Kapitel 3 (Ausgewählte Wellenleiter)

Institut für Physik und Physikalische Technologien der TU Clausthal
Integrierte Optik
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3
Mai 2006
Ausgewählte Wellenleiter
Ausgangspunkt für die Beschreibung geführter optischer Wellen sind die MaxwellGleichungen
v
v
∂B
rot E = −
∂t
v
v
v ∂D
rot H = j +
∂t
v
div D = ρ
v
div B = 0
sowie die Materialgleichungen
v
v
v
v
D = ε0 E + P = ε ε0 E
v
B = μ0
v
(H
v
v
+ M ) = μ μ0 H
v
v
mit
dem
elektrischen
Feld
E
,
dem
magnetischen
Feld
H
, der dielektrischen
Verschiebung
v
v
v
D , der magnetischen
Flussdichte B , der elektrischen Polarisation P , der magnetischen
v
v
Polarisation M , der Stromdichte j , den dielektrischen und magnetischen Permeabilitäten ε 0
und μ 0 bzw. ε und μ .
v
Für optische Materialien betrachtet man meist typische Dielektrika mit j = 0 bzw. ρ = 0
v
(keine freien Ströme bzw. Ladungen) und M = 0 bzw. μ = 1 (nicht-magnetische
Materialien).
Zur Wellengleichung gelangt man, wenn man auf die erste Maxwell-Gleichung die Operation
rot anwendet:
v
v
v ∂B
v
∂H
rot E +
= 0 ⇔ rot E + μ 0
=0
∂t
∂t
v
v
v ∂D
v
∂E
= 0 ⇔ rot H − ε ε 0
=0
rot H −
∂t
∂t
v
v
⎛∂H ⎞
⎟⎟ = 0
⇒ rot rot E + μ 0 rot ⎜⎜
⎝ ∂t ⎠
v
v
∂
( rot H ) = 0
⇔ rot rot E + μ 0
∂t
v
v
∂2 E
⇔ rot rot E + μ 0 ε ε 0 2 = 0
∂t
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Nun benutzt man die Vektorrelation
v
v
v
rot rot A = grad div A − ∨ 2 A
v
und erhält so mit div E = 0 (da ρ = 0 )
v
v
∂2 E
∨ E = μ0 ε ε 0
∂t2
2
als Wellengleichung für quellenfreie ( ρ = 0 ) und unmagnetische ( μ = 1 ) homogene Medien.
In analoger Weise findet man für das magnetische Feld
v
v
∂2 H
∨ H = μ0 ε ε 0
∂t2
2
Je nach Wellenleitertyp v ist die
Wellengleichung unter Berücksichtigung der
v
v
v
Stetigkeitsbedingungen für E und H für die jeweiligen Brechzahlprofile ε (r ) = n 2 (r ) zu
lösen.
3.1
Schichtwellenleiter
In planaren Wellenleitern oder Schichtwellenleitern wird Licht nur in einer Dimension
geführt. Im einfachsten Fall besteht ein solcher Wellenleiter aus drei verschiedenen
homogenen Schichten mit jeweils konstanten Brechungsindizes n1, n2 und n3 (s. Kap. 2.2).
