Das Neutron

Das Neutron
Vorlesung nächste Woche entfällt!
UCN-Homepage - Adresse: www.ucn.kernchemie.uni-mainz.de
Das Neutron
Eigenschaften des Neutrons
Neutronen nehmen an allen vier bekannten Wechselwirkungen
teil:
Gravitation
Elektro-magnetische Wechselwirkung
Starke Wechselwirkung
Schwache Wechselwirkung
mg /mi − 1 ≈ 10−4
Spin 12 Teilchen
µn = −1.912µk
Wiederholung
Gravitations-Wechselwirkung:
Vg = mg · g · h
Äquivalent zu:
Vg = 102 × 10−9 eV m−1 = 102 neV m−1
Magnetische Wechselwirkung:
~ )
Vm = −~
µ · B(r
Äquivalent zu:
Vm = µn · B = 60 neV/T
Wiederholung
Gravitations-Wechselwirkung:
Vg = mg · g · h
Äquivalent zu:
Vg = 102 × 10−9 eV m−1 = 102 neV m−1
Magnetische Wechselwirkung:
~ )
Vm = −~
µ · B(r
Äquivalent zu:
Vm = µn · B = 60 neV/T
Neutronen können je nach Geschwindigkeit Reichweiten von einigen
Zentimetern in Materie haben → Zugrundeliegende Theorie: Starke
Wechselwirkung
Wiederholung
Gravitations-Wechselwirkung:
Vg = mg · g · h
Äquivalent zu:
Vg = 102 × 10−9 eV m−1 = 102 neV m−1
Magnetische Wechselwirkung:
~ )
Vm = −~
µ · B(r
Äquivalent zu:
Vm = µn · B = 60 neV/T
Neutronen können je nach Geschwindigkeit Reichweiten von einigen
Zentimetern in Materie haben → Zugrundeliegende Theorie: Starke
Wechselwirkung
Die starke Wechselwirkung
Energie und Dimension des Kernpotentials ist um Größenordnungen
verschieden von den Werten der mit dem Kern wechselwirkenden
Neutronen: λn >> R.
→ Wellenfunktion |ψi > wird sehr verschieden sein von der
ursprünglichen, ungestörten Wellenfunktion, das aber nur über einen
sehr kleinen Abstand.
Die starke Wechselwirkung
Energie und Dimension des Kernpotentials ist um Größenordnungen
verschieden von den Werten der mit dem Kern wechselwirkenden
Neutronen: λn >> R.
→ Wellenfunktion |ψi > wird sehr verschieden sein von der
ursprünglichen, ungestörten Wellenfunktion, das aber nur über einen
sehr kleinen Abstand.
Wechselwirkungpotential (s. Folie):
V (r ) =
−V0
1+exp((r −R)/a)
0
for r < R
for r > R
Die starke Wechselwirkung
Energie und Dimension des Kernpotentials ist um Größenordnungen
verschieden von den Werten der mit dem Kern wechselwirkenden
Neutronen: λn >> R.
→ Wellenfunktion |ψi > wird sehr verschieden sein von der
ursprünglichen, ungestörten Wellenfunktion, das aber nur über einen
sehr kleinen Abstand.
Wechselwirkungpotential (s. Folie):
V (r ) =
−V0
1+exp((r −R)/a)
0
for r < R
for r > R
Zeitunahhängige Schrödingergleichung:
(∆r θ φ + k 2 ) ψ =
2m
V (r ) ψ,
~2
k2 =
2 mE
.
~2
Lösung - radialer Teil:
l(l + 1)~2
d 2 u(r ) 2 m
u(r ) = 0,
+ 2 E − V (r ) −
dr 2
~
2 mr 2
Zeitunahhängige Schrödingergleichung:
(∆r θ φ + k 2 ) ψ =
2m
V (r ) ψ,
~2
k2 =
2 mE
.
~2
Lösung - radialer Teil:
l(l + 1)~2
d 2 u(r ) 2 m
u(r ) = 0,
+ 2 E − V (r ) −
dr 2
~
2 mr 2
Kein Drehimpulsübertrag: l = 0:
d 2 u(r ) 2 m
+ 2 [E − V (r )] u(r ) = 0.
dr 2
~
Zeitunahhängige Schrödingergleichung:
(∆r θ φ + k 2 ) ψ =
2m
V (r ) ψ,
~2
k2 =
2 mE
.
