Fundamentalwissen für die Klassen 11 und 12 - Illertal

Grundwissen 11. Klasse
11. Klasse
Umkehrbarkeit, Umkehrfunktion
Eine Funktion f: x → f(x) mit der Definitionsmenge Df und der Wertemenge W f heißt
umkehrbar, falls es zu jedem y ϵW f genau ein x ϵDf mit f(x) = y gibt. Ist eine
Funktion f umkehrbar, so ist die umgekehrte Zuordnung ebenfalls eine Funktion.
Diese heißt Umkehrfunktion von f und wird mit f−1 bezeichnet.
Kriterium für Umkehrbarkeit
Ist eine Funktion f streng monoton, so ist sie umkehrbar. Insbesondere ist jede
differenzierbare Funktion f, für die f'(x) > 0 für alle x in einem Intervall (bzw. f'(x)
< 0 für alle x in einem Intervall), in diesem Intervall umkehrbar.
Die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion sind zueinander symmetrisch
bezüglich der Winkelhalbierenden des I. Und III. Quadranten.
Es gilt: Df^-1 = Wf und Wf-1 = Df
Bestimmen des Funktionsterms f −1 x 
1. Auflösen der Funktionsgleichung y=f(x) nach x
2. Variablentausch x⇔ y , wobei nun y = f −1 x 
Verkettung von Funktionen
Für zwei Funktionen v: x→v(x) und u : x→u ( x ) heißt die Funktion u° v : x u vx 
Verkettung oder Hintereinanderausführung der Funktionen u und v. v heißt
innere und u äußere Funktion.
Es gilt im Allgemeinen: u° v≠v °u
Umgekehrt lässt sich oft eine komplizierte Funktion f als Verkettung von
einfacheren Funktionen u und v darstellen mit f= u ∘v (Zerlegung einer Verkettung)
Ableiten von verketteten Funktionen(Kettenregel)
Ist f= u∘ v eine Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen u und v, so ist auch
f differenzierbar, und es gilt für f x=u°vx=uv x :
f 'x=u °v ' x=u ' v x⋅v 'x 
Ableitungsregel für Potenzfunktionen
p
Für Funktionen
p
q
f : x → x =a⋅√q p
−1
p
(a ∈R , p∈Z und q∈ N ) gilt : f ' ( x)= ⋅a⋅x q
q
Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung
Die natürliche Exponentialfunktion f : x → e x hat die Ableitungsfunktion f ' x → e x . Eine
mögliche Stammfunktion ist F : → e x .
Die natürliche Logarithmusfunktion und ihre Ableitung
Die natürliche Logarithmusfunktion f : x → ln( x ) , x ∈R+ ¿ ,hat die Ableitungsfunktion
1
1
f ' : x → . Eine mögliche Stammfunktion der Funktion f : x → ( für x≠0) ist die
x
x
Grundwissen 11. Klasse
Funktion F : x → ln∣x∣
Ableiten zusammengesetzter Funktionen
Ist v : x → v ( x) eine differenzierbare Funktion, so lassen sich die Verkettungen
g ( x) ln[v ( x )] mit der
f (x )e v( x) mit der natürlichen Exponentialfunktion bzw
natürlichen Logarithmusfunktion (wobei gelten muss v(x) > 0) mit der Kettenregel
ableiten.
Für f ( x )→e v (x ) gilt f ' ( x)=ev (x)⋅v ' ( x )
v ' ( x)
Für g ( x)=ln[v (x )] gilt g ' (x )=
v(x)
Exponentialfunktionen und Exponentialgleichungen
+¿
Für alle x ∈ℝ gilt: e ln x = x
Für alle x ∈ℝ gilt: ln e x = x
Exponential- und Logarithmusfunktionen und ihre Graphen
r
+¿
¿ x =0 und lim ¿ (e x − x r )=0
Für alle r ∈ℝ gilt: xlim
x →+ ∞
→+ ∞
ex
+¿
¿ (x r⋅ln x )=0 und lim ¿ ln x =0
Für alle r ∈ℝ gilt: lim
r
x→0
x →+ ∞
x
Axiomatische Definition von Warscheinlichkeit
Eine Funktion P : A → P (A) mit A⊂Ω und P ( A)∈ℝ heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung,
