Der Vektorraum R3

Der Vektorraum R3
Der Raum R3
besteht aus allen geordneten Tripeln reeller Zahlen:
Der Raum R3
besteht aus allen geordneten Tripeln reeller Zahlen:

 x1
R3 := 
 x2
 x
3



|x ,x ,x ∈ R
.

1 2 3


Der Raum R3
besteht aus allen geordneten Tripeln reeller Zahlen:

 x1
R3 := 
 x2
 x
3

Statt ~x = 


x1
x2
x3







|x ,x ,x ∈ R
.

1 2 3


schreibt man auch ~x = (x1, x2, x3)T .
Der Raum R3
besteht aus allen geordneten Tripeln reeller Zahlen:

 x1
R3 := 
 x2
 x
3
Statt ~x =




x1
x2
x3







|x ,x ,x ∈ R
.

1 2 3


schreibt man auch ~x = (x1, x2, x3)T .
Rechnen und Messen im R3
funktioniert ganz analog wie im R2:
Die Addition von Vektoren wird komponentenweise gebildet:
Die Addition von Vektoren wird komponentenweise gebildet:




x1
x2
x3




+




y1
y2
y3




=




x1 + y1
x2 + y2
x3 + y3




Die Addition von Vektoren wird komponentenweise gebildet:




x1
x2
x3




+




y1
y2
y3




=




x1 + y1
x2 + y2
x3 + y3




Ebenso die Multiplikation mit einem Skalar k ∈ R:
Die Addition von Vektoren wird komponentenweise gebildet:




x1
x2
x3




+




y1
y2
y3




=




x1 + y1
x2 + y2
x3 + y3




Ebenso die Multiplikation mit einem Skalar k ∈ R:


k

x1
x2
x3




=




kx1
kx2
kx3


.

Auch Skalarprodukt und Länge sind analog zum R2:
Auch Skalarprodukt und Länge sind analog zum R2:
< ~x, ~y > := x1y1 + x2y2 + x3y3
Auch Skalarprodukt und Länge sind analog zum R2:
< ~x, ~y > := x1y1 + x2y2 + x3y3
|~x|2 = < ~x, ~x >
Auch Skalarprodukt und Länge sind analog zum R2:
< ~x, ~y > := x1y1 + x2y2 + x3y3
|~x|2 = < ~x, ~x >
< ~x, ~y > = |~x| |~y| cos θ,
wobei θ der Winkel zwischen ~x und ~y ist.
Beispiel:
~1 :=




1
1
e1 + ~e2 + ~e3
=~
1
x3
~e3
~1
x2
~e2
~e1
x1
Beispiel:
~1 :=




1
1
e1 + ~e2 + ~e3
=~
1
x3
|~1|2 = 1 + 1 + 1 = 3
~e3
~1
x2
~e2
~e1
x1
Beispiel:
~1 :=




1
1
e1 + ~e2 + ~e3
=~
1
x3
|~1|2 = 1 + 1 + 1 = 3,
|~1| =
√
3
~e3
~1
x2
~e2
~e1
x1
Beispiel:
~1 :=




1
1
e1 + ~e2 + ~e3
=~
1
x3
|~1|2 = 1 + 1 + 1 = 3, |~1| =
√
~
< ~e1, 1/ 3 > = √1
√
3
3
~e3
~1
x2
~e2
~e1
x1
Beispiel:
~1 :=




1
1
e1 + ~e2 + ~e3
=~
1
x3
√
2
~
~
|1| = 1 + 1 + 1 = 3, |1| = 3
√
~
< ~e1, 1/ 3 > = √1 = cos θ
3
~e3
~1
x2
~e2
θ
~e1
x1
Teilräume
Eine Teilmenge T ⊂ R3
ist ein Teilraum des R3,
Eine Teilmenge T ⊂ R3
ist ein Teilraum des R3,
falls Summen und skalare Vielfache
von Elementen in T wieder in T sind:
Eine Teilmenge T ⊂ R3
ist ein Teilraum des R3,
falls Summen und skalare Vielfache
von Elementen in T wieder in T sind:
~t1, ~t2 ∈ T =⇒ ~t1 + ~t2 ∈ T
Eine Teilmenge T ⊂ R3
ist ein Teilraum des R3,
falls Summen und skalare Vielfache
von Elementen in T wieder in T sind:
~t1, ~t2 ∈ T =⇒ ~t1 + ~t2 ∈ T
~t ∈ T, k ∈ R =⇒ k~t ∈ T.
Eine Teilmenge T ⊂ R3
ist ein Teilraum des R3,
falls Summen und skalare Vielfache
von Elementen in T wieder in T sind:
~t1, ~t2 ∈ T =⇒ ~t1 + ~t2 ∈ T
~t ∈ T, k ∈ R =⇒ k~t ∈ T.
Insbesondere ist ~0 ∈ T.
Die Teilräume von R3 sind:
die Menge {~0}, die nur den Nullvektor enthält;
:
Die Teilräume von R3 sind:
die Menge {~0}, die nur den Nullvektor enthält;
Geraden durch den Ursprung
:
(die 1-dimensionalen Teilräume);
Die Teilräume von R3 sind:
die Menge {~0}, die nur den Nullvektor enthält;
:
Geraden durch den Ursprung
(die 1-dimensionalen Teilräume);
Ebenen durch den Ursprung
(die 2-dimensionalen Teilräume);
Die Teilräume von R3 sind:
die Menge {~0}, die nur den Nullvektor enthält;
:
Geraden durch den Ursprung
(die 1-dimensionalen Teilräume);
Ebenen durch den Ursprung
(die 2-dimensionalen Teilräume);
der ganze R3.
:
Die Teilräume von R3 sind:
die Menge {~0}, die nur den Nullvektor enthält;
:
Geraden durch den Ursprung
(die 1-dimensionalen Teilräume);
Ebenen durch den Ursprung
(die 2-dimensionalen Teilräume);
der ganze R3.
:
Beispiele:
die x3-Achse
x3
~e3
x2
~e2
~e1
x1
die x3-Achse = {(0, 0, x3)T | x3 ∈ R}
x3
~e3
x2
~e2
~e1
x1
die x3-Achse = {(0, 0, x3)T | x3 ∈ R} = L((0, 0, 1)T )
x3
~e3
x2
~e2
~e1
x1
die x3-Achse = {(0, 0, x3)T | x3 ∈ R} = L((0, 0, 1)T ) = L(~e3)
x3
~e3
x2
~e2
~e1
x1
die x1-x2-Ebene
x3
~e3
x2
~e2
~e1
x1
die x1-x2-Ebene = {(x1, x2, 0)T | x1, x2 ∈ R}
x3
~e3
x2
~e2
~e1
x1
die x1-x2-Ebene = {(x1, x2, 0)T | x1, x2 ∈ R} = L(~e1, ~e2)
x3
~e3
x2
~e2
~e1
x1
die Hauptdiagonale
~1 :=




