) die von
Y induzierte Unterraumtopologie. Ist
̄f : X/~ → f ( X ) ein Homöomorphismus, so heißt f
identifizierende Abbildung. Ist außerdem f surjektiv, so heißt die Topologie von Y
Identifizierungstopologie bezüglich f.
Wiederholungen:
•
Unterraumtopologie: Ist U Teilmenge eines topologischen Raumes (X,O), so wird
durch OU :={T ∩U :T ∈O} eine Topologie auf U erklärt. Sie heißt
Unterraumtopologie und (U,OU) heißt Unterraum von X
f ( X )⊂Y daher kan man auf f(X) die von Y induzierte Unterraumtopologie
•
betrachten
f : X →Y heißt offen, wenn für alle O⊆ X offen gilt:
•
f (O)⊂Y ist offen
1.3 Satz:
Ist
f : X →Y stetig, so gilt:
a) Die Abbildungen p, ̄f
b) Ist
und j sind stetig.
f : X →Y außerdem surjektiv und offen, so trägt Y die Identifizierungstopologie
bezüglich f
Beweis:
zu a) - j ist stetig, da
f ( X ) die Unterraumtopologie trägt und laut Definition j stetig
sein muss;
- p ist stetig, da
X / ~ die Quotiententopologie trägt und laut Definition p
stetig sein muss
-
O⊆ f ( X )offen ⇒ O= f ( X )∩U ,
f (−1) (U )⊆ X offen
U ⊆Y offen.
(f stetig)
( j ∘ ̄f ∘ p)(−1) (U )⊆ X offen
⇒
( p(−1) ( f ̄(−1) (⏟
j (−1) (U )) ))⊆X offen ,
U ∩ f ( X )=O
p(−1) ( f̄−1 (O))⊆ X offen ⇒( Def. Quotiententopologie)⇒ f ̄(−1) (O)⊆ X / ~
⇒ ̄f stetig
p
̄f
X/~
f: X
f(X)
j
Y
Projektion, also Surjektion
Inklusion, also Injektion
Stetig, da Quotiententopologie auf X/~
Stetig, da Unterraumtopologie auf f(X)
Bijektion
zu b) f(O) ist offen, wenn O offen
–
f ist offen.
–
(−1)
Zu zeigen: ⇒ f ̄ stetig ⇒ ̄f Homöomorphismus.
–
O⊆ X /~ offen
⇒(Def.)⇒ p
(−1)
(−1)
(O)⊆ X offen ⇒( f offen)⇒ f ((⏟
p (O )) )⊆Y offen
̄f (O )
–
̄ stetig :O⊆ X offen ⇒ f ̄(−1) ( f (O))= p(O) offen ⇒ f (O)offen
f (−1)
Beispiele:
a) Sei
X :=[0,2 Π]⊂ℝ und S 1 der Einheitskreis der euklidischen Ebene. Dann ist
f : X →S 1 mit
f (x )=( cos x , sin x ) eine offene, surjektive , stetige Abbildung.
Unter der Äquivalenzrelation
x∼ y ⇔ f ( x )= f ( y ) ist [0,2п]/~ nach 1.3 homöomorph
zum Einheitskreis
f (0)=(1,0)
f ( Π )=(0,1)
2
f (Π)=(−1,0)
f (3 Π )=(0,−1)
2
y ∈S 1, f (arg ( y ))= y ist.
•
f surjektiv, da für
•
f stetig, da sin(x), sowie cos(x) stetig sind
•
f(x) ist offen.
→ Beweis:
A⊆[0, 2 π] /~ ist offen, wenn
p(−1) ( A)⊂[0,2 π] offen, d.h.
p(−1) ( A)⊂[0, 2 π]offen oder p(−1) ( A) enthält [0,2 π]∪[2 π−ϵ , 2 π] für 2 π>ϵ>0
b) Sei X= ℝ
3
\{0},
x=( x 1, x 2, x 3)∈ℝ
3
√(x +x + x )
2
1
, ||x||=
2
2
2
3
und ̄x =
x
∈S 2 ,
∥x∥
f : X → S 2, f ( x)=̄x
||x|| Länge eines Vektors x im ℝ
•
2
3
ist die Menge aller Einheitsvektoren
•
S
•
̄x „Normalvektor“: Länge 1 und gleiche Ausrichtung wie x
Die Äquivalenzrelation ~ auf X sei definiert durch
x∼ x ' ⇔ f (x )= f ( x ') ⇔∃λ∈ℝ , λ>0 und
Äquivalenzklasse von x. Dann ist
x '=λ x und es bezeichne [x] die
̄f : X/~ → S 2 mit
̄f ([ x ]):= ̄x ein Homöomorphismus
Dazu:
⇒
f ( x )= f ( y) ,
⇐
y=λ x ,
x
y
=
∥x∥ ∥ y∥
y=λ x , λ=
∥y∥
>0
∥x∥
(λ x)
(λ x)
(λ x )
y
x
=
=
=
=
⇒ f (x )= f ( y )
∥y∥ ∥(λ x)∥ (∣λ∣∥x∥) (λ∥x∥) ∥x∥
offen
Bild zum Beweis: f :ℝ 3 ∖ 0 → S 3 ist offen
Sei p: X → X/~ die kanonische Projektion. Die Identifizierungstopologie auf
S
2
bezüglich f = ̄f ∘ p stimmt mit der Unterraumtopologie der Teilmenge S 2 von ℝ3
überein, nach Satz 1.3.
