E - Institut für Energieforschung und Physikalische Technologien

Institut für Physik und Physikalische Technologien der TU Clausthal
Nichtlineare Optik
WS 2005/06
1
Elektromagnetische Wellen
1.1
Wellengleichung
März 2006
Ausgangspunkt zur Herleitung der Wellengleichung sind die Maxwell-Gleichungen
v
v v
∂B
∇×E = −
∂t
v
v v v ∂D
∇×H = j +
∂t
v v
∇⋅D= ρ
Ladungen als Quellen elektrischer Felder
v v
∇⋅B=0
keine magnetischen Quellen
Die Definition von Polarisierung und Magnetisierung erfolgt über die Materialgleichungen
v
v v
D =ε0 E + P
v
v
v
B = μ 0 (H + M )
mit
v v
E (r , t )
v v
H (r , t )
v v
D (r , t )
v v
B (r , t )
v v
P (r , t )
v v
M (r , t )
ε0
μ0
v
j
elektrisches Feld
magnetisches Feld
dielektrische Verschiebung
magnetische Flussdichte (magn. Induktion)
elektrische Polarisation (Polarisierung)
magnetische Polarisation (Magnetisierung)
dielektrische Permeabilität (des Vakuums)
magnetische Permeabilität (Feldkonstante)
Stromdichte
Im Folgenden wird das elektromagnetische Feld in einem typischen
Dielektrikum betrachtet,
v
d.h. es gibt keine freien Ladungen bzw. Ströme ( ρ = 0 , j = 0 ) und das Material ist nicht
v
magnetisch ( M = 0 bzw. μ = 1 )
v
v v
v
v
v
v
D = ε 0 E + P = ε ε 0 E ⇒ P = ε 0 (ε − 1) E = ε 0 χ E
v v
v v
Falls ε ein Skalar ist, so gilt P || E ⇒ D || E und man hat ein isotropes Medium. Wenn
r
v
zusätzlich die Dielektrizitätskonstante ε unabhängig von r ist (d.h. ∇ε = 0 ) ist das Medium
v
homogene, und falls weiter ε unabhängig vom elektrische Feld E ist auch linear.
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März 2006
Für ein isotropes, homogenes, lineares Medium mit ε ε 0 (gebräuchlich ist auch die
Bezeichnung ε ≡ ε r ) gilt also
v
v v
v
D = ε 0 E + P = ε 0 ε E = ε 0 (1 + χ ) E
v
v
P = ε0 χ E
oder
χ = ε −1
elektrische Suszeptibilität
Atome bzw. Moleküle eines Mediums sind allerdings niemals isotrop oder homogen. Falls
aber viele Atome bzw. Moleküle im Volumen λ3 vorhanden sind und falls sie gleichmäßig
verteilt sind, ist die Anisotropie oder Inhomogenität im Mittel gleich Null.
r
r
Mit diesen Vereinfachungen ( j = 0, ρ = 0, M = 0) bekommt man die Beziehungen
v
v
v v ∂B
v v
∂H
∇×E +
= ∇ × E + μ0
= 0
∂t
∂t
v
v v
∂E
∇ × H − ε ε0
= 0
∂t
gilt für ∂ε / ∂ t = 0 , oder richtiger:
ε (t) ändert sich viel langsamer als E (t)
v
v
∇ ⋅ (ε ε 0 E ) = 0
v v
∇ ⋅H =0
Die Wellengleichung
v v v erhält man durch Einsetzen der Gleichungen ineinander mit Hilfe der
Beziehung ∇ × 0 = 0 :
v
v
v v
v ∂H
v
v v
v
∂ v
(∇ × H ) = 0
∇× (∇ × E ) + μ0 ∇ ×
= ∇× (∇ × E ) + μ0
∂t
∂t
Damit ergibt sich
r
v
v v v
∂2 E
∂E ⎞ v v v
∂ ⎛
⎟ = ∇ × ∇ × E + μ0 ε ε 0
⎜ε ε 0
=0
∇× ∇ × E + μ0
∂ t ⎜⎝
∂ t ⎟⎠
∂t2
Für ein homogenes Medium gilt weiter
v
v
v
v
v v
v v
∇⋅ (ε E ) = ∇ε ε 0 E + ε ε 0 ∇⋅ E − ε ε 0 ∇⋅ E
123
≡ 0
⇔
v
v
∇⋅ (ε ε0 E ) = 0
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⇔
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v v
∇⋅E =0
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Man benutzt nun die Vektorrelation
v v v v v v
v
v
∇ × ∇ × E = ∇ (∇ ⋅ E) − ∇2 E = − ∇2 E
123
≡0
und erhält die Wellengleichung für quellenfreie (ρ = 0) und unmagnetische (μ = 1) homogene
Medien
v
v
∂2 E
2
∇ E = μ 0 ε ε0
∂t2
In analoger Weise berechnet man eine Wellengleichung für das magnetische Feld
v
2
v
H
∂
∇2 H = μ0 ε ε 0
∂t2
1.2
Monochromatische ebene Wellen
Monochromatische ebene Wellen erfüllen die Wellengleichung
v v
v 1 v
E = E0 exp (i ω t − i k ⋅ r ) + c.c.
