Parametrische Verstärkung und Oszillation

Institut für Physik und Physikalische Technologien der TU Clausthal
Nichtlineare Optik
WS 2005/06
4.
März 2006
Parametrische Verstärkung und Oszillation
Bei der parametrischen Verstärkung wird eine Pumpwelle mit der Frequenz ω3 eingestrahlt,
wobei die Bedingung ω3 = ω1 + ω2 erfüllt ist mit der Signalwelle der Frequenz ω1 und der
Idlerwelle der Frequenz ω2. Die Vorgehensweise zur mathematischen Beschreibung ist analog
zur Frequenzverdopplung, nur dass hier der Energiefluss in umgekehrter Richtung erfolgt,
d.h. von der Welle 3 in die beiden Wellen 1 und 2. Für den Fall ω1 = ω2 erhält man die exakte
Umkehrung der Frequenzverdopplung, die so genannte entartete parametrische Verstärkung.
i)
Optische Parametrische Verstärkung
ii)
Optische parametrische Oszillation (OPO)
4.1
Parametrische Verstärkung
Ausgangspunkt für die mathematische Beschreibung der optischen parametrischen
Verstärkung und Oszillation ist das Differentialgleichungssystem aus Kap. 3.1, wobei wieder
zur Vereinfachung der folgende Ansatz gewählt wird:
Al =
d A1
dz
d A2*
dz
d A3
dz
Vorlesung NLO Kap.4 Vers. 1.1.doc
nl
ωl
=−
=−
=−
El
α1
2
α2
2
α3
2
,
l = 1, 2, 3
A1 − i κ A2* A3 e − i Δk z
A2* + i κ A1 A3* e i Δk z
A3 − i κ A1 A2 e i Δk z
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mit der Phasendifferenz Δk = k3 − k1 − k 2 , der Absorptionskonstante α l = σ l μ 0 / ε 0ε l und der
einheitlichen Kopplungskonstante
κ =
μ 0 ω1 ω 2 ω 3
ε 0 n1 n2 n3
d
2
Gesucht ist eine Lösung für den Fall der Phasenanpassung Δk = 0 , vernachlässigbarer
Absorption α i = 0 und in der Näherung ohne Pumpwellenerschöpfung, d.h. A3 ( z ) = A3 (0) .
Zur weiteren Vereinfachung definiert man die Kopplungskonstante
g = κ A3 (0)
d A1
dz
d A2*
dz
= − i g A2*
= i g A1
Das Gleichungssystem ist zu lösen mit den Randbedingungen
A1 ( z = 0) = A1 (0) und A2 ( z = 0) = A2 (0)
und dem frei wählbaren Phasenbezugspunkt
A3 (0) = A3* (0)
Die zugehörigen Lösungen sind
A1 ( z ) = A1 (0) cosh ( g z ) − i A 2* (0) sinh ( g z )
A2* ( z ) = A 2* (0) cosh ( g z ) + i A1 (0) sinh ( g z )
Betrachtet wird eine Situation, wo die einfallende Pumpwelle 3 stark ist und die Signalwelle 1
schwach ist; die Idlerwelle sei Null, d.h. A2 (0) ≈ 0 .
| A1 ( z ) | 2 = | A1 (0) | 2 cosh 2 ( g z )
| A2 ( z ) | 2 = | A1 (0) | 2 sinh 2 ( g z )
→
g z >> 1
→
g z >> 1
1
| A1 (0) | 2 e 2 g z
4
1
| A1 (0) | 2 e 2 g z
4
d.h. sowohl die Signal- als auch die Idlerwelle werden exponentiell verstärkt.
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Wenn nur die Pumpwelle in den Kristall eingestrahlt wird, kommt es aufgrund der optischen
Fluoreszenz zu nicht verschwindenden Anfangsamplituden A1,2 (0) ≠ 0. Ein einfallendes
Photon der Frequenz ω3 zerfällt spontan in zwei Photonen der Frequenzen ω1 und ω2:
ω 3 = ω1 + ω 2
Dabei treten im Prinzip alle Frequenzen 0 ≤ ω 1, 2 ≤ ω 3 auf.