~2
Lösung - radialer Teil:
l(l + 1)~2
d 2 u(r ) 2 m
u(r ) = 0,
+ 2 E − V (r ) −
dr 2
~
2 mr 2
Kein Drehimpulsübertrag: l = 0:
d 2 u(r ) 2 m
+ 2 [E − V (r )] u(r ) = 0.
dr 2
~
Lösung innerhalb des Kernpotentials r < R0 :
Oszillationen:
p
u(r ) ∝ sin(K r ), mit K = 2 m(E + V0 )/~2
Lösung außerhalb des Kernpotentials r > R0 :
Einfallende Welle + Gestreute Welle:
Lösung innerhalb des Kernpotentials r < R0 :
Oszillationen:
p
u(r ) ∝ sin(K r ), mit K = 2 m(E + V0 )/~2
Lösung außerhalb des Kernpotentials r > R0 :
Einfallende Welle + Gestreute Welle:
ψ(r ) = ψin + ψsc = e ı kr + f
e ı kr
,
r
mit
k=
p
2 mE /~2
Lösung innerhalb des Kernpotentials r < R0 :
Oszillationen:
p
u(r ) ∝ sin(K r ), mit K = 2 m(E + V0 )/~2
Lösung außerhalb des Kernpotentials r > R0 :
Einfallende Welle + Gestreute Welle:
ψ(r ) = ψin + ψsc = e ı kr + f
e ı kr
,
r
mit
k=
p
2 mE /~2
Streuamplitude und Streulänge
f , die Streuamplitude, enthält die gesamte Information über den
Streuprozess. f = konstant = −a.
R << r << 1/k
u(r ) = ψ(r ) · r =
r −a
·r
r
Streuamplitude und Streulänge
f , die Streuamplitude, enthält die gesamte Information über den
Streuprozess. f = konstant = −a.
R << r << 1/k
u(r ) = ψ(r ) · r =
r −a
·r
r
Anschaulich: a markiert den Punkt, an dem die auslaufende
Wellenfunktion ψ ,,0” ist.
Streuamplitude und Streulänge
f , die Streuamplitude, enthält die gesamte Information über den
Streuprozess. f = konstant = −a.
R << r << 1/k
u(r ) = ψ(r ) · r =
r −a
·r
r
Anschaulich: a markiert den Punkt, an dem die auslaufende
Wellenfunktion ψ ,,0” ist.
a kann interpretiert werden als Radius einer Kugel, die für r >> R
dieselbe auslaufende Wellenfunktion ,,erzeugt” wie das eigentliche
Streupotential V0 .
Streuamplitude und Streulänge
f , die Streuamplitude, enthält die gesamte Information über den
Streuprozess. f = konstant = −a.
R << r << 1/k
u(r ) = ψ(r ) · r =
r −a
·r
r
Anschaulich: a markiert den Punkt, an dem die auslaufende
Wellenfunktion ψ ,,0” ist.
a kann interpretiert werden als Radius einer Kugel, die für r >> R
dieselbe auslaufende Wellenfunktion ,,erzeugt” wie das eigentliche
Streupotential V0 .
Der Parameter a wird auch als ,,Streulänge” bezeichnet.
Streuamplitude und Streulänge
f , die Streuamplitude, enthält die gesamte Information über den
Streuprozess. f = konstant = −a.
R << r << 1/k
u(r ) = ψ(r ) · r =
r −a
·r
r
Anschaulich: a markiert den Punkt, an dem die auslaufende
Wellenfunktion ψ ,,0” ist.
a kann interpretiert werden als Radius einer Kugel, die für r >> R
dieselbe auslaufende Wellenfunktion ,,erzeugt” wie das eigentliche
Streupotential V0 .
Der Parameter a wird auch als ,,Streulänge” bezeichnet.
Randbedingungen
Randbedingungen bei r = a:
tan(K R)
a=R 1−
KR
Abbildung: Auftragung von tan(K R) und (K R).
a kann negative Werte annehmen (Beispiel Wasserstoff: a < 0).