1
1

1
x3
~e3
~1
x2
~e2
~e1
x1

 x
die Hauptdiagonale = 
 x
 x
~1 :=




1
1

1
x3






|x ∈ R

~e3
~1
x2
~e2
~e1
x1

 x
die Hauptdiagonale = 
 x
 x
~1 :=




1
1

1
x3






| x ∈ R = L(~1)

~e3
~1
x2
~e2
~e1
x1
={~x | < ~x, ~1 > = 0}
~1
={(x1, x2, x3)T | x1 + x2 + x3 = 0}
= {~x | < ~x, ~1 > = 0}
~1
die “Nullsummenebene”
= {(x1, x2, x3)T | x1 + x2 + x3 = 0}
= {~x | < ~x, ~1 > = 0}
~1
Das orthogonale Komplement eines Teilraums
Sei T ein Teilraum.
Sei T ein Teilraum.
T⊥, das orthogonale Komplement von T,
Sei T ein Teilraum.
T⊥, das orthogonale Komplement von T,
besteht aus allen Vektoren,
die senkrecht auf alle Vektoren von T stehen:
Sei T ein Teilraum.
T⊥, das orthogonale Komplement von T,
besteht aus allen Vektoren,
die senkrecht auf alle Vektoren von T stehen:
T⊥ := {~x | < ~x, ~t >= 0 ∀~t ∈ T}
Beispiele
Beispiele
(i) L(~e3)⊥ = L(~e1, ~e2)
Das orthogonale Komplement der x3-Achse
ist die x1-x2-Ebene.
Beispiele
(i) L(~e3)⊥ = L(~e1, ~e2)
Beispiele
(i) L(~e3)⊥ = L(~e1, ~e2)
Das orthogonale Komplement der x3-Achse
ist die x1-x2-Ebene.
L(~e3)⊥ = L(~e1, ~e2)
x3
~e3
x2
~e2
~e1
x1
(ii) L(~1)⊥ = {~x | < ~x, ~1 > = 0}
(ii) L(~1)⊥ = {~x | < ~x, ~1 > = 0}
= {(x1, x2, x3)T | x1 + x2 + x3 = 0}
(ii) L(~1)⊥ = {~x | < ~x, ~1 > = 0}
= {(x1, x2, x3)T | x1 + x2 + x3 = 0}
Das orthogonale Komplement der Hauptdiagonalen
ist die Nullsummenebene.
die “Nullsummenebene”
= {~x | < ~x, ~1 > = 0}
~1
Das orthogonale Komplement einer Geraden durch den Ursprung
ist die Ebene durch den Ursprung,
die senkrecht zu Gerade steht.
T
T⊥
Das orthogonale Komplement einer Ebene durch den Ursprung
ist die Gerade durch den Ursprung,
die senkrecht zur Ebene steht.
T⊥
T
Man sieht:
(T⊥)⊥ = T
T⊥
T
Sei {~t1, ~t2, ~t3} eine orthonormale Basis des R3.
Sei {~t1, ~t2, ~t3} eine orthonormale Basis des R3.
Dann gilt:
L(~t1)⊥ = L(~t2, ~t3).
Sei {~t1, ~t2, ~t3} eine orthonormale Basis des R3.
Dann gilt:
L(~t1)⊥ = L(~t2, ~t3).
Orthogonale Projektion auf einen Teilraum:
~x − ~xT
~x
~xT
T
Die orthogonale Projektion eines Vektors ~x
auf einen Teilraum T
Die orthogonale Projektion eines Vektors ~x
auf einen Teilraum T
ist derjenige Vektor ~xT ∈ T,
Die orthogonale Projektion eines Vektors ~x
auf einen Teilraum T
ist derjenige Vektor ~xT ∈ T,
für den die Differenz ~x − ~xT senkrecht auf T steht:
Die orthogonale Projektion eines Vektors ~x
auf einen Teilraum T
ist derjenige Vektor ~xT ∈ T,
für den die Differenz ~x − ~xT senkrecht auf T steht:
~x − ~xT ∈ T⊥
~xT ∈ T
~xT ist die orthogonale Projektion von ~x auf T
⇐⇒ ~x − ~xT ∈ T⊥
~x − ~xT
~x
~xT
T
~x − ~xT ist dann die orthogonale Projektion von ~x auf T⊥.
~x ist die Summe seiner orthogonalen Projektionen
auf T und auf T⊥
~x − ~xT
~x
~xT
T
Orthogonales Projizieren ist leicht,
wenn man eine orthonormale Basis von T hat.
Orthogonales Projizieren ist leicht,
wenn man eine orthonormale Basis von T hat.
Zum Beispiel:
Sei T eine Ebene mit orthonormaler Basis {~t1, ~t2}. Dann ist
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2
Sei T eine Ebene mit orthonormaler Basis {~t1, ~t2}. Dann ist
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2
Denn: Sei ~t3 senkrecht auf T und von Länge 1,