Als Zahlenbeispiel wird die parametrische Verstärkung in LiNbO3 betrachtet mit dem
nichtlinearen Koeffizienten d 311 = d 31 = 5 × 10 − 23 As/V 2 . Die Intensität des gepulsten
Pumplasers sei I 3 = 5 × 106 W/cm 2 und die Brechungsindizes n1 = n 2 = n 3 = 2.2 . Damit erhält
man für die Amplitude E3 des Pumplichtes der Frequenz ω3
E3 = 2 I 3 /(c n3ε 0 ) ≈ 4,1 × 106 V/m
und hieraus den Verstärkungskoeffizienten g
g = κ A3 (0) =
d
= E3
2
n3
ω3
E3
d
2
μ0 ω 1 ω 2 ω 3
ε 0 n1 n 2 n 3
2
μ0 ω 1
ε 0 n 12
= 0,33 cm− 1
Bei einer Kristalllänge von L = 1 cm ergibt dies eine moderate Verstärkung von e
2g L
≈ 2.
Falls die Phasenanpassbedingung verletzt wird, so ergibt eine analoge Rechnung mit
Δk = k3 − k1 − k 2 ≠ 0
⎧
A1 ( z ) = ⎨ A1 (0)
⎩
⎫ −i
i Δk
⎡
⎤ ig *
+
−
cosh
(
b
z
)
sinh
(
b
z
)
A
(
0
)
sinh
(
b
z
)
⎬e
2
⎢⎣
⎥⎦
b
b
⎭
⎧
A2* ( z ) = ⎨ A2* (0)
⎩
⎫ i
i Δk
⎡
⎤ ig
⎢⎣cosh (b z ) − b sinh (b z )⎥⎦ + b A1 (0) sinh (b z )⎬ e
⎭
Δk z
2
Δk z
2
mit der Kopplungskonstante
b=
g 2 − (Δk ) 2
Wichtig ist hierbei, dass nun der Parameter b von Δk abhängt. Dies bedeutet, erst wenn die
Verstärkung g ≥ Δk wird, kann effektiv Energie von der Pumpwelle auf die Signal- und
Idlerwelle übertragen werden. Falls dagegen g < Δk ist, so ist b rein imaginär, d.h. die
Energie bei den Frequenzen ω 1, 2 oszilliert mit der Ausbreitungskoordinate z.
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4.2
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Parametrische Oszillation
Bei der parametrischen optischen Oszillation (OPO) unterscheidet man zwei Fälle, bei denen
die Resonatorbedingung entweder gleichzeitig für ω 1 und ω 2 erfüllt ist (doppelt-resonanter
OPO) oder nur für die Signalwelle ω 1 (einfach-resonanter OPO). In beiden Fällen sind die
Resonatorspiegel in der Regel für die Pumpfrequenz ω 3 transparent.
Sobald die Verstärkung die internen Verluste im Resonator übersteigt, wie z.B. durch
Reflexionsverluste oder die Absorption im nichtlinearen Kristall auftreten, oszilliert der
Resonator mit den Frequenzen ω 1 und / oder ω 2 . Optisch parametrische Oszillatoren haben
für die Wissenschaft eine große Bedeutung, da sie eine Konversion von kohärenter Strahlung
des Pumplasers in kohärente Strahlung mit den Frequenzen ω 1 bzw. ω 2 und damit eine über
einen großen Bereich abstimmbare kohärente Lichtquelle bilden. Anwendungen liegen
insbesondere im Bereich der Spektroskopie, etwa im nahen infraroten Spektralbereich. Die
beiden Abbildungen zeigen Beispiele für OPO’s mit diskret aufgebautem Resonator sowie in
monolithischer Bauweise.
Eine wichtige Größe eines optisch parametrischen Oszillators ist die notwendige
Eingangsleistung, bei der die Oszillation der Wellen 1 und 2 einsetzt, d.h. die Größe der
Pumpschwelle. Diese soll im Folgenden in einem stark vereinfachten Modell berechnet
werden.
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Gesucht ist also eine Lösung von
d A1
dz
d A2*
dz
mit
=−
=−
α1
2
A1 − i g A2* e − i Δk z
α2
2
g = κ A 3 ( 0) =
A2* + i g A1 ei Δk z
d
E 3 ( 0)
2
μ 0 ω1 ω 2
ε 0 n1 n2
für den Fall der Phasenanpassung Δk = 0 und im stationären Zustand d / dz = 0 .
