Infrarotdivergenzen in der QED
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HAUPTSEMINAR SS 2012 IR-Divergenzen in der QED Lieselotte Obst Betreuer: Prof. Dr. Dominik Stöckinger Dresden, 2.5.2012 Inhalt Einleitung Vorgehen Reelle weiche Photonen Virtuelle weiche Photonen IR-divergente Faktoren Auslöschung der IR-Divergenzen Zusammenfassung TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 2 von 19 01 Einleitung 1937-1961 Bloch, Nordsieck, Lomon (semiklassisch); Jauch, Rohrlich, Yennie, Frautschi, Suura (quantenmechanisch) • Endzustand eines Experiments mit geladenen Teilchen nicht eindeutig bestimmbar ⇒ Detektorauflösung ∆E > 0 TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 3 von 19 01 Einleitung 1937-1961 Bloch, Nordsieck, Lomon (semiklassisch); Jauch, Rohrlich, Yennie, Frautschi, Suura (quantenmechanisch) • Endzustand eines Experiments mit geladenen Teilchen nicht eindeutig bestimmbar ⇒ Detektorauflösung ∆E > 0 • WS, dass nur endliche viele Photonen ”entwischen“ ist = 0 TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 3 von 19 01 Einleitung 1937-1961 Bloch, Nordsieck, Lomon (semiklassisch); Jauch, Rohrlich, Yennie, Frautschi, Suura (quantenmechanisch) • Endzustand eines Experiments mit geladenen Teilchen nicht eindeutig bestimmbar ⇒ Detektorauflösung ∆E > 0 • WS, dass nur endliche viele Photonen ”entwischen“ ist = 0 • Aber: σexp ≈ σtheo , wenn alle Strahlungskorrekturen ignoriert werden TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 3 von 19 01 Einleitung 1937-1961 Bloch, Nordsieck, Lomon (semiklassisch); Jauch, Rohrlich, Yennie, Frautschi, Suura (quantenmechanisch) • Endzustand eines Experiments mit geladenen Teilchen nicht eindeutig bestimmbar ⇒ Detektorauflösung ∆E > 0 • WS, dass nur endliche viele Photonen ”entwischen“ ist = 0 • Aber: σexp ≈ σtheo , wenn alle Strahlungskorrekturen ignoriert werden • Unterscheidung zwischen ”harten“ und ”weichen“ Photonen mit e als Separationsenergie TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 3 von 19 01 Einleitung 1937-1961 Bloch, Nordsieck, Lomon (semiklassisch); Jauch, Rohrlich, Yennie, Frautschi, Suura (quantenmechanisch) • Endzustand eines Experiments mit geladenen Teilchen nicht eindeutig bestimmbar ⇒ Detektorauflösung ∆E > 0 • WS, dass nur endliche viele Photonen ”entwischen“ ist = 0 • Aber: σexp ≈ σtheo , wenn alle Strahlungskorrekturen ignoriert werden • Unterscheidung zwischen ”harten“ und ”weichen“ Photonen mit e als Separationsenergie • Addition der virtuellen und reellen Anteile → Auslöschung der IR-Divergenzen TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 3 von 19 01 Einleitung Anders formuliert: Masselosigkeit des Photons + ∞ Reichweite des Coulombpotentials ⇒ @ asymptotische Zustände TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 4 von 19 01 Einleitung Anders formuliert: Masselosigkeit des Photons + ∞ Reichweite des Coulombpotentials ⇒ @ asymptotische Zustände ⇒ LSZ-Asymptotenbedingung: Φ(x) −→ Z1/2 Φin (x) gilt nicht t→±∞ TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 4 von 19 01 Einleitung Anders formuliert: Masselosigkeit des Photons + ∞ Reichweite des Coulombpotentials ⇒ @ asymptotische Zustände ⇒ LSZ-Asymptotenbedingung: Φ(x) −→ Z1/2 Φin (x) gilt nicht t→±∞ ⇒ S-Matrixelement Sfi =in hf | S |iiin wobei + |qiin = ain (q) |0iin = −i Z d3 x p exp−ikx ∂ˆ 0 Φin (x) |0iin (2π )3 ∗ 2ωk kann nicht formuliert werden TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 4 von 19 01 Einleitung Anders formuliert: Masselosigkeit des Photons + ∞ Reichweite des Coulombpotentials ⇒ @ asymptotische Zustände ⇒ LSZ-Asymptotenbedingung: Φ(x) −→ Z1/2 Φin (x) gilt nicht t→±∞ ⇒ S-Matrixelement Sfi =in hf | S |iiin wobei + |qiin = ain (q) |0iin = −i Z d3 x p exp−ikx ∂ˆ 0 Φin (x) |0iin (2π )3 ∗ 2ωk kann nicht formuliert werden ⇒ Übergangsamplitude des Prozesses α → β Sβn,α =out hp1 , ..., pn , k1 , ..., kn | |pN+1 , ..., pM iin ist kein S-Matrixelement TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 4 von 19 02 Vorgehen Zwei Möglichkeiten: 1. Bestimmen der tatsächlichen asymptotischen Zustände p 2. Regularisierung: endliche Photonmasse λ > 0 ⇒ k0 = ~k2 + λ2 ⇒ Berechnen dσ (α → β + e.m. Strahlung mit Impuls k, kein Photon hat Energie > e) ∞ dσ(α → β, k, e) = lim ∑ dσn (λ, k, e) λ →0 n=0 → dσn = aus der reg. Theorie berechneten WQ mit n reellen γ mit Gesamtimpuls k ⇒ IR-divergent und phys. bedeutungslos ∞ → ∑ aber endlich n=0 TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 5 von 19 02 Vorgehen Extrahieren der IR-Faktoren Wir möchten einen Ausdruck finden: dσ = F · dσ̂ wobei F ein IR-divergenter Faktor und dσ̂ IR-endlich ist. TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 6 von 19 03 Reelle weiche Photonen Wir interessieren uns für den Lange-Wellen-Grenzfall ⇒ Prozess ist dominiert vom Verhalten des Streuteilchens in großen Raumdimensionen ⇒ das langwellige Photon ”sieht“ den genauen WW-Prozess nicht ⇒ dessen Beschreibung ist für unsere Berechnung nicht wichtig (schraffiertes Gebiet) [1] : TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 7 von 19 03 Reelle weiche Photonen Möglichkeiten, ein reelles Photon einzufügen [1] : TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 8 von 19 03 Reelle weiche Photonen Feynman-Amplitude und S-Matrixelement M0 = m0 , M1 = m0 αB̃ + m1 , (αB̃)2 + m1 αB̃ + m2 , 2 n (αB̃)r Mn = ∑ mn−r r! r=0 M2 = m0 M(p, p0 ) = ∞ ∑ Mn (p, p0 ) n=0 TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 9 von 19 03 Reelle weiche Photonen Feynman-Amplitude und S-Matrixelement M0 = m0 , M1 = m0 αB̃ + m1 , (αB̃)2 + m1 αB̃ + m2 , 2 n (αB̃)r Mn = ∑ mn−r r! r=0 M2 = m0 M(p, p0 ) = TU Dresden, 2.5.2012 ∞ ∞ n=0 n=0 ∑ Mn (p, p0 ) = exp(αB̃) ∑ mn IR-Divergenzen in der QED Folie 9 von 19 03 Reelle weiche Photonen Feynman-Amplitude und S-Matrixelement M0 = m0 , M1 = m