Neues Thema: Inversion am Kreis (Kreisspiegelung)

Neues Thema: Inversion am Kreis (Kreisspiegelung)
Wir arbeiten in R2 , h , istandard .
Def. Betrachte einen Kreis um O vom Radius r > 0. Inversion (bzgl. des
Kreises) ist eine Abbildung IO,r : R2 \ {O} → R2 \ {O}, die Punkt X auf
−→
−→
r2
den Punkt Y abbildet, s.d. OY = |OX
|2 · OX .
O
Koordinatendarstellung:
Für O = xy00 , X = yx .
−→
ist Y = O +
OY =
Dann
2
x0
x0
+ (x−x0 )2r+(y −y0 )2 yx −
y0
− y0
X
Y
Bemerkung |OY | =
r2
|OX |2 |OX |
=
r2
|OX | .
Also, |OY | · |OX | = r 2
Geometrische Beschreibung der Lage von Y :
◮
O, X , Y liegen auf einem Strahl mit Anfangspunkt O.
◮
|OY | · |OX | = r 2
Bemerkung Inversion ist eine Bijektion (als Abbildung des
R2 \ {O} auf sich selbst. )
Einfachste Eigenschaften und komplexe Zahlen
Einfachste Eigenschaften:
1. Liegt X auf dem Kreis um O vom Radius r , so ist
IO,r (X ) = X .
2. I ist eine Involution: I ◦ I = Id.
3. I bildet innere Punkte des Kreises auf äussere ab und
umgekehrt.
4. I kommutiert mit Isometrien: Ist F : R2 → R2 eine Isometrie,
so ist IF (O),r (F (X )) = F (IO,r (X ))
Falls O = 00 ist, und r = 1, so ist die Inversion gegeben durch
x 1
I yx = x 2 +y
2 y . Falls wir z = x + i · y setzen, wird die Inversion
wie folgt gegeben:
I (z) = |z|z 2 := z̄1 , wobei z̄ die komplexe Konjugation ist (da
Ana I
x+i·y
1
= xx−i·y
2 +y 2 und deswegen z̄ = x 2 +y 2 . )
Man bedenke auch, dass die Konjugation, also die Abbildung
z = x + iy 7→ z̄ = x − iy die Spiegelung bzgl. der Geraden L~0,1
1
z
0
ist.
Inversion als Bijektion von R2 ∪ ∞
Betrachte verallgemeinerte Ebene R̄2 := R2 ∪
∞
|{z}
. Dann
ein formaler Punkt
definieredie Inversion I : R̄2 → R̄2 wie folgt:
2
−
→
−
→
 Y s.d. OY = |OXr |2 · OX für X 6= O, ∞
I (X ) =
∞ falls X = O

O falls X = ∞
Inversion ist eine bijektive Abbildung der verallgemeinerten Ebene auf
sich selbst.
Frage Warum die Bezeichnung ∞?
Antwort: Wir brauchen einen
künstlichen Punkt, um I (O)
zu definieren. Je näher X an
O ist, je weiter ist I (X ) von
O entfernt. (Weil |OY | =
r2
|OX | ). Man kann sich I (O) als
unendlichen Punkt vorstellen,
daher die Bezeichnung.
Def. Ein verallgemeinerter Kreis ist ein Kreis (vom Radius > 0), oder
, wobei G eine Gerade ist.
die Vereinigung
G
∪ ∞}
| {z
verallgemeinerte Gerade
Lemma 19. Inversion bildet verallgemeinerte Kreise auf verallgemeinerte
Kreise ab. Ferner gilt:
◮
Inversion IO,r überführt alle
verallgemeinerten Geraden, die O
enthalten, in sich selbst,
◮
und andere verallgemeinerte Geraden
in Kreise, die O enthalten.
◮
Inversion überführt die Kreise, die O
enthalten, in verallgemeinerte
Geraden,
◮
und andere Kreise in Kreise.
| {z }
Def. Ein verallgemeinerter Kreis ist ein Kreis (vom Radius > 0), oder die Vereinigung
G ∪∞
verallgemeinerte Gerade
wobei G eine Gerade ist.
