harmonische Schwingung

Experimentalphysik für ET
Aufgabensammlung
1. Harmonische Schwingung
Ein Reagenzglas mit einer Querschnittsfläche von A = 1, 8 cm2 und der Masse m = 90 g (inkl.
Ballastwasser) wird in Wasser getaucht. Es schwimmt wie in der Abbildung skizziert. Durch
leichtes Anheben wird es aus seine Ruhelage ausgelenkt und losgelassen.
a) Geben Sie einen Ausdruck für die resultierende Kraft an, die auf das Reagenzglas wirkt, und
zeigen Sie, dass diese proportional zur Auslenkung x aus der Ruhelage ist.
b) Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf und geben Sie die allgemeine Lösung der Gleichung
an. (mẍ = −%W asser Agx)
c) Geben Sie Ausdruck und Zahlenwert für die Periodendauer der Bewegung an. (T = 1.42 s)
2. Harmonische Schwingung
Ein Bohrloch reiche durch den Mittelpunkt der Erde bis auf die andere Seite. Es soll die Bewegung
eines Massenpunktes m untersucht werden, der in dieses Loch fallen gelassen wird. Dabei soll
angenommen werden, dass die Erde eine ruhende Kugel mit konstanter Massenverteilung ist.
a) Geben Sie einen Ausdruck für die Gravitationskraft zweier Massenpunkte im Abstand x an.
b) Geben Sie einen Ausdruck für die Masse einer Kugel vom Radius x und der Dichte % an.
c) Ermitteln sie mit den Ergebnissen aus a) und b) die Bewegungsgleichung des Massenpunktes.
(ẍ = −G%Erde 43 πx)
d) Geben Sie die allgemeine Lösung dieser Schwingungsgleichung.
e) Geben Sie die hier gültige Lösung an und ermitteln Sie den Ausdruck für die Frequenz, mit
der sich der Massenpunkt im Bohrloch auf und ab bewegt.
f ) Schätzen Sie die Zeit ab, die der Stein für eine vollständige Schwingung braucht. Nutzen Sie
die folgenden Werte: G = 6, 6742 ∙ 10−11 m3 kg−1 s−2 , %Erde = 5, 515 gcm−3 . (T = 5061 s)
3. Harmonische Schwingung
Zwei Massen m1 und m2 ruhen auf einer reibungsfreien Unterlage und sind an den beiden Enden
einer als massenlos anzusehenden Feder mit der Federkonstanten D befestigt. Die Feder werde
gestreckt und beide Massen werden gleichzeitig losgelassen.
a) Geben Sie einen Ausdruck für die Lage des Schwerpunkts dieses Systems an.
b) Legen Sie den Schwerpunkt in den Ursprung Ihres Koordinatensystems und geben Sie den
Ausdruck für die Kraft an, mit der die Feder an den Massen zieht.
c) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für eine der beiden Massen auf und geben Sie die allge2
meine Lösung dieser Schwingungsgleichung an. (Δẍ2 = −D mm11+m
∙m2 x2 )
d) Geben Sie die hier gültige Lösung an und ermitteln Sie den Ausdruck für die Schwindungsperiode.
4. Harmonische Schwingung
Ein U-Rohr mit einer konstanten Querschnittsfläche A sei mit einer Flüssigkeit der Dichte %
gefüllt. Die Flüssigkeitssäule habe die Gesamtlänge H. Zum Zeitpunkt t0 = 0 sei die Flüssigkeitssäule im U-Rohr so verschoben, dass sich ein Höhenunterschied von Δh zwischen den beiden
Seiten ergibt.
a) Geben Sie einen Ausdruck für die Masse einer Flüssigkeitssäule mit der Querschnittsfläche
A, der Dichte % und der Höhe x an.
b) Ermitteln Sie mit dem Ausdruck aus a) die Bewegungsgleichung f ür die Flüssigkeitssäule.
(Δḧ = − 2g
H Δh)
c) Geben Sie eine allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung aus b) an.
d) Geben Sie die für den hier skizzierten Fall geltende Lösung an.
e) Geben Sie den Ausdruck für die Periodendauer der Schwingung als Funktion der
Gesamtlänge H und der Erdbeschleunigung g an.
f ) Für 10 Schwingungen wird eine Zeit von t = 7 s gemessen. Wie lang ist die verwendete
Flüssigkeitssäule? (H = 24.3 cm)
5. Harmonische Schwingung
Durch eine homogen geladene Kugel mit der Gesamtladung Q und dem Radius R werde eine geradlinige Bohrung getrieben. Die Wände der Bohrung seinen reibungsfrei. Es soll die Bewegung
eines Massenpunktes m mit der Ladung q durch diesen Bohrung untersucht werden. Dabei soll
angenommen werden, dass die Ladungen von Kugel und Massenpunkt unterschiedliche Vorzeichen haben. Nutzen Sie als Zahlenwerte | Q |= 1016 e, | q |= 102 e, m = 0, 1 g und R = 0, 1 m.
