Uebungen_1_3

1. Oktober 2015
Elektrizitätslehre 3
Martin Weisenhorn
Uebungsserie 1.3
RLC-Netzwerke und komplexe Leistung
Aufgabe 1.
Komplexe Impedanz von Zweipolen
Bestimmen Sie für die nachfolgenden Schaltungen jeweils den komplexen Gesamtwiderstand Z
analytisch. Zerlegen Sie den resultierenden Ausdruck analytisch in Real- und Imaginärteil. Berechnen Sie anschliessend die numerischen Wert der Impedanz (komplexer Widerstand) und der
Admittanz (komplexer Leitwert) jeweils in kartesischer und in exponentieller Form. Als Frequenz
ist in allen Schaltungen f = 50 Hz einzusetzen.
Bemerkung: Die Vielzahl an Übungen a) bis h) soll helfen einen sicheren Umgang mit der Algebra und Arithmetik der komplexen Zahlen zu erlernen. Sobald dies erreicht ist, können sie die
restlichen Übungen überspringen und zu Aufgabe 2. übergehen.
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Aufgabe 2.
2
Ströme in Netzwerk numerisch bestimmen
In der unten abgebildeten Schaltung haben die ohmschen Widerstände die Werte R1 = 10 Ω und
R2 = 20 Ω. Die vorhandene Spule besitzt die Induktivität L = 100 mH. Die Schaltung liegt an
einer Spannung von U = 100 V mit der Frequenz f = 50 Hz. Für den Phasenwinkel der Spannung
gelte ϕu = 0. Es sind die numerischen Werte aller auftretenden komplexen Ströme in kartesischen
Koordinaten zu berechnen.
Aufgabe 3.
Spannungen in Netzwerk analytisch berechnen
Ein kapazitiver Spannungsteiler nach Abb. a enthält Kondensatoren mit Kapazitäten C1 = 5 nF
und C2 = 45 nF. Der Lastwiderstand R = 1 kΩ. Die Eingangsspannung hat die Frequenz f =
1 kHz und beträgt U = 60 V.
a) Berechnen Sie einen analytischen Ausdruck für die Ausgangsspannung U2 des unbelasteten
Spannungsteilers nach Abb. a. Stellen Sie den Ausdruck in möglichst einfacher Form dar.
b) Setzen Sie nun die numerischen Werte ein und berechnen Sie U2 in Polarkoordinaten und
interpretieren Sie das Ergebnis.
c) Berechnen Sie einen analytischen Ausdruck für die Ausgangsspannung U20 des belasteten
Spannungsteilers nach Abb. b. Stellen Sie den Ausdruck in möglichst einfacher Form dar.
d) Setzen Sie nun die numerischen Werte ein und berechnen Sie U20 in Polarkoordinaten und
interpretieren Sie das Ergebnis.
e) Stellen Sie die Spannungen U , U20 sowie U − U20 in einem Zeigerdiagramm dar und numerieren
Sie die Knoten wie in der Zeichnung. Es ist keine masstäbliche Zeichnung erforderlich.
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Aufgabe 4. An einem linearen Zweipol wurden die folgenden stationären Grössen gemessen:
u(t) = 5 V sin(ωt + 0.2) und i(t) = 20 mA cos(ωt + 0.1). Bestimmen Sie
a) die Momentanleistung am Zweipol, für das Verbraucherbezugspfeilsystem
b) die mittlere Leistung, d.h. den Mittelwert der Momentanleistung über eine Periode
c) die Impedanz des Zweipols in polarer und kartesischer Form
d) die Admittanz des Zweipols in polarer und kartesischer Form
e) die komplexe Scheinleistung in kartesischer Form.
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Lösung 1.