Lemma 19. Inversion bildet verallgemeinerte Kreise auf verallgemeinerte Kreise ab. Ferner gilt:
◮
Inversion IO,r überführt alle
verallgemeinerten Geraden, die O
enthalten, in sich selbst,
◮
und andere verallgemeinerte Geraden in
Kreise, die O enthalten.
◮
Inversion überführt die Kreise, die O
enthalten, in verallgemeinerte Geraden,
◮
und andere Kreise in Kreise.
Beweis Betrachten eine Inversion IO,r und einen Kreis K . Da Inversion
mit Isometrien kommutiert, genügt es die Aussage des Lemmas für IF (O),r
und den Kreis BildF (K ) zu beweisen, wobei F eine Isometrie ist.
Nach Isometrie
O
O
,
2
(und deswegen ist I yx = x 2r+y 2 yx ,) und der zu
untersuchende Kreis sei K := { yx s.d.(x − xc )2 + y 2 − R 2 = 0}.
Da I ◦ I = Id, besteht BildI (K ) aus allen Punkten, die auf Punkte von K
abgebildet werden, also aus allen Lösungen der Gleichung
2
2 2 2
r
−
x
+ x 2r+y 2 y − R 2 = 0. Multiplizieren mit −(x 2 + y 2 )
x
2
2
c
x +y
ergibt
(x 2 + y 2 )(R 2 − xc2 ) + 2r 2 xc ·x = r 4
(∗)
| {z }
|
{z
}
R 2 − x 2
x a1
Also sei O =
(x y )
c
0
0
R 2 − xc2
y
2 2
Ist R 6=
so hat R − xc R 2 − x 2 zwei gleiche Eigenwerte, und ist (∗)
c
die Gleichung eines Kreises.
(∅ und Punkt sind ausgeschlossen, weil K mehr als einen Punkt hat.)
Ist R 2 = xc2 , was bedeutet, das K durch O geht,
2
O
xc2 ,
so ist (∗) ⇐⇒ 2xc · x = r 2 , und dies ist die
Gleichung der Gerade.
Beweis für die Geraden, die durch O gehen ist ähnlich.
Glatte Kurven und deren Tangenten
Def. Eine (glatte ebene) Kurve ist das Bild einer Abbildung
(t)
wobei C1 , C2 stetig differenzierbar
C : [α, β] → R2 , d.h., C (t) = CC21 (t)
′ 2
′ 2
sind, und (C1 ) + (C2 ) > 0. Physikalisch kann man eine Kurve als die
Bahn eines Teilchens
verstehen.
Bsp. Strecke CC12 (t)
= yx00 ++ vu ·· tt , t ∈ [α, β], ist eine Kurve.
(t)
cos(t)
Bsp. Kreis ist eine Kurve. Z.B. CC12 (t)
= sin(t) , t ∈ [0, 2π], ist die
(t)
2
2
Abbildung deren Bild der Kreis mit der Gleichung
1 x + y = 1 ist.
C (t) 0 cos(t)
√
λ A, t ∈ [0, 2π], ist die
Bsp. Ellipse ist eine Kurve. Z.B. C1 (t) = sin(t)
2
√
µ
Abbildung, deren Bild die Ellipse mit der Gleichung λx 2 + µy 2 = 1 ist.
Sei C : [α, β] → R2 , ( C (t) = CC12 (t)
) eine Kurve. Was ist deren
(t)
Tangente im Punkt P = C (t0 )?
Geometrische Definition: Nehme die
Folge von Sekanten (=Geraden die
durch C (t0 ) und C (ti ) gehen,) wobei
ti → t0 . Dann heißt deren Grenzwert
die Tangente.
(Jede Gerade ist gegeben durch eine Gleichung der Form
ax + by + c = 0, wobei (∗) a2 + b 2 = 1 (Hessische Normalform). OBdA
ist c 6= 0, also können wir die Gleichung so wählen, dass
(∗∗) c > 0.
Die Bedingungen (∗), (∗∗) bestimmen die Gleichung einer gegebenen
Geraden eindeutig. Also bekommen wir die Folgen ai , bi , ci . Die Folgen
konvergieren, siehe Beweis von Lemma 20. Seien ā, b̄, c̄ die Grenzwerte.
