Relationen - Mathematik-Vorkurs für Informatiker

Christian Eisentraut & Julia Krämer
www.vorkurs-mathematik-informatik.de
Mathematik-Vorkurs für Informatiker
Relationen1
Hinweis: Ist bei Aufgaben keine spezielle Schreibweise für Relationen angegeben, die Sie
verwenden sollen, so stellen Sie die Relationen als Mengen von Paaren dar.
Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe)
Notieren Sie die Definitionen der folgenden Begriffe aus dem Kopf ohne im Skript nachzuschlagen und korrigieren Sie dann ihre Lösungen:
(a) Relation über zwei Mengen A und B
(b) funktionale Relation
(c) injektiv
(d) surjektiv
(e) bijektiv
(f) reflexiv
(g) irreflexiv
(h) symmetrisch
(i) antisymmetrisch
(j) transitiv
Kategorie
Aufgabe 2. (Relationen formal darstellen)
Welche Beziehungen stellen die folgenden Relationen dar? Notieren Sie die Relation dann
formal.
Kategorie
Beispiel
(a) {(1, 0), (2, 0), (3, 0), . . . , (2, 1), (3, 1), . . . (3, 2), . . . } – Es wird die >-Relationen
auf
natürlichen Zahlen dargestellt, formal: {(a, b)|(a, b) ∈ N2 ∧ a > b}
(b) {(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), . . . , (2, 1, 2), (2, 2, 4), (2, 3, 6), . . . , (3, 1, 3), (3, 2, 6), (3, 3, 9),
. . . } – Die Relation stellt die Multiplikation natürlicher Zahlen dar, die ersten beiden Komponenten sind die beiden Faktoren, die letzte das Ergebnis.
1
Die vorlegende Sammlung an Übungsaufgaben erstellt von Christian Eisentraut und Julia Krämer
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//creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/.
1
Formal würde die Relation {(a, b, c) ∈ N3 | a · b = c} lauten.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
{(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), . . . , (1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . , (2, 2), (2, 3), (2, 4), . . . }
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), . . . }
{(4, 4), (4, 8), (4, 12), (4, 16), . . . }
{(1, 1, 2), (1, 2, 3), (1, 3, 4), . . . , (2, 1, 3), (2, 2, 4), (2, 3, 5), . . . , (3, 1, 4), (3, 2, 5), (3, 3, 6), . . . }
{(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 11), (6, 13), . . . }
Aufgabe 3. (Relationen natürlichsprachlich)
Stellen Sie jeweils die folgenden natürlichsprachlich notierten Beziehungen als mathematische Relationen dar.
Kategorie
Beispiel
Studenten haben eine eigene Matrikelnummer – {(x, y) ∈ Studenten×M atrikelnummern |
x hat Matrikelnummer y}
(a) Menschen haben Vornamen
(b) Menschen haben Mütter
(c) Menschen haben Großmütter (Hinweis: Stellen Sie diese Relation mit Hilfe der
Relation aus (b) und einer weiteren Relation dar.)
(d) natürliche Zahlen haben eine Binärdarstellung
Aufgabe 4. (Pfeildiagramme)
Zeichnen Sie die als Mengen angegebenen Relationen als Pfeildiagramm. Geben Sie außerdem die Matrixdarstellung an.
Beispiel
Sei die Relation {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} über der Menge {1, 2, 3} gegeben. Die graphische Darstellung sieht wie folgt aus:
2
1
3
Die Darstellung der Relation als Matrix

0
0
0
sieht wie folgt aus:

