Vorlesungsblatt 2, Thermische Eigenschaften

Prof. Dr. F. Koch
Dr. H. E. Porteanu
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SS 2005
HÖHERE PHYSIK – SKRIPTUM
VORLESUNGBLATT II – 22.04.05
Festkörperphysik V – Thermische Eigenschaften
Die wichtigsten Eigenschaften des Festkörpers, die von den Phononen stammen sind:
1. Spez. Wärme Cv
2. thermische Leitfähigkeit
3. thermische Ausdehnung
1. Spez. Wärme des Gitters
Wenn überwiegend die hochenergetischen Moden, mit großen K angeregt sind, ist der klassische
Limes der spez. Wärme zu beobachten.
Nach Dulong und Petit ist die Anzahl der Moden 3N. Die mittlere Energie pro Mode ist
½ kT+½ kT= kT. Also ist die interne Energie
U = 3NkT
Cv =
dU
= 3Nk = 3R ~ 25Jmol −1K −1
dT
Bei tieferer T ist eine deutliche Abnahme in Cv zu beobachten.
Einstein hat als Erster die Anwendbarkeit von Planck’s Quantenhypothese auf die Phononen
erkannt. Im Einstein Modell ist die interne Energie
U = 3 N ⋅ n hω E =
3NhωE
hωE
e kT
−1
Die Ableitung macht Gebrauch von dem Planck Gesetz für die mittlere Besetzungszahl n .
2 Beispiele für den Verlauf des Cv als Funktion von T sind der Figur zu entnehmen
1
Eine für tiefe T besser geeignete Beschreibung ist das Debye Modell, das eine Betrachtung des
Modenspektrums beinhaltet.
U = ∑ n K hωK = ∫ dωD(ω)n (ω, T )hω
K
In der Näherung, dass ω = v s K ist die Zustandsdichte D(ω) pro Einheitsvolumen zu berechnen als
D(ω) =
Es folgt
U=
ω2
2π 2 v3s
ωD
⎛ ω2 ⎞ 3hω
d
ω
∫ ⎜⎜ 2π2 v3 ⎟⎟ hω
s ⎠ e kT − 1
⎝
0
wobei der Limes bei der Integration sicherstellen soll, dass die Gesamtzahl der Moden bei 3N
erhalten bleibt, d.h. die Kugel mit Radius KD mal Dichte gibt 3N Moden
3
4 3
πK D ⋅
= 3N
3
3
(2π)
bei tiefem T und im Limes ωD → ∞ ist
⎛ T ⎞
dv
⎟⎟
Cv =
= 234 Nk⎜⎜
dt
⎝ θD ⎠
3
θD =
hωD
k
Dieses Debye Gesetz C v ∝ T lässt sich qualitativ einfach verstehen mit dem klassischen Ansatz,
dass alle Moden bis hω = kT gefüllt sind und jeweils mit Energie kT angeregt sind.
3
2. Thermische Leitfähigkeit K
1
Nach den gaskinetischen Überlegungen ist K = C v ⋅ vs ⋅ λ , wobei λ die mittlere freie Weglänge
3
ist. Die thermische Leitfähigkeit K ist die Konstante, die die Wärmestromdichte j mit dem
Gradienten der Temperatur
dT
in der Form verbindet
dx
dT
j = −K
dx
Bei tiefen T ist die Weglänge λ eine Konstante. Wenn T zunimmt, ist durch nichtlineare Effekte
Phonon-Phonon Streuung möglich. Es kommt zu Umklapp Streuung mit
r
r
r
K1 + K 2 = K 3 > G
Die freie Weglänge wird stark reduziert. Weil Cv mit T3 steigt, bekommt man folgenden Verlauf von
K mit T
2
3. Thermische Ausdehnung α
Typisch bei 300K ist, dass sich Festkörper linear mit T ausdehnen (l = l0 (1 + αT )) wobei α in der
Größenordnung 10-4K-1 ist. Der Effekt stammt davon, dass das Bindungspotential anharmonisch ist.
Der Abstand vergrößert sich mit stärkerer Anregung.
3