wenn sie folgende Bedingungen, auch Axiome von Kolmogorow genannt, erfüllt:
Axiom I: P (A)⩾0
Axiom II: P (Ω)=1
Axiom III: Wenn A∩ B = { }, dann muss gelten: P (A∪ B)=P (A)+ P (B)
P(A) heißt Warscheinlichkeit von A.
Additionssatz:
Für beliebige Ereignisse A und B gilt: P (A∪ B)=P (A)+ P (B)−P ( A∩B)
Unabhängigkeit von Ereignissen
Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig, wenn gilt:
P (A)⋅P ( B)=P ( A∩B) ,
andernfalls nennt man A und B voneinander abhängig.
Grundwissen 11. Klasse
Ganzrationale Funktionen in realen Situationen
Bei der Bestimmung einer ganzrationalen Funktion für eine reale Situation muss ein
lineares Gleichungssystem aufgestellt und gelöst werden. Dazu muss zunächst ein
Koordinatensystem gewählt werden. Berücksichtigt man dabei vorhandene
Besonderheiten (z.B. Symmetrie), so kann sich der Ansatz für den Funktionsterm
vereinfachen.
Extremwertprobleme
Vorgehen beim Lösen von Extremwertproblemen:
1. Beschreiben der Größe, die extremal werden soll, durch einen Term, der
mehrere Variablen enthalten kann.
2. Formulieren von gegebenen Nebenbedingungen.
3. Bestimmen der Zielfunktion, die nur noch von einer Variablen abhängt.
4. Untersuchen der Zielfunktion auf Extremwerte und Formulierung des
Ergebnisses. Hier sind auch Randwerte zu berücksichtigen.
Komplexere Extremwertprobleme
Bei Extremwertproblemen kann die Wahl der Variablen und die geeignete
Verwendung von Nebenbedingungen entscheidend sein für die Einfachheit der
Zielfunktion.
Funktionen mit Parametern
Enthält ein Funktionsterm außer der Variablen x noch eine weitere (von x
unabhängige) Variable a, so gehört zu jedem möglichen Wert von a eine Funktion
f a : x → f a ( x) .
Die Variable a nennt man Parameter. Die Menge dieser Funktionen bezeichnet man
als Funktionsschar.
1
f a : (a+ lnx)
x
1
für a=1 ist f 1 : (1+ ln x ) ,
x
1
für a=0,5
ist f −0,5 : (−0,5+ ln x )
x
Funktionsbestimmungen
Um eine Funktion f zu bestimmen, die vorgegebene Eigenschaften hat, z.B.
– Punkte auf dem Graphen ( f ( x 0 )= y 0 )
– Extremstellen oder die Steigung des Graphen an einer Stelle ( f ' ( x 0)=0
Grundwissen 11. Klasse
oder f ' ( x 0)=c )
( p( x))
)
(q( x))
sind diese Eigenschaften (Bedingungen) mithilfe von f oder f' als Gleichungen zu
formulieren und das aufgestellte Gleichungssysteme zu lösen.
Die nötige Anzahl von Gleichungen wird durch die Zahl der Parameter im
Funktionsterm bestimmt.
Die Berücksichtigung von besonderen Eigenschaften wie z.B.
– Symmetrie des Graphen,
– Existenz einer waagrechten Asymptote,
kann gegebenenfalls den Ansatz für den Funktionsterm vereinfachen.
– Nullstellen oder Polstellen ( f (x 0 )=0 oder q ( x 0 )=0 für f ( X )=
Funktionsanpassungen
Vorgehen bei einer Funktionsanpassung:
1. Zu Veranschaulichung und zum Auffinden eines geeigneten Funktionstyps
können die Daten in ein Koordinatensystem eingetragen werden.
2. Mithilfe von Parametern wir die Gleichung der vermuteten Funktion
aufgestellt, deren Graph näherungsweise durch die gegebenen Punkte gehen
soll.
3. Je nach Zahl der Parameter werden Koordinaten einer entsprechenden Zahl
von Punkten in die Funktionsgleichung eingesetzt und das entstandene