Die gekoppelten Differentialgleichungen mit dem Schwellwert gt der Mindestverstärkung für
Oszillation lassen sich in Matrixform schreiben,
−
α1
2
A1 − i g t A2* = 0
i g t A1 −
α2
2
⇔
A2* = 0
⎛ − α1 / 2 − i gt ⎞
⎜
⎟
⎜ i gt − α2 /2 ⎟
⎝
⎠
⎛ A1 ⎞
⎜
⎟ =0
⎜ A2* ⎟
⎝
⎠
die sich durch Null setzen der Determinante lösen lässt:
(− α 1 / 2) (− α 2 / 2) − (− i g t ) (i g t ) = 0
g t2 =
1
1
α1α 2 ≅
(1 − R1 ) (1 − R 2 )
4
4 L2
Bei der hier gemachten Näherung kleiner Absorptionsverluste wurden die Dämpfungen α 1, 2 in
den Reflektivitäten R1,2 der Spiegel berücksichtigt. In einem Resonator der Länge LR sei der
Verlust pro Durchlauf
e −αi LR = R i
Mit der Entwicklung der exp-Funktion für kleine Argumente, exp (x) ≈ 1 – x erhält man dann
αi L ≈ 1 − Ri
Für eine selbstkonsistente Lösung für den OPO muss zusätzlich die Phasenbeziehung der
Wellen bei einem Umlauf im Resonator berücksichtigt werden. An den Resonatorspiegel
werden Signal-/Idlerwelle reflektiert; die Reflexion bezüglich der Feldamplituden Ai sei Mi,
also
(M i )2 = R i e
2iφ i
, i = 1, 2
mit dem Phasensprung φi bei Reflexion.
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Die Reflexion ist Null für die Pumpwelle, also M3 = 0. Für die Amplituden der Signalwelle 1
und der Idlerwelle 2 erhält man somit
⎛ A ( z ) e − i k1 z ⎞
⎜ 1
⎟
A( z) = ⎜
⎟
*
+
i
k
z
⎜ A 2 ( z) e 2 ⎟
⎝
⎠
mit
ki =
2π n i
λi
=
ω i ni
c
Als Lösung für den Fall der exakten Phasenanpassung Δk = 0 erhält man wie schon bei der
parametrischen Verstärkung die Lösung
⎛ cosh ( g L) e − i k1 L
A ( L) = ⎜⎜
i k2 L
⎝ i sinh ( g L) e
− i sinh ( g L) e − i k1 L ⎞
⎟ A (0)
cosh ( g L) e i k2 L ⎟⎠
In einem Resonator muss sich die Amplitude A (L) nach einem kompletten Umlauf selber
reproduzieren, d.h. es ist A' ( L) = A ( L) mit A' ( L) als Amplitude nach einem Umlauf.
Die Amplitude nach einem Umlauf lautet dann
⎛ M 1 0 ⎞ ⎛ e − i k1 L 0
⎟⎜
A' ( L) = ⎜
⎜ 0 M * ⎟⎜ 0
e i k2 L
2 ⎠⎝
⎝
Reflexion
linker Spiegel
Durchlauf von rechts
nach links ( g = 0 )
⎞ ⎛ M 1 0 ⎞ ⎛ cosh ( g L) e − i k1 L − i sinh ( g L) e − i k1 L ⎞
⎟⎜
⎟⎜
⎟ A ( L)
⎟ ⎜ 0 M * ⎟ ⎜ i sinh ( g L) ei k2 L cosh ( g L) ei k2 L
⎟
2
⎠⎝
⎠
⎠⎝
Reflexion
rechter Spiegel
Durchlauf von links nach rechts mit g ≠ 0
oder A' ( L) = M A ( L) mit der Matrix
⎛ M 2 cosh ( g L) e − 2 i k1 L
M =⎜ 1 * 2
⎜ i ( M ) sinh ( g L) e 2 i k2 L
2
⎝
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− i M 12 sinh ( g L) e − 2 i k1L ⎞
⎟
( M 2* ) 2 cosh ( g L) e 2 i k2 L ⎟⎠
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Die Bedingung zur Selbstkonsistenz lautet
AL' ( L) = M A ( L)
mit
⎛10⎞
⎟⎟
I = ⎜⎜
⎝ 01⎠
also
det ( M − I ) = 0
oder ( M − I ) A ( L) = 0