Die Lichtausbreitung erfolge entlang der z-Richtung und die Flächennormalen zeigen in die
x-Richtung. Wegen der Symmetrie gilt ∂ / ∂ y = 0 . Die geführten Moden haben die Form
v
v
E ( x , z , t ) = E ( x) exp (i (ω t − β z ) )
mit der Ausbreitungskonstante β = k 0 neff . Für homogene, verlustfreie und nicht leitende
Medien ergibt sich durch Einsetzen in die Wellengleichung
v
v
∨ 2 E + k 02 (n 2 ( x) − n 2 eff ) E = 0
Das Brechzahlprofil habe dabei die Form
⎧ n1 ; x ≤ − d
⎪
n ( x ) = ⎨ n2 ; 0 ≤ x ≤ − d
⎪n ; x ≥ 0
⎩ 3
wobei weiter gilt n2 > n1 , n3 . Die Wellengleichung in den Schichten j = 1, 2, 3 lautet dann
v
∂ 2 E 0 , j ( x)
∂x
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2
v
+ k 02 n 2j − β 2 E 0 , j ( x) = 0
(
)
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Mit den drei Abkürzungen wie in Kap. 2.2,
u 2 = k 02 n22 − β 2
v 2 = β 2 − k 02 n12
w 2 = β 2 − k 02 n32
gelten für die drei Medien dann die Gleichungen
v
∂ 2 E 01 ( x)
∂ x2
v
∂ 2 E 0 2 ( x)
∂x
2
v
∂ 2 E 0 3 ( x)
∂x
2
v
− v 2 E 01 ( x) = 0
v
+ u 2 E 02 ( x) = 0
v
− w 2 E 0 3 ( x) = 0
Die Lösungen dieser Gleichungen zerfallen in zwei Klassen: TE-Moden und TM-Moden
TE-Moden : transversal elektrische Polarisation
Ex = Ez = 0 , E y ≠ 0
Hy = 0 , Hx ≠ 0 , Hz ≠ 0
TM-Moden : transversal magnetische Polarisation
E y = 0 , Ex ≠ 0 , Ez ≠ 0
Hx = Hz = 0 , Hy ≠ 0
Im Folgenden soll das elektrische Feld Ey (x) für die TE-Moden berechnet werden. Aus dieser
Feldkomponente lassen sich dann über die Maxwell-Gleichungen die Feldkomponenten Hx
und Hz berechnen. Als Lösungsansatz wählt man in der wellenleitenden Schicht ein
harmonisch oszillierendes Feld, welches im Substrat und Superstrat (meist Luft) exponentiell
abklingt:
Ey1 = A exp ( + v x)
;
x≤-d
Ey2 = B cos (u x) + C sin (u x) ; - d ≤ x ≤ 0
Ey3 = D exp (- w x)
; 0≤x
An den Grenzflächen bei x = 0 und x = - d muss die Tangentialkomponente Ey stetig sein, so
dass unmittelbar folgt
x=0:
D=B
x=−d:
A exp (− u d) = B cos (u d) − C sin ( u d)
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Weiter muss die Tangentialkomponente Hz stetig sein, die sich aus der Maxwell-Gleichung
v
v
rot E = − B& ergibt zu
∂ Ey
∂x
= − iω μ0 H z
Damit erhält man den allgemeinen Lösungsansatz für Hz aus dem Ansatz für Ey , und die
Stetigkeitsbedingungen lauten
x=0 :
−wD=uC
x=−d:
v A exp (−u d) = u (B sin (u d) + C cos (u d))
Aus den vier Gleichungen erhält man nach einigen Umformungen die Bestimmungsgleichung
tan (ud ) =
u (v + w)
u2 − v w
Die hier aus der elektromagnetischen Theorie abgeleitete Gleichung stimmt also mit dem
geometrischen Modell aus Kap. 2.2 überein, wenn man zusätzlich noch die Periodizität der
Tangensfunktion (also tan(x) = tan(x – Nπ)) berücksichtigt.
Für die TM-Moden findet man in analoger Weise die Bestimmungsgleichung
⎛ v
w⎞
⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟
n3 ⎠
⎝ n1
tan (u d ) =
2
u
v w
− 2 2
4
n2
n1 n3
u
n 22
Das Feld für die TE-Moden lässt sich mit den Abkürzungen B = Emax cos ϕ, C = Emax sin ϕ
und tan ϕ = − w/u darstellen als
E y 1 = E max cos (u d + ϕ ) exp ( ( x + d ) v )
E y 2 = E max cos (u x − ϕ )
E y 3 = E max cos (ϕ ) exp (− w x)
Hier ist Emax die maximale Feldamplitude.