2
v v
v
= E0 cos (ω t − k ⋅ r )
v v
v 1 v
H = H 0 exp (i ω t − i k ⋅ r ) + c.c.
2
v v
v
= H 0 cos (ω t − k ⋅ r )
v
v
v v
mit den Amplitudenvektoren E0 , H 0 und dem Wellenvektor k . Hier ist k = 2π n / λ die
Wellenzahl mit dem Brechungsindex n und der (Vakuum-) Lichtwellenlänge λ.
Bei der Herleitung der Wellengleichung wurde benutzt
v v
v
v
v v
∇ ⋅ D = 0 ⇒ ∇ ⋅ (ε ε 0 E ) = 0 ⇒ ∇ ⋅ E = 0
(
v v
v v v v
∇ ⋅ E = ∇ ⋅ E0 exp (i ω t − i k ⋅ r )
)
∂
∂
...
E0, x exp (i ω t − i [k x x + k y y + k z z ] ) +
∂x
∂y
v v
= ( − i E0, x k x − i E0, y k y − i E0, z k z ) exp (i ω t − i k ⋅ r )
=
(
)
v v
= −i k ⋅E
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r r
r r
Als Ergebnis erhält man die Beziehungen ∇ ⋅ E = − i k ⋅ E und in analoger Weise
r r
r r
v v
v v
v v
v v
∇ ⋅ H = − i k ⋅ H . Aus k ⋅ E0 = 0 und k ⋅ H 0 = 0 folgt dann k ⊥ E0 und k ⊥ H 0 .
Ausgehend von der Maxwell-Beziehung
v
v v
∂H
∇ × E = − μ0
∂t
betrachtet man die rechte und linke Seite getrennt für den Fall einer ebenen Welle
v
v v
v
∂H
− μ0
= − μ 0 i ω H 0 exp (i ω t − i k ⋅ r )
∂t
und
v v
v v
v v
∇ × E = − i k × E0 exp (i ω t − i k ⋅ r )
v v
v
= − i ω μ 0 H 0 exp (i ω t − i k ⋅ r )
Ein Vergleich liefert als Ergebnis
v
H0 =
1
ω μ0
v v
k × E0
v
v v
Die drei Vektoren E0 , H 0 und k bilden demnach ein orthogonales System
v
v
v
v v v
E0 ⊥ H 0 , E0 ⊥ k , H 0 ⊥ k
v
Setzt man die Richtung des Wellenvektors k gleich der Ausbreitungsrichtung, so folgt, dass
ebene Wellen in homogenen, isotropen, nicht-magnetischen Medien keine Feldkomponenten
in Ausbreitungsrichtung haben. Dies gilt sowohl für lineare (ε = const.) als auch für
nichtlineare ( ε = ε (|E|) ) Materialien. Diese Lösungen der Wellengleichung heißen TEMWellen. Schränkt man die Ausbreitungsbedingung z.B. wie bei optischen Wellenleitern
zusätzlich ein, so erhält man als Folge auch Feldkomponenten in Ausbreitungsrichtung.
v
v v
Es bleiben zwei Arten von Lösungen übrig für k || zˆ , E ⊥ H
(Ex , H y )
: Polarisation entlang x̂
(E y , H x )
: Polarisation entlang ŷ
Einsetzen in die Wellengleichung ( x̂ -Polarisation) liefert
v
∇2 E
=
↑
Ey = E z = 0
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∇ 2 Ex =
∂ 2 Ex ∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
μ
ε
ε
+
+
=
0
0
x2
y2
∂ z2
∂t2
∂{
∂{
≡0
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≡0
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Das Ergebnis lautet dann
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
μ
ε
ε
=
0
0
∂ z2
∂t2
∂2 H y
∂ z2
= μ0 ε ε 0
∂2 H y
∂t2
Allgemeine Lösungen seien von der Form
E x± ( z , t ) =
1 ±
E0, x exp (i ω t m i k z )
2
Betrachtet wird die Lösung E x+ . Ein mit der Welle mitbewegter Beobachter sehe immer die
gleiche Feldamplitude (d.h. er sieht die gleiche konstante Phase). Dann muss für ihn gelten
ω t − k z = const. = ϕ 0
d.h. ϕ 0 ist eine willkürliche Phase, die den Wert der konstanten Feldamplitude bestimmt.