Gleichungssystem gelöst.
4. Mithilfe der Koordinaten weiterer Punkte kann die Brauchbarkeit der
gefundenen Funktion überprüft werden
Ableitungsregeln
Die Ableitung der Funktion x → x n (n∈ℤ)
Satz:
Die Funktion x → x n (n∈ℤ) besitzt die Ableitung f ´ : x → n⋅x n-1 .
Summenregel und Faktorregel
Satz:
Sind die Funktionen g und h differenzierbar, so gilt:
• Summenregel:
f ( x )= g ( x )+ h( x)⇒ f ´ ( x )= g ´ ( x )+ h ´ ( x )
• Faktorregel: f ( x )=c⋅g ( x)⇒ f ´ ( x)=c⋅g ´ ( x )
(c ∈ℝ)
Summen- und Faktorregel ermöglichen die Ermittlung der Ableitungsfunktion von
rationalen Funktionen.
Da die Ableitungsfunktion jeder einzelnen Potenzfunktion eine Potenzfunktion mit
einem um 1 reduzierten Grad ist, ist auch die Ableitung einer ganzrationalen
Funktion eine ganzrationale Funktion mit einem um 1 reduzierten Grad
Satz:
Jede ganzrationale Funktion f vom Grad n ist
f ( x )=4x 3 −3x 2− x −4
Grundwissen 11. Klasse
differenzierbar und ihre Ableitung ist eine
ganzrationale Funktion vom Grad n-1.
f ´ ( x)=12x 2−6x−1
Produktregel
Satz:
Sind die Funktionen u und v differenzierbar, so gilt:
• Produktregel: f ( x ) = u ( x )⋅v ( x ) ⇒ f ´ ( x ) = u ´ ( x )⋅v ( x)+ u ( x )⋅v ´ ( x)
Quotientenregel
Satz:
Sind die Funktionen u und v differenzierbar, so gilt für alle x mit v(x) ≠ 0:
• Quotientenregel: f ( x )=
u(x)
u ´ ( x)⋅v ( x)−u ( x)⋅v ´ ( x)
⇒ f ´ ( x )=
v ( x)
[v ( x)]2
Grundwissen 12. Klasse
12. Klasse
Flächeninhalt und bestimmtes Integral:
Das Integral:
Definition:
Die Funktion f mit f x ≥0 sei auf dem Intervall [a ;b] definiert. Dann nennt man
den gemeinsamen Grenzwert lim U n=lim O n von Unter- und Obersumme das
n ∞
n∞
Integral der Funktion f zwischen den Grenzen a und b.
b
Man schreibt dafür:
∫ f x dx
(lies: Integral von f(x)dx von a bis b).
a
y
A
x
b
a
b
Flächeninhalt A = ∫ f x dx
a
Das Integral als Flächenbilanz; die Integralfunktion:
Merksatz:
Für eine Funktion f, die in einem Intervall[a;b] definiert ist gilt: Falls
f(x) > 0
füryalle x ∈[ a; b ]
y
f( x 0 )=0 und Vorzeichenwechsel
vonyf(x) bei x 0 ∈ [ a; b ]
f(x)<0
für alle x ∈[ a; b ]
Gf
Gf
a
a
b
b
∫ f x dx=A0
a
b
A
A
a
A2
A1
x
b
x
x
Gf
b
∫ f x dx=−A0
a
b
∫ f x dx−A 1A2
a
{
0 falls A1 A2
0 falls A1 A2
Grundwissen 12. Klasse
Definition:
Die Funktion f : t f t sei mit ihrem Definitionsbereich Df gegeben. Dann heißt für
x
a∈D f die Funktion Ia : x  ∫ f t dt Intergralfunktion von f zur unteren Grenze a.
a
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI):
Die Funktion f : t f t sei im Intervall [a ;b] definiert.
x
Dann gilt für die Integralfunktion Ia : x  ∫ f t dt
a
Ia ' x=f x für x 0 ∈{a; b}
Kurz: Die Integralfunktion Ia von f ist eine Stammfunktion von f.
Anmerkung: Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation (Ableitung).
Merksatz (Berechnung von Integralen):
Die Funktion f sei in dem Intervall [a ;b] definiert.
Ist F eine beliebige Stammfunktion von f in diesem Intervall, dann gilt:
b
∫ f x dx=F b−F a
a
b
b
a
Statt F b−F a  schreibt man auch [F  x] , es gilt dann:
∫ f x dx=[F x ]ba
a
Stammfunktionen:
Stammfunktionen zu einfachen Funktionen
f(x)
x2
F(x)
1 3
 x
3
x
1 2
 x
2
1
x
x
1
 
