wärmeleitfähigkeit und elektrische leitfähigkeit von metallen

INSTITUT FÜR ANGEWANDTE PHYSIK
Physikalisches Praktikum für Studierende der Ingenieurswissenschaften
Universität Hamburg, Jungiusstraße 11
WÄRMELEITFÄHIGKEIT UND ELEKTRISCHE
LEITFÄHIGKEIT VON METALLEN
1 Einleitung
In diesem Versuch soll die Wärmeleitfähigkeit und die elektrische Leitfähigkeit von Metallen untersucht
werden. Der theoretisch berechnete Zusammenhang zwischen diesen beiden Transportvorgängen
soll mit dem experimentell gefundenen verglichen und auf seine Gültigkeit überprüft werden.
2 Wärmeleitung
Wärmeleitung ist der Transport von Wärme zwischen verschiedenen Orten, der dann auftritt, wenn an
den Orten verschiedene Temperaturen vorliegen. Der Zusammenhang zwischen transportierter Wärme pro Zeiteinheit und dem Temperaturgradienten senkrecht zur durchströmten Fläche wird durch die
Wärmeleitungsgleichung beschrieben:
dQ
T
   A  .
dt
x
Dabei ist Q die Wärme, t die Zeit,  die Wärmeleitfähigkeit, A die Querschnittsfläche, T die Temperatur
und x der Ort.
Die Temperatur hängt im allgemeinen sowohl vom Ort als auch von der Zeit ab, d. h. T=T(x,t). Der
Differentialquotient
T
x
ist die partielle Ableitung der Temperatur nach dem Ort, die Zeitabhängig-
keit bleibt hier unberücksichtigt. Der Zusammenhang zwischen der Orts- und Zeitabhängigkeit wird
durch die Transportgleichung beschrieben:
T
  2T


 t   c  x2
.
Dabei ist  die Dichte und c die spezifische Wärmekapazität des Körpers. Die Wärmekapazität eines
Körpers ist definiert als Quotient aus dem Körper zugeführter (bzw. vom Körper abgeführter) Wärme
Q und der daraus resultierenden Temperaturerhöhung (bzw. Temperaturerniedrigung) T:
C  cm 
Q
,
T
wobei C die Wärmekapazität und m die Masse des Körpers sind.
Zur Messung von  wird ein Metallstab der Länge l und der konstanten Querschnittsfläche A verwendet. Der allgemeine Fall der dreidimensionalen Ortsabhängigkeit in der Wärmeleitungsgleichung und
der Transportgleichung wird im Versuch auf eine eindimensionale Ortabhängigkeit, hier ebenfalls mit
der Koordinate x beschrieben, reduziert. Ferner werden die Enden des Stabes durch Wärmereservoire auf konstanter Temperatur (T1 ,T2) gehalten. Dadurch stellt sich nach einiger Zeit ein stationärer
Zustand ein, d. h. ein Zustand, der sich mit der Zeit nicht mehr ändert:

T
0
t
  2T
 2T
 2 0
0
 c  x
 x2
Die allgemeine Lösung ergibt sich durch zweimalige Integration (kann durch zweimaliges Differenzieren überprüft werden):
07.07.2010
WÄRMELEITFÄHIGKEIT UND ELEKTRISCHELEITFÄHIGKEIT VON METALLEN
T  x   c1 x  c2
c1 und c2 können durch Einsetzen der Randbedingungen bestimmt werden:
T  x  0  T1  c2  T1
T  x  l   T2  c1 
 T x 
Damit ergibt sich für
T
x
T2  T1
l
T2  T1
 x  T1
l
aus der Wärmeleitungsgleichung:
T T2  T1 T