)
Dann ist die Gerade mit der Gleichung āx + b̄y + c̄ = 0 die
Tangente.
Analytische Definition: Die Tangente einer Kurve C (t) = CC12 (t)
in
t
ist
0
(t)
n
o
′ die Gerade C (t0 ) + CC1′ (t(t0 )) s wobei s ∈ R .
2
0
Lemma 20. Die analytische und geometrische Definition stimmen
überein.
Beweis OBdA ist t0 = 0. Betrachte die Taylor-Reihe von C1 (t), C2 (t) im
Punkt t = 0:
C1 (t) = C1 (0) + C1′ (0)t + Rest1 (t) C2 (t) = C2 (0) + C2′ (0)t + Rest2 (t),
wobei limt→0 Restt1 (t) = limt→0 Restt2 (t) = 0.
Dann ist die Gleichung der Sekantedurch C (0), C (t) gleich (LAAG1, Vorl.
25)
C2 (0) − y
= 0 ⇐⇒
C2 (0) − C2 (t)
C2 (0) − y
1 (0) − x
det
= 0 ⇐⇒
C1 (0) − (C1 (0) + C1′ (0)t + Rest1 (t))
C2 (0) − (C2 (0) + C2′ (0)t + Rest2 (t))
C1 (0) − x
C2 (0) − y
det
= 0 ⇐⇒
C2′ (0) + 1t Rest2 (t)
C1′ (0) + 1t Rest1 (t)
1
1
C1 (0)
C2 (0)
′
′
x (C2 (0) + Rest(t)) −y (C1 (0) + Rest(t)) = det
C2′ (0) + 1t Rest2 (t)
C1′ (0) + 1t Rest1 (t)
t
t
det
C1 (0) − x
C1 (0) − C1 (t)C
|
{z
}
|
a(t)
{z
}
b(t)
{z
|
}
OBdA ist Vorzeichen von
c(t) konstant in der nähe
von 0
√ a
, b 7→ √a2b+b2 , c 7→ √a2c+b2
a2 +b 2
Grenzwert von √a2a+b2 , √a2b+b2 und √a2c+b2
Da die Normalisierung a 7→
stetig ist
bzgl. a, b, c, ist der
Wert in t = 0, und damit gleich
gleich dem
x
q
C2′ (0)
−y
C ′ (0)2 +C ′ (0)2
1
2
q
C1′ (0)
=
C ′ (0)2 +C ′ (0)2
1
2
q
1
det
C ′ (0)2 +C ′ (0)2
1
2
C
1 (0)
C1′ (0)
C2 (0)
C2′ (0)
Also
′ istder Richtungsvektor der Grenzwertgeraden (proportional zu)
C1 (0)
, und die Gerade geht durch C (0). Damit ist die Gerade wie in
C2′ (0)
der analytischen Definition.
Winkeltreuesatz
Bsp.
tn
∈
cos(t )
0
sin(t0 )
Tangente
an
Kreis
{ cos(t)
,
sin(t)
[0, 2π]} in t0 ist o die Gerade
sin(t )
0
+ −cos(t
s, wobei s ∈ R .
0)
Def. Seien C (t) und C (t) zwei Kurven, die einander im Punkt P = C (t0 ) = C̄ (t̄0 ) schneiden. Der
Winkel zwischen den Kurven im Schnittpunkt, ist
der Winkel (alpha ∈ [0, π2 ]) zwischen deren Tangenten im Schnittpunkt. Ist der Winkel = 0, so
berühren die Kurven einander
Satz. Seien C (t), C (t) glatte ebene Kurven, die im Punkt P 6= O
einander schneiden. Dann gilt: Der Winkel zwischen C und C̄ im Punkt P
ist gleich dem Winkel zwischen IO,r (C (t)), IO,r (C (t)) im Punkt IO,r (P).
alpha
In Worten: Inversion ist winkeltreu.