Randbedingungen
Randbedingungen bei r = a:
tan(K R)
a=R 1−
KR
Abbildung: Auftragung von tan(K R) und (K R).
a kann negative Werte annehmen (Beispiel Wasserstoff: a < 0).
Auswirkung a <> 0 auf die Wellenfunktion
Auswirkungen einer positiven oder negativen Streulänge auf die
Wellenfunktion → Folie
a > 0: Wellenfunktion wird vom Kernpotential abgewiesen.
a < 0: Wellenfunktion wird in das Kernpotential hineingezogen.
Auswirkung a <> 0 auf die Wellenfunktion
Auswirkungen einer positiven oder negativen Streulänge auf die
Wellenfunktion → Folie
a > 0: Wellenfunktion wird vom Kernpotential abgewiesen.
a < 0: Wellenfunktion wird in das Kernpotential hineingezogen.
Streupotential V des Kerns ist viel größer als die Neutronenenergie.
Wellenfunktion |ψi > ist sehr verschieden von der ursprünglichen,
ungestörten Wellenfunktion.
Streupotential V des Kerns ist viel größer als die Neutronenenergie.
Wellenfunktion |ψi > ist sehr verschieden von der ursprünglichen,
ungestörten Wellenfunktion.
→ Anwendung einer Störungsrechnung (pertubation theory) ist nicht
möglich.
Streupotential V des Kerns ist viel größer als die Neutronenenergie.
Wellenfunktion |ψi > ist sehr verschieden von der ursprünglichen,
ungestörten Wellenfunktion.
→ Anwendung einer Störungsrechnung (pertubation theory) ist nicht
möglich.
Aber: Änderung der Wellenfunktion innerhalb der
Wechselwirkungszone erfolgt nur über einen sehr kleinen Abstand.
Wellenfunktion außerhalb der Wechselwirkungszone wird nur leicht
geändert.
Streupotential V des Kerns ist viel größer als die Neutronenenergie.
Wellenfunktion |ψi > ist sehr verschieden von der ursprünglichen,
ungestörten Wellenfunktion.
→ Anwendung einer Störungsrechnung (pertubation theory) ist nicht
möglich.
Aber: Änderung der Wellenfunktion innerhalb der
Wechselwirkungszone erfolgt nur über einen sehr kleinen Abstand.
Wellenfunktion außerhalb der Wechselwirkungszone wird nur leicht
geändert.
Idee von Fermi (1936): Einführung eines äquivalenten Potentials.
Ausgehend von:
−
~2
∆η ψ + [E − V (η)]ψ = 0
2m
η = r − rNucl.
Idee von Fermi (1936): Einführung eines äquivalenten Potentials.
Ausgehend von:
−
~2
∆η ψ + [E − V (η)]ψ = 0
2m
η = r − rNucl.
Einführung eines äquivalenten Potentials:
−
~2
∆η ψ + [E − U(η)]ψ = 0
2m
Idee von Fermi (1936): Einführung eines äquivalenten Potentials.
Ausgehend von:
−
~2
∆η ψ + [E − V (η)]ψ = 0
2m
η = r − rNucl.
Einführung eines äquivalenten Potentials:
−
~2
∆η ψ + [E − U(η)]ψ = 0
2m
unter der Annahme:
U(η) = −U0
η<ρ
U(η) = 0
η>ρ
Idee von Fermi (1936): Einführung eines äquivalenten Potentials.
Ausgehend von:
−
~2
∆η ψ + [E − V (η)]ψ = 0
2m
η = r − rNucl.
Einführung eines äquivalenten Potentials:
−
~2
∆η ψ + [E − U(η)]ψ = 0
2m
unter der Annahme:
U(η) = −U0
η<ρ
U(η) = 0
η>ρ
ρ ist eine Distanz, für die gilt:
ρ << λn , ρ >> a, ρ >> R, (→ Folie).
Idee von Fermi (1936): Einführung eines äquivalenten Potentials.
Ausgehend von:
−
~2
∆η ψ + [E − V (η)]ψ = 0
2m
η = r − rNucl.
Einführung eines äquivalenten Potentials:
−
~2
∆η ψ + [E − U(η)]ψ = 0
2m
unter der Annahme:
U(η) = −U0
η<ρ
U(η) = 0
η>ρ
ρ ist eine Distanz, für die gilt:
ρ << λn , ρ >> a, ρ >> R, (→ Folie).