Der Beobachter bewegt sich in positiver z-Richtung mit der Phasengeschwindigkeit der Welle
(Lichtgeschwindigkeit)
c=
dz
ω
=
dt
k
Für die Lösung E x− bekommt man ein anderes Vorzeichen von k. Die Welle läuft in negativer
z-Richtung.
Bildet man die zweiten Ableitungen nach z und t und setzt diese in die Wellengleichung ein,
so gelangt man zur Dispersionsrelation der Welle
∂ 2 E x±
∂ 2 E x±
2
±
=
−
k
E
,
= − ω 2 E x±
x
∂z2
∂t2
− k 2 E x± = − μ 0 ε ε 0 ω 2 E x±
⇒
oder
k 2 = μ0 ε ε 0 ω 2
c=
ω
k
=
1
μ0 ε ε 0
⇒ k =ω
μ0 ε ε 0
Im Vakuum (ε = 1) beträgt die Lichtgeschwindigkeit
c=
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1
μ0 ε 0
≈ 3 × 10 8
m
s
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und in Medien mit ε ≠ 1
cn =
ω
k
mit dem Brechungsindex n =
∂ H y±
∂z
=
1
1
μ0 ε 0
ε
=
c
n
ε . Die Größe des Magnetfeldes H y± erhält man durch
∂ E x±
= −ε ε0
∂t
Für den Fall "+" gilt
− i k H y+ = − i ω ε ε 0 E x+
⇒
H y+ =
1
η
E x+
mit
η=
μ0
ε ε0
Im Vakuum ist η gleich der Vakuumimpedanz η0 = 377 Ω.
Die Wellengleichung ist eine lineare Differentialgleichung, für deren Lösungen daher das
Superpositionsprinzip gilt:
E x ( z , t ) = E x+, 0 exp (i ω t − i k z ) + E x−, 0 exp (i ω t + i k z )
H y ( z , t ) = H y+, 0 exp (i ω t − i k z ) + H y−, 0 exp (i ω t + i k z )
Die Amplituden E x+, 0 , E x−, 0 bzw. H y+, 0 , H y−, 0 werden durch Randbedingungen bestimmt.
1.3
Energiefluss, Poynting-Theorem
Das Ziel ist die Beschreibung der Energie (Energiedichte, d.h. Energie pro Volumen) einer
elektromagnetischen Welle. Insbesondere ist die Frage zu klären, wo sich die Energie bei
Ausbreitung in einem beliebigen dielektrischen Material befindet. Ausgangspunkt hierfür sind
die Maxwell-Gleichungen sowie die Materialgleichungen
v
v v
∂B
∇×E =−
∂t
v
v v v ∂D
∇×H = j +
∂t
v v
∇⋅D=ρ
v v
∇⋅B=0
v
v v
D = ε0 E + D
v
v
v
B = μ 0 (H + M )
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Einsetzen der Materialgleichungen in die Maxwell-Gleichungen liefert
v v
v
∂ v
∇ × E = − μ0
(H + M )
∂t
v
v v
v v
∂
∇×H = j +
(ε 0 E + P)
∂t
Aus diesen Gleichungen bildet man die Skalarprodukte mit dem elektrischen und
magnetischen Feld
v
v
v v v
v v
v ∂E v ∂P
E ⋅ (∇ × H ) = E ⋅ j + ε0 E ⋅
+ E⋅
∂t
∂t
v
v v ε0 ∂ v v
v ∂P
= E⋅ j +
(E ⋅ E) + E ⋅
∂t
2 ∂t
v
v
v v v
v ⎛ ∂H ∂M ⎞
⎟
H ⋅ ( ∇ × E ) = − μ 0 H ⋅ ⎜⎜
+
∂ t ⎟⎠
⎝ ∂t
v
v v
v ∂M
=−
(H ⋅ H ) − μ 0 H ⋅
∂t
2 ∂t
μ0 ∂
Bildet man weiter die Differenz
[ Ev ⋅ (∇v × Hv ) ] − [ Hv ⋅ ( ∇v × Ev ) ]
v v ∂ ⎛ ε0 v v μ 0 v v ⎞
⎜
=E⋅j +
E⋅E +
H ⋅ H ⎟⎟
∂ t ⎜⎝ 2
2
⎠
v
v
v ∂P
v ∂M
+ E⋅
+ μ0 H ⋅
∂t
∂t