Sei T eine Ebene mit orthonormaler Basis {~t1, ~t2}. Dann ist
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2
Denn: Sei ~t3 senkrecht auf T und von Länge 1,
so dass {~t1, ~t2, ~t3} eine orthonormale Basis des R3 ist.
Sei T eine Ebene mit orthonormaler Basis {~t1, ~t2}. Dann ist
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2
Denn: Sei ~t3 senkrecht auf T und von Länge 1,
so dass {~t1, ~t2, ~t3} eine orthonormale Basis des R3 ist.
Dann gilt:
Sei T eine Ebene mit orthonormaler Basis {~t1, ~t2}. Dann ist
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2
Denn: Sei ~t3 senkrecht auf T und von Länge 1,
so dass {~t1, ~t2, ~t3} eine orthonormale Basis des R3 ist.
Dann gilt:
~x =< ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2 + < ~x, ~t3 > ~t3
Sei T eine Ebene mit orthonormaler Basis {~t1, ~t2}. Dann ist
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2
Denn: Sei ~t3 senkrecht auf T und von Länge 1,
so dass {~t1, ~t2, ~t3} eine orthonormale Basis des R3 ist.
Dann gilt:
~x =< ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2 + < ~x, ~t3 > ~t3
Daraus sieht man:
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2 liegt in T,
Sei T eine Ebene mit orthonormaler Basis {~t1, ~t2}. Dann ist
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2
Denn: Sei ~t3 senkrecht auf T und von Länge 1,
so dass {~t1, ~t2, ~t3} eine orthonormale Basis des R3 ist.
Dann gilt:
~x =< ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2 + < ~x, ~t3 > ~t3
Daraus sieht man:
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2 liegt in T,
~x − ~xT = < ~x, ~t3 > ~t3 steht senkrecht auf T.
Sei T eine Gerade mit orthonormaler Basis {~t1}.
Sei T eine Gerade mit orthonormaler Basis {~t1}.
Mit anderen Worten: T = L(~t1) mit |~t1| = 1. Dann git:
Sei T eine Gerade mit orthonormaler Basis {~t1}.
Mit anderen Worten: T = L(~t1) mit |~t1| = 1. Dann git:
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1
Sei T eine Gerade mit orthonormaler Basis {~t1}.
Mit anderen Worten: T = L(~t1) mit |~t1| = 1. Dann git:
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1
Denn: Sei {~t2, ~t3} eine orthonormale Basis von T⊥.
Sei T eine Gerade mit orthonormaler Basis {~t1}.
Mit anderen Worten: T = L(~t1) mit |~t1| = 1. Dann git:
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1
Denn: Sei {~t2, ~t3} eine orthonormale Basis von T⊥.
Dann ist {~t1, ~t2, ~t3} eine orthonormale Basis des R3,
und es gilt wiederum:
Sei T eine Gerade mit orthonormaler Basis {~t1}.
Mit anderen Worten: T = L(~t1) mit |~t1| = 1. Dann git:
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1
Denn: Sei {~t2, ~t3} eine orthonormale Basis von T⊥.
Dann ist {~t1, ~t2, ~t3} eine orthonormale Basis des R3,
und es gilt wiederum:
~x =< ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2 + < ~x, ~t3 > ~t3
Sei T eine Gerade mit orthonormaler Basis {~t1}.
Mit anderen Worten: T = L(~t1) mit |~t1| = 1. Dann git:
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1
Denn: Sei {~t2, ~t3} eine orthonormale Basis von T⊥.
Dann ist {~t1, ~t2, ~t3} eine orthonormale Basis des R3,
und es gilt wiederum:
~x =< ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2 + < ~x, ~t3 > ~t3
Daraus sieht man:
Sei T eine Gerade mit orthonormaler Basis {~t1}.
Mit anderen Worten: T = L(~t1) mit |~t1| = 1. Dann git:
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1
Denn: Sei {~t2, ~t3} eine orthonormale Basis von T⊥.
Dann ist {~t1, ~t2, ~t3} eine orthonormale Basis des R3,
und es gilt wiederum:
~x =< ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2 + < ~x, ~t3 > ~t3
Daraus sieht man:
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1 liegt in T,
Sei T eine Gerade mit orthonormaler Basis {~t1}.
Mit anderen Worten: T = L(~t1) mit |~t1| = 1. Dann git:
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1
Denn: Sei {~t2, ~t3} eine orthonormale Basis von T⊥.
Dann ist {~t1, ~t2, ~t3} eine orthonormale Basis des R3,
und es gilt wiederum:
~x =< ~x, ~t1 > ~t1 + < ~x, ~t2 > ~t2 + < ~x, ~t3 > ~t3
Daraus sieht man:
~xT = < ~x, ~t1 > ~t1 liegt in T,
~x − ~xT = < ~x, ~t2 > ~t2 + < ~x, ~t3 > ~t3 steht senkrecht auf T.
Beispiele
Beispiele
Sei ~x = (x1, x2, x3)T .
Beispiele
Sei ~x = (x1, x2, x3)T .
(i) Orthogonale Projektion auf die x1-Achse:
Beispiele
Sei ~x = (x1, x2, x3)T .
(i) Orthogonale Projektion auf die x1-Achse:
~xL(~e )
1
Beispiele
Sei ~x = (x1, x2, x3)T .
(i) Orthogonale Projektion auf die x1-Achse:
~xL(~e )
1
= < ~x, ~e1 > ~e1
Beispiele
Sei ~x = (x1, x2, x3)T .
(i) Orthogonale Projektion auf die x1-Achse:
~xL(~e )
1
= < ~x, ~e1 > ~e1
= x1~e1
Beispiele
Sei ~x = (x1, x2, x3)T .
(i) Orthogonale Projektion auf die x1-Achse:
~xL(~e )
1
= < ~x, ~e1 > ~e1
= x1~e1
= (x1, 0, 0)T
(ii) Orthogonale Projektion auf die x2-x3-Ebene:
(ii) Orthogonale Projektion auf die x2-x3-Ebene:
~xL(~e ,~e )
2 3
(ii) Orthogonale Projektion auf die x2-x3-Ebene:
~xL(~e ,~e )
2 3
= < ~x, ~e2 > ~e2 + < ~x, ~e3 > ~e3
(ii) Orthogonale Projektion auf die x2-x3-Ebene:
~xL(~e ,~e )
2 3
= < ~x, ~e2 > ~e2 + < ~x, ~e3 > ~e3
= x2~e2 + x3~e3
(ii) Orthogonale Projektion auf die x2-x3-Ebene:
~xL(~e ,~e )
2 3
= < ~x, ~e2 > ~e2 + < ~x, ~e3 > ~e3
= x2~e2 + x3~e3
= (0, x2, x3)T
(iii) Orthogonale Projektion auf die Hauptdiagonale
(iii) Orthogonale Projektion auf die Hauptdiagonale
~x ~
L(1)
(iii) Orthogonale Projektion auf die Hauptdiagonale
~x ~
L(1)
= ~xL(~1/√3)
(iii) Orthogonale Projektion auf die Hauptdiagonale
~x ~
L(1)
= ~xL(~1/√3)
= < ~x, √1 ~1 > √1 ~1
3
3
(iii) Orthogonale Projektion auf die Hauptdiagonale
~x ~
L(1)
= ~xL(~1/√3)
= < ~x, √1 ~1 > √1 ~1
3
3
= 13 < ~x, ~1 > ~1
(iii) Orthogonale Projektion auf die Hauptdiagonale
~x ~
L(1)
= ~xL(~1/√3)
= < ~x, √1 ~1 > √1 ~1
3
3
= 13 < ~x, ~1 > ~1
= x1+x32 +x3 ~1
(iii) Orthogonale Projektion auf die Hauptdiagonale
~x ~
L(1)
= ~xL(~1/√3)
= < ~x, √1 ~1 > √1 ~1
3
3
= 13 < ~x, ~1 > ~1
= x1+x32 +x3 ~1
= (x̄, x̄, x̄)T
(iii) Orthogonale Projektion auf die Hauptdiagonale
Fazit:
(iii) Orthogonale Projektion auf die Hauptdiagonale
Fazit:
~x ~ = (x̄, x̄, x̄)T
L(1)
(iii) Orthogonale Projektion auf die Hauptdiagonale
Fazit:
~x ~ = (x̄, x̄, x̄)T
L(1)
mit
x̄ := x1+x32 +x3 ,
(iii) Orthogonale Projektion auf die Hauptdiagonale
Fazit:
~x ~ = (x̄, x̄, x̄)T
L(1)
mit
x̄ := x1+x32 +x3 ,
das arithmetische Mittel von x1, x2 und x3.
~x