Damit erhält man die Oszillationsbedingung für den OPO
(M
2
1
)(
)
cosh ( g L) e − 2 i k1L − 1 ( M 2* ) 2 cosh ( g L) e 2 i k2 L − 1 = M 12 ( M 2* ) 2 sinh 2 ( g L) e 2 i ( k2 − k1 ) L
Wir nehmen weiter an, dass sowohl ω 1 als auch ω 2 Moden des Resonators sind und damit die
Phase ein Vielfaches von 2π beträgt:
− 2φ1 + 2 k 1 L = 2 mπ
− 2φ 2 + 2 k 2 L = 2 nπ
mit den ganzen Zahlen m und n. Mit den komplexen Reflexionskoeffizienten
( M 1, 2 ) 2 = R1, 2 e
2 i φ 1, 2
erhält man das Zwischenergebnis
M 12, 2 e
− 2 i k1, 2 L
= R1, 2 e
2 i φ1, 2 L
= R1, 2 e
2 i ( m π + k 1, 2 L )
e
− 2 i k1, 2 L
e
− 2 i k 1, 2 L
= R1, 2 ei 2 mπ = R1, 2
und damit
(R
1
cosh ( g L) − 1) (R 2 cosh ( g L) − 1) = R1 R 2 sinh 2 ( g L)
Mit der Beziehung cosh 2 ( x) − sinh 2 ( x) = 1 lautet die Amplitudenbedingung für Oszillation
cosh ( g L) =
1 + R1 R 2
R1 + R 2
Dieser Ausdruck lässt sich weiter nähern mit cosh ( x) ≈ 1 + x 2 / 2
( g L) 2 =
2
(1 − R1 ) (1 − R 2 ) ≈ (1 − R1 ) (1 − R 2 )
R1 + R 2
Die notwendige Verstärkung für Oszillation ist dann
g = gt =
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1
L
(1 − R1 ) (1 − R 2 )
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Betrachtet wird das folgende Zahlenbeispiel für die Berechnung der Pumpschwelle eines
optisch parametrischen Oszillators in monolithischer Bauweise in LiNbO3 mit dem
nichtlinearen Koeffizienten d31 = 5 × 10−23 As/V2. Die Brechungsindizes betragen
n1 = n 2 = n 3 = 2.2 , die Frequenzen ω 1 = ω 2 = 6 π ×1014 Hz (Wellenlänge λ = 1 μm), die
Kristalllänge L = 5 cm und die Reflektivitäten R1 = R2 = 98 %. Dies lässt sich z.B. erreichen
mit einer Pumpwellenlänge λ3 = 514 nm eines Ar+-Lasers. Damit gilt für die Pumpschwelle
1
L
g th =
I 3 , th =
=
(1 − R 1 ) (1 − R 2 ) =
c n 3 ε0
2
μ0 ω 1 ω 2
ε0 n1 n 2
| E 3 , th (0) | 2
c n 3 ε0
2
d
E3, th (0)
2
4
2
L d
2
(1 − R 1 ) (1 − R 2 )
ε0 n1 n 2
μ0 ω 1ω 2
= 1.4 × 10 7 W/m 2 = 1400 W/cm2
Dies entspricht einer vergleichsweise geringen Intensität und bedeutet damit eine niedrige
Pumpschwelle für den optischen parametrischen Oszillator. Ein Vorteil von OPO’s ist daher,
dass sie mit vergleichsweise günstigen Pumplasers (z.B. Ar+-Laser oder frequenzverdoppelte
Nd:YAG-Laser) mit moderater Pumpleistung im Wattbereich betrieben werden können.
Nun soll die Ausgangsleistung bzw. die Effizienz eines optisch parametrischen Oszillators
berechnet werden. Analog zum Laser gilt hierbei, dass oberhalb der Pumpschwelle gth die
Verstärkung immer konstant auf der Wert der Pumpschwelle verharrt, dass also gilt
g = g th = const. . Gleichzeitig ist aber die Pumpschwelle auch proportional zur Amplitude der
Pumpwelle
g = g th ~ E 3 = E 3, th = const.