1 1
0 1
0 0
2
Kategorie
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
{(1, 2), (3, 4), (1, 4), (4, 2)} über der Menge {1, 2, 3, 4, 5}
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} über der Menge {1, 2, 3, 4}
{(a, b) ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 | a teilt b}
{(a, b) | a ∈ {1, 2, 3} ∧ b ∈ {a, b, c}}
{(a, b) ∈ {a, b, c, . . . , x, y, z}2 | b ist der Nachfolger von a im Alphabet}
Aufgabe 5. (Pfeildiagramme)
Geben Sie die als Matrix angegebenen Relationen als Pfeilbilder an.
Kategorie
Hinweis: Es handelt sich um Relationen über natürlichen Zahlen. Die Nummer der Reihe
gibt die erste, die Nummer der Spalte die zweite Komponente des Tupels an.
Beispiel


0 1 0 1
 1 0 1 1


0 0 0 1 beschreibt die Relation {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (4, 1),
1 1 0 1
(4, 2), (4, 4)} mit dem folgenden Pfeilbild:

(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
0
0

1
0

0
0
0
( )
1

0
0
0

1
0
1
1
1
0
0
1
1
0

0 1
1 0

1 1
0 0

0
0
0
0
0
0
1
0
1

0
0
0

1
0
1
2
1
4
3
3
Aufgabe 6. (Eigenschaften in Matrixdarstellung erkennen)
Beschreiben Sie möglichst einprägsam jeweils die Matrizendarstellung
(a) reflexiver
(b) transitiver
(c) antisymmetrischer
(d) symmetrischer
Relationen über natürlichen Zahlen.
Kategorie
Hinweis: Am besten wählen Sie sich jeweils ein bis zwei Relationen, die diese Eigenschaft
haben, stellen diese als Matrix dar und suchen charakteristische Merkmale.
Aufgabe 7. (Inverse Relation)
Geben Sie zu den Relationen aus Aufgabe ?? die inversen Relationen als Menge, als
Pfeilbild und in Matrixdarstellung an.
Kategorie
Beispiel
Die inverse Relation zum Beispiel von Aufgabe 8.??: Die inverse Relation lautet
{(2, 1), (4, 1),
(1, 2), (3, 2), (4, 2), (4, 3), (1, 4),