x
l
l
mit T  T2  T1 (Temperaturdifferenz zwischen zwei Punkten des Stabes mit Abstand l ). Im stationären Zustand stellt sich also ein konstantes Temperaturgefälle entlang des Stabes ein. Aus der
Wärmeleitungsgleichung folgt dann weiterhin:
Die Integration der Funktion
Wärme proportional zur Zeit.
dQ
T
   A 
 const .
dt
l
liefert dann Q  t , d. h. im stationären
Zustand ist die transportierte
3 Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit
Die prinzipielle Versuchsanordnung zur Bestimmung der Wärmeleitfähigkeit  ist in Abb. 1 dargestellt.
Die beiden Enden des Metallstabes werden durch Wärmereservoire unterschiedlicher Temperatur auf
jeweils konstante Temperatur gebracht. Nachdem sich ein konstantes Temperaturgefälle entlang des
Stabes eingestellt hat, wird das untere Wärmereservoir entfernt und die Temperaturänderung am StaFunkbende beobachtet. Hieraus kann nun über Q  C  T die transportierte Wärme Q als
tion der Zeit und die transportierte Wärmeleistung
dQ
als Funktion der Temperatur bestimmt werden.
dt
l
Die
Wärmeleitfähigkeit
 ergibt sich dann aus der Wärmeleitungsgleichung bei bekanntem Stabquerschnitt und bekannter Stablänge, bzw. bekanntem Abstand der Temperaturmesspunkte. Allerdings ist der Einfluss der Umgebung auf die Erwärmung des unteren Reservoirs in einem gesonderten
Experiment zu bestimmen, denn es gilt:
dQ dQStab dQUmgebung


dt
dt
dt

dQStab dQ dQUmgebung


dt
dt
dt
2
WÄRMELEITFÄHIGKEIT UND ELEKTRISCHELEITFÄHIGKEIT VON METALLEN
4 Elektrische Leitfähigkeit
Der Zusammenhang zwischen der elektrischen Leitfähigkeit  und dem elektrischen Widerstand R
wird durch folgende Gleichung beschrieben:

l 1

A R
Aus der Messung des Widerstandes, der Stablänge und des Stabquerschnitts kann also  bestimmt
werden.
4.1 Zusammenhang zwischen elektrischer Leitfähigkeit und Wärmeleitfähigkeit
Die elektrische Leitfähigkeit eines Körpers wird durch die Anzahl der freien Elektronen bestimmt. Metallatome werden im Festkörper durch eine besondere Bindungsart, die metallische Bindung, zusammengehalten. Bei dieser Bindung geben die Metallatome ihre Valenzelektronen (d. h. die Elektronen
der äußeren Elektronenschale) ab, d. h. diese Elektronen sind nicht mehr an ein spezielles Metallatom
gebunden. Deshalb besitzen die Metalle eine hohe Anzahl freier Elektronen und daher auch eine hohe
elektrische Leitfähigkeit.
Wärmeleitung erfolgt in Festkörpern durch Gitterschwingungen und durch Elektronen. In Metallen
überwiegt bei Raumtemperatur der elektronische Anteil der Wärmeleitung. Daher sind bei Metallen die
Elektronen sowohl für die elektrische als auch für die Wärmeleitung verantwortlich. Der Zusammenhang zwischen der Wärmeleitfähigkeit  und der elektrischen Leitfähigkeit  wurde zunächst experimentell als proportional zur Temperatur bestimmt:

 LT

Wiedemann-Franz-Gesetz
Die Proportionalitätskonstante L heißt Lorenzzahl und ist materialunabhängig, d. h. sie sollte für alle
Metalle gleich sein. L kann theoretisch berechnet werden. Hierzu betrachtet man in einer Näherung
ausschließlich Elektronen, d. h. ein sogenanntes freies Elektronengas. L ergibt sich dann zu:
L
 2 k2
3e 2
 2.5  10
3
8
V2
K2
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5 Versuchsdurchführung und Auswertung
5.1 Bestimmung der Wärmekapazität C des Kalorimeters
Die Wärmekapazität und damit bei
gegebener Masse auch die spezifische
und molare Wärmekapazität eines
Körpers kann dadurch bestimmt werden, dass man ihm eine definierte
Wärmemenge Q zuführt und die daraus resultierende Temperaturerhöhung T misst. Die Wärmemenge Q
ist jedoch in diesem Versuch nicht
direkt messbar, sondern sie wird durch
ein Mischungsexperiment bestimmt.
Bei einem Mischungsexperiment wird
der zu untersuchende Körper (mit der
Temperatur T1 und der unbekannten
Wärmekapazität C1) mit einem zweiten Körper (mit der Temperatur T2 und
der bekannten Wärmekapazität C2) in
thermischen Kontakt gebracht. Der
Körper mit der höheren Temperatur
wird Wärme an den Körper niedrigerer
Temperatur abgeben, und es wird sich
eine gemeinsame Mischtemperatur T
einstellen.
Abb. 1: Temperaturverlauf im Kalorimeter
Dann gilt (für T1>T2):
Körper 1:
C1 
Q1
Q1