•
f: X → X/~ →
S 2 surjektiv und f ist offen (Bild)
c) Auf S 2⊂ℝ 3 sei
x∼−x . Dann ist S 2 /~ die projektive Ebene, und sie wird mit
der Quotiententopologie versehen.
2. Zusammenkleben von topologischen Räumen
2.1 Definition:
Seien X und Y disjunkte topologische Räume,
Abbildung von A in Y. Auf
z 1∼z 2 ⇔
A⊂X abgeschlossen und
X ∪Y sei eine Äquivalenzrelation ~ wie folgt erklärt:
z 1, z 2 ∈ A und f (z 1)= f ( z 2) oder
z 1∈ A , z 2∈ f (A)und f ( z 1)= z 2 oder
z 2 ∈ A , z 1∈ f (A)unf f (z 2 )=z 1 oder
z 1= z 2
Beweis zu Äquivalenzrelation:
1. reflexiv:
z 1∼z 1 ⇔
z 1∈ Aund f ( z 1 )= f ( z 1 )oder
z 1∈ A , z 1∈ f (A)und f ( z 1 )=z 1 oder
z 1= z 1
2. symmetrisch:
z 1∼z 2 ⇔
z 1, z 2 ∈ A und f ( z 1)= f ( z 2) oder
z 1∈ A , z 2∈ f (A)und f ( z 1)= z 2 oder
z 2 ∈ A , z 1∈ f (A)und f ( z 2)=z 1 oder
z 1=z 2
⇒
f : A→Y eine
z 2, z 1 ∈A und f ( z 2)= f ( z 1) oder
z 2 ∈ A , z 1∈ f (A)und f ( z 2)=z 1 oder
z 1∈ A , z 2∈ f (A)und f ( z 1)= z 2 oder
z 2 =z 1
⇒ z 2∼z 1
3. transitiv:
z 1∼z 2 ⇔
z 1, z 2 ∈ A und f ( z 1)= f ( z 2) oder
z 1∈ A , z 2∈ f (A)und f ( z 1)= z 2 oder
z 2 ∈ A , z 1∈ f (A)und f ( z 2)=z 1 oder
z 1= z 2
z 2 ∼z 3 ⇔
z 2, z 3∈A und f ( z 2)= f ( z 3) oder
z 2 ∈ A , z 3∈ f ( A)und f ( z 2)=z 3 oder
z 3 ∈ A , z 2∈ f ( A)und f ( z 3)= z 2 oder
z 2 =z 3
z 1∼ z 3 ⇔
z 1 , z 3∈A und f ( z 1)= f ( z 3 )oder
z 1 ∈ A , z 3 ∈ f ( A) und f ( z 3)= z 1 oder
z 3 ∈ A , z 1 ∈ f ( A) und f ( z 1)= z 3 oder
z 1=z 3
Der Faktorraum ( X ∪Y ) /~ wird mit Y ∪ X bezeichnet und heißt der durch Zusammenkleben
f
von X und Y mittels f entstandene Raum.
Beim Übergang von
X ∪Y zu Y ∪ X wird jeder Punkt aus f(A) mit seinen Urbildern
f
identifiziert.
•
z 1 ∈A , z 2∈ f ( A)und f ( z 1)= z
Urbild
2
f ( A)
f (z 1 )ist Urbild von z 2
X
f(A)
A
z1
f
z2
Beispiele:
Sei X :=[0,1] , A :={0}∪{1}, Y :=[2,3]und f (0):=2, f (1):=3
a)
Dann ist Y ∪ X homöomorph zu einer Kreislinie
f
X
0
1
Y
2
3
b) Sei X ={( x , y)∈ℝ2 : x 2+ y 2⩽1}, A={( x , y)∈ℝ2 : x 2 + y 2=1}
2
Y ={(2,2)∈ℝ }und f ( x , y )=(2,2) für alle( x , y)∈ A
an den Rand von X (=A) wird angeheftet an den Punkt (2,2).
•
f : A → Y , somit
•
f :(x , y )=( 2,2) und
X ∪Y =S
2
f
.
2.2 Definition:
Sei D n die abgeschlossene Einheitskugel des ℝn , e n= D̊ n und S n−1=D n ∖ D̊n
Alle drei Mengen seien mit der Unterraumtopologie versehen.
D n bzw e n (sowie zu diesen homöomorphe Räume) heißt n- dimensionaler Ball bzw. ndimensionale Zelle; es ist S n−1 die (n-1)- dimensionale Sphäre.