0 1 0 1
1 0 0 1

(2, 4), (4, 4)}, die Matrixdarstellung 
0 1 0 0 und das Pfeilbild:
1 1 1 1
2
1
4
3
Aufgabe 8. (Komposition von Relationen)
Zeichnen Sie die Komposition der folgenden Relationen. Die Relation sind in der Reihenfolge zu komponieren, wie sie in der Aufgabenstellung aufgeführt sind.
Beispiel
Die angegebene Reihenfolge für die Relationen sei {(1, 3), (3, 2)} und {(2, 1), (3, 3)}.
4
Kapitel 3
Damit ist die Komposition, die zu bilden ist, {(1, 3), (3, 2)} ◦ {(2, 1), (3, 3)}. Es lässt
sich (1, 3) mit (3, 3) und (3, 2) mit (2, 1) über die Definition der Komposition “zusammenbringen”. Als Pfeilbild sieht die Komposition so aus:
2
3
(a)
(b)
(c)
(d)
1
{(1, 2), (1, 3), (2, 3)} und {(3, 1), (2, 2), (3, 2)} über {1, 2, 3}
{(a, b) ∈ N2 | a = b + 1} und {(a, b) ∈ N2 | a > 0 ∧ a = b − 1}
{(1, 4), (2, 4), (3, 4)} und {(4, 4)} über {1, 2, 3, 4}
{((1, 1), (2, 2)), ((1, 2)(2, 1)), ((1, 2), (3, 1)), ((3, 1), (4, 1))} und {((1, 2), (3, 4)), ((3, 2), (1, 1)),
((2, 2), (2, 3)), ((3, 1), (4, 4))} über ({1, 2, 3, 4}2 )2
Aufgabe 9. (Beispiele zu Eigenschaften finden)
Geben Sie ein Beispiel dafür an, dass es Relationen gibt, die weder symmetrisch noch
antisymmetrisch sind.
Kategorie
Aufgabe 10. (Beispiele zu Eigenschaften finden)
Geben Sie eine Relation an, die sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch ist.
Kategorie
Aufgabe 11. (Reflexiv-transitiv-symmetrischer Abschluss)
Schließen Sie die folgenden Relationen reflexiv, transitiv und symmetrisch ab:
Kategorie
Beispiel
{(1, 2), (2, 3), (3, 1)} wird reflexiv über {1, 2, 3} abgeschlossen durch Hinzufügen der
Paare (1, 1), (2, 2) und (3, 3). Die Symmetrie-Eigenschaft erhält man, indem man
die Paare (2, 1), (3, 2) und (1, 3) zur Menge hinzufügt. Die Menge ist nun schon
transitiv, da alle möglichen Paare aus {1, 2, 3} × {1, 2, 3} enthalten sind.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
{(1, 2), (2, 1)} über {1, 2}
{(1, 2), (2, 1)} über {1, 2, 3}
{(1, 2), (2, 1), (2, 3)} über {1, 2, 3}
{(1, 2), (2, 1), (2, 3), (1, 4)} über {1, 2, 3, 4}
{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (4, 2), (3, 2), (2, 2), (2, 1)} über {1, 2, 3, 4}
5
Aufgabe 12. (Reflexiv-transitiv-symmetrischer Abschluss)
Schließen Sie die leere Menge über einer beliebigen Menge M reflexiv, transitiv und
symmetrisch ab.
Kategorie
Aufgabe 13. (Reflexiv-transitiv-symmetrischer Abschluss natürlichsprachlich)
Schließen Sie die Relation “x ist Elternteil von y” transitiv, symmetrisch und reflexiv
ab. Welche Relation erhalten Sie?
Kategorie
Aufgabe 14. (Eigenschaften natürlichsprachlicher Relationen)
Welche Eigenschaften haben diese natürlichsprachlichen Relationen? Notieren Sie die
Relation zunächst als Menge und geben Sie dabei auch die Mengen an, über der die
Relationen definiert sind.
Kategorie
Beispiel
x ist Haustier von y – Formal lautet diese Relation {(x, y) ∈ Haustier × M ensch |