2
3
2 2
 x
3
x−2
x r r ≠−1
−x−1

1
 r1
⋅x
r1
x−1
sin x
cos  x  e x
ln∣x∣ −cos x  sin x e x
ln  x
x⋅ln  x− x
Häufig wird als Symbol für die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f das
sogenannte unbestimmte Integral ∫ f x dx , gelesen „Integral f(x)dx“,
verwendet. Um auszudrücken, dass z.B. die Funktionen F : x −cos xC
Stammfunktionen von f : xsin x sind, schreibt man: ∫ sinx dx=−cosxC C∈ℝ
x r 1 
1
r
x
dx=
C und ∫   dx=ln∣x∣C
Entsprechend z.B.: ∫
r1
x
b
Im Unterschied dazu wird das Integral
∫ f x dx , dessen Wert stets als
a
Flächeninhalt bzw. als Flächenbilanz gedeutet werden kann, auch als bestimmtes
Integral bezeichnet.
Skizzieren von Stammfunktionen:
Grundwissen 12. Klasse
Um bei gegebenem Graphen einer Funktion f den Graphen einer Stammfunktion
von f zu skizzieren, nutzt man charakteristische Punkte des Graphen von f, wie Nullund Extremstellen, und beachtet Vorzeichenbereiche von G f .
y
GF
x
Gf
Eigenschaften von Stammfunktionen und Integralen:
Merksatz:
Sind G und H jeweils Stammfunktionen von g und h, so gilt für alle c∈ℝ :
Ist f : x c⋅gx bzw. f : x  gx hx , so ist
F : x c⋅G x bzw. F : x G xHx eine mögliche Stammfunktion.
Beachte:
Für f mit f x=gx ⋅hx  gilt im allgemeinen F x≠G x⋅Hx
Allgemein gelten folgende Rechen regeln für Integrale, welche deren
sogenannte Linearität beschreiben:
Merksatz:
Sind die Funktionen f und g auf einem Intervall I definiert, dann gilt für alle c∈ℝ
und alle a,b∈I
b
b
∫ c⋅f  xdx=c⋅∫ f xdx
a
a
b
b
b
∫ [f xg x]dx=∫ f x dx∫ g x dx
a
a
a
Flächenberechnungen mit dem Integralen:
Vorgehen bei der Berechnung des Flächeninhalts zwischen dem Graphen einer
Funktion f und der x-Achse über dem Intervall [a ;b] :
1. Bestimmen der Nullstellen von f.
2. Ermitteln des Vorzeichens der Funktionswerte f(x) in den Teilintervallen
3. Berechnen der Inhalte der Teilflächen und Addieren der Werte
Merksatz:
Für den Inhalt A der Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen f und g, die
sich im Intervall [a ;b] nicht schneiden, und den Grenzen x=a und x=b gilt:
Grundwissen 12. Klasse
b
A=∣∫ [f x −gx]dx∣
y
a
GF
A
x
b
0a
Gf
Bemerkungen:
– Unter der Voraussetzung f xgx für alle x∈[a; b] , d.h. Gf liegt in [a ;b]
b
stets oberhalb von Gg , gilt: A=∫ [f x−gx]dx (d.h. Betragsstriche können
a
entfallen)
– Die Aussage des Satzes ist auch dann noch richtig, wenn sich die Graphen
von f und g an den Stellen x=a und x=b , also an den Rändern des
Intervalls, schneiden oder berühren.
Vorgehen bei der Berechnung des Flächeninhalts zwischen den Graphen zweier
Funktionen f und g über dem Intervall [a ;b] :
1. Bestimmen aller Schnittpunkte z 1 , z2, z 3,... zn der beiden Graphen in [a ;b]
2. Berechnen der Inhalte der Teilflächen über [a ;z 1 ],[z 1, z 2 ]...[z n , b] und
Addieren der Werte
Ins Unendliche reichende Flächen:
Definition:
Existiert für eine im Intervall [a ;∞] bzw. ]a;b] definierte Funktion f
b
lim ∫ f  xdx
b∞ a
b
bzw.
lim ∫ f x dx
za z
so heißt dieser Grenzwert das uneigentliche Integral über dem betreffenden
Intervall.
Grundwissen 12. Klasse
Weitere Eigenschaften von Funktionen und deren Graphen
Definition
Ist die Ableitung f 'x einer Funktion f differenzierbar, so erhält man durch das
Ableiten von f ' die zweite Ableitung f ' ' .
Analog können auch weitere Ableitungen ( f ' '' , f 4  , usw.) gebildet werden.