und wendet auf die linke Seite die folgende Vektoridentität an
v v v
v v v
v v v
c ⋅ ( a × b ) = b ⋅ (c × a ) − a ⋅ (c × b )
v v
v
v v v
c ≡∇ , a≡H , b ≡ E
mit
⇒
v
v v
v
v v
v v v
v v v
∇ ⋅ ( H × E ) = − ∇ ⋅ ( E × H ) = E ⋅ (∇ × H ) − H ⋅ (∇ × E )
so erhält man als Zwischenergebnis (*)
v
v
v
v v
v v
v ∂M
∂ ⎛ ε0 v v μ0 v v ⎞ v ∂ P
− ∇ ⋅ (E × H ) = E ⋅ j +
E⋅E+
H ⋅ H ⎟+ E ⋅
+H ⋅
⎜
∂t ⎝ 2
∂t
∂t
2
⎠
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Die Einheit der Energiedichte ist Energie pro Volumen
[ ∇v ⋅ ( Er × Hv ) ] = m1 mV mA = mW
3
Auf das Zwischenergebnis wird der Gaußsche Satz angewendet
v
v
v
∫ (∇ ⋅ α ) dV = ∫ α ⋅ nˆ dA
V
A (V )
v
Die Integration erfolgt über das Volumen V mit der zugehörigen Oberfläche A. Hier ist α ein
v
v
Vektorfeld (z.B. das E -Feld oder H -Feld) und n̂ ein Normalenvektor, der senkrecht auf der
Oberfläche A steht. Als Ergebnis erhält man so das Poynting-Theorem
v
v v
− ∫ ∇ ⋅ ( E × H ) dV = −
V
w
v
∫ ( E × H ) ⋅ nˆ dA ≡ ∫ rechte Seite von (*) dV
A(V )
V
Der gesamte Energiefluss in das Volumen V ist also
−
v
v
∫ ( E × H ) ⋅ nˆ dA =
A (V )
−
∫
r
S ⋅ nˆ dA
A (V )
v v v
mit dem Poynting-Vektor S = E × H (Energiefluss pro Einheitsfläche). Das zeitliche Mittel
v
< S > ist proportional zur Intensität, wobei die Mittelung über große Zeiten t >> 2π / ω zu
erfolgen hat
I=
v
v v
1
1
Re ( | < S > | ) = Re ( | E × H * | )
2
2
Im elektromagnetischen Feld sind also die folgenden Energiebeiträge enthalten:
v v
∫ ( E ⋅ j ) dV
V
∫
V
∂ ⎛ ε 0 v v μ0 v v ⎞
E⋅E +
H ⋅ H ⎟ dV
⎜
2
∂t ⎝ 2
⎠
v
⎧ Energie aus dem E - Feld für das Verschieben
⎨
⎩ freier Ladungen (Elektronen oder Ionen)
⎧Materialunabhängig : Energie des
⎨
⎩elektromagnetischen Feldes im Vakuum
v
⎛ v ∂P ⎞
∫ ⎜⎜ E ⋅ ∂ t ⎟⎟⎠ dV
V ⎝
v
⎧Energie aus dem E − Feld für die Erzeugung
⎪
⎪oder Verstärkung elektrischer Dipole im
⎨
⎪Medium (Zunahme der potentiellen Energie)
⎪⎩Beschreibt WW von Licht mit Materie
v
⎛ v ∂M ⎞
∫V ⎜⎜⎝ H ⋅ ∂ t ⎟⎟⎠ dV
v
⎧Energie aus dem H - Feld zur Verstärkung
⎨
⎩oder Erzeugung von magn. Dipolen
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1.4
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Dipole in harmonischen Feldern
Die Energiedichte aus dem elektrischen Feld, die im zeitlichen Mittel für die Änderung der
Polarisierung des Mediums aufgewendet wird, lautet
v
v ∂P
< Energie >
<E⋅
> =
∂t
Volumen
v v
Zur Vereinfachung wird ein isotropes Medium mit E || P betrachtet
v
v
E (r , t ) = Re [ E0 (r ) exp (i ω t ) ]
v
v
P (r , t ) = Re [ P0 (r ) exp (i ω t ) ]
Der Zusammenhang von E und P wird durch die Suszeptibilität χ beschrieben