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Die in einer Wellenleitermode geführte Leistung P lässt sich über die Komponente Sz des
Poynting-Vektors berechnen
∞
∫
P=
−∞
1
S z dx = −
2
β
=
2ω μ 0
∞
∫
Ey
∞
∫E
y
H x* dx
−∞
2
dx
−∞
2
E max ⎛
1
1 ⎞
β
=
⎜d + + ⎟
2ω μ 0
2 ⎝
v
w⎠
deff
Die Größe deff ist die effektive Wellenleiterdicke, enthält also neben der Filmdicke d auch die
Eindringtiefen v−1 und w−1 des elektrischen Feldes in das Substrat und in die Deckschicht bzw.
in Luft.
Die oben abgeleitete Bestimmungsgleichung kann nur numerisch oder graphisch gelöst
werden. Zweckmäßig ist eine Darstellung in normierter Form mit den folgenden Parametern
für die TE-Moden:
Strukturkonstante :
V =d
u 2 + v 2 = k0 d
normierter Wellenleiterindex :
n eff − n12
v2
b= 2
= 2
u + v2
n 2 − n12
Symmetrieparameter :
a=
n22 − n12
2
n12 − n32
w2 − v 2
=
u2 + v2
n 22 − n12
Damit lautet die Bestimmungsgleichung in normierter Form
(
tan V
)
1 − b − Nπ =
b
+
1−b
1−
a+b
1−b
a+b
b
⋅
1−b 1−b
In der folgenden Abbildung sind die ersten drei TE-Moden für N = 0, 1, 2 dargestellt für
verschiedene Asymmetrieparameter: a = 0 ⇔ n1 = n3 , symmetrischer Wellenleiter; a = 1
und a → ∞ , leicht bzw. extrem asymmetrischer Wellenleiter.
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N=0
N=1
N=2
Die Strukturkonstante V beschreibt hier bei vorgegebenem Brechzahlprofil die Wellenlängenbzw. Frequenzabhängigkeit, da V ~ f ~ λ − 1 gilt. Mit zunehmender Größe von V sind also
mehr Moden des Wellenleiters ausbreitungsfähig. Für symmetrische Wellenleiter (a = 0) wird
immer (d.h. auch für V → 0 ) mindestens eine Mode geführt; für asymmetrische Wellenleiter
erhält man für jede Mode eine Grenzfrequenz (englisch: "cut-off") mit
tan ( V − N π
)=
a
unterhalb der keine Ausbreitung der Mode möglich ist.
Durch formale Auflösung dieser Gleichung lässt sich für einen durch a und V bestimmten
Wellenleiter die Anzahl N geführter Moden bestimmen:
(
⎛ 1
N = Int ⎜
V − arctan
⎝π
( a ) )⎞⎟
⎠
In einem Wellenleiter aus Glas (n1 = 1.5) mit n2 - n1 = 0.01, n3 = 1 und d = 10 μm werden so
bei der Wellenlänge λ = 1 μm je 3 TE- und TM-Moden geführt.
Für zwei verschiedene Moden l und m eines Wellenleiters gilt die Orthogonalitätsbedingung
∞
v
∫ (E
l
v
v
x H m ) ⋅ dx = 0
für
l≠m
−∞
bzw. in skalarer Schreibweise in der hier behandelten Geometrie für TE-Moden
∞
∫E
y
H z dx = 0
für
l≠m
−∞
Hieraus resultiert zum einen die Möglichkeit, bestimmte Feldverteilungen in einem
(mehrmodigen) Wellenleiter nach seinen Moden zu entwickeln. Zum anderen bedeutet dies,
dass eine Kopplung (z.B. Energietransfer) zwischen zwei Moden nur möglich ist, wenn
zusätzlich eine passende "Störung" des Wellenleiters vorliegt.