U(η) bewirkt eine Störung der Wellenfunktion, die äquivalent ist zu
der Störung, die durch V (η) hervorgerufen wird (für r > R, also
außerhalb des Kernpotentials).
Lösung der Schrödinger-Gleichung für V = U(η):
ψ(r ) = ψin + ψsc = e ı kr + f (θ)
e ı kr
r
U(η) bewirkt eine Störung der Wellenfunktion, die äquivalent ist zu
der Störung, die durch V (η) hervorgerufen wird (für r > R, also
außerhalb des Kernpotentials).
Lösung der Schrödinger-Gleichung für V = U(η):
ψ(r ) = ψin + ψsc = e ı kr + f (θ)
Weiterhin:
f (θ) = konstant (l = 0).
e ı kr
r
U(η) bewirkt eine Störung der Wellenfunktion, die äquivalent ist zu
der Störung, die durch V (η) hervorgerufen wird (für r > R, also
außerhalb des Kernpotentials).
Lösung der Schrödinger-Gleichung für V = U(η):
ψ(r ) = ψin + ψsc = e ı kr + f (θ)
Weiterhin:
f (θ) = konstant (l = 0).
e ı kr
r
Aus Störungstheorie (1. Bornsche Näherung):
Z
m
m
f (θ) = −
<
k
|U|k
>=
−
d3 ηU(η) e(ki −kf )·η
f
i
2 π ~2
2 π ~2
k ρ << 1 oder q = ki − kf → 0:
f (θ) = f =
2m
U0 ρ3
3 ~2
Aus Störungstheorie (1. Bornsche Näherung):
Z
m
m
f (θ) = −
<
k
|U|k
>=
−
d3 ηU(η) e(ki −kf )·η
f
i
2 π ~2
2 π ~2
k ρ << 1 oder q = ki − kf → 0:
f (θ) = f =
2m
U0 ρ3
3 ~2
Umgeschrieben (f=-a):
U0 = −
3 ~2 a
2 m ρ3
Aus Störungstheorie (1. Bornsche Näherung):
Z
m
m
f (θ) = −
<
k
|U|k
>=
−
d3 ηU(η) e(ki −kf )·η
f
i
2 π ~2
2 π ~2
k ρ << 1 oder q = ki − kf → 0:
2m
U0 ρ3
3 ~2
f (θ) = f =
Umgeschrieben (f=-a):
U0 = −
Oder:
Z
3 ~2 a
2 m ρ3
U(η) d3 η = −U0
a
4π 3
ρ = 2 π ~2
3
m
Aus Störungstheorie (1. Bornsche Näherung):
Z
m
m
f (θ) = −
<
k
|U|k
>=
−
d3 ηU(η) e(ki −kf )·η
f
i
2 π ~2
2 π ~2
k ρ << 1 oder q = ki − kf → 0:
2m
U0 ρ3
3 ~2
f (θ) = f =
Umgeschrieben (f=-a):
U0 = −
Oder:
Z
3 ~2 a
2 m ρ3
U(η) d3 η = −U0
a
4π 3
ρ = 2 π ~2
3
m
Berechnung des Matrixelements:
< kf |U|ki >=
Z
d3 ηU(η)
unter Benutzung eines Potentials in der Form:
UF (η) =
2 π ~2 a (3)
δ (η).
m
Für einen Festkörper mit den Kernen an den Orten ri gilt daher:
V (r ) =
2 π ~2 X
ai δ(r − ri )
m
i
Berechnung des Matrixelements:
< kf |U|ki >=
Z
d3 ηU(η)
unter Benutzung eines Potentials in der Form:
UF (η) =
2 π ~2 a (3)
δ (η).
m
Für einen Festkörper mit den Kernen an den Orten ri gilt daher:
V (r ) =
2 π ~2 X
ai δ(r − ri )
m
i
V (r ) =
2 π ~2 X
ai δ(r − ri )
m
i
Bildlich: Ein auf Materie treffendes Neutron ,,sieht einen Wald” von
Potentialen in Form von δ-Funktionen.
Folgerung: Neutronen werden nicht an einem einzelnen Kern gestreut.