~ der Kugel als Funktion
a) Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß’schen Satzes das elektrische Feld E
des Abstands r vom Mittelpunkt.
b) Geben den allgemeinen Ausdruck für die Kraft auf Teilchen der Ladung q im elektrischen
~ an.
Feld E
c) Ermitteln sie mit den Ergebnissen aus a) und b) die Bewegungsgleichung des Massenpunktes.
(mr̈ = − 4πεqQ
3 r)
0R
d) Geben Sie die allgemeine Lösung dieser Schwingungsgleichung an.
e) Geben Sie die spezielle Lösung für das hier untersuchte System an und ermitteln Sie den
Ausdruck für die Frequenz, mit der sich der Massenpunkt in der Bohrung hin und her
bewegt, wenn er zum Zeitpunkt t = 0 auf Höhe der Kugeloberfläche startet.
f ) Schätzen Sie die Zeit ab, die der Massenpunkt für eine vollständige Schwingung braucht.
Geben Sie zusätzlich die Werte für die maximale Geschwindigkeit und die maximale Beschleunigung an, die der Massenpunkt erfährt. (T = 5.27 ∙ 10−6 s, vmax = 120 km/s,
amax = 1.44 ∙ 1011 m/s2 )
6. Harmonische Schwingung
Ein kleines Teilchen der Masse m1 gleite reibungsfrei in einer kleinen kugelförmigen Schale mit
dem Radius r. Das Teilchen werde zu Beginn um ein kleines Stück s1 mit s1 r aus der tiefsten
Stelle der Schale ausgelenkt.
a) Zeichnen Sie ein Kräftediagramm für die Masse m1 , wenn Sie um s1 ausgelenkt ist.
b) Ermitteln Sie aus dem Diagramm aus a) den Ausdruck für die rücktreibende Kraft und
stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Masse m1 auf. (θ̈1 = − gr θ1 )
c) Geben Sie eine allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung aus b) an.
d) Geben Sie die für den hier skizzierten Fall geltende Lösung an.
e) Geben Sie den Ausdruck für die Periodendauer der Schwingung an.
f ) Ein zweites Teilchen der Masse m2 = 2m1 wird auf der anderen Seite der Schale um die
Strecke s2 = 3s1 ausgelenkt. Es gilt auch hier s2 r. Wo treffen sich die Teilchen, wenn
beide zur gleichen Zeit losgelassen werden?
7. Harmonische Schwingung
Ein Gegenstand der Masse M = 2 kg ist am oberen Ende einer am Boden verankerten Feder mit
der Federkonstante D befestigt. Die entspannte Feder ist h = 80 cm lang; mit Gewicht ergibt
sich eine Gleichgewichtslage von h0 = 70 cm. Der ruhenden Masse werde in der Gleichgewichtslage (z.B. durch einen kurzen Hammerschlag) eine Geschwindigkeit von 0, 36 m/s nach unten
verliehen.
a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Masse M auf, wenn diese aus der GleichgewichtsD
lage ausgelenkt wird. (ẍ = − M
x)
b) Geben Sie die allgemeine Lösung dieser Gleichung an.
c) Geben Sie die unter den hier vorliegenden Randbedingungen g ültige Lösung an.
d) Ermitteln Sie anhand der gegebenen Größen die Zahlenwerte für Amplitude und Frequenz
der Schwingung. (f = 1.57 Hz, A = 3.6 cm)
e) Welche Anfangsgeschwindigkeit muss der Masse verliehen werden, damit die Feder vollst ändig
entspannt, wenn die Masse ihre maximale Entfernung vom Boden erreicht? Gesucht ist der
Zahlenwert. (v0 = 0.99 m/s)
8. Harmonische Schwingung
Ein senkrecht stehender, drehbar gelagerter masseloser Stab der Länge ` mit der Punktmasse m am oberen Ende wird im Abstand a vom Drehpunkt von einer Schraubenfeder mit der
Federkonstanten D gehalten.
~ an.
a) Geben Sie die allgemeine Definition für das Drehmoment M
b) Geben Sie den Betrag des Drehmoments an, das durch die Feder auf den Stab ausge übt wird.
c) Geben Sie den Betrag des Drehmoment an, das durch die Masse m auf den Stab ausgeübt
wird, wenn der Stab um den Winkel α ausgelenkt wird.
d) Stellen Sie mit den Ausdrücken aus b) und c) die Bewegungsgleichung für die Drehschwingung
der Masse m auf. (Tipp: Nutzen Sie aus, dass für kleine Werte von α sin α ≈ tan α ≈ α gilt.
Nehmen Sie ferner an, dass das Trägheitsmoment der Punktmasse I = m`2 ist. Achten Sie
2 −mg`
α)
auf die Vorzeichen der Drehmomente.) (α̈ = − Dam`
2
e) Geben Sie die allgemeine Lösung dieser Gleichung an.
f ) Wie groß muss a mindestens sein, damit die Schwingung harmonisch ist?
g) Ermitteln Sie den Zahlenwert für die Frequenz der Schwingung, wenn gilt ` = 16 cm, m =
200 g, D = 100 N/m und a = `/2. (f = 1.27 Hz)