P = ε0 χ E
⇒
⎡
P = Re ⎢ ε 0 χ E0 exp (i ω t )
424
3
⎢1
⎣ P0
⇒
∂P
= Re i ω P0 exp (i ω t )
∂t
[
⎤
⎥
⎥
⎦
]
Die Energiedichte ist dann
v
v ∂P
v
v
1
<E⋅
> = Re E ⋅ (i ω P) *
∂t
2
(
=
=
)
(
r
v
1
Re E ⋅ (i ω ε 0 χ E ) *
2
ω ε0 v
2
)
2
E Re (− i χ *)
Im Allgemeinen ist χ komplex, d.h. das elektrische Feld E und die Polarisation P sind nicht
in Phase (für ein rein imaginäres χ sind E und P genau um 90° phasenverschoben)
χ = χ ' − iχ"
mit den Zusammenhängen χ ' = n 2 − 1 und χ " = n c α / ω der reellen Größen χ' und χ" mit
dem Brechungsindex n und dem Absorptionskoeffizienten α. Die folgende Abbildung zeigt
den Verlauf der Suszeptibilität im Bereich einer atomaren Resonanz bei der Frequenz v0.
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Als Ergebnis ergibt sich also die Energiedichte zur Änderung der Polarisierung des Mediums
r
v 2
v ∂P
ω
> = ε0 E χ "
<E ⋅
2
∂t
Eine Änderung der Polarisierung setzt also χ " ≠ 0 voraus: Die vom Mediums absorbierte
Energie wird aufgewendet (in nicht-magnetischen Materialien mit μ = 1) für (i) die Bewegung
v
v
freier Ladungen (falls vorhanden) und die Anregung von Driftströmen j = σ E mit der
v v
Leitfähigkeit σ (die zugehörige Energiedichte ist ∫ ( E ⋅ j ) dV ) und (ii) zur Anregung von
elektrischen Dipolen (letztendlich thermische Relaxation, Erwärmung) mit der zugehörigen
v2
r
Energiedichte 1 / 2ω ε 0 E χ " . Alternativ lassen sich die Driftströme j auch direkt in der
Größe von χ " berücksichtigen.
Für die Intensität einer elektromagnetischen Welle erhält man aus dem Poynting-Vektor
v
v v
1
I = < S > = Re ( | E × H * | )
2
mit
=
⎛ v ⎛ 1 r⎞⎞
1
Re ⎜⎜ E ⋅ ⎜⎜ E ⎟⎟ ⎟⎟
2
⎝η ⎠⎠
⎝
=
1 v
E
2η
2
(gilt für TEM-Wellen)
η=
μ0
1
=
η0
ε ε0
ε
η0 =
μ0
= 377 Ω
ε0
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(Vakuumimpedanz)
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Mit dem Brechungsindex
I=
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ε = n des Mediums folgt
ε0 v
E
μ0
n
2
2
=
c nε 0 v
E
2
2
mit der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum
c=
1
μ0 ε 0
v
Eine alternative Darstellung mit dem Magnetfeld H lautet
I=
1.5
v
1
H
2c nε 0
2
Wellenausbreitung in anisotropen Medien
Physikalische Eigenschaften eines Mediums sind im Allgemeinen richtungsabhängig oder
anisotrop. Kristalle bestehen z.B. aus regelmäßig angeordneten Atome bzw. Ionen oder
Gitterebenen. Damit verbunden ist fast immer eine anisotrope Elektronendichteverteilung,
welche für einen Großteil der physikalischen Eigenschaften der Kristalle verantwortlich ist.