x̄


xL(~1)
 x̄  = ~
x̄
x3
~e3
~1
x2
~e2
~e1
x1
(iv) Orthogonale Projektion auf die Nullsummenebene
~x ~ T
L(1)
= ~x − ~xL(~1)
=




x1 − x̄
x2 − x̄
x3 − x̄




Die Singulärwertzerlegung.
Oder:
Gleichungen lösen ohne Tränen.
Hier ist ein besonders sympathisches System von 3 Gleichungen:
Hier ist ein besonders sympathisches System von 3 Gleichungen:
4x1 = y1
3x2 = y2
2x3 = y3
Hier ist ein besonders sympathisches System von 3 Gleichungen:
4x1 = y1
3x2 = y2
2x3 = y3
Gegeben: y1, y2, y3
Gesucht: x1, x2, x3
Hier ist ein besonders sympathisches System von 3 Gleichungen:
4x1 = y1
3x2 = y2
2x3 = y3
Gegeben: y1, y2, y3
Gesucht: x1, x2, x3
Die Antwort ist offensichtlich:
Hier ist ein besonders sympathisches System von 3 Gleichungen:
4x1 = y1
3x2 = y2
2x3 = y3
Gegeben: y1, y2, y3
Gesucht: x1, x2, x3
Die Antwort ist offensichtlich:
y
x1 = 1 ,
4
y
x2 = 2 ,
3
y
x3 = 3
2
Auch das folgende System ist einfach:
Auch das folgende System ist einfach:
4x1 = y1
3x2 = y2
0x3 = y3
Auch das folgende System ist einfach:
4x1 = y1
3x2 = y2
0x3 = y3
Gegeben: y1, y2, y3
Gesucht: x1, x2, x3
Auch das folgende System ist einfach:
4x1 = y1
3x2 = y2
0x3 = y3
Gegeben: y1, y2, y3
Gesucht: x1, x2, x3
Hier kommt’s drauf an:
Auch das folgende System ist einfach:
4x1 = y1
3x2 = y2
0x3 = y3
Gegeben: y1, y2, y3
Gesucht: x1, x2, x3
Hier kommt’s drauf an:
Wenn y3 6= 0, dann gibt es gar keine Lösung.
Auch das folgende System ist einfach:
4x1 = y1
3x2 = y2
0x3 = y3
Gegeben: y1, y2, y3
Gesucht: x1, x2, x3
Hier kommt’s drauf an:
Wenn y3 6= 0, dann gibt es gar keine Lösung.
Wenn y3 = 0, dann gibt es unendlich viele Lösungen:
Auch das folgende System ist einfach:
4x1 = y1
3x2 = y2
0x3 = y3
Gegeben: y1, y2, y3
Gesucht: x1, x2, x3
Hier kommt’s drauf an:
Wenn y3 6= 0, dann gibt es gar keine Lösung.
Wenn y3 = 0, dann gibt es unendlich viele Lösungen:
y
x1 = 1 ,
4
y
x2 = 2 ,
3
x3 beliebig
Ja wenn’s immer so einfach wäre!
Ja wenn’s immer so einfach wäre!
Es gibt auch mühsamere Gleichungen. Z.B.:
Ja wenn’s immer so einfach wäre!
Es gibt auch mühsamere Gleichungen. Z.B.:
3x1 − 5x2 + 7x3 = y1
2x1 + 6x2 − 4x3 = y2
−x1 + 4x2 − 2x3 = y3
Ja wenn’s immer so einfach wäre!
Es gibt auch mühsamere Gleichungen. Z.B.:
3x1 − 5x2 + 7x3 = y1
2x1 + 6x2 − 4x3 = y2
−x1 + 4x2 − 2x3 = y3
Auch dies ist von der Form L~x = ~y, mit der Aufgabe:
Ja wenn’s immer so einfach wäre!
Es gibt auch mühsamere Gleichungen. Z.B.:
3x1 − 5x2 + 7x3 = y1
2x1 + 6x2 − 4x3 = y2
−x1 + 4x2 − 2x3 = y3
Auch dies ist von der Form L~x = ~y, mit der Aufgabe:
Zu gegebenem ~y finde die Lösung ~x.
Ja wenn’s immer so einfach wäre!
Es gibt auch mühsamere Gleichungen. Z.B.:
3x1 − 5x2 + 7x3 = y1
2x1 + 6x2 − 4x3 = y2
−x1 + 4x2 − 2x3 = y3
Auch dies ist von der Form L~x = ~y, mit der Aufgabe:
Zu gegebenem ~y finde die Lösung ~x.
Der Clou:
Ja wenn’s immer so einfach wäre!
Es gibt auch mühsamere Gleichungen. Z.B.:
3x1 − 5x2 + 7x3 = y1
2x1 + 6x2 − 4x3 = y2
−x1 + 4x2 − 2x3 = y3
Auch dies ist von der Form L~x = ~y, mit der Aufgabe:
Zu gegebenem ~y finde die Lösung ~x.
Der Clou:
Wenn man die Singulärwertzerlegung von L kennt,
Ja wenn’s immer so einfach wäre!
Es gibt auch mühsamere Gleichungen. Z.B.:
3x1 − 5x2 + 7x3 = y1
2x1 + 6x2 − 4x3 = y2
−x1 + 4x2 − 2x3 = y3
Auch dies ist von der Form L~x = ~y, mit der Aufgabe:
Zu gegebenem ~y finde die Lösung ~x.
Der Clou:
Wenn man die Singulärwertzerlegung von L kennt,
wird die Aufgabe wieder so einfach!
Auch für den R3 gilt:
Auch für den R3 gilt:
Seien A und B Kopien des R3
und sei L eine lineare Abbildung.
Auch für den R3 gilt:
Seien A und B Kopien des R3
und sei L eine lineare Abbildung.
Dann gibt es reelle Zahlen
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ≥ 0
Auch für den R3 gilt:
Seien A und B Kopien des R3
und sei L eine lineare Abbildung.
Dann gibt es reelle Zahlen
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ≥ 0
und orthonormale Basen
Auch für den R3 gilt:
Seien A und B Kopien des R3
und sei L eine lineare Abbildung.
Dann gibt es reelle Zahlen
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ≥ 0
und orthonormale Basen
~ 1, a
~ 2, a
~ 3} für A
A = {a
und
B = {~b1, ~b2 , ~b3} für B
Auch für den R3 gilt:
Seien A und B Kopien des R3
und sei L eine lineare Abbildung.
Dann gibt es reelle Zahlen
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ≥ 0
und orthonormale Basen
~ 1, a
~ 2, a
~ 3} für A
A = {a
und
B = {~b1, ~b2 , ~b3} für B
~ 1 = σ1~b1,
La
mit
~ 2 = σ2~b2,
La
~ 3 = σ3~b3.
La