Auch ersichtlich in Wellenfunktion (Lösung der S-Glg.):
ψ(r ) = e ık·r −
X
i
ai
e ık|r −ri | ık·ri
e
|r − ri |
V (r ) =
2 π ~2 X
ai δ(r − ri )
m
i
Bildlich: Ein auf Materie treffendes Neutron ,,sieht einen Wald” von
Potentialen in Form von δ-Funktionen.
Folgerung: Neutronen werden nicht an einem einzelnen Kern gestreut.
Auch ersichtlich in Wellenfunktion (Lösung der S-Glg.):
ψ(r ) = e ık·r −
X
i
ai
e ık|r −ri | ık·ri
e
|r − ri |
→ Einfallende Welle und Summe gestreuter spährischer Wellen von
jedem Kern (multiple scattering).
V (r ) =
2 π ~2 X
ai δ(r − ri )
m
i
Bildlich: Ein auf Materie treffendes Neutron ,,sieht einen Wald” von
Potentialen in Form von δ-Funktionen.
Folgerung: Neutronen werden nicht an einem einzelnen Kern gestreut.
Auch ersichtlich in Wellenfunktion (Lösung der S-Glg.):
ψ(r ) = e ık·r −
X
i
ai
e ık|r −ri | ık·ri
e
|r − ri |
→ Einfallende Welle und Summe gestreuter spährischer Wellen von
jedem Kern (multiple scattering).
Synthese
Einführung des effektiven (Wand)-Potentials:
V =
2 π ~2 X
N i ai
m
i
Nickel: a = 10.3 (fm), ρ = 8.9 (g/cm3 ), mA = 58.7 (g/mol)
avo ρ
N = Nm
A
Synthese
Einführung des effektiven (Wand)-Potentials:
V =
2 π ~2 X
N i ai
m
i
Nickel: a = 10.3 (fm), ρ = 8.9 (g/cm3 ), mA = 58.7 (g/mol)
avo ρ
N = Nm
A
→ V[Ni] = 250 neV
Synthese
Einführung des effektiven (Wand)-Potentials:
V =
2 π ~2 X
N i ai
m
i
Nickel: a = 10.3 (fm), ρ = 8.9 (g/cm3 ), mA = 58.7 (g/mol)
avo ρ
N = Nm
A
→ V[Ni] = 250 neV
UCN Amplitude
V
0
Position
Synthese
Einführung des effektiven (Wand)-Potentials:
V =
2 π ~2 X
N i ai
m
i
Nickel: a = 10.3 (fm), ρ = 8.9 (g/cm3 ), mA = 58.7 (g/mol)
avo ρ
N = Nm
A
→ V[Ni] = 250 neV
UCN Amplitude
V
0
Position
Der Zerfall des freien Neutrons
Atomkerne sind aufgebaut aus Protonen und Neutronen. Erste
Kernumwandlung → 1920 Rutherford
und Erzeugung von künstlichen Radioisotopen.
Die meisten dieser Radioisotope sind Beta-Strahler (e− Emitter).
Woher kommen die Elektronen?
Der Zerfall des freien Neutrons
Atomkerne sind aufgebaut aus Protonen und Neutronen. Erste
Kernumwandlung → 1920 Rutherford
und Erzeugung von künstlichen Radioisotopen.
Die meisten dieser Radioisotope sind Beta-Strahler (e− Emitter).
Woher kommen die Elektronen?
Hypothese: Im Inneren des Kerns zerfällt ein Neutron in ein Proton
und ein Elektron:
A
A
′
−
Z N →Z +1 N + e
Der Zerfall des freien Neutrons
Atomkerne sind aufgebaut aus Protonen und Neutronen. Erste
Kernumwandlung → 1920 Rutherford
und Erzeugung von künstlichen Radioisotopen.
Die meisten dieser Radioisotope sind Beta-Strahler (e− Emitter).
Woher kommen die Elektronen?
Hypothese: Im Inneren des Kerns zerfällt ein Neutron in ein Proton
und ein Elektron:
′
−
A
A
Z N →Z +1 N + e
Chadwick und Goldhaber 1935: Auch das Neutron selber könnte so in
ein Proton + Elektron zerfallen, da
mn > mp + me −
Der Zerfall des freien Neutrons
Atomkerne sind aufgebaut aus Protonen und Neutronen. Erste
Kernumwandlung → 1920 Rutherford
und Erzeugung von künstlichen Radioisotopen.
