Kapitel 6 (Anwendungen) - Institut für Energieforschung und

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Nichtlineare Optik
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6
Anwendungen des intensitätsabhängigen Brechungsindexes
6.1
Vier-Wellen-Mischen
Die Wechselwirkung von vier Lichtwellen wird als "Four-Wave Mixing" (FWM) bezeichnet.
Ein häufiger Fall ist der, dass alle Wellen die gleiche Frequenz ω besitzen, die
Wechselwirkung also entartet ist (DFWM, "Degenerate Four-Wave Mixing"). Die optische
Phasenkonjugation stellt eine wichtige Anwendung des Vier-Wellen-Mischens dar. Durch
Einstrahlen zweier gegenläufiger Pumpwellen und einer Signalwelle lässt sich eine zur
Signalwelle räumlich konjugierte Welle erzeugen. Diese so genannte phasenkonjugierte
Welle läuft den Weg der Signalwelle exakt zurück und kann damit z.B. zuvor erfolgte
Phasenstörungen der Signalwelle wieder aufheben. Eine typische Geometrie der
Wechselwirkung zeigt die folgende Abbildung mit den Pumpwelle A1,2, der Signalwelle A4
und der phasenkonjugierten Welle A3.
Die phasenkonjugierte Welle wird häufig auch als formal zeitumgekehrte Welle bezeichnet.
Die Signalwelle sei
E4 =
(
r r
r r
*
1
A 4 e i ( ω t − k3 r ) + A 4 e − i (ω t − k3 r )
2
)
Hieraus ergibt sich die phasenkonjugierte Welle entweder durch Konjugation der räumlichen
Anteile oder aber durch die hierzu gleichwertige formale Zeitumkehr t → − t :
E 3 = E 4 (t → − t ) =
(
r r
r r
*
1
A 4 e i (ω t + k 4 r ) + A 4 e − i (ω t + k 4 r )
2
)
Die phasenkonjugierte Welle läuft also in entgegengesetzter Richtung zur Signalwelle
r
r
*
(Ausbreitungskonstante k3 = − k 4 ) und hat komplex konjugierte Amplituden A3 = A4 .
Die oben angesprochene Kompensation von Phasenstörungen lässt sich folgendermaßen
v
zeigen. Läuft eine Welle E1 (r ) von links nach rechts durch ein phasenstörendes Medium und
generiert man hinter dem Medium an einer Stelle z = z0 die hierzu phasenkonjugierte
v
Welle E2 (r ) , so läuft diese rückwärts und entspricht an jeder Stelle der phasenkonjugierten
v
von E1 (r ) . Vor dem störenden Medium werden dann alle Störungen kompensiert.
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Es sei
v
E4 = A4 (r ) ei (ωt − kz )
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v
und erfülle die Wellengleichung mit dem durch ε (r )
beschriebenen Medium:
v
∇ 2 E4 + ω 2 μ 0 ε 0 ε ( r ) E4 = 0
Einsetzen liefert
∂ A4
v
∇ 2 A4 + (ω 2 μ 0 ε 0 ε (r ) − k 2 ) A4 − 2 i k
=0
∂z
Die komplex konjugierte Gleichung hierzu lautet
∂ A4
v
*
*
∇ 2 A4 + (ω 2 μ 0 ε 0 ε * (r ) − k 2 ) A4 + 2 i k
=0
∂z
*
v
In entgegengesetzter Richtung laufe die Welle E3 (r ) mit
v
E3 = A3 (r ) ei (ωt + kz )
und man erhält entsprechend
∂ A3
v
∇ 2 A3 + (ω 2 μ 0 ε 0 ε (r ) − k 2 ) A3 + 2 i k
=0
∂z
v
v
Das Medium sei verlustfrei, d.h. es gilt ε (r ) = ε * (r ) .
Die Wellen E4 und E3 erfüllen die gleiche Differentialgleichung. Falls also die Bedingung
v v
v
* v
E4 (r0 ) = c E3 (r0 ) an einem bestimmten Ort r = r0 erfüllt ist mit einer beliebigen Konstante
v
v
* v
c, so gilt automatisch E4 (r ) = E3 (r ) für beliebige Orte r . In der folgenden Abbildung
entsprechen die Wellen E1,2 den Wellen E4,3.
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Im Folgenden wird die formale Beschreibung der Vier-Wellen-Mischung betrachtet. Das
gesamte elektrische Feld im nichtlinearen Medium besteht aus den vier Komponenten
4
E = ∑ Ei =
s =1
1
2
r v
4
∑ As (ω s ) ei (ωs t − ks r ) + c.c.
s =1
Dieses Feld wird in die nichtlineare Wellengleichung (s. Kap. 3) eingesetzt, wobei dann für
jede Komponente die folgende Gleichung gilt
∇ 2 Es (ω s ) − μ 0 ε 0 ε s
∂2
∂2
=
E
(
ω
)
μ
PNL
s
s
0
∂ t2
∂t2
mit der nichtlinearen Polarisation
PNL (t ) = ε 0
∑
χ
( 3)
q ,r ,l = ±1, ± 2 , ±3
A(ω q ) A(ω r ) A(ω l ) e
r r r v
i ((ω q + ω r + ωl ) t + ( kq + kr + kl ) r )
d.h. PNL (t ) ist eine Summe von 63 = 216 Termen.