x ist Haustier von y}. Die Relation kann nicht reflexiv, transitiv, symmetrisch oder
antisymmetrisch sein, da Quellmenge und Zielmenge nicht übereinstimmen. Sie ist
links-total, da jedes Haustier ein Menschen hat, der dieses Haustier besitzt (ansonsten wäre das Tier kein Haustier), sie ist aber nicht rechts-total, da es Menschen
gibt, die keine Haustiere haben.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
x
x
x
x
x
x
ist Vater von y
ist Großvater von y
ist Schwester von y
ist die Matrikelnummer von y
ist das Studienfach von y
studiert y
Aufgabe 15. (Eigenschaften beweisen)
Welche der folgenden Relationen sind reflexiv, transitiv, symmetrisch oder antisymmetrisch? Beweisen Sie Ihre Antwort.
Beispiel
R := {(a, a) | a ∈ N} über den natürlichen Zahlen– Die Menge ist reflexiv, transitiv,
symmetrisch und antisymmetrisch.
Textbeweis
Erklärungen
Schlussregel
Reflexivität: ∀x ∈ N : (x, x) ∈
R
Sei ẋ in N beliebig. Dann
gilt: ẋ = ẋ.
∀x : x = x
(∀:Bew),
(∀:Anw)
6
Kategorie
Damit ist (ẋ, ẋ) ∈ R
(Subst)(Definition
der Relation)
Transitivität: ∀x, y, z ∈ N :
(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R →
(x, z) ∈ R
Seien ẋ, ẏ, ż beliebig in N
und (ẋ, ẏ) und (ẏ, ż) in R
enthalten.
(∀:Bew),(∀:Bew),(∀:Bew),
(→:Bew),
(∧:Anw),(Subst)
( Kommutativität ∧),
(∧:Anw)
Dann gilt ẋ = ẏ und ẏ = ż.
(Subst)(Definition
Relation),
(Subst)(Definition
Relation)
Damit gilt dann auch ẋ = ż
und somit (x, z) ∈ R.
Angewendeter Satz:
∀x, y, z ∈ N : x = y ∧ y =
z→x=z
(∀:Anw),
(∀:Anw),
(∀:Anw),
(→:Anw)
Antisymmetrie: ∀x, y :
(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x =
y
Seien ẋ und ẏ beliebig in N.
Ist ẋ ̸= ẏ, dann ist kein Paar
mit x und y in der Relation
enthalten.
(∀:Bew),
(∀:Bew)
Angewendeter Satz: ∀x, y ∈
N : x¬y → ¬(y = x)
Damit ist die Prämisse von
Antisymmetrie immer falsch,
die Aussage damit wahr.
(FU),
(∀:Anw),
(∀:Anw),
(→:Anw)
(Subst)(Definition
→)
Für ẋ = ẏ ist die Konklusion
von Antisymmetrie erfüllt
und die Aussage damit wahr.
□
(W)
Symmetrie: ∀x, y : (x, y) ∈
R → (y, x) ∈ R
Seien ẋ und ẏ beliebig in R.
Dann ist ẋ = ẏ und damit
(ẋ, ẏ) = (ẏ, ẋ).□
(∀:Bew),
(∀:Bew)
Angewendeter Satz: ∀ẋ, ẏ ∈
N : ẋ = ẏ → (ẋ, ẏ) = (ẏ, ẋ)
(Subst)
(Definition
Relation),
(∀:Anw),(∀:Anw),
(→:Anw),
(Subst)
(Definition
Relation)
7
(a)
(b)
(c)
(d)
{(1, 1), (2, 2), (3, 3)} über der Menge {1, 2, 3}
{(1, 1), (2, 2), (3, 3)} über der Menge {1, 2, 3, 4}
{(1, 2), (2, 3), (3, 1), (2, 1), (3, 2), (1, 3)} über {1, 2, 3}
{(a, b) ∈ N2 | a | b} über den natürlichen Zahlen
Aufgabe 16. (Eigenschaften beweisen)
Welche der folgenden Relationen sind links-total bzw. rechts-total? Geben Sie zunächst
Quell- und Zielmenge, sowie Definitions- und Wertebereich an und beweisen Sie dann
wie in Aufgabe ?? Ihre Behauptung.
Kategorie
Beispiel
{(1, 2), (2, 1)} über {1, 2, 3}: Die Quell- und Zielmenge ist {1, 2, 3}, der Definitionsund Wertebereich {1, 2}. Die Relation ist weder links-total, noch rechts-total, da