Beispiel:
f x=2x4
f 'x=8x2
f ' 'x=24 x 2
f ' '' x =48x
f 4=48
Definition
Bewegt man sich auf dem Graphen der Funktion f in positiver x-Richtung und
beschreibt man dabei eine Rechtskurve (Linkskurve), so heißt der Graph in diesem
Bereich rechtsgekrümmt → Steigung nimmt ab (linksgekrümmt → Steigung nimmt
zu).
Kriterien für das Krümmungsverhalten
1. Kriterium mit Hilfe der ersten Ableitung
Für eine differenzierbare Funktion f gilt, wenn f ' in einem Intervall I streng
monoton:
• zunehmend ist, dann ist der Graph von f dort linksgekrümmt
• abnehmend ist, dann ist der Grapg von f dort rechtsgekrümmt.
2. Kriterium mit Hilfe der zweiten Ableitung
Für eine zweimal differenzierbare Funktion f gilt:
• wenn f ' 'x 0 in einem Intervall I ist , dann ist der Graph dort von f
linksgekrümmt
• wenn f ' 'x0 in einem Intervall I ist, dann ist der Graph dort von f
rechtsgekrümmt.
Kriterium für Wendestellen und Extrema
Die Funktion f sei in einem Intervall I zweimal differenzierbar und x 0 ∈I .
Wenn f ' 'x 0 =0 und f ' ' bei x 0 einen Vorzeichenwechsel hat, dann hat die
Funktion f an der Stelle x 0 eine Wendelstelle.
Wenn f 'x 0 =f ' 'x 0 =0 und f ' ' bei x 0 einen Vorzeichenwechsel hat, dann hat die
Funktion f bei Px0 /f  x0  einen Terrassenpunkt.
Wenn f 'x 0 =0 und f ' 'x 0 0 ist, dann hat f an der Stelle x 0 ein lokales
Maximum.
Wenn f 'x 0 =0 und f ' 'x 0 0 ist, dann hat f an der Stelle x 0 ein lokales
Minimum.
Grundwissen 12. Klasse
Zufallsgrößen und Binomialverteilung:
Definition:
Eine Funktion X, die jedem Ergebnis ∈ eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl
X  zuordnet, heißt Zufallsgröße oder Zufallsvariable auf  .
Kurz: X :   X mit ∈ und X ∈ℝ
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße:
Definition:
Die Funktion, die jedem Wert x i (i = 1, 2, ..., n) einer Zufallsgröße X die
Wahrscheinlichkeit PX=x i zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion der
Zufallsgröße X oder Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X bzw.
kurz Verteilung von X.
Die Funktion F, die bei gegebener Zufalls
X jeder reellen Zahl x die Wahrscheinlichkeit PX≤x zuordnet heißt kumulative
Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X.
Kurz: F : x P X≤x mit x∈ℝ und PX≤x∈ [ 0 ; 1 ]
Erwartungswert einer Zufallsgröße:
Ist X eine Zufallsgröße mit möglichen Werten x 1, x 2, x 3,... x n so heißt die reelle Zahl
E(X) mit E(X) = x 1⋅P X=x1 x 2⋅P X=x 2...xn⋅P X=x n Erwartungswert der
Zufallsgröße X.
Varianz einer Zufallsgröße:
Ist X eine Zufallsgröße mit möglichen Werten x 1, x 2,... x n und dem Erwartungswert
E(X) =  , so heißt die reelle Zahl Var(X) mit
2
2
Var(X) = x 1−  ⋅PX=x 1 ....x n−  ⋅PX=x n die Varianz der Zufallsgröße X.
 Var X
heißt Standardabweichung der Zufallsgröße X.
Ziehen aus einer Urne:
– mit Beachtung der Reihenfolge:
Aus einer Urne mit n unterscheidbaren Kugeln wird k-mal eine Kugel mit
zurücklegen gezogen. Die gezogenen Kugeln werden in der Reihenfolge des
Ziehens notiert. Dann sind nk verschiedene Ergebnisse (k-Tupel) möglich.
Grundwissen 12. Klasse
Selbe Ausgangsbedingungen nur ohne Zurücklegen:
n⋅n−1⋅...⋅n−k1 Ergebnisse
– mit einem Griff:
Ziehen ohne zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge:
n= unterscheidbare Kugeln =>
k= gezogene Kugeln
Für k∈ℕ0 ,n∈ℕund k ≤n heißt