Diese Information genügt oft, qualitative Bilder zu machen. Z.B.
x 1
Beweis OBdA ist r = 1 und O = 00 . Dann ist I yx = x 2 +y
2 y , und
C (t)
1
(t)
1
deswegen I CC21 (t)
= C1 (t)2 +C
2 C (t) . Dann ist der Richtungvektor
2 (t)
2
von I (C (t)) gleich
0
1
′
2 (t)C2 (t)
C (t) B C21′ (t) 2 − 2C1 (t) C1 (t)C1′ (t)+C
C
1
d
C1 (t) +C2 (t)
(C1 (t)2 +C2 (t)2 )2
1
B
C=
= C ′ (t)
C1 (t)C1′ (t)+C2′ (t)C2 (t) A
dt
C1 (t)2 +C2 (t)2 C2 (t)
2
−
2C
(t)
2
C1 (t)2 +C2 (t)2
(C1 (t)2 +C2 (t)2 )2
C (t)2 − C (t)2 −2C (t)C (t) C ′ (t) 1 α β C ′ (t)
1
2
1
1
2
1
1
=γ
,
(C1 (t)2 +C2 (t)2 )2 −2C1 (t)C2 (t)
C2′ (t)
C1 (t)2 − C2 (t)2
β −α C2′ (t)
wobei α, β, γ nur von C (t) abhängen.
Also werden wir
für die Kurve !C , s.d. C (t) = C (t) , die Formel
′
α β
1
d
C 1 (t)
mit denselben α, β, γ haben.
dt I (C (t) = γ
β −α C ′2 (t)
α β
1
zu einer orthogonalen Matrix
Wir wissen aber, dass γ
β −α
α β
v eine Verkettung von einer
proportional ist. Also ist v 7→ γ1
β −α
orthogonalen Abbildung und einer Streckung.Dann istder Winkel
α β
v,
zwischen u, v gleich dem Winkel zwischen γ1
β −α
′
α β
1
u, also ist der Winkel zwischen C ′ (t), C (t) gleich dem
γ
β −α
Winkel zwischen (I (C (t)))′ , (I (C (t)))′ .
Diese Information genügt oft, schulgeometrische Aufgaben zu lösen
Aufgabe Der Kreis S berührt
S1 und S2 . Man beweise: Die
folgenden 3 Geraden
1. durch
Berührungspunkte.
2. durch Mittelpunkte von
S1 und S2 .
3. die Gerade, die beide
Kreise berührt
haben einen
Schnittpunkt.
gemeinsamen
HA: Winkel zwischen Kreis
und Gerade fallen in beiden
Schnittpunkten zusammen.
B
A
C
Beweis: ACB ist gleichschenklig, und deswegen ∠CAB = ∠CBA. Da
∠CAO = ∠CBO = π2 , gilt ∠BAO = ∠ABO.
Folgerung Betrachte ein O
B
auf der Geraden und eine InA
version, die A in B und B in A
überführt (d.h. |AO| · |BO| =
O
r 2 ). Dann führt sie den Kreis
in sich selbst über.
Beweis. Die Gerade enthält O und wird deswegen auf sich selbst
abgebildet. Der Kreis wird auf einen Kreis abgebildet (Lemma 19). Da
der Kreis die Punkte A und B enthält, und da A auf B, B auf A
abgebildet wird, wird das Bild des Kreises die Punkte A und B enthalten.
Da Inversion winkeltreu ist, erhält sie Winkel zwischen Bild des Kreises
und der Geraden, also wird der Kreis auf sich selbst abgebildet.
Lösung der Aufgabe Betrachte die Gerade durch
A
Berührungspunkte, und die
B
Gerade durch Mittelpunkte
von S1 und S2 . Sei O deren
O
S
Schnittpunkt.
S
Nehme
p die Inversion mit Zentrum in O, die A in B und B in A überführt
(r = |OA| · |OB|). Nach HA wird Kreis auf sich selbst abgebildet.
Dann wird S1 auf einen Kreis abgebildet, der Kreis in A berührt. Aber da
Gerade auf sich selbst abgebildet wird, und da sie durch Mittelpunkt des
Kreises S1 geht (s.d. Winkel zwischen S1 und Gerade gleich π/2 ist),
muss nach Winkeltreuesatz die Gerade durch Bild des Kreises S1 gehen.
Also ist das Bild von S1 gleich S2 . Ähnlich zeigt man, dass das Bild von
S2 der Kreis S1 ist.