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Bisher wurde nur der einfachste Fall eines planaren Wellenleiters behandelt, bei dem die drei
Schichten jeweils konstante Brechungsindizes besitzen. Solche Wellenleiter lassen sich z.B.
durch epitaktische Verfahren herstellen, bei dem eine Schicht mit höherem Index auf einem
Substrat mit niedrigerem Index aufwächst. Viele andere Verfahren zur
Wellenleiterherstellung (z.B. durch Diffusion oder Implantation) führen jedoch zu
Brechzahlverläufen, die vom stufenförmigen Verlauf abweichen. In der Wellengleichung wird
dann entsprechend n durch n(x) ersetzt. Für einige spezielle Verläufe von n(x) sind
analytische Lösungen möglich, z.B. für lineare, parabolische oder exponentiell abnehmende
Profile.
Für allgemeine Profile ist man auf numerische Verfahren angewiesen. So lässt sich z.B. die
Wellengleichung durch numerische Integration nach dem Runge-Kutta-Verfahren ohne
größeren Aufwand lösen.
3.2
Streifenwellenleiter
In Streifenwellenleitern wird Licht in zwei Dimensionen geführt. Voraussetzung hierfür ist
ein ebenfalls zweidimensionales Brechzahlprofil, so dass Licht wieder durch Totalreflexion
an den Grenzschichten geführt werden kann. Man unterscheidet zwischen verschiedenen
Grundformen, die aus den verschiedenen zur Verfügung stehenden Herstellungsmethoden
resultieren.
Eine analytische Lösung zur Berechnung der Moden eines Streifenwellenleiters ist nicht
möglich. Stattdessen ist man auf Näherungsverfahren oder aber auf numerische
Lösungsmethoden angewiesen.
Ein häufig verwendetes Näherungsverfahren zur Berechnung der Moden ist die Methode des
effektiven Indexes. Ausgangspunkt ist ein allgemeines Brechzahlprofil mit jeweils konstanten
Werten, bei denen der Wellenleiter mit Index n2 horizontal und vertikal von Medien mit den
Indices n4 und n5 bzw. n1 und n3 umgeben ist (siehe Abbildung). Die Grundidee besteht in der
Zerlegung des Problems in zwei senkrecht aufeinander stehende Schichtwellenleiter.
Zunächst wird der effektive Index n~eff für die eine Schichtfolge berechnet. Dieser effektive
Index bildet dann anschließend den Index der mittleren Schicht für die dazu senkrechte
Schichtfolge. Für den so berechneten effektiven Index neff des Streifenwellenleiters erhält man
eine sehr gute Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen. Die Methode lässt sich
ebenfalls auf Brechzahlprofile mit nicht stufenförmigem Verlauf anwenden.
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Kreiszylindrische Wellenleiter
Zylindersymmetrische Wellenleiterquerschnitte spielen eine herausragende Rolle bei den
Lichtwellenleitern, insbesondere durch ihren Einsatz in der optischen Nachrichtentechnik.
Hauptvorteil ist die einfache und kostengünstige Herstellung durch Ziehen der Fasern aus
Glasrohlingen.
Entscheidender Grund, sich in der Integrierten Optik mit Glasfasern zu beschäftigen, ist die
notwendige Ankopplung von Glasfasern an integriert-optische Schaltungen.