Man spricht hierbei von Pumpsättigung oder ‚pump saturation’. Als direkte Folge der
Energieerhaltung wird die überschüssige Leistung der Pumpwelle zur Verstärkung von
Signal- und Idlerwelle aufgewendet. Mit der Energie W der Welle mit W = N ħ ω erhält man
das Ergebnis, dass die Anzahl N der Photonen proportional zum Quotienten aus Leistung P
und Frequenz ω der Welle ist
N =
W
P
~
hω ω
Teilchenzahlerhaltung, d.h. der ‚Zerfall’ eines überschüssigen Pumpphotons in je ein Signalund Idlerphoton, ist dann gleichbedeutend mit der Beziehung
P1
ω1
=
=
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P2
ω2
=
P3 − ( P3 ) th
ω3
⎞
( P3 ) th ⎛ P3
⎜
−1⎟
⎟
ω w ⎜⎝ ( P3 ) th
⎠
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Eine hohe Verstärkung erfordert also eine große Pumpüberhöhung
P3
>> 1
( P3 ) th
Das Pumpverhalten eines OPO’s ist in der folgenden Abbildung dargestellt für den zeitlichen
Verlauf eines Pumppulses sowie des erzeugten Signalpulses. Deutlich zu sehen ist das gleiche
Zeitverhalten der überschüssigen Pumpleistung P3 – (P3)th und der darauf normierten Leistung
des Signalpulses.
Die folgende Diskussion soll zeigen, dass an die Stabilität des Resonators beim doppelt
resonanten OPO hohe Anforderungen gestellt werden müssen. Für den Betrieb des OPO
müssen gleichzeitig die Energieerhaltung (1), die Phasenanpassungsbedingung (2) sowie die
Bedingung, dass sowohl Signal- als auch Idlerwelle Resonatormoden sind (3), erfüllt sein:
(1)
ω 3 = ω1 + ω 2
(2)
k 3 = k1 + k 2
bzw.
n 3 ω 3 = n1 ω 1 + n 2 ω 2
2ki L =
(3)
bzw.
ω i ni L
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c
2ω i n i L
c
= 2φ i + 2 mπ
= m π + φ i = const.
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Energieerhaltung ist demnach gleichbedeutend mit der Beziehung
Δω 1 = − Δω 2
Ableitung der Frequenz ωi in der Beziehung für die Resonatormoden nach der der
Resonatorlänge L führt aber auf
dω 1
ω1
=
dω 2
ω2
=−
dL
L
wobei hier dω i eine infinitesimal kleine Frequenzänderung sein soll. Beide Bedingungen
sind nur für Δω >> dω simultan zu erfüllen. Dies bedeutet, dass bei einer kleinen Änderung
der Resonatorlänge (z.B. aufgrund von Vibrationen oder thermischer Ausdehnung) die
Frequenz der Signal- und Idlerwelle um den Betrag Δω springen, bis das nächste passende
Paar Resonanzfrequenzen Δω = Δω 1 = − Δω 2 getroffen wird. Die Größe von Δω wird durch
den longitudinalen Modenabstand des Resonators bestimmt:
Δω =
πc
1
L (n1 − n 2 )
Die
Frequenzabstimmung
eines
OPO's
erfolgt
über
die
Änderung
der
Phasenanpassungsbedingung. Wie auch bei der Frequenzverdopplung stehen hierbei wieder
die Möglichkeiten zur Einstellung eines Phasenanpasswinkels über ein Drehen des
nichtlinearen Kristalls (Typ I und II) oder einer Temperaturänderung zur Verfügung.
Allerdings müssen hierbei wieder stets Energieerhaltung, Phasenanpassbedingung und die
Resonatorbedingung für ω 1 und ω 2 erfüllt sein. Der Abstimmbereich beträgt hierbei
theoretisch ω 3 > ω 1 > 0 .
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Die folgenden beiden Abbildungen zeigen Beispiele für die Abstimmmöglichkeit über eine
Winkeländerung sowie über Temperaturänderung.
Die untere Abbildung zeigt ein kommerzielles OPO-System MOPO-HF der Firma SpectraPhysics. Im gepulsten Betrieb mit einer Pumpwellenlänge von λ p = 355 nm , einer
Pumppulsdauer τ = 3 ns , einer Wiederholrate f = 10 Hz und einer Pulsenergie von 475 mJ
pro Puls erhält man eine Ausgangsleistung bzw. –energie von 0.7 W (zeitlicher Mittelwert)
bzw. 70 mJ pro Puls bei einer Signalwellenlänge von 500 nm. Damit beträgt die nur auf die
Signalwellenlänge bezogene Effizienz ca. 15 %. Der Abstimmbereich des Systems liegt bei
Wellenlängen von 400 nm bis 2 μm.