u1


Dadurch werden die A-Koordinaten  u2 
u3


u1


Dadurch werden die A-Koordinaten  u2 
u3




v1
σ1 u1




übergeführt in die B-Koordinaten  σ2 u2  =  v2 
v3
σ3 u3


u1


Dadurch werden die A-Koordinaten  u2 
u3




v1
σ1 u1




übergeführt in die B-Koordinaten  σ2 u2  =  v2 
v3
σ3 u3
In diesen Koordinaten ist das Lösen der linearen Gleichung
L~x = ~y
ganz leicht:


u1


Dadurch werden die A-Koordinaten  u2 
u3




v1
σ1 u1




übergeführt in die B-Koordinaten  σ2 u2  =  v2 
v3
σ3 u3
In diesen Koordinaten ist das Lösen der linearen Gleichung
L~x = ~y
ganz leicht:
Schreibt man ~y in der B-Basis:
~y = v1~b1 + v2~b2 + v3~b3 ,


u1


Dadurch werden die A-Koordinaten  u2 
u3




v1
σ1 u1




übergeführt in die B-Koordinaten  σ2 u2  =  v2 
v3
σ3 u3
In diesen Koordinaten ist das Lösen der linearen Gleichung
L~x = ~y
ganz leicht:
Schreibt man ~y in der B-Basis:
~y = v1~b1 + v2~b2 + v3~b3 ,
dann ist (zumindest falls alle σi > 0)
v
v
v
~x = 1 a
~1 + 2 a
~2 + 3 a
~ 3.
σ1
σ2
σ3
Genauer:
Wenn alle σi > 0, dann ist
v2
v3
v1
~ + a
~ + a
~
~x = a
σ1 1 σ2 2 σ3 3
die eindeutige Lösung.
Genauer:
Wenn alle σi > 0, dann ist
v2
v3
v1
~ + a
~ + a
~
~x = a
σ1 1 σ2 2 σ3 3
die eindeutige Lösung.
Wenn σ1 ≥ σ2 > 0 ,
Genauer:
Wenn alle σi > 0, dann ist
v2
v3
v1
~ + a
~ + a
~
~x = a
σ1 1 σ2 2 σ3 3
die eindeutige Lösung.
Wenn σ1 ≥ σ2 > 0 ,
σ3 = 0 und v3 > 0,
Genauer:
Wenn alle σi > 0, dann ist
v2
v3
v1
~ + a
~ + a
~
~x = a
σ1 1 σ2 2 σ3 3
die eindeutige Lösung.
Wenn σ1 ≥ σ2 > 0 ,
σ3 = 0 und v3 > 0,
v
dann gibt es keine Lösung ( 03 geht nicht!)
Genauer:
Wenn alle σi > 0, dann ist
v2
v3
v1
~ + a
~ + a
~
~x = a
σ1 1 σ2 2 σ3 3
die eindeutige Lösung.
Wenn σ1 ≥ σ2 > 0 ,
σ3 = 0 und v3 > 0,
v
dann gibt es keine Lösung ( 03 geht nicht!)
Wenn alle σ1 ≥ σ2 > 0 ,
Genauer:
Wenn alle σi > 0, dann ist
v2
v3
v1
~ + a
~ + a
~
~x = a
σ1 1 σ2 2 σ3 3
die eindeutige Lösung.
Wenn σ1 ≥ σ2 > 0 ,
σ3 = 0 und v3 > 0,
v
dann gibt es keine Lösung ( 03 geht nicht!)
Wenn alle σ1 ≥ σ2 > 0 ,
σ3 = 0 und v3 = 0,
Genauer:
Wenn alle σi > 0, dann ist
v1
v2
v3
~x = a
~1 + a
~2 + a
~3
σ1
σ2
σ3
die eindeutige Lösung.
Wenn σ1 ≥ σ2 > 0 ,
σ3 = 0 und v3 > 0,
v
dann gibt es keine Lösung ( 03 geht nicht!)
Wenn alle σ1 ≥ σ2 > 0 ,
σ3 = 0 und v3 = 0,
dann gibt es unendlich viele Lösungen:
v
v
~x = 1 a
~1 + 2 a
~ 2 + ka
~ 3,
k ∈ R.
σ1
σ2
Wenn alle σi > 0, dann ist
Wenn alle σi > 0, dann ist
der Bildraum ganz R3
Wenn alle σi > 0, dann ist
der Bildraum ganz R3
und der Nullraum gleich {~0}.
Wenn alle σi > 0, dann ist
der Bildraum ganz R3
und der Nullraum gleich {~0}.
Wenn σ1 ≥ σ2 > 0, σ3 = 0, dann ist
Wenn alle σi > 0, dann ist
der Bildraum ganz R3
und der Nullraum gleich {~0}.
Wenn σ1 ≥ σ2 > 0, σ3 = 0, dann ist
der Bildraum die (~b1, ~b2)-Ebene