n⋅n−1⋅n−2⋅...n−k1

k!
 nk=
n!
k!⋅ n−k !

Binomialkoeffizient (Lies „k aus n“
oder „n über k“).
Aus einer Urne mit N Kugeln, von denen S Schwarz sind, werden n Kugeln mit
einem Griff, d.h. ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln an.
Dann gilt:
 S⋅N−S
PX=s= s n−s 
N 
n
Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette:
Ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen heißt Bernoulli-Experiment. Die
Wahrscheinlichkeit für Treffer wird mit p, die für Nieten mit q bezeichnet.
q=1−p
Ein Zufallsexperiment, das aus n unabhängigen Durchführungen desselben
Bernoulli-Experiments besteht, heißt Bernoulli-Kette der Länge n mit dem
Parameter p.
Binomialverteilung:
Gegeben ist eine Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p.
Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. Dann beträgt die
Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer mit k∈ { 0 ; 1 ; ... ;n }
n−k
P  X=k  = n ⋅pk⋅ 1−p 
k
Eine Zufallsgröße X heißt binomialverteilt nach B(n;p) oder Bn;p , wenn gilt:
– X kann die Werte 0;1;2;...;n annehmen
n−k
n k
– P (X =k) = ⋅p ⋅ 1−p 
mit 0≤p≤1
k

Grundwissen 12. Klasse
Modellieren mit der Binomialverteilung:
Vorgehensweise:
1. Überprüfung ob Bernoulli-Kette
2. Falls wahr, Einführung von Bn;p - Zufallsgröße X
3. Wahrscheinlichkeitsbestimmung mit Binomialverteilung
Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung:
Eine B(n;p)-verteilte Zufallsgröße X hat den Erwartungswert =E  X =n p und die
Varianz =Var  X  =npq mit q=1−p .
Für die Standardabweichung  gilt =  npq
Grundwissen 12. Klasse
Beurteilende Statistik
Testen von Hypothesen
Zu einem Sachverhalt (z.B. dem Anteil schwarzer Kugeln in einer Urne) werden
zwei sich ausschließende Hypothesen betrachtet:
Die Nullhypothese H0 und die Gegenhypothese H1 .
Getestet wird, ob aufgrund des Stichprobenergebnisses H0 verworfen werden kann
oder nicht. Dazu wird der Wertebereich der Testgröße in den Ablehnungsbereich
 zerlegt.
(kritischer Bereich) K und den Annahmebereich K
Entscheidungsregel: Liegt der durch die Stichprobe gewonnene Wert in der
Testgröße K , dann wird H0 verworfen, ansonsten beibehalten.
Fehler beim Testen von Hypothesen
Zustand der Wirklichkeit:
H0 ist wahr
H0 Ist falsch
richtige
abgelehnt Fehler 1. Art
H
Nullhypothese
Entscheidung
0
nicht
richtige
wird
Fehler 2. Art
abgelehnt Entscheidung
Bleibt der Stichprobenumfang n gleich, verkleinert man jedoch  ' , so bewirkt man
eine Vergrößerung von K und  ' , sowie umgekehrt. Beide Fehler können nur
durch die Erhöhung der Stichproben verringert werden.
Definition
Eine vorgegebene Obergrenze für den Fehler 1. Art nennt man Signifikanzniveau  .
Daraus ergibt sich der kritische Bereich und somit die Entscheidungsregel des Tests.
Ein so konstruierter Test wird Signifikanztest genannt.
Vorgehen beim einseitigen Signifikanztest:
1. Festlegen der Testgröße Z und des Stichprobenumfangs n
2. Formulierung von Nullhypothese H0 und der Gegenhypothese H1
3. Festlegen des Signifikanzniveaus 
4. Bestimmen der Entscheidungsregel, des kritischen Bereichs K
linksseitiger Test
rechtsseitiger Test
H0 :p=p0 oder p≥p0
H0 :p=p0 oder p≤p0
H1 :pp0
H1 :pp0
K={0; 1 ; ... ; g} , wobei
K={g; g1 ; ...; n} , wobei
g die größte ganze Zahl ist
g die kleinste Zahl ist
n
n
mit  '=Pp0 Z≤g≤
mit  '=Pp0 Z≥g≤
Grundwissen 12. Klasse
Geraden und Ebenen im Raum
Definition
 , an sind linerar abhängig, wenn mindestens einer dieser
Die Vektoren a1 , a2,...
Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist. Sonst sind sie
linear unabhängig.
Im ℝ2 sind höchstens zwei Vektoren, im ℝ3 sind höchstens drei Vektoren linear
unabhängig. Jeder weitere Vektor lässt sich durch Linearkombinationen der linear
unabhängigen darstellen.
Jede Gerade g lässt sich durch eiene Gleichung der sogenannten Parameterform
 A⋅