der 3 kein Wert zugeordnet wird und die 3 nicht getroffen wird.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
{(1, 2), (2, 1)} über {1, 2}
{(1, 2), (2, 3), (3, 1)} über {1, 2, 3}
{(a, a + 1) | a ∈ N} über N
{(a, a − 1) | a ∈ N ∧ a > 0} über N
{(a, a) | a ∈ N} über N
{(a, b) ∈ N2 | a ≤ b} über N
Aufgabe 17. (Beweise)
Zeigen Sie jeweils die Äquivalenz der alternativen Charakterisierungen (aus der Vorlesung) zu den ursprüngenlichen von Transitivität, Antisymmetrie und Symmetrie.
Kategorie
Aufgabe 18. (Eigenschaften beweisen)
Beweisen Sie, dass ⊆ eine Ordnungsrelation ist.
Kategorie
Hinweis: Sie benötigen die Definition von ⊆ für den Beweis.
Aufgabe 19. (Relationen zu Eigenschaften finden)
Finden Sie Relationen, die irreflexiv, transitiv und antisymmetrisch sind. Welche der
Ihnen aus der Vorlesung oder der Schule bekannten Relationen erfüllen diese Eigenschaften?
Hinweis: Irreflexivität einer binären Relation R über einer Menge M ist definiert als
∀x ∈ M : (x, x) ̸∈ R.
8
Kategorie
Aufgabe 20. (Relationen zu Eigenschaften finden)
Konstruieren Sie jeweils eine Äqivalenzrelation, eine Ordnungsrelation, eine Totalordnung und eine Wohlordnung, die bisher noch nicht in der Vorlesung genannt wurden.
Kategorie
Aufgabe 21. (Minimale Elemente)
Was sind jeweils die minimalen Elemente der folgenden Ordnungsrelationen:
(a) ≤ auf der Menge N,
(b) ≤ auf der Menge Z,
(c) ⊆
(d) | auf N ( | bezeichnet die Teilbarkeitsrelation)
Welche dieser minimalen Elemente sind auch Minima?
Kategorie
Aufgabe 22. (Beweise)
Sei die Relation ∼
= über Mengen definiert als M ∼
= M ′ genau dann wenn |M | = |M |.
Zeigen Sie, dass ∼
= eine Äquivalenzrelation ist.
Kategorie
Aufgabe 23. (Beweise)
Beweisen oder widerlegen Sie: {(a, b) | a ∈ Z ∧ b ∈ Z ∧ a − b = 5} ist eine Äquivalenzrelation.
Kategorie
Aufgabe 24. (Beweise)
Beweisen oder widerlegen Sie: {(a, b) | a ∈ Z∧b ∈ Z∧a−5 < b} ist eine Ordnungsrelation.
Kategorie
Aufgabe 25. (Eigenschaften beweisen)
Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv oder bijektiv? Beweisen Sie
Ihre Antwort.
Kategorie
Beispiel
Sei f : R → R, f (x) = x2 . f ist weder injektiv, da z.B. die 1 und die −1 auf den
gleichen Wert abgebildet werden, noch surjektiv, da z.B. −1 nicht getroffen wird.
Damit ist die Funktion auch nicht bijektiv (nach Definition).
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
f:
f:
f:
f:
f:
R \ {0} → R, f (x) = x12
R → R, f (x) = x
R \ {0} → R, f (x) = x1 − 1
R → R, f (x) = x3
R → R, f (x) = x2 + 2
9
Aufgabe 26. (Funktionen zu Eigenschaften finden)
Geben Sie Funktionen an, die die folgenden Eigenschaften besitzen. Verwenden Sie dafür
keine der Funktionen aus Aufgabe ??.
(a) injektiv, aber nicht surjektiv
(b) surjektiv, aber nicht injektiv
(c) bijektiv
Kategorie
Aufgabe 27. (Beweise)
Gibt es Funktionen, die
(a) transitiv
(b) reflexiv
(c) symmetrisch
sind? Wenn ja, geben Sie Beispiele an, wenn nein, begründen Sie wieso.
Kategorie
Aufgabe 28. (Beweise)
Kategorie