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Zum Abschluss dieses Abschnitts wird noch der Fall eines einfach resonanten optischen
parametrischen Oszillator diskutiert, bei dem nur die Signalwelle ist eine Mode des
Resonators ist. Die Idlerwelle breitet sich dagegen wie die Pumpwelle nur in
Vorwärtsrichtung aus.
Dies ermöglicht eine nicht kollineare Phasenanpassung, bei der sich alle drei Wellen in
verschiedenen Richtungen im nichtlinearen Kristall ausbreiten.
Die Phasenanpassbedingung lautet dann in vektorieller Schreibweise
r
r r
k3 = k1 − k2
r
Man nutzt dabei aus, dass sich zum einen die Größe von | k1 | (d.h. die Frequenz ω1 ) und zum
r
r r
anderen die Größe | k2 | und Richtung k2 / | k2 | der Idlerwelle automatisch einstellen. Die
r
Richtung von k1 wird durch den Resonator vorgegeben. Die folgende Abbildung zeigt
schematisch die Geometrie, wobei das zusätzliche Prisma eine Veränderung der Richtung der
Pumpwelle ω 3 gestattet. Hierüber kann die Frequenz ω1 der Signalwelle eingestellt werden.
Zur Berechnung der Pumpschwelle geht man aus vom Ergebnis für den doppelt resonanten
Fall,
(M
2
1
)(
)
cosh ( g L) e − 2 i k1L − 1 ( M 2* ) 2 cosh ( g L) e 2 i k2 L − 1 = M 12 ( M 2* ) 2 sinh 2 ( g L) e 2 i ( k2 − k1 ) L
und setzt nun M2 = 0, da die Idlerwelle nicht reflektiert wird. Damit lautet die Transfermatrix
⎛ M 12 cosh ( g L) e − 2 i k1 L
M = ⎜⎜
0
⎝
− i M 12 sinh ( g L) e − 2 i k1 L ⎞
⎟
⎟
0
⎠
und über die Bedingung det (M - I) = 0 erhält man die Lösung
M 12 cosh ( g L) e − 2i k1 L = 1
oder
R 1 e 2 iφ1 cosh ( g L) e −2 i k1 L = 1
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Die zugehörigen Amplituden- und Phasenbedingungen lauten dann
R1 cosh ( g L) = 1
und
φ 1 − k 1 L = mπ
Die Phasenbedingung entspricht dem Fall beim doppelt resonanten Oszillator, nur dass nun
keine gleichzeitige Bedingung für die Phase der Idlerwelle existiert. Damit wird das Problem
der Phaseninstabilität stark vermindert; insbesondere vermeidet man die beim doppelt
resonanten Fall auftretenden Frequenzsprünge.
Aus der Amplitudenbedingung erhält man für kleine Argumente der cosh-Funktion ( g L <<1)
die Pumpschwelle g t
cosh ( g t L) =
( g t L) 2 =
1
≈ 1 + ( g t L) 2 / 2
R1
2
−2
R1
Für den Fall R1 ≈ 1 erhält man
gt L ≈ 2 1− R1
Interessant ist ein Vergleich der Pumpschwellen im einfach und doppelt resonanten Oszillator
2
⎛ g t L einfach res. ⎞
2 (1 − R1 )
2
⎜
⎟ =
=
⎜ g t L doppelt res. ⎟
(1 − R 1) (1 − R 2 ) 1 − R 2
⎝
⎠
Da üblicherweise R2 ≈ 1 gilt, ist dieses Verhältnis groß gegen eins. Aufgrund der geringen
totalen Verstärkung im einfach resonanten Fall ist die Pumpschwelle also um ein Vielfaches
höher. Die Effizienz zur Erzeugung der Signalwelle ω 1 kann jedoch vergleichbar groß sein
wie im doppelt resonanten Fall.
4.3
Frequenz Auf-Konversion
Bisher wurde nur der klassische Fall eines OPO's mit der Beziehung ω 3 > ω 1 , ω 2 behandelt,
d.h. die Erzeugung kleinerer Frequenzen bzw. größerer Wellenlängen mit Hilfe einer starken
Pumpwelle. Ebenfalls möglich ist aber die Konversion einer kleinen Frequenz ω 1 in eine
größere Frequenz ω 3 mit Hilfe einer starken Pumpwelle ω 2 , so dass wieder gilt
ω3 =
ω1
↑
schwache
Signalwelle
+ ω2
↑
Pumpwelle
Diesen Fall bezeichnet man als ‚Frequenz-Auf-Konversion’.
