2.05. - Physik (Uni Würzburg)
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Opto-elektronische Materialeigenschaften VL # 5 Vladimir Dyakonov [email protected] Experimental Physics VI, Julius-Maximilians-University of Würzburg und Bayerisches Zentrum für Angewandte Energieforschung e.V. (ZAE Bayern) 2 April 2012 Allgemeine Anmerkungen Achtung: Räume haben sich erneut geändert!!! Vorlesung Di. 15:00-16:00, Hörsaal 3, Hörsaalgebäude, Hubland Mi. 14:00-16:00, Hörsaal 3, Hörsaalgebäude, Hubland Übungen Di. 16:00-17:00, Seminarraum SE7 (Physikgebäude, Hubland-Süd) Achtung: am 8.05 finden die Ü. im SE 36 (Mathe) statt 2 Elektronische Eigenschaften von FK 2. Metallelektronen in äußeren Feldern (Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modell) 2.1 Elektrische Leitfähigkeit 2.2 Elektronen im Magnetfeld: Hall-Effekt 2.3 Thermische Leitfähigkeit: Wiedemann-Franz-Gesetz 2.4 Grenzen des Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modells 3 6.4.1 Definition der Wärmeleitfähigkeit Thermische Eigenschaften des Kristallgitters Wir definieren die Wärmeleitfähigkeit k eines Festkörpers als Proportiona Wärmeleitfähigkeit (allegemein) schen Wir treibendem Temperaturgradient rT und resultierender Wärmestro definieren die Wärmeleitfähigkeit κ als Proportionalitätskonstante zwischen treibendem Temperaturgradient ∇T und resultierender Wärmestromdichte Jh: 248 Jh = R. G ROSS UND A. M ARX Kapitel 6: Thermische Eigenschaften k rT . A Dabei sorgt das Minuszeichen dafür, dass die Wärme vom heißen zum ka fließt. Die Einheit der Wärmeleitfähigkeit ist W/m K. Eine Nebenbedingung zu (6.4.1) ist üblicherweise die Forderung, dass kein stattfindet. Das heißt, es fließen genauso viele Teilchen von links nach re x wärmeren Ende komm nach links: JlT = JrT . Allerdings haben die vom höhere mittlere Energie, so dass Jlh 6= Jrh . Im Allgemeinen ist ferner k wie Abbildung 6.14: Schematische Darstellung zum Wärmestrom durch eine Querschnittsfläche A. Im in isotropen portkoeffizient eines Festkörpers eine tensorielle Größe. Nur Zeitintervall t passieren alle Phononen die Querschnittfläche A, die sich in x-Richtung bewegen und sich innerhalb eines Zylinders der Länge v x t befinden. Skalar. inneren Energie U des Phononensystems können wir deshalb die Wärmestromdichte schreiben sche Wärme und führen die mittlere freie Weglänge ` = vt Definitionsgleichung (6.4.1) folgenden für die Wär Thermische Eigenschaften desAusdruck Kristallgitters Wärmeleitfähigkeit des Phononengases λ≡ k = 1 cV v ` . 3 Wärme der Phononen und deren der Phononen und der • Spezifische Wir sehen, dass die spezifische Wärme Gruppengeschwindigkeit spielen eine entscheidende entscheidende Rolle für die Wärmeleitfähigkeit spielt. Pho Rolle für die Wärmeleitfähigkeit optische Phononen deshalb wenig zum Wärmetransp nahe amtragen Zonenrand oder optische • Phononen Phononen wenig freie zum Wärmetransport aber auch die tragen mittlere Weglänge bei der Phononen. Diese Rolle spielt mittlere freie Weglänge • Eine wichtige Phononen bestimmt, diediewir weiter unten noch im Detail dis der Phononen. • Diese wird durch die Streuprozesse der Phononen bestimmt Kinetische Gastheorie Wir können das Ergebnis (6.4.9) auch sehr einfach aus der sche Wärme und führen die mittlere freie Weglänge ` = vt Definitionsgleichung (6.4.1) folgenden für die Wär Thermische Eigenschaften desAusdruck Kristallgitters Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit λ≡ k = 1 cV v ` . 