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Lösung 2.
f =50; % Hz
omega =2* pi * f ;
Ucomp =100; % V
L =100 e -3; % Henry
R1 =10; % Omega
R2 =20; % Omega
% Impedanz der Induktivit ä t
ZLcomp =1 i * omega * L ;
% Impedanz der Parallelschaltung aus R2 und L
ZPcomp =( ZLcomp * R2 ) /( ZLcomp + R2 ) ;
% Gesamtimpedanz berechnen
ZGcomp = R1 + ZPcomp ;
% Gesamtstrom
I1comp = Ucomp / ZGcomp
% Spannung U2comp
U2comp = Ucomp - R1 * I1comp ;
% Strom durch die Induktivit ä t
ILcomp = U2comp / ZLcomp
% Strom durch Widerstand R2
I2 comp = U2comp / R2
% Ergebnis
% I1comp = 3.6206 - 1.3537 i A
% ILcomp = 0.4309 - 2.0306 i A
% I2comp = 3.1897 + 0.6769 i A
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Lösung 3.
a) Wir definieren zuerst die Impedanzen der Kapaztitäten
Z1 =
1
,
jωC1
und
Z2 =
1
.
jωC2
Nun können wir die Formel für den Spannungsteiler anwenden:
U2 = U ·
=U·
Z2
Z1 + Z2
1
jωC2
1
jωC1
+
1
jωC2
jωC1
jωC1 + jωC2
C1
=U·
C1 + C2
=U·
b) Einsetzen in die obige Gleichung liefert
C1
C1 + C2
1
=U· .
10
U2 = U ·
Das Teilerverhältnis U2 /U ist eins zu zehn.
c) Wir definieren zuerst die Impedanzen
1
,
Z1 =
jωC1
und
Z2 =
1
R jωC
2
R+
1
jωC2
=
R
.
1 + jωRC2
Nun können wir die Formel für den Spannungsteiler anwenden und den resultierenden Ausdruck auf als einfachen Bruch darstellen:
U20 = U ·
=U·
Z2
Z1 + Z2
R
1+jωRC2
1
R
jωC1 + 1+jωRC2
jωC1 R
jωC1 R + 1 + jωC2 R
jωRC1
=U·
1 + jωR(C1 + C2 )
=U·
Ergebnisse in analytischer Form wie dieses hier sind sehr nützlich. Es beschreibt U2 als Funktion aller Bauteilwerte, dem komplexen Zeiger der Eingangsspannung U und der Signalfrequenz
f bzw. der Kreisfrequenz ω.
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d) Berechnung der Ausgangsspannung in Polarkoordinaten bzw. Berechnung von Betrag und
Phase der Ausgangsspannung:
f =1 e3 ; % Hz
C1 =5 e -9; % Farad
C2 =45 e -9; % Farad
R =1000; % Omega
omega =2* pi * f ;
Ucomp =60; % Volt
U2scomp = Ucomp *(1 i * omega * C1 * R ) /(1+1 i * omega * R *( C1 + C2 ) )
U2s = abs ( U2scomp )
phiU2s = angle ( U2scomp ) *180/ pi
% Ergebnisse
% U2scomp = 0.5390 + 1.7156 i V
% U2s = 1.7983 V
% phiU2s = 72.5594 Deg
Beim unbelasteten Spannungsteiler war die Spannung am Ausgang gleich einem zehntel der
Eingangsspannung, die Phasen der beiden Spannungen waren gleich. Im Gegensatz dazu zeigt
der belastete Spannungsteiler wie erwartet eine deutliche tiefere Ausgangsspannung. Sie eilt
der Eingangsspannung um 72.6◦ voraus.
e)
3
O
U
1
O
ϕu2
U−
U20
U20
2
O
Lösung 4.
a) die Momentanleistung am Zweipol (Verbraucherbezugspfeilsystem vorausgesetzt)
p(t) = u(t)i(t)
1 ˆ
Û I cos(ϕu − ϕi ) + cos(2ωt + ϕu + ϕi ) = S cos ϕ + S cos(2ωt + ϕu + ϕi )
2
π
mit S = 0.05 VA, ϕu = 0.2 − = −1.37, ϕ = −1.37 − 0.1 = −1.47 ≡ −84.3 ◦
2
=
b) die mittlere Leistung (Mittelwert über eine Periode):
P = S cos ϕ = 12 Û Iˆ cos(ϕu − ϕi )
c) der komplexe Widerstand des Zweipols in polarer und kartesischer Form:
Z = ÛIˆ ∠ ϕ = 24.96 Ω − j248.8 Ω
d) der komplexe Leitwert des Zweipols in polarer und kartesischer Form:
ˆ
Y = ÛI ∠ − ϕ = (0.399 + j3.98) mΩ−1
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e) die komplexe Scheinleistung in kartesischer Form:
S = U · I ∗ = S ejϕ = 4.992 mW − j49.75 mvar
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