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Eine Anwendung der Auf-Konversion (‚Frequency Up-Conversion’) ist die Detektion von IRStrahlung, d.h. die Umwandlung von infrarotem Licht in sichtbares Licht der Frequenz ω 3 .
Dies erlaubt zur Detektion die Benutzung von schnellen Halbleiterdetektoren.
Die theoretische Analyse erfolgt wieder mit dem bekannten Differentialgleichungssystem für
den Fall ohne Pumpwellenerschöpfung, d.h. A2 = const. , vernachlässigbarer Absorption
α i = 0 und exakter Phasenanpassung Δk = 0 :
d A1
= − i g A3
dz
d A3
= − i g A1
dz
d
E2 (0)
2
mit
g=
und
E 2 ( 0) = A 2 ( 0)
μ0 ω 1 ω 3
ε0 n1 n 3
ω2
n2
Die allgemeine Lösung lautet
A1 ( z ) = A1 (0) cos ( g z ) − i A3 (0) sin ( g z )
A3 ( z ) = A3 (0) cos ( g z ) − i A1 (0) sin ( g z )
Im Normalfall gilt A3 (0) = 0
| A1 ( z ) | 2 = | A1 (0) | 2 cos 2 ( g z )
| A3 ( z ) | 2 = | A1 (0) | 2 sin 2 ( g z )
mit der Nebenbedingung der Energieerhaltung
| A1 ( z ) | 2 + | A3 ( z ) | 2 = | A1 (0) | 2
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Intensität ist Leistung pro Fläche, I = P / A , also
Pi
A
ε0
ω i | Ai | 2
μ0
1
2
=
mit der (effektiven) Querschnittsfläche A. Damit erhält man
P1 ( z ) = P1 (0) cos 2 ( g z )
P3 ( z ) =
ω3
P1 (0) sin 2 ( g z )
ω1
Die Konversionseffizienz für einen Kristall der Länge L ist dann
η=
P3 ( L)
=
P1 (0)
ω3
sin 2 ( g L)
ω1
mit dem Maximalwert für g L = π 2
η max =
ω3
>1
ω1
Dies bedeutet, dass alle Photonen mit der Frequenz ω 1 konvertiert werden in Photonen der
Frequenz ω 3 . Typische experimentelle Werte für die Effizienz sind η << 1 , d.h. man kann
die Sinus-Funktion entwickeln mit sin ( x) ≈ x , x << 1 und erhält
η=
P3 ( L)
P1 (0)
=
⎛μ ⎞
= 8 L d ⎜⎜ 0 ⎟⎟
⎝ ε0 ⎠
2
2
3
2
ω3
( g L) 2
ω1
ω 32
P2
n1 n 2 n 3 A
Als Beispiel wird die Detektion der Strahlung eines CO2-Lasers mit der Wellenlänge
λ 1 = 10.6 μm gewählt. Für diesen Wellenlängenbereich existieren nur sehr eingeschränkt
schnelle Detektoren. Stattdessen benutzt man meist langsame pyroelektrische Detektoren mit
typischen Zeitkonstanten im Bereich von τ ≈ 0.1 −1 s . Alternativ lassen sich
Halbleiterdetektoren mit geringer Bandlücke benutzten, die allerdings zur Verringerung des
Eigenrauschens mit flüssigem Stickstoff gekühlt werden müssen. Zur Detektion über AufKonversion wird als Pumplaser ein Nd:YAG- bzw. Nd:YVO4-Laser der Wellenlänge
λ2 = 1064 nm benutzt. Die generierte Welle ω3 hat dann die Wellenlänge
λ3 =
2π c
= 960 nm
ω1 + ω 2
Diese Wellenlänge ist mit Hilfe von schnellen Halbleiter-Si-Detektoren sehr gut detektierbar.
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Ein geeigneter nichtlinearer Kristall für den infraroten Spektralbereich ist das Material
Proustit (Ag3AsS3) dessen Absorption bis zu Wellenlängen von über 10 μm vernachlässigbar
gering ist. Die Pumpintensität des Nd:YAG-Laser sei P2 / A = 108 W / cm 2 , die Kristalllänge
betrage L = 1 cm, die Brechungsindizes seien n1 = n 2 = n 3 = 2.6 und der effektive
nichtlineare Koeffizient ist d eff = 1.1 × 10 − 22 As/V 2 . Damit erhält man die Effizienz
η=
P3 ( L)
P1 (0)
≈1%
Entsprechende Experimente mit dem Kristall Lithiumjodat (LiIO3) und einem Rubinlaser
(λ 2 = 694.3 nm) als Pumplaser zur Detektion der Wellenlänge λ 3 = 3.39 μm ergeben eine
sehr hohe Effizienz von η ≈ 100 %.