3 1. Temperaturabhängigkeit der spezifischen Wärme V Wir sehen, dass die spezifische Wärme dercPhononen und der entscheidende Rolle für der diemittleren Wärmeleitfähigkeit spielt. Pho 2. Temperaturabhängigkeit freien Weglänge l optische Phononen tragen deshalb wenig zum Wärmetransp Streuprozesse aber auch die mittlere freie Weglänge der Phononen. Diese In Nichtmetallen sind die Streuprozesse Phononen: Phononen bestimmt, diewichtigsten wir weiter unten für noch im Detail dis • Phonon-Phonon-Streuung • Streuung an Defekten, Oberflächen etc. Kinetische Gastheorie Wir können das Ergebnis (6.4.9) auch sehr einfach aus der und bei hohen Temperaturen die Abnahme der mittleren freien Weglänge das Verhalten dominiert ergibt sich folgendes Bild: Thermische Eigenschaften des Kristallgitters Wärmeleitzahl von hochreinem NaCl über der Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit Temperatur Thermische Leitfähigkeit Wärmeleitfähigkeit des Elektronengases Reinterpretation für das freie Elektronengas: c= v = vF Fermi-Geschwindigkeit ( ), denn wegen des Pauli-Prinzips tragen nur Elektronen nahe EF bei. l = vFτ τ = mittlere Stoßzeit 8 Thermische Leitfähigkeit Wärmeleitfähigkeit des Elektronengases also insgesamt: 1 λ = c⋅v⋅l ≡κ 3 1 π2 n 2 = × k T × vF × vF τ B 2 3 2 12 mvF dem Temperaturgradient rT un Jh = k rT . In völliger Analogie zur thermi Elektronengas die thermische Le k = 1 cV v2 t . 3 Setzen wir den Ausdruck cV = Wärme und v2 = v2F = 2EF /m = π 2 nkB2τ = T 3 m Verhältnis aus thermischer und elektrischer Leitfähigkeit: λ π 2 nkB2τ = T 3 m σ Lorenz-Zahl 2 ne 2τ π 2 ! kB $ = # & ⋅T m 3 "e% p 2 nk2B t k = T . 3 m Wiedemann-Franz-Gesetz (1853): Verhältnis hängt nur von Naturkonstanten und Temperatur ab ! 2 λ π 2 ! kB $ −8 −2 L := = # & = 2.45 ×10 WΩK σT 3 " e % 9 Thermische Leitfähigkeit Lorenz-Zahlen verschiedener Metalle 2 2 λ π ! kB $ L= = # & = 2.45 ×10 −8 WΩK −2 σT 3 " e % 10 Thermische Leitfähigkeit Wiedemann-Franz Gesetz 1853. ANNALEN JVO.8. DER PHYSIK UND CHEMIE. BAND LXXXIX. I. Ueber die Wdrme-Leitungsfihigkeit der Metalle; von G. W i c d e m n n n und R. Frnnz. tj. 1. U e b e r zwanzig Jahre sind verflossen, seit Hr. I)es p r e t z durch seine miihevollen Untersuchungen zuerst einige sichere Zahlenwerthe tiber die relative Leitungsfllhigkeit verschiedener fester Kbrper far die Wlirme aafgefunden hat. Die grofse Genauigkeit und Sorgfalt, mit welcher die Versuche von Hrn. D e s p r e t z angestellt wurden, hat ge- - 11 Thermische Leitfähigkeit 53 1 Wiedemann-Franz Gesetz Jcdenfalls wcicheii die von uus fur die Leitungsfihigkeit der Metalle fur Wlrrne gefundenen Resultate nicht weiter von den flir die elektrische Leitung beobachteten Werthen ab, wie jene letzteren untcr einander. Kann man daber auch nicht direct bebanyten, dafs die Leitungs~iihigkeit der Metalle fur Elehtricitat und W I r m e volllioinmen dieselbe sey, so lafst sich doch mit Sicberheit der folgende Schlufs zieben: die Leitungsfahigkeitm der Metalle fur Elektricitat und Warme stehen einander sehr nahe, und sind zcahrscheinlich beide gleiche Functionen derselben Grofse. Man hat als Beweis der Unm6glichkeit eincr derartigen Uebereinstimmung angefiihrt, dafs die Leitungsfahigkeit des Wassers, bei einem geringen Zusatz von Saure in Bezug auf die Elektricitat bedeutend verbessert, in Bezug auf die W#rme nur wenig gelndert wird. Dieser Beweis mbchte iudefs iiur eben fur die Substaiizen eine Gcltung