Dann
wird
die
Gerade
durch
O,
die
S
berührt,
1
1
2
O
S2
S1
auf sich selbst abgebildet (Lemma 19)
S2 berühren (Winkeltreuesatz)
Also haben alle 3 Geraden
durch Berührungspunkte,
durch Mittelpunkte von S1 und S2 , die Gerade, die beide Kreise
berührt,
einen gemeinsamen Schnittpunkt O.
Aufgabe Betrachte die geschlossene Kette aus 4 Kreisen: S1 berührt S2 , S2 berührt
S3 , S3 berührt S4 , und S4 berührt S1 . Man
zeige: die Berührungspunkte der Kreise liegen auf einem Kreis.
O
A
C
B
A
Beweis. Betrachte die Inversion mit Zentrum in O. Nach der Inversion werden die
Kreise wie rechts aussehen. Der Kreis durch
OCA wird in eine Gerade durch C und A
überführt. Man zeige: die Gerade enthält B.
A
P
B
alpha
N
alpha
C
B
C
Wir betrachten die gemeinsame Tangente in B. Es gilt: ∠CPB = ∠ANB = alpha.
Nach HA ist ∠BAN = ∠ABN. Da alpha +
∠BAN = ∠ABN = π, ist ∠ABN = π−alpha
.
2
Ähnlich, ist ∠CBP = π−alpha
.
Also
ist
2
∠CBP = ∠ABN,und die Segmente CB und
BA liegen auf einer Geraden.
Kreise, die zum Inversionskreis orthogonal sind
Folgerung A Betrachte einen Kreis, der
zum Kreis mit Zentrum in O und Radius r
orthogonal ist. Dann gilt: die Inversion IO,r
bildet den Kreis auf sich selbst ab.
A
O
B
O
Beweis. Die Tangenten zum Kreis sind
in den Schnittpunkten orthogonal zu den
Tangenten des Inversionskreises, und gehen
deswegen durch O.Der Kreis, dessen Tangenten OA und OB, und die Punkte A und
B8 haben die folgenden Eigenschaften:
I (A) = A, I (B) = B
<
Dann
: BildI (OA) = (OA) BildI (OB) = (OB) .
Kreis berührt OA in A und OB in B
berührt das Bild des Kreises OA in A und
OB in B, und deswegen fällt es mit dem
Kreis zusammen.
Sekantensatz
Folgerung B
(Sekantensatz)
|OB| · |OC | = |OA|2
A
Beweis Betrachte den
Kreis mit Mittelpunkt O
und Radius r = |OA|.
O
B
C
A
O
B
C
Er ist orthogonal zum Kreis. Dann
bildet IO,r den Kreis auf sich ab. Da
IO,r die Gerade erhält, ist IO,r (B) =
C . Dann ist |OB| · |OC | = r 2 =
|OA|2 .
Folgerung C Jeder Kreis, der durch A und IO,r (A) geht, ist zum
Kreis um O vom Radius r orthogonal.
Warum heißt Inversion auch Kreisspiegelung?
Folgerung D Alle Kreise, die zum
Kreis um O vom Radius r orthogonal
sindund Punkt A enthalten (angenommen, A liegt nicht auf dem Kreis
um O vom Radius r ), haben genau
2 gemeinsame Schnittpunkte (z.B. A
und B). Ferner gilt: IO,r (A) = B und
IO,r (B) = A.
A
B
A
O’
B
O
Bemerkung Betrachte die Spiegelung S
bzgl. einer Geraden G . Dann sind alle Kreise,
die durch A 6∈ G und B := S(A) gehen, zur
Geraden orthogonal.
Bemerkung Inversion von O ′ vom Bild
oben gibt das Bild links.
Frage Was macht eine Inversion mit dem Abstand zwischen Punkten?
Lemma 21 Sei A, B ∈ R2 \ O.Dann gilt:
r2
|IO,r (A)IO,r (B)| = |AB| |OA|·|OB|
.
Beweis. Die Dreiecke OAB und O I (A) I (B) sind
ähnlich, weil Winkel O gleich ist, und
A
|OA|
|OI (B)|
|OB| = |OI (A)| , weil |OA| · |OI (A)| = |OA| ·
I(A)
|OI (B)| = r 2 . Dann
O
B
I(B)
|I (A)I (B)| = |AB| ·
|OB|·|OI (B)|=r 2
|AB|
|I (A)I (B)|
|OI (B)|
|OA|
=
|OA|
|OI (B)| .