 mit dem Parameter ∈ℝ beschrieben.
X=
u

 der Ortsvektor eines Punktes der Geraden (Aufpunkt) und e 
Hierbei ist A
u 
u≠0
ein Richtungsvektor von g.
Mögliche gegenseitige Lagebezeichnungen zweier Geraden g und h:


u und 
v sind linear abhängig,
u und 
v sind linear unabhängig,
d. h. , wenn g = h oder g∥h
wenn sich g und h in einem Punkt'
in einem Punkt schneiden oder
windschief sind.
 A⋅


Um die gegenseitige Lage der Geraden
g: X=
u und
untersuchen, kann man folgendermaßen vorgehen.
Sind 
u und 
v linear abhängig?
• Ja: g ist parallel zu h
Liegt A auf h (Punktprobe)
◦ Ja: g = h
◦ Nein: g∥h und g≠h
• Nein: g nicht parallel zu h


 =B⋅
 eine Lösung?
Hat A⋅
u
v
◦ Ja: g und h schneiden sich in einem Punkt S
◦ Nein: g und h sind zueinander windschief
 B⋅


h : X=
v zu
Jede Ebene lässt sich durch eiene Ebenengleichung in Parameterform beschreiben:
 A⋅

 ⋅
X=
u
v , ∈ℝ

Hierbei ist A der Ortsvektor eines Aufpunktes. 
u Und 
v sind zwei linear
unabhängige Richtungsvektoren.
 A
 =0

Vektordarstellung:
n ° X−
n1 x 1n2 x2n 0=0 mit no=−n1 a1 n2 a2 n3 a3 
Koordinatendarstellung:
Hesse'sche Normalenform der Ebenengleichung:
 A
 =0

Vektordarstellung:
n ° X−

Dabei ist der Einheitsvektor n0 zu 
n so gerichtet, dass n0 ° A0
ist.
Koordinatendarstellung:
n1 x1n2 x 2n3 x3n0

2
2
2
± n1n2n3
=0
Dabei ist das Vorzeichen vor der Wurzel so zu wählen, dass
n0
2
± 
n
0 wird.
Grundwissen 12. Klasse
 B=0

 A⋅

 ° X−
 und der Ebene E : n
Die gegenseitige Lage der Geraden g: X=
lässt
u
sich bestimmen, indem man die Anzahl der der gemeinsamen Punkte von g und E
 aus der Gleichung für die
untersucht. Setzt man den Ortsvektor
X

 ]=0 zur

Normalengleichung für E ein, so erhält man die Gleichung: 
n °[ A⋅
u−B
Bestimmung der Parameter in den gemeinsamen Punkten.
• Hat diese Gleichung g genau eine Lösung, so schneiden sich g und E genau in
einem Punkt.
 mit r∈ℝ , so ist g senkrecht zu E.
Gilt zudem: 
u=r⋅n
• Hat diese Gleichung keine Lösung, so sind g und E parallel.
• Hat diese Gleichung unendlich viele Lösungen, so liegt g in E.
Gegenseitige Lage von Ebenen:
 A
  =0 und F: m°
 B
  =0
 °  X−
  X−
Vorgehensweise bei gegebenen Ebenen E: n
 linear abhängig?
Sind die Normalenvektoren 
n und m
– Ja : E∥F => gemeinsame Punkte ?
– Ja: E = F
– Nein: E∥F und E≠F
– Nein: E und F schneiden sich in einer Geraden. Die gemeinsamen Punkte
erhält man durch Lösen des Gleichungssystems aus den
Koordinatendarstellungen.
 A⋅