S 2 ={ , , ∈ℝ3 :2  2 2=1}
•
Sei
•
S n={x ∈ℝ n+1 :∥x∥=1} n-dimensionale Einheitssphäre
•
S n−1={x∈ℝ n :∥x∥=1}=D n ∖ D̊ n
f :S
Man sagt,
n−1
→ X eine Abbildung in einen topologischen Raum X .
X ∪ D n , ebenso wie jeder dazu homöomorphe Raum, ist aus X durch Ankleben einer
f
n-Zelle mittels f entstanden.
In der Literatur wird auch
X ∪e
f
n
statt
X ∪ D n benutzt.
f
Der anschauliche Begriff „ Ankleben einer Zelle“ lässt sich mit der kanonischen Projektion
p : X ∪Dn → X ∪ D n mathematisch beschreiben:
f
p ┃e n bildet e n homöomorph auf
ab.
Beispiele:
a) Sei
X =D2 , f :=id S . Der Raum
X ∪D
1
D2 durch f an
◦ „Ankleben“ von
2
ist eine 2 dimensionale Sphäre.
f
◦
f : S 1 → S 1, f (a)=a ∀ a ∈S 1
◦
S 1={(ε ,μ)∈ℝ2 :ε2+μ2 =1}⊂ℝ2
D2
2
e1
e0
e
1
e
0
2
e2
e
b) Sei
1
X :={( x , y )∈ℝ 2 : 0⩽x⩽1, 0⩽ y⩽1}, A :={( x , y )∈ X : x=0 oder 1} ,
Y :=[0,1] , und f : A →Y sei definiert durch
Der Raum
M :=Y ∪ X heißt Möbiusband
f
◦ Ankleben von X durch f an Y
f (0, y)= y , f ( 1, y )=1−y
p (e n )
c) Der „Rand“ des Möbiusbandes ist homöomorph zu S 1 . Somit lässt sich an M eine 2Zelle mittels einer Abbildung
1
g :S → δ M ankleben, wobei g ein Homöomorphismus
ist und δ U den Rand von M bezeichnet. Anschaulich formuliert: Der Rand von M
wird mit dem Rand einer Kreisscheibe verklebt. Der entstehende Raum
homöomorph zur projektiven Ebende
P
2
M ∪ D 2 ist
g
.
Der Prozess des Anklebens wird im folgenden auf beliebig viele n-Zellen verallgemeinert.
2.3 Definition:
a) Seien
D n ×{i} ,i∈I ,n-Bälle und
f i : S n−1×{i }→ X stetige Abbildungen der
zugehörigen (n-1)-Sphären in einen topologischen Raum X. Es ist
n−1
S I :=∪ ( S
n−1
×{i }) Unterraum von
i∈I
i∈ I
definiert eine stetige Abbildung
Man sagt nun,
n
n
Di :=∪ ( D ×{i}) und
f (x ,i):= f i ( x)
f : S n−1
→X
I
X '= X ∪D nI entsteht aus X durch Ankleben der n-Zellen
f
e n×{i}, i∈ I
◦ mehrere Bälle (i Stück), mehrere Funktionen (i-Stück), mehreres Ankleben (i-mal)
◦ Sei I endliche Menge
b) Ein nulldimensionaler endlicher CW- Komplex ist eine endliche Menge von Punkten,
versehen mit der diskreten Topologie.
c) Ein n-dimensionaler endlicher CW- Komplex, n≥1, ist ein Raum der Form
X ∪ f e nI , wobei X ein k-dimensionaler endlicher CW- Komplex mit k <n und
e nI =∪(i∈ I ) (e n×{i}) die endliche Vereinigung der disjunkten Teilmengen von nZellen ist. Die Gesamtzahl der Zellen ist im Falle eines endlichen CW- Komplexes
endlich.
S (k−1)
1
f1
S (k−1)
2
f2
S (k−1)
k
…
fk
Beispiele:
a)
S 2 ist homöomorph zu einem zweidimensionalen CW- Komplex. Man klebt zunächst
eine 1-Zelle e 1 an einen Punkt und erhält einen zu S 1 homöomorphen Raum. Durch
Ankleben von zwei 2-Zellen e 21 und e 22 an den entstandenen Raum erhält man einen
zu S 2 homöomorphen Raum.
b) Man erhält auch einen zu S 2 homöomorphen CW-Komplex, indem man eine 2-Zelle an
einen Punkt klebt. (In diesem Beispiel Punkt V).
V
V
V
Ein weiteres Beispiel ist der Torus:
Die Ringfläche ensteht aus dem Quadrat, durch das Zusammenkleben der
gegenüberliegenden Seiten.
c)
Klebt man eine n-Zelle an einen Punkt, so erhält man einen n-dimensionalen CW-Komplex
homöomorph zu S n . (Analog zu b)).
3. Literaturverzeichnis:
1. Mengentheoretische Topologie; B.v. Querenburg; 3.Auflage Springer- Lehrbuch
2. Grundkurs Topologie; Gerd Laures & Markus Szymik
3. Allgemein Topologie 1; René Bartsch; Oldenburg