Man wählt daher einen bestimmten resonanten Term aus, so dass die Kombination dreier
Frequenzen die vierte ergibt, z.B.
PNL (ω 3 + ω 4 − ω1 ) = 6 ε 0 χ ( 3) E (ω 3 ) E (ω 4 ) E * (ω1 )
Ein Vertauschen der Reihenfolge ergibt die sechs möglichen Permutationen.
Dieses Beispiel enthält weiter die Phasenanpassbedingung
r r
r r
k3 + k 4 = k1 + k 2
Die Beziehung ω s2 μ ε 0 ε s = k s2 und die Annahme langsam veränderlicher Amplituden,
∂2
∂
As << k s
As
2
∂z
∂z
führt auf
− i ks
∂
∂
As e i (ω st − ks z ) + c.c. = μ 0
PNL ,s
∂z
∂t2
Für die Phasenkonjugation seien alle Frequenzen ω und Polarisationen gleich und weiter
r r
r r
k1 + k2 = 0 ,
k3 + k 4 = 0
Wir interessieren uns zunächst für die Amplitude A4 der Signalwelle, für die der folgende
Polarisationsterm eine mögliche Quelle mit der gleichen Frequenz ω4 bildet:
(
)
PNL ,i = 6 ε 0 χ ijkl A1 A2 A3* + χ ijji A1 A1* A4 + χ ikki A2 A2* A4 + χ iiii A4 A4* A4 + χ illi A3 A3* A4 ) e i (ω t − k4 z ) + c.c.
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Alle Polarisationen seien gleich, d.h. nur χ iiii trägt bei, so dass
(
PNL , 4 = 6 ε 0 χ iiii ( A1 A2 A3* + A1 A1* A4 + A2 A2* A4 ) e i (ω t − k 4 z ) + c.c
)
Signal- und phasenkonjugierte Welle sind schwach im Vergleich zu den Pumpwellen,
A3 , A4 << A1 , A2 , d.h. die Terme A4 A4* A4 und A3 A3* A4 sind vergleichsweise klein und werden
vernachlässigt
Damit erhält man die Differentialgleichung
d A4
ω
= −i
dz
2
μ 0 ε 0 ( 3)
ω μ 0 ( 3)
χ ( | A1 |2 + | A2 |2 ) A4 − i
χ A1 A2 A3*
ε
2 ε ε0
mit der Suszeptibilität χ ( 3) = 6 χ iiii . Der erste Term auf der rechten Seite ändert die
Ausbreitungskonstante k der Signalwelle 4 in der Form
k → k+
ω
2
μ 0 ε 0 ( 3)
χ ( | A1 |2 + | A2 |2 )
ε
und beschreibt damit den optischen Kerr-Effekt. Zur weiteren Vereinfachung werden daher
~
neue Amplituden A eingeführt, die diesen zusätzlichen Phasenfaktor enthalten
~ − i (ω / 2
As = As e
μ 0 ε 0 / ε χ ( 3 ) ( A1 + A2 ) ) z
2
2
mit s = 1, 2, 3, 4. Diese Notation impliziert den Fall ohne Pumpwellenerschöpfung, d.h. die
Amplituden A1,2 werden im Folgenden als konstant angesehen. Die Differentialgleichungen
für die Signalwelle 4 und die phasenkonjugierte Welle 3 lauten dann
~
d A3*
ω
=−i
2
dz
μ 0 ε 0 ( 3) ~ * ~ * ~
χ A1 A2 A4
ε
~
d A4
ω
=−i
2
dz
μ 0 ε 0 ( 3) ~ ~ ~ *
χ A1 A2 A3
ε
*
Führt man weiter die Kopplungskonstante κ ein,
κ =
ω
2
μ 0 ε 0 ( 3) ~ ~
χ A1 A2
ε
so lauten die gekoppelten Differentialgleichungen
~
d A3
~
= i κ * A4*
dz
~
~
d A4*
= i κ A3
dz
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~
~
Die allgemeinen Lösungen mit den Startwerten A3 ( L) und A4* (0) sind
cos ( κ z ) ~
~
κ * sin ( κ ( z − L)) ~ *
A3 ( z ) =
A3 ( L) + i
A4 (0)
cos ( κ L)
cos ( κ z )
κ
κ
~
A4 ( z ) = − i
sin ( κ z ) ~
cos ( κ ( z − L)) ~ *
A3 ( L) +
A4 (0)
cos ( κ z )
κ cos ( κ L)
~
Setzt man weiter A3 ( L) = 0 , so beträgt die Amplitude der resultierenden phasenkonjugierten
Welle auf der Eintrittsfläche z = 0
~
κ*
~
A3(0) = − i
tan ( κ L) A4* (0)
κ
und die Signalwelle
~
A4 ( L) =
~
1
A4 (0)
cos ( κ L)
d.h. neben der phasenkonjugierten Welle wird auch die Signalwelle verstärkt. Die
Reflektivität des phasenkonjugierenden Spiegels lautet dann
R pc =
I 3 (0)
= tan 2 ( κ L)
I 4 (0)
Die Werte der Reflektivität können damit größer als eins werden.