T1 T1  T
Körper 2:
C2 
Q2
Q2

T2 T  T2
Wenn keine Wärmeverluste an die Umgebung auftreten, so gilt aufgrund der Energieerhaltung:
Q1=Q2
Damit folgt:
C1  C2
4
T  T2
T1  T
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5.2 Untersuchung des Einflusses der Umgebung
dQUmgebung
dt
.
Hierzu wird das Wasser im Kalorimeter mit Hilfe von Eiswürfeln auf 0°C abgekühlt. Nach Entnahme
der Eiswürfel (Sieb benutzen, da sonst Temperaturanstieg durch die Hände !) wird der Temperaturanstieg über einen Zeitraum von 30min beobachtet. Dabei sollte das Wasser ständig umgerührt werden.
Die vom Wasser im Kalorimeter von der Umgebung aufgenommene Wärme QUmgebung ist als Funktion der Zeit aufzutragen, dazu muss die Masse des Wassers gemessen werden. Aus diesem Graphen kann nun näherungsweise die Wärmeleistung, d. h. die zeitliche Ableitung der Wärme
dQUmgebung
dt
bestimmt werden. Hierbei ist die zuvor bestimmte Wärmekapazität des Kalorimeters zu berücksichtigen, indem man sie von der gemessenen gesamten Wärmekapazität subtrahiert. Die Wärmeleistung
ist als Funktion der Wassertemperatur aufzutragen.
5.3 Bestimmung der elektrischen Leitfähigkeit.
Der Metallstab wird über einen Schiebewiderstand und ein Amperemeter an den Stufentrafo angeschlossen. Der Spannungsabfall über den Stab wird in einer 4-Punkt Messung mit Hilfe eines µVVerstärkers gemessen. Aus dem Spannungsabfall und dem Strom ergibt sich bei bekannter Stablänge
der Widerstand und damit die elektrische Leitfähigkeit des Stabes.
Die Spannungsmessung erfolgt mit einem Mikrovoltmeter: Wählen Sie an dem Gerät mit den Pfeiltasten den empfindlichsten Meßbereich.
Die Messungen 5.3 und 5.4 sind für beide Metallstäbe (Kupfer und Aluminium) durchzuführen.
5.4 Bestimmung der Wärmeleitfähigkeiten.
Die Enden des Metallstabes werden durch zwei Wärmereservoire auf konstante Temperaturen gebracht. Als Reservoire dienen Kalorimeter, von denen eines mit einem Lötkolben (T2 ≈ 65°C) und das
andere mit einem Eis-Wasser-Gemisch (T1 = 0°C) gefüllt sind. Nachdem sich ein konstantes Temperaturgefälle eingestellt hat (wichtig !), wird das Eis dem Wasser entnommen und der Temperaturanstieg
des verbliebenen Wassers im Kalorimeter über 5min beobachtet. Hieraus lassen sich nun die transportierte Wärme Q (Masse des Wassers bestimmen !) und die transportierte Wärmeleistung
dQ / dt wie unter 2. bestimmen. Dabei ist die Wärmekapazität des Kalorimeters und der Einfluss der
Umgebung zu berücksichtigen. Die entsprechenden Graphen sind aufzutragen. Die Wärmeleitfähigkeit ergibt sich dann aus der Wärmeleitungsgleichung.
5.5 Lorenzzahl
Aus den Messwerten ist die Lorenzzahl L zu berechnen und mit dem theoretischen Wert zu vergleichen.
5.6 Fehlerabschätzung und Fehlerbetrachtung.
Literatur
Hering, Martin, Stohrer: "Physik für Ingenieure", VDI-Verlag, Düsseldorf
Kittel: "Einführung in die Festkörperphysik", R. Oldenbourg Verlag, München, Wien
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