Dann
2
r
,
=
|AB| · |OB|·|OA|
Def. Doppelverhältnis (A, B; C , D) ist die Zahl
|AC |
|AD|
|AC |·|BD|
(∗)
|BC | : |BD| = |BC |·|AD| .
Lemma 22 (A, B; C , D) = (I (A), I (B); I (C ), I (D)) (falls es definiert ist)
(In Worten: Inversion erhält das Doppelverhältnis.)
Beweis. Nach Lemma 21 ist
|IO,r (A)IO,r (C )| = |AC |
|IO,r (A)IO,r (D)| = |AD|
r2
|OA| · |OC |
r
,
|IO,r (B)IO,r (C )| = |BC |
2
|OA| · |OD|
,
Einsetzen in (∗) ergibt die Aussage.
|IO,r (B)IO,r (D)| = |BD|
r2
|OB| · |OC |
r2
|OB| · |OD|
.
Satz von Ptolemäus
C
Satz von Ptolemäus. Ecken eines Vierecks
ABCD liegen auf einem Kreis. Dann gilt:
|AC | · |BD| = |AB| · |CD| + |AD| · |BC |.
B
D
A
|
Beweis.Z.z.: 1 = |AB|·|CD|+|AD|·|BC
. Aber
|AC |·|BD|
|AB|·|CD|+|AD|·|BC |
|AB|·|CD|
|AD|·|BC |
=
+
= (A, D; B, C ) + (D, C ; A, B) und das
|AC |·|BD|
|AC |·|BD|
|AC |·|BD|
ändert sich nicht nach einer Inversion (Lemma 22). Nach geeigneter
Inversion (s. Bild) wird das Bild wie folgt verändert:
C
B
Nach Inversion I
I(D)
I(B)
a
D
A
I(A)
c
b
I(C)
O
Man bezeichne |I (A)I (B)| = a, |I (B)I (C )| = b, |I (C )I (D)| = c. Dann
ist |I (A)I (C )| = a + b, |I (B)I (D)| = b + c, |I (A)I (D)| = a + b + c. Es
folgt
ac+ab+b 2 +bc
|I (A)I (B)|·|I (C )I (D)|+|I (A)I (D)|·|I (B)I (C )|
= ac+(a+b+c)b
|I (A)I (C )|·|I (B)I (D)|
(a+b)(b+c) = ab+b 2 +ac+bc = 1,
Kreistreu Transformationen.
2
2
Def. Wir sagen, dass eine bijektive Abbildung F : R → R ist
Kreistreu, wenn für jeden verallg. Kreis K gilt: das Bild F (K ) ist auch ein
verallg. Kreis.
Konvention. Wir werden die Isometrien und Ähnlichkeitstransformations
2
2
als Abbildungen von R → R wie folgt verstehen: für jede Isometrie oder
Ähnlichkeitstransformation F wir erweitern den Definitionsbereich bis
2
R = R2 ∪ {∞}:
wir setzen F (∞) = ∞.
Jede Kreistreu Transformation ist eine
Ähnlichkeitstransformation, oder die Verkettung einer
Inversion und einer Isometrie.
2
2
Def. Wir sagen, dass eine bijektive Abbildung F : R → R ist Kreistreu, wenn für jeden verallg.
Kreis K gilt: das bild F (K ) ist auch ein verallg. Kreis.Konvention. Wir werden die Isometrien und
2
2
Ähnlichkeitstransformations als Abbildungen von R → R wie folgt verstehen: für jede Isometrie oder
2
Ähnlichkeitstransformation F wir erweitern den Definitionsbereich bis R = R2 ∪ {∞}:
wir setzen F (∞) = ∞.
Bsp. Jede Isometrie und jede Ähnlichkeittransformation ist kreistreu: sie
2
sind bijektiv auf R2 und deswegen auch auf R . Sie bilden Kreise −→
Kreise, Geraden −→ Geraden, also veralg. Kreise auf veralg Kreise.