Von besonderem Interesse ist der Fall κ L = π / 2 . In diesem Fall werden sowohl die
Verstärkung der Signalwelle als auch die der phasenkonjugierten Welle unendlich groß. Es
kommt wie schon bei der parametrischen Rückwärtsverstärkung (siehe Kap. 4.5) zu einer
Selbstoszillation ohne zusätzliche Spiegel.
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6.2
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Optische Bistabilität
Betrachtet wird ein Fabry-Perot-Resonator, der mit einem Material mit intensitätsabhängigem
Brechungsindex gefüllt ist.
Für die Reflektivität R und Transmission T der Resonatorspiegel gilt R + T = 1. Für den
Fabry-Perot-Resonator findet man allgemein die Transmissionsfunktion („Airy-Kurve“) als
Verhältnis von transmittierter zu eingestrahlter Intensität
It
T2
= 2
I i T + 4 R sin 2 (ϕ / 2)
mit der Phase ϕ für einen vollständigen Umlauf im Resonator der Länge L
ϕ =
2π n
λ
2L
Für den nichtlinearen Brechungsindex gilt wieder n = n 0 + n2I I c mit der Intensität Ic im
Resonator. Die Phase hängt damit von der Intensität ab
⎛ 2π
⎞
( n 0 + n2I I c ) ⎟ 2 L
⎝ λ
⎠
ϕ =⎜
= ϕ 0 + 2 a It
mit
a=
2 π n2I L
λT
und der Phase ϕ0 für den linearen Resonator. Für die relative Transmission ergibt sich somit
das Verhältnis
It
T2
= 2
I i T + 4 R sin 2 (ϕ 0 / 2 + a I t )
Die Funktion I t / I i ( I t ) beschreibt also eine intensitätsabhängige Airy-Kurve.
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Die in der obigen Abbildung eingezeichneten Geraden beschreiben feste
Verhältnisse I t / I i = const. . Die Schnittpunkte sind Lösungen der obigen Gleichung für eine
bestimmte Intensität Ii. Zwei Schnittpunkte bedeutet hierbei Bistabilität: Für einen Wert von Ii
sind zwei Quotienten I t / I i möglich.
Ein alternativer Lösungsansatz beruht auf dem Zeichnen der Funktion I i ( I t ) und
anschließendes Invertieren der Achsen. Dabei treten, je nach Wahl der Größe von ϕ 0 , die drei
verschiedenen Lösungsarten Leistungsbegrenzung (a), differentielle Verstärkung (b) und
Bistabilität (c) auf.
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6.3
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Selbstfokussierung und räumliche Solitonen
Wenn ein fokussierter Lichtstrahl auf ein nichtlineares Medium fällt mit der Eigenschaft
Δn ( I ) > 0 des Materials, so kann eine lichtinduzierte Linse Δn ( I ( x) ) ≡ Δn ( x) entstehen, die
den Strahl fokussiert und der natürlichen räumlichen Dispersion eines gaußschen Strahls
entgegenwirkt. Ein Spezialfall ist die Situation, wenn die räumliche Dispersion exakt durch
Selbstfokussierung kompensiert wird. Man erhält so eine dispersionsfreie Wellenausbreitung
oder eine solitäre Welle. Das solche Wellen unter bestimmten Voraussetzungen
teilchenähnliche Eigenschaften aufweisen, werden sie als Solitonen bezeichnet.
Zur formalen Beschreibung räumlicher Solitonen wird die Wellenausbreitung in einem
nichtlinearen Dielektrikum betrachtet. Das elektrische Feld der Welle sei
E ( x, z,t ) =
(
)
1
E 0 ( x, z ) e i ( k z − ω t ) + c.c.
2
Zur Vereinfachung wird nur eine transversale Dimension in x-Richtung zugelassen, so dass
∂ ∂y = 0 gilt. Die Welle läuft entlang der z-Richtung, wobei die Amplitude x und z abhängt.