Wenn alle σi > 0, dann ist
der Bildraum ganz R3
und der Nullraum gleich {~0}.
Wenn σ1 ≥ σ2 > 0, σ3 = 0, dann ist
der Bildraum die (~b1, ~b2)-Ebene
~ 3-Achse.
und der Nullraum die a
Wenn alle σi > 0, dann ist
der Bildraum ganz R3
und der Nullraum gleich {~0}.
Wenn σ1 ≥ σ2 > 0, σ3 = 0, dann ist
der Bildraum die (~b1, ~b2)-Ebene
~ 3-Achse.
und der Nullraum die a
Wenn σ1 > 0, σ2 = σ3 = 0, dann ist
Wenn alle σi > 0, dann ist
der Bildraum ganz R3
und der Nullraum gleich {~0}.
Wenn σ1 ≥ σ2 > 0, σ3 = 0, dann ist
der Bildraum die (~b1, ~b2)-Ebene
~ 3-Achse.
und der Nullraum die a
Wenn σ1 > 0, σ2 = σ3 = 0, dann ist
der Bildraum die ~b1-Achse
Wenn alle σi > 0, dann ist
der Bildraum ganz R3
und der Nullraum gleich {~0}.
Wenn σ1 ≥ σ2 > 0, σ3 = 0, dann ist
der Bildraum die (~b1, ~b2)-Ebene
~ 3-Achse.
und der Nullraum die a
Wenn σ1 > 0, σ2 = σ3 = 0, dann ist
der Bildraum die ~b1-Achse
~ 2, a
~ 3)-Ebene.
und der Nullraum die (a
Wenn alle σi > 0, dann ist
der Bildraum ganz R3
und der Nullraum gleich {~0}.
Wenn σ1 ≥ σ2 > 0, σ3 = 0, dann ist
der Bildraum die (~b1, ~b2)-Ebene
~ 3-Achse.
und der Nullraum die a
Wenn σ1 > 0, σ2 = σ3 = 0, dann ist
der Bildraum die ~b1-Achse
~ 2, a
~ 3)-Ebene.
und der Nullraum die (a
Wenn σ1 = σ2 = σ3 = 0, dann ist
Wenn alle σi > 0, dann ist
der Bildraum ganz R3
und der Nullraum gleich {~0}.
Wenn σ1 ≥ σ2 > 0, σ3 = 0, dann ist
der Bildraum die (~b1, ~b2)-Ebene
~ 3-Achse.
und der Nullraum die a
Wenn σ1 > 0, σ2 = σ3 = 0, dann ist
der Bildraum die ~b1-Achse
~ 2, a
~ 3)-Ebene.
und der Nullraum die (a
Wenn σ1 = σ2 = σ3 = 0, dann ist
der Bildraum gleich {~0}
Wenn alle σi > 0, dann ist
der Bildraum ganz R3
und der Nullraum gleich {~0}.
Wenn σ1 ≥ σ2 > 0, σ3 = 0, dann ist
der Bildraum die (~b1, ~b2)-Ebene
~ 3-Achse.
und der Nullraum die a
Wenn σ1 > 0, σ2 = σ3 = 0, dann ist
der Bildraum die ~b1-Achse
~ 2, a
~ 3)-Ebene.
und der Nullraum die (a
Wenn σ1 = σ2 = σ3 = 0, dann ist
der Bildraum gleich {~0}
und der Nullraum ist ganz R3.
Das Bild der Einheitssphäre unter der linearen Abbildung L
ist ein Ellipsoid
~3
a
σ3~b3
~1
a
~2
a
σ2~b2
σ1~b1
Die längste Achse des Ellipsoids ist die 1. Hauptachse
Die Hauptachsen der Ellipse orthogonal zur 1. Hauptachse
sind die 2. und die 3. Hauptachse
~3
a
σ3~b3
~1
a
~2
a
σ2~b2
σ1~b1
Die längste Achse des Ellipsoids ist die 1. Hauptachse
Die Hauptachsen der Ellipse orthogonal zur 1. Hauptachse
sind die 2. und die 3. Hauptachse
~3
a
σ3~b3
~1
a
~2
a
σ2~b2
σ1~b1
~ 1, a
~ 2 und a
~ 3 sind diejenigen Radiusvektoren der Einheitssphäre,
a
die in die Hauptachsen der Ellipse abgebildet werden.
~3
a
σ3~b3
~1
a
~2
a
σ2~b2
σ1~b1
Ist L die Matrixdarstellung von L bzgl. der Standardbasen
Ist L die Matrixdarstellung von L bzgl. der Standardbasen