haben, 12 Thermische Leitfähigkeit • In Metallen überwiegt die thermische Leitfähigkeit der Elektronen üblicherweise die thermische Leitfähigkeit des Kristallgitters deutlich • Nur in stark verunreinigten oder ungeordneten Metallen wird die Abschnitt 7.3Streuzeit τ sehr klein und F ESTKÖRPERPHYSIK die Wärmeleitfähigkeit des Gitters kann in 287 die gleiche Größenordnung kommen wie diejenige des Elektronensystems Metall Al Ag Au Cd Cu Fe In Mo k (W/cm K) L (10 8 WW/K2 ) 2.38 4.18 3.10 1.00 3.85 0.80 0.88 — 2.14 2.31 2.35 2.42 2.23 2.61 2.58 2.61 Metall Na Pb Pt Sn Nb Sb W Zn k (W/cm K) L (10 8 WW/K2 ) 1.38 0.38 — 0.64 0.52 0.64 — 1.13 2.12 2.47 2.51 2.52 2.90 2.57 3.04 2.31 Quelle: G.W.C. Kaye, T.H. Laby, Table of Physical and Chemical Constants, Langmans Green, London (1966)) 13 Thermische Leitfähigkeit Wiedemann-Franz Gesetzt • Experimentell findet man, dass das Wiedemann-Franz-Gesetz immer nur bei hohen Temperaturen gut erfüllt ist • Zu tiefen Temperaturen hin nimmt dann allerdings der Wert der Lorenz-Zahl ab und wird bei tiefen Temperaturen wieder konstant. • Grund: eine unterschiedliche Wichtung der Streuprozesse beim elektrischen und thermischen Transport. 14 thermische Leitfähigkeit und somit auch das Wiedemann-Franz-Gesetz erhalten. Thermische Leitfähigkeit Temperaturabhängigkeit der thermischen Leitfähigkeit 288 R. G A. M Kapitel 7: Das freie Elektronengas Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit des Elektronengases Wir wollen kurz die Temperaturabhängigkeit der elektronischen thermischen Leitfähigkeit disROSS UND ARX 4 λk µ 8 > T < 1 T µ T 4 > r : const. (W W / m K) 10 hochreines Kupferder (99.999%) kutieren. Mit Hilfe des Wiedemann-Franz-Gesetzes folgt diese sofort aus Temperaturabhängigkeit der elektrischen Leitfähigkeit. Mit r = r0 = const bei sehr tiefen Temperaturen, 3 10 wir r µ T 5 für T ⌧ Q D und r µ T für T Q D erhalten Kupfer für T n Q D für T ⌧ Q D . für T QD Aluminium 10 2 Konstantan (7.3.27) Messing i 10 1 10 0 Edelstahl Wir erwarten also, dass k von hohen Temperaturen kommend zunächst konstant ist und dann 0 1 2 3 genügend weit unterhalb von Q D mit abnehmender ein Maximum 10 Temperatur 10 stark ansteigt, 10 10 durchläuft und bei sehr tiefen Temperaturen, bei denen die Verunreinigungsstreuung domiT (K) niert, proportional zu T abnimmt. Wir Abbildung erhalten bei der Wärmeleitfähigkeit des(Cu,Gitters 7.15: wie Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit von reinen Metallen Al) und Legierungen (Messing, Konstantan, Edelstahl). Unsere Erwartungen: ein Maximum der thermischen Leitfähigkeit, dessen Höhe und Temperatur von der Reinheit bei von hohenist Temperaturen • Lambda der Probe abhängt. ist Dieses Verhalten in Abb. 7.15 konstant für reine Metalle wie Kupfer oder AluLegierungen wird das Maximum völlig unterdrückt, da die mittlere freie Weglänge für den Sie steigtSehr unterhalb von ΘD(z.B. mit abnehmender Temperatur stark an,ausgeprägtes gesamten Temperaturbereich durch die temperaturunabhängige Verunreinigungsstreuung dominium• zu sehen. reine Proben hochreines Kupfer) haben ein sehr miniert wird und sehr klein ist. Für sehr reine Proben werden maximale Werte für k von mehr einsehr Maximum undals... 