Diese Feld soll die nichtlineare Wellengleichung erfüllen, also
( Δ + k'2 ) E = 0
mit der Wellenzahl k ' = k0 n und dem nichtlinearer Brechungsindex n = n 0 + Δn ( E ) :
k ' 2 = k02 ( (n 0 ) 2 + 2 n 0 Δn ( E ) + Δn 2 ( E ) )
≈ k 02 ( (n 0 ) 2 + 2 n 0 Δn ( E ) )
Durch Einsetzen in die Wellengleichung erhält man
⎞
⎛ ∂2
∂2
⎜
⎟ E ( x, z ) e i ( ω t − k z ) = 0
0 2
2
0
+
+
(
k
n
)
+
k
2
n
Δ
n
(
E
)
0
⎜ ∂ x2 ∂ z 2 1
⎟ 0
4024
3
2
k
⎝
⎠
∂ 2 E0
∂ 2 E0
∂ E0
+
+ 2i k
− k 2 E0 + k 2 E0 + k 02 2 n 0 Δn ( E ) E0 = 0
2
2
∂x
∂z
∂z
123
sehr klein
∂ E0
i ∂ 2 E0
i 2 0
−
=
k0 2 n Δn ( E ) E 0
2
∂z
2k ∂ x
2k
Es wir der Kerr-Fall betrachtet mit
Δn ( E ) =
1
n2 E0
2
2
wodurch man die folgende so genannte nichtlineare Schrödinger-Gleichung (NLS) erhält
∂ E0
i ∂ 2 E0 i k n2
−
=
E0
∂z
2 k ∂ x2
4
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2
E0
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Es ist weiter bekannt, dass die nichtlineare Schrödinger-Gleichung solitäre Lösungen besitzt,
z.B. die sech-Funktion:
⎛ x ⎞
E 0 ( x, z ) = Eˆ 0 sec h ⎜ ⎟ exp (i κ z )
⎜x ⎟
⎝ 0⎠
mit
sowie
Eˆ 0
2
n0
=
2 n2
⎛ 1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
κ
x
⎝ 0⎠
2
und
κ=
1
k x 02
⎛ x⎞
2
sec h ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ x0 ⎠ exp ( x / x0 ) + exp (− x / x0 )
Hier ist x der Strahlradius der einfallenden Welle und x 0 eine Längeneinheit zur Normierung
der vorkommenden Größen. Für eine solitäre Welle ändert sich die Größe von x bei
Ausbreitung der Welle in dem nichtlinearen Medium nicht.
In einem selbstkonsistenten Bild zur Erzeugung räumlicher Solitonen erzeugt die Lichtwelle
einen optischen Wellenleiter mit dem Brechzahlprofil n (x) . Dieser Wellenleiter besitzt als
Grundmode gerade eine Intensitätsverteilung I (x) , welche wiederum die nichtlineare
Brechungsindexänderung n (x) erzeugt. Die Lichtwelle wird also in dem von ihr selbst
erzeugten Wellenleiter eingefangen und geführt.
Solitonen in Kerr-Medien haben interessante Eigenschaften. Ihre Ausbreitung ist stabil
gegenüber äußeren Störungen, es sind theoretisch beliebig lange, nur durch die Dämpfung
begrenzte Ausbreitungsdistanzen möglich, und mehrere Kerr-Solitonen können sich
gegenseitig durchdringen, ohne dass sie sich gegenseitig beeinflussen.
Eine analoge und formal gleiche Rechnung liefert ebenfalls zeitliche Solitonen. Als Resultat
für den Kerr-Fall erhält man so eine mathematisch gleichwertige nichtlineare SchrödingerGleichung
2 ω0 n2
∂ E0 i k 2 ∂ 2 E0
| E0 | 2 E0
=i
+
2
2 ∂t
c
∂z
mit k2 als Dispersion der Gruppengeschwindigkeit vg
k2 =
d2 k
dω2
=−
1 ∂ vg
vg ∂ ω
ω0
Eine interessante Anwendung ist die Signalübertragung in Glasfasern. Hier erhält man für den
Wellenlängenbereich oberhalb einer Wellenlänge 1.3 μm eine negative Dispersion, also
k2 < 0, und gleichzeitig einen Kerr-Effekt mit n2 > 0 . Hierdurch kommt es bei passend
eingestellter Intensität zu einer Balance von negativer Dispersion und Selbstphasenmodulation durch den Kerr-Effekt. Man erhält zeitliche Solitonen, d.h. Pulse, die sich bei
Ausbreitung in der Faser nicht verbreitern und ihre Pulsform über theoretisch beliebig lange
Strecken (bei verschwindender Dämpfung). Dieser Effekt wird zurzeit im Labormaßstab zur
Datenübertragung über große Distanzen von einigen tausend Kilometern ohne
Signalaufbereitung („Repeater“) benutzt.
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