injektiv
Beweisen oder widerlegen Sie: Sind zwei Funktionen f und g surjektiv


bijektiv


injektiv
so ist ihre Komposition f ◦ g surjektiv .


bijektiv
,
Aufgabe 29. (Beweise)
Beweisen Sie die folgenden drei Aussagen. Seien dafür f und g beliebige Funktionen:
(a) Ist f ◦ g injektiv, so ist f injektiv.
(b) Ist f ◦ g surjektiv, so ist g surjektiv.
(c) Ist f ◦ g bijektiv, so ist f injektiv und g surjektiv.
Kategorie
Aufgabe 30. (Beweise verstehen)
Identifizieren Sie hier, welche der Schlussregeln angewendet worden sind. Dabei bezeichne
idx die Funktion id : X → X, x 7→ x für eine beliebige Menge X. Zeichnen Sie auch den
dazugehörigen Beweisbaum.
Kategorie
Hinweis: Folgender Beweis stammt (mit kleinen Anpassungen und ergänzenden Erklärungen von uns) aus der Grundvorlesung “Lineare Algebra 1”.
10
Textbeweis
Erklärungen
Schlussregel
Behauptung: Seien M und
N Mengen und sei f : M →
N eine Funktion. Dann ist
f genau dann bijektiv, wenn
eine Abbildung g : N → M
existiert mit g ◦ f = idM und
f ◦ g = idN .
Beweis:
Hinrichtung:
zu zeigen: Es existiert g : N →
M mit g ◦ f = idM und f ◦ g =
idN =⇒ f ist bijektiv.
Annahme: Es existiert g : N →
M mit g ◦ f = idM und f ◦ g =
idN .
Sei y ∈ N . Setze x als g(y) ∈
M.
Dann gilt: f (x) = f (g(y)) =
(f ◦ g)(y) = idN (y) = y für alle
y ∈ N.
Damit ist f surjektiv.
Seien x und x′ ∈ M mit
f (x) = f (x′ ).
Dann gilt: x = idM (x) = (g ◦
f )(x) = g(f (x)) = g(f (x′ )) =
(g ◦ f )(x′ ) = idM (x′ ) = x′ .
Damit ist f injektiv.
Es folgt: f ist bijektiv.
Rückrichtung
zu zeigen:f ist bijektiv =⇒
Es existiert g : N → M mit
g ◦ f = idM und f ◦ g = idN
Annahme: f ist bijektiv
Da f bijektiv ist, gibt es für
jedes y ∈ N genau ein x ∈ M
mit f (x) = y.
Man bezeichne mit xy x ∈ M ,
so dass f (x) = y mit y ∈ N
. Nun definiere man g : N →
M, y 7→ xy . Für jedes y ∈ M
gilt: (f ◦ g)(y) = f (g(y)) =
f (xy ) = y = idN (y).
Man wähle x ∈ M mit f (x) =
y mit y ∈ N .
Dann ist x = xy , da f injektiv
ist.
Es gilt: (g ◦ f )(x) = g(f (x)) =
g(y) = xy = x = idM (x).
Damit erfüllt g die geforderten
Eigenschaften. □
11
Aufgabe 31. (Beweise)
Beweisen Sie: Die Funktion f : R → R, f (x) = x2 − 2 hat keine Nullstelle in Q.
Kategorie
Hinweis: Eine Nullstelle einer beliebigen Funktion g ist ein Element x seines Quellbereiches,
so dass g(x) = 0. Gehen Sie bei diesem Beweis ähnlich vor wie beim Beweis, dass
√
2 ̸∈ Q.
Hinweis: Auf Funktionen kann man äquivalent injektiv und surjektiv auch wie folgt
definieren. Sei f : X → Y eine beliebige Funktion von der Menge X in die Menge Y .
Dann heißt f injektiv, wenn es ∀x, y ∈ X : f (x) = f (y) → x = y erfüllt und surjektiv,
wenn es ∀y ∈ Y : ∃x ∈ X : f (x) = y erfüllt. Auch die Komposition definiert man häufig
auf Funktionen etwas anders: Sei zusätzlich g : W → X eine Funktion von der Menge W
nach X. Dann ist (f ◦ g)(w) := f (g(w)) für w ∈ W .
Definition 1 (Umkehrfunktion und Umkehrabbildung) (a) f −1 ist die Umkehrfunktion zu einer Funktion f , wenn f −1 funktional und die Umkehrrelation von f ist.
(b) f −1 ist die Umkehrabbildung zu einer Abbildung f , wenn f −1 funktional, links-total
und die Umkehrrelation von f ist.
Aufgabe 32. (Beweise)
Beweisen Sie die folgenden beiden Äquivalenzen:
(a) Eine Funktion f besitzt genau dann eine Umkehrfunktion, wenn f injektiv ist.
(b) Eine Abbildung f besitzt genau dann eine Umkehrabbildung, wenn f bijektiv ist.
12
Umkehr
Kategorie