10 000 W/m K ein erreicht. Maximumdurchläuft bei tieferen, verunreinigte Proben flaches bei höheren Temperaturen. Für proportional zu T ab. • ... nimmt bei sehr tiefen Temperaturen Die elektronische Wärmeleitfähigkeit von Metallen ist im Allgemeinen um etwa den Faktor 100 größer als die Wärmeleitfähigkeit des Gitters, so dass letztere experimentell schwierig zu beobachten ist. Der Grund dafür liegt in der sehr effektiven Elektron-Phonon-Streuung. Die15 Wegse führt in Metallen zu einer im Vergleich mit Isolatoren viel kleineren mittleren freien länge und damit zu einem sehr kleinen Beitrag der Phononen zur Wärmeleitfähigkeit. Die in 1999 Thermische Eigenschaften des Kristallgitters Vergleich: Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit Abschnitt 6.4 F ESTKÖRPERPHYSIK 253 Abbildung des 6.15: Phononengases Wärmeleitfähigkeit von Silizium. Links: hochreines Si (nach C.J. Glassbrenner, G. A. Slack, Phys. Rev. 134, 1058 (1964)). Rechts: Hochreines natürliches Silizium (nach M. G. Holland, Phys. 4 Rev. 132, 2461 10 (1963); W.S. Capinski, Appl. Phys. Lett. 71, 2109 (1997)) sowie isotopenreines (99.7%) T³ 28 Si (nach W.S. Capinski, Appl. Phys. Lett. 71, 21094 (1997)). 10 (W / m K) (W / m K) 3 und dann µ eQD3/T ansteigt und dann unterhalb 10 einer von der Probengröße und Probenreinheit 10 abhängigen Temperatur sättigt. 2 10 erhalten, müssen wir noch die TemperaturUm die Temperaturabhängigkeit von k zu abhängigkeit von cV berücksichtigen. Wir haben in Abschnitt 6.1 gesehen, dass cV für T 1/T 1 2 10 Q D in etwa konstant ist und für T ⌧ Q proportional zu T 3 verläuft. Für den mittleD 10 ren Temperaturbereich erhalten wir, anhängig vom verwendeten Modell, unterschiedliche TSi 28Si 0 natSi Abhängigkeiten für cV . Die Details sind hier10allerdings nicht so wichtig, da die exponentielle Rechnung dominiert. für 28Si T-Abhängigkeit der mittleren freien Weglänge das Verhalten Insgesamt erwarten Rechnung für natSi 1 -1 wir folgende Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit: 10 10 1 10 2 10 T (K) 3 10 -2 10 -1 10 0 10 T / D 8 D < T Phys. Rev. 134, 1058 (1964)). Rechts: Hochreines natürliches Silizium Slack, (nach M. G. Holland, Phys. n Q /T Rev. 132, 2461 (1963); W.S. Capinski, Appl. Phys. Lett. 71, 2109 (1997)) sowie isotopenreines (99.7%) D k µ 28 SiT(nacheW.S. Capinski, . (6.4.20) mitAppl. n Phys. ' 0Lett. 371, 2109 für(1997)). T ⌧ QD (Ph-Ph-Streuung) > : 3 T für T n Q D (Ph-Defekt-Streuung) Abbildung 6.15: Wärmeleitfähigkeit von Silizium. Links: Glassbrenner, G. A. >1 für Thochreines Q Si (nach C.J.(Ph-Ph-Streuung) und dann µ eQD /T ansteigt und dann unterhalb einer von der Probengröße und Probenreinheit abhängigen Temperatur sättigt. Elektronische Eigenschaften von FK 2. Metallelektronen in äußeren Feldern (Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modell) 2.1 Elektrische Leitfähigkeit 2.2 Elektronen im Magnetfeld: Hall-Effekt 2.3 Thermische Leitfähigkeit: Wiedemann-Franz-Gesetz 2.4 Grenzen des Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modells 17 Elektronische Eigenschaften von FK Erfolge des Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modells: Modell des freien Elektronengas (inkl. Pauli-Prinzip) liefert gute Beschreibung für: • spezifische Wärme c(T) • elektrischen Widerstand ρ(T) • Wärmeleitfähigkeit λ(T) (und Wiedemann-Franz-Gesetz) • Hall-Effekt ..und was das Modell nicht erklären kann: • warum gibt es Halbleiter und Isolatoren ? • warum kann die effektive Masse meff ≠ m0 sein ? • warum kann die Hall-Konstante RH > 0 sein ? Effekte des periodischen Gitterpotentials !! • warum ist die charakteristische Streulänge λ = vFτ viel größer als der interatomare Abstand a0 ? 18