Bsp. Inversion ist auch kreistreu (Lemma 19).
Bsp. Verkettungen von Ähnlichkeittransformationen und Isometrien sind
kreistreu: sie sind bijektiv als Verkettungen von bijektiven Abbildungen.
Offensichtlich, wenn F1 und F2 kreistreu sind, ist auch F1 ◦ F2 kreistreu: in
der Tat, für einen veralg. Kreis K haben wir dass F1 ◦ F2 (K ) = F1 (F2 (K ))
ein veralg. Kreis ist, weil F2 (K ) ein veralg. Kreis ist.
2
2
Satz. Eine kreistreu Abbildung F : R → R ist eine
Ähnlichkeittransformation oder die Verkettung von einer Inversion und
einer Isometrie.
2
2
Beweis. Sei F : R → R eine kreistreu Abbildung.
Fall 1. F (∞) = ∞. Dann gilt: Bild von jede Gerade ist Gerade. Also, die
2
Abbildung F beschränkt auf R2 = R \ {∞} ist dann eine geradentreu
Abbildung, also eine Kollinearität (siehe
http://users.minet.uni-jena.de/∼matveev/Lehre/LA10/vorlesung9.pdf)
Dann ist die eine bijektive affine Abbildung nach Fundamentalsatz der
reellen affinen Geometrie, siehe Satz 17 aus
http://users.minet.uni-jena.de/∼matveev/Lehre/LA10/vorlesung9.pdf,
also hat das Aussehen F (x) = Ax + b. Wenn A nicht zu einer
Orthogonalmatrix proportional ist, ist Bild des Einheitkreises kein Kreis.
Also, F (beschränkt auf R2 ) hat das Aussehen F (x) = k · Ox + b für eine
Orhtogonalmatrix O; dann ist sie eine Ähnlichkeitsabbildung.
Fall 2. F (∞) = Z 6= ∞. Wir betrachten dann eine Inversion IZ ,r mit
Zentrum Z und Radius r . Radius r können wir zuerst beliebig wählen,
später werden wir aber den Radius r eichen.
Die Abbildung IZ ,r ◦ F ist eine kreistreu bijektive Abbildung und erfüllt
die Bedingung F (∞) = ∞. Dann ist sie IZ ,r ◦ F eine
Ähnlichkeitsabbildung, wie wir es oben in Fall 1 bewiesen haben, also ist
IZ ,r ◦ F (x) = k · Ox + b.
Man merke jetzt, dass die zwei Inversionen mit einem Zentrum und
verschieden Radien IZ ,r und IZ ,R unterscheiden sich durch eine zentrische
Streckung mit Koeffizient R 2 /r 2 : z.B. direkt ausrechnen: die Formel für
IZ ,r und IZ ,R sind
r 2 −→
R 2 −→
ZX , IZ ,R (X ) = Z +
ZX .
2
|XZ |
|XZ |2
IZ ,r (X ) = Z +
Die Formel für die Streckung mit dem Koeffizient k und Zentrum Z ist
SZ ,k (X ) = Z + k(X − Z ).
2
2
Dann gilt für k = R /r :
SZ ,k
r 2 −→
◦ IZ ,r (X ) = Z + k Z +
ZX − Z
|XZ |2
=Z+
R 2 −→
ZX = IZ ,R .
|XZ |2
Dann aus IZ ,r ◦ F (x) = k · Ox + b bekommen wir IZ ,R ◦ F (x) = Ox + k1 b,
wobei R so gewählt ist dass k = R 2 /r 2 . Wir wenden die Inversion IZ ,R
auf beiden Seiten der letzten Gleichung und bekommen
F (x) = IZ ,R (Ox + k1 b),
Verkettung von Inversionen
Folgerung. Verkettung von Isometrien und Ähnlichkeitabbildungen (in
beliebiger Reihenfolge) ist eine Ähnlichkeitsabbildung oder eine
Verkettung von Inversion und Isometrie.
Beweis. Die Verkettung von Isometries und Ähnlichkeitabbildungen ist
eine kreistreu Abbildung und daher eine Ähnlichkeittransformation oder
die Verkettung von einer Inversion und einer Isometrie.