Vorgehensweise zur Abstandbestimmung zwischen Geraden g: X=
u und Punkt
P:
1. Aufstellen der Gleichung einer Ebene E, die P enthält und senkrecht zu g ist.
2. Bestimmen des Schnittpunktes F der Ebene E mit der Geraden g.
3. Berechnen des Abstandes der Punkte P und F.
Für den Abstand d (P;E) eines Punktes P  p1∣p2∣p3  von einer Hesse'scher
Normalenform gegebener Ebene E gilt im Fall der
 ˚A
  =0
– Vektordarstellung E : n  X−
0
∣
˚ 
d= n0  
P− A
∣
– Koordinatendarstellung

E:
n1 x 1n 2 x2n3 x3n0

2
1
2
2
± n n n
2
3

∣
=0 d=
n1 p1n2 p2 n3 p3n0
 n n n
2
1
2
2
2
3
∣
Den Abstand zweier paralleler Ebenen E1 und E2 bestimmt man, indem man
den Abstand eines beliebigen Punktes der Ebene E2 von E1 berechnet.
Schnittwinkel zwischen zwei Geraden:
 A⋅

 B⋅



Der Schnittwinkel zweier Geraden g: X=
u und h : X=
v ist gleich dem
spitzen Winkel  , den die Richtungsvektoren 
u und 
v festlegen.
Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene:
 A⋅

 B
  =0 spitzer Winkel  zwischen

 °  V−
Gerade g: X=
u , Ebene E : n
Richtungsvektor 
u und Normalvektor 
n von Ebene E => =90 °−
'Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen:
Grundwissen 12. Klasse
 A
 ] =0 und E : n ° [ X−
 B
 ]=0 ist gleich dem
Schnittwinkel zwischen 2 Ebenen E1 n1 ° [ X−
2
2
spitzen Winkel  , den die Normalvektoren n1 und n2 einschließen.
Grundwissen 12. Klasse
Anwendungen der Differential- und Integralrechnung
Bei jedem Wachstumsprozess, bei dem der Bestand je Zeiteinheit um einen
konstanten Faktor zunimmt, kann durch die Exponentialfunktion f der Form
f x=c⋅a t , a0 , beschrieben werden. Diese kann wegen k=lna in folgende Form
gebracht werden: f x=c⋅e kt . Dabei ist c der Bestand zum Zeitpunkt t=0 , f t  der
Bestand zum Zeitpunkt t und f die Wachstumsfunktion. Man nennt a0 den
Wachstumsfaktor, a−1 die relative Änderung pro Zeiteinheit und k=lna die
Wachstumskonstante.
Ist f t =c⋅ekt , erhält man
TD =
für k0 (pos. Wachstum) die Verdopplungszeit
ln 2
k
für k0 (neg. Wachstum) die Halbwertszeit
TH =−ln 2
k
Lösen von Extremwertproblemen
1. Formulieren eines Terms, der die Größe, die minimal oder maximal werden
soll. Dieser kann mehrere Variablen enthalten.
2. Gegebene Nebenbedingungen formulieren.
3. Bestimmen der Zielfunktion, die nur noch eine Variable enthält.
4. Funktionsuntersuchung der Zielfunktion auf Extremwerte und formulieren des
Ergebnisses (evtl. auf Randwerte achten).
Erkenntnisse über den Graphen der Funktion f können durch Untersuchung auf maximale Definitionsmenge Dmax bzw. Definitionslücken von f
- Symmetrieeigenschaften
- Nullstellen
- Schnittpunkte mit der y- Achse
- Extremwerte und Monotonieverhalten
- Wendepunkte und Krümmungsverhalten
- Verhalten im Unendlichen
- Asymptoten.
Aus vorgegebenen Eigenschaften und Funktionsgraph lassen sich mögliche
Funktionsterme aufstellen. Die Stammfunktion spielt hierbei keine zu
vernachlässigende Rolle dar.