In anisotropen Materialien werden die Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen
durch Tensoren ausgedrückt. Ein Beispiel ist der Zusammenhang zwischen Polarisation und
elektrischem Feld. Für ein anisotropes Medium ist die Suszeptibilität ein Tensor 2. Stufe
v
v v
P = ε0 χ E
Px = ε 0 ( χ 11 E x + χ 12 E y + χ 13 E z )
Py = ε 0 ( χ 21 E x + χ 22 E y + χ 23 E z )
Pz = ε 0 ( χ 31 E x + χ 32 E y + χ 33 E z )
oder kurz
Pi = ε 0 χ ij E j
Hierbei gilt die Summenkonvention, d.h. über doppelt auftretende Indizes (hier: j) wird
summiert. Der Tensor χ ist diagonalisierbar, d.h. es gibt ein Koordinatensystem (x', y', z'), in
welchem die Außendiagonalelemente ( χ ij , i ≠ j ) verschwinden:
Px ' = ε 0 χ 11 E x ' , Py ' = ε 0 χ 22 E y ' , Pz ' = ε 0 χ 33 E z '
Das System (x', y', z') heißt Hauptachsensystem. Im Folgenden wird immer von
v einem
v
Hauptachsensystem ausgegangen. Entsprechendes gilt für den Zusammenhang von D und E
v
v
D = ε 0 εˆ E
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mit dem Dielektrizitätstensor εˆ :
D x ' = ε 0 ε 11 E x ' , D y ' = ε 0 ε 22 E y ' , Dz ' = ε 0 ε 33 E z '
Mit
v
v v
D = ε 0 E + P folgt
ε 11 = (1 + χ 11 ) , ε 22 = (1 + χ 22 ) , ε 33 = (1 + χ 33 )
Im Hauptachsensystem erzeugt eine Polarisation Ex der Lichtwelle entlang der x-Richtung
eine induzierte Polarisation Px
P x = ε 0 χ 11 E x = ε 0 (ε 11 − 1) E x
Die zugehörige Phasengeschwindigkeit im Medium lautet
1
c=
μ0 ε 0 ε
1
≡
μ 0 ε 0 ε 11
Als Konsequenz „sieht“ die Welle einen Brechungsindex n 1 ≡
ε 11 . In anisotropen
Kristallen können ε 11 , ε 22 und ε 33 verschieden sein. Die Doppelbrechung ist eine direkte
Konsequenz aus den anisotropen dielektrischen Eigenschaften. Beispiel Kalkspat mit
ε11 = ε 22 = 2.75 , ε 33 = 2.21 (Wellenlänge 589 nm, Na-D-Linie).
Im Hauptachsensystem lassen sich aus den Diagonalelementen des dielektrischen Tensors die
jeweiligen Brechungsindizes ableiten. Für einen optisch einachsigen Kristall sind dies
no =
ε 11 =
ne =
ε 33
ε 22
ordentlicher Brechungsindex
außerordentlicher Brechungsindex
Ein Material ist negativ doppelbrechend wenn ne < no gilt.
Ein Brechungsindexellipsoid ist ein Hilfsmittel zur Bestimmung von n bzw. ε für eine Welle
r
mit beliebiger Ausbreitungsrichtung s im Kristall. Die zugehörige Ellipsengleichung (für
einen einachsigen Kristall) lautet
x2
ε11
+
y2
ε 22
+
z2
ε 33
=1 =
x2
y2
z2
+
+
=1
no2 no2 ne2
Dies ist eine Ellipse mit den Hauptachsen a, b, c entlang x, y, z und den Hauptachsenlängen
2a = 2b = 2no sowie 2c = 2ne.
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Institut für Physik und Physikalische Technologien der TU Clausthal
Nichtlineare Optik
WS 2005/06
März 2006
r
Die beiden Halbachsen der Ellipse senkrecht zur Ausbreitungsrichtung s der Lichtwelle sind
die Brechungsindizes der ordentlichen bzw. außerordentlichen Welle, no und ne(θ). Demnach
ist no unabhängig vom Winkel θ; die Welle ist senkrecht zur z-Achse ("optische Achse")
polarisiert. Dagegen hängt ne = ne(θ) von der Ausbreitungsrichtung ab über die Beziehung
ne2 (θ ) = y 2 + z 2
sin θ = z / ne (θ )
Die Ellipsengleichung in der yz-Ebene lautet
y2
z2
+
=1
no2 ne2
cos 2 (θ ) sin 2 (θ )
1
=
+
ne2 (θ )
no2
ne2
Die Größe der Doppelbrechung no − ne (θ ) geht vom Maximalwert no − ne für θ = 90°
(Ausbreitung senkrecht zu optischer Achse) bis auf Null für θ = 0° (Entartung, Ausbreitung
entlang der optischen Achse) zurück. Dies ist von Bedeutung für die notwendige
Phasenanpassung bei der Frequenzverdopplung.
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