σ1 0 0


und hat man die Singulärwertzerlegung L = B  0 σ2 0  AT,
0 0 σ3
Ist L die Matrixdarstellung von L bzgl. der Standardbasen


σ1 0 0


und hat man die Singulärwertzerlegung L = B  0 σ2 0  AT,
0 0 σ3
dann funktioniert in Standardkoordinaten das Lösen von
L~x = ~y
in drei Schritten:
Ist L die Matrixdarstellung von L bzgl. der Standardbasen


σ1 0 0


und hat man die Singulärwertzerlegung L = B  0 σ2 0  AT,
0 0 σ3
dann funktioniert in Standardkoordinaten das Lösen von
L~x = ~y
in drei Schritten:
1. ~y von Standard- in B-Koordinaten umrechnen: Multiplikation mit BT
Ist L die Matrixdarstellung von L bzgl. der Standardbasen


σ1 0 0


und hat man die Singulärwertzerlegung L = B  0 σ2 0  AT,
0 0 σ3
dann funktioniert in Standardkoordinaten das Lösen von
L~x = ~y
in drei Schritten:
1. ~y von Standard- in B-Koordinaten umrechnen: Multiplikation mit BT
2. die Gleichung in den Singulärkoordinaten lösen BBBBBBBBBBBB
Ist L die Matrixdarstellung von L bzgl. der Standardbasen


σ1 0 0


und hat man die Singulärwertzerlegung L = B  0 σ2 0  AT,
0 0 σ3
dann funktioniert in Standardkoordinaten das Lösen von
L~x = ~y
in drei Schritten:
1. ~y von Standard- in B-Koordinaten umrechnen: Multiplikation mit BT
2. die Gleichung in den Singulärkoordinaten lösen BBBBBBBBBBBB
3. ~x von A- in Standardkoordinaten rückrechnen: Multiplikation mit A.
Ist L die Matrixdarstellung von L bzgl. der Standardbasen


σ1 0 0


und hat man die Singulärwertzerlegung L = B  0 σ2 0  AT,
0 0 σ3
dann funktioniert in Standardkoordinaten das Lösen von
L~x = ~y
in drei Schritten:
1. ~y von Standard- in B-Koordinaten umrechnen: Multiplikation mit BT
2. die Gleichung in den Singulärkoordinaten lösen BBBBBBBBBBBB
3. ~x von A- in Standardkoordinaten rückrechnen: Multiplikation mit A.
Wie besorgt man sich die Singulärwertzerlegung mit dem Rechner?
Beispiel:
Beispiel:

L




3x1 − 5x2 + 7x3
x1


x2  =  2x1 + 6x2 − 4x3 

−x1 + 4x2 − 2x3
x3
Beispiel:

L




3x1 − 5x2 + 7x3
x1


x2  =  2x1 + 6x2 − 4x3 

−x1 + 4x2 − 2x3
x3
L=




3 −5 7
2
6 −4 

−1 4 −2
Beispiel:

L




3x1 − 5x2 + 7x3
x1


x2  =  2x1 + 6x2 − 4x3 

−x1 + 4x2 − 2x3
x3
L=




3 −5 7
2
6 −4 

−1 4 −2
Die Matrix L kann man dem Programm R (z.B.) spaltenweise eingeben:
Beispiel:

L




3x1 − 5x2 + 7x3
x1


x2  =  2x1 + 6x2 − 4x3 

−x1 + 4x2 − 2x3
x3
L=




3 −5 7
2
6 −4 

−1 4 −2
Die Matrix L kann man dem Programm R (z.B.) spaltenweise eingeben:
s1<– c(3,2,-1)
s2<– c(-5,6,4)
s3<– c(7,-4,-2)
Die Spalten werden dann zur Matrix L zusammengefasst:
Die Spalten werden dann zur Matrix L zusammengefasst:
L <– cbind(s1,s2,s3)
Die Spalten werden dann zur Matrix L zusammengefasst:
L <– cbind(s1,s2,s3)
Die Singulärwertzerlegung von L funktioniert jetzt “auf Knopfdruck”
mit dem Befehl
Die Spalten werden dann zur Matrix L zusammengefasst:
L <– cbind(s1,s2,s3)
Die Singulärwertzerlegung von L funktioniert jetzt “auf Knopfdruck”
mit dem Befehl
svd(L)
Die Spalten werden dann zur Matrix L zusammengefasst:
L <– cbind(s1,s2,s3)
Die Singulärwertzerlegung von L funktioniert jetzt “auf Knopfdruck”
mit dem Befehl
svd(L)
(svd für “singular value decomposition”)
σ1, σ2, σ3
B
A