4.4
Parametrische Rückwärts-Verstärkung und Oszillation
Bei der parametrischen Rückwärtsverstärkung oder kurz BPO, "Backward Parametric
Oscillation" laufen Signal- und Idlerwelle in entgegen gesetzten Richtungen:
A1 ( z, t ) = A1 ( z ) e
i (ω 1 t + k 1 z )
A2 ( z, t ) = A2 ( z ) e
i (ω 2 t − k 2 z )
Die Amplitude A3 der Pumpwelle wird wieder konstant gesetzt (einfacher Fall ohne
Pumpwellenerschöpfung). Die Signalwelle breitet sich in –z-Richtung aus ( k 1 → − k 1 ):
d A1
dz
d A2*
dz
=+
=−
α1
2
α2
2
A1 + i g A2* e
− i Δk z
A2* + i g A1 e
i Δk z
mit der Energieerhaltung ω 3 = ω 1 + ω 2 und der veränderten Phasenanpassbedingung
Δk = k3 − k 2 + k1 . Die folgende Abbildung zeigt den schematischen Aufbau.
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Als Randbedingungen werden A2 (0) , A1 ( L) vorgegeben. Die Lösung für den einfachsten
Fall α i = 0 , Δk = 0 lautet dann
A1 ( z ) =
A1 ( L)
cos ( g L)
A ( z) = i
*
2
cos ( g z ) + i
A1 ( L)
sin ( g z ) +
cos ( g L)
A2* (0)
cos ( g L)
A2* (0)
cos ( g L)
sin ( g ( z − L) )
cos ( g ( z − L) )
Die resultierenden Felder an den Endflächen sind
A1 (0) =
A1 ( L)
cos ( g L)
− i A2* (0) tan ( g L)
A ( L) = i A1 ( L) tan ( g L) +
*
2
A2* (0)
cos ( g L)
Von besonderem Interesse ist der Fall g L = π 2 bzw. cos ( g L) = 0 . Für diesen Fall geht
der Nenner gegen Null und es ist
lim
A1 (0) = " ∞ "
lim
A2* ( L) = " ∞ "
gL →π 2
gL →π 2
für jeden beliebigen Anfangswert A1 ( L) > 0 , A2* (0) > 0 . Falls die Anfangsamplituden gleich
Null sind, d.h. A1 ( L) = 0 , A2* (0) = 0 , so erhält man trotzdem endliche Werte für
A1 (0) und A2* ( L) .
Für den Fall g L → π 2 und A1(L) = A2(0) = A lauten die Feldamplituden
A1 ( z ) = i A sin ( g ( z − L) )
A2* ( z ) = A cos ( g ( z − L) )
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Es kommt hierbei zu einer Oszillation ohne äußere Spiegel ("Mirror-less oscillation"). Die
Rückkopplung erfolgt über die entgegengesetzt laufenden Wellen ("BPO", Backward
Parametric Oscillator), analog zum DFB-Laser.
Ein nicht unwichtiges Problem ist, dass sich ein solcher Oszillator bisher (zumindest optisch)
nicht realisieren lässt. Für den Betrieb sind zwei Bedingungen sind zu erfüllen, zum einen die
Energieerhaltung, die ω 3 > ω 2 fordert, und die Phasenanpassbedingung k 2 > k 3 , was
gleichbedeutend mit der Bedingung n 2 ω 2 > n 3 ω 3 ist. Man benötigt also Materialien mit
genügend großer Doppelbrechung, so dass trotz des Frequenzunterschieds ω 3 > ω 2 immer
noch n 2 > n 3 ist. Eine Realisierung ist daher am ehesten für den Fall ω 2 , ω 3 >> ω 1 denkbar.
Quasi-Phasenanpassung lässt sich in diesem Fall ebenfalls nicht verwenden, da die
erforderlichen Periodenlängen im Sub-Mikrometerbereich liegen würden und technisch nicht
herstellbar sind.
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