Die meisten dieser Radioisotope sind Beta-Strahler (e− Emitter).
Woher kommen die Elektronen?
Hypothese: Im Inneren des Kerns zerfällt ein Neutron in ein Proton
und ein Elektron:
′
−
A
A
Z N →Z +1 N + e
Chadwick und Goldhaber 1935: Auch das Neutron selber könnte so in
ein Proton + Elektron zerfallen, da
mn > mp + me −
Nachweis des Zerfalls des freien Neutrons
Abbildung: Teilansicht des Experiments: Robson 1951
Nachweis des Zerfalls des freien Neutrons
Intensität der Neutronen: 1.5 · 1010 /sec
Beobachtete Neutronen über einen Abschnitt l: N =
Neutronenzerfälle (pro Sekunde):
dN
dt
= λN =
Beobachtete Beta-Zerfallsrate: nβ = Ωβ ·
I ·l
v̄
λ·I ·l
v̄
dN
dt
Damit folgt die Zerfallskonstante zu:
λ=
v̄
nβ
·
Ωβ I · l
Schwierigkeit: Unterscheidung der ,,wahren” Zerfälle vom hohen
Untergrund an β- und γ-Teilchen.
Nachweis des Zerfalls des freien Neutrons
Intensität der Neutronen: 1.5 · 1010 /sec
Beobachtete Neutronen über einen Abschnitt l: N =
Neutronenzerfälle (pro Sekunde):
dN
dt
= λN =
Beobachtete Beta-Zerfallsrate: nβ = Ωβ ·
I ·l
v̄
λ·I ·l
v̄
dN
dt
Damit folgt die Zerfallskonstante zu:
λ=
v̄
nβ
·
Ωβ I · l
Schwierigkeit: Unterscheidung der ,,wahren” Zerfälle vom hohen
Untergrund an β- und γ-Teilchen.
→ Koinzidenzmessung Elektron + Proton
Nachweis des Zerfalls des freien Neutrons
Intensität der Neutronen: 1.5 · 1010 /sec
Beobachtete Neutronen über einen Abschnitt l: N =
Neutronenzerfälle (pro Sekunde):
dN
dt
= λN =
Beobachtete Beta-Zerfallsrate: nβ = Ωβ ·
I ·l
v̄
λ·I ·l
v̄
dN
dt
Damit folgt die Zerfallskonstante zu:
λ=
v̄
nβ
·
Ωβ I · l
Schwierigkeit: Unterscheidung der ,,wahren” Zerfälle vom hohen
Untergrund an β- und γ-Teilchen.
→ Koinzidenzmessung Elektron + Proton
Nachweis des Zerfalls des freien Neutrons
Abbildung: Gesamtbild des Experiments
Koinzidenzmessung
Abbildung: Koinzidente Ereignisse von Elektronen und Protonen. HV = +
13 kV
Resultat der Messung
Abbildung: Energiespektrum der Elektronen
Einstellung der Elektronik auf den Koinzidenzpeak
Kontinuierliches β-Spektrum mit Maximalenergie bei
Emax = 781 keV
Massendifferenz (mn − mp ) = 1292 keV - me− (511 keV) = Emax
Resultat der Messung
Abbildung: Energiespektrum der Elektronen
Einstellung der Elektronik auf den Koinzidenzpeak
Kontinuierliches β-Spektrum mit Maximalenergie bei
Emax = 781 keV
Massendifferenz (mn − mp ) = 1292 keV - me− (511 keV) = Emax
Auswertung der Zerfallswahrscheinlichkeit: λ = (9.0 ± 1.8) · 10−4 /s
→ T1/2 = ln2
λ = (12.8 ± 2.5) min
Resultat der Messung
Abbildung: Energiespektrum der Elektronen
Einstellung der Elektronik auf den Koinzidenzpeak
Kontinuierliches β-Spektrum mit Maximalenergie bei
Emax = 781 keV
Massendifferenz (mn − mp ) = 1292 keV - me− (511 keV) = Emax
Auswertung der Zerfallswahrscheinlichkeit: λ = (9.0 ± 1.8) · 10−4 /s
→ T1/2 = ln2
λ = (12.8 ± 2.5) min