Unter der Vorraussetzung, dass die Ummantelung des Faserkerns ("cladding") hinreichend
groß ist, so dass das evaneszente Feld geführter Moden nahezu vollständig in der
Ummantelung abklingt, lautet das Brechzahlprofil für eine Stufenindexfaser mit dem
Kerndurchmesser 2a
⎧n1 , r ≤ a
n ( r) = ⎨
⎩n 2 , r ≥ a
n2
n1
2a
D
Hier: D >> a
Das elektrische Feld der Moden muss die Wellengleichung (in Zylinderkoordinaten) erfüllen:
v
⎛ ∂2 1 ∂
∂2 ⎞ v
1 ∂2
⎜⎜ 2 +
⎟ E + k 02 n 2 (r ) E = 0
+ 2
+
2
2 ⎟
r ∂ r r ∂ϕ
∂z ⎠
⎝∂r
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Für eine sich in z-Richtung ausbreitende Mode wählt man den Separationsansatz
v
v
E (r , ϕ , z ) = E 0 f (r ) exp (− i l ϕ ) exp (− i β z )
l = 0, ±1, ±2, .. : Azimutalindex
β : Ausbreitungskonstante
v
E 0 : Amplitude
Geführte Moden findet man wie üblich für Ausbreitungskonstanten
n2 k 0 < β < n1 k 0
Man führt wieder die Abkürzungen u und w ein mit
(
u 2 = k 02 n12 − β 2 = k 02 n12 − neff
(
2
)
w 2 = β 2 − k 02 n22 = k 02 nneff − n22
2
)
v
Einsetzen des Feldansatzes für E in die Wellengleichung liefert zwei Differentialgleichungen
für den Kern- und den Mantelbereich
⎡ ∂2
⎛ 2 l2 ⎞ ⎤
1 ∂
+ ⎜⎜ u − 2 ⎟⎟ ⎥ f (r ) = 0
⎢ 2 +
r
∂
r
∂
r
r ⎠⎦
⎝
⎣
;
r ≤a
⎡ ∂2
⎛ 2 l2 ⎞ ⎤
1 ∂
⎜ w + 2 ⎟⎟ ⎥ f (r ) = 0
+
+
⎢ 2
r ∂ r ⎜⎝
r ⎠⎦
⎣∂ r
;
r ≥a
Lösungen sind die Bessel-Funktionen
⎧J l ( u r )
f ( r) = ⎨
⎩ K l (w r )
; r ≤a
; r ≥a
wobei Jl (ur) die Besselfunktionen erster Ordnung und Kl (wr) die modifizierten Besselfunktionen zweiter Ordnung sind.
Für große Argumente gilt näherungsweise
⎛ 2 ⎞
⎟⎟
J l ( x ) ≈ ⎜⎜
⎝π x ⎠
1/ 2
⎛π ⎞
K l ( x ) ≈ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝2x⎠
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1/ 2
⎛
1⎞ π ⎞
⎛
cos ⎜⎜ x − ⎜ l + ⎟
⎟
2 ⎠ 2 ⎟⎠
⎝
⎝
;
x >> 1
⎛
4 l 2 −1 ⎞
⎜⎜1 +
⎟ exp (− x)
8 x ⎟⎠
⎝
;
x >> 1
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Die Strukturkonstante V beschreibt unter anderem die Anzahl der möglichen Moden einer
Faser:
V 2 = a 2 ( u 2 + w2 )
⇔ V = a u 2 + w2 = 2π
a
λ
NA
NA = sin ϕB : numerische Apertur der Faser
ϕB : Öffnungswinkel des austretenden Strahlenbündels
Unterhalb eines Grenzwertes für V sind bestimmte höhere Moden einer Faser nicht mehr
ausbreitungsfähig ("cut-off").
Zu jedem Azimutalindex l existiert eine Anzahl von diskreten Ausbreitungskonstanten βlm,
mit m = 1, 2, ... . Die zugehörigen linear polarisierten Moden werden mit LPlm bezeichnet; die
Grundmode ist entsprechend LP01.
Tabelle: Cut-off-Parameter V für die LPlm-Moden
l:
0
1
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m:
1
0
2.405
10 von 11
2
3.832
5.520
3
7.016
8.654
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Für Werte V < 2.405 erhält man also einmodige Wellenleiter ("Singlemode").
Für Parameter V >> 1 lässt sich die Anzahl der Moden abschätzen mit
N≈
4
π
2
V2
Beispiel: Glasfaser mit NA = 0.2, n1 = 1.452, Δn = n1 - n2 = 0.01, a = 25 μm, λ = 0.85 μm:
⇒ V = 37.9
⇒ N ≈ 585 Moden
Möchte man in dem gleichen Material einen Monomode-Wellenleiter herstellen, so ist
V < 2.405
⇔a<
2.405
u +w
2
2
=
λ
n − n 22
2
1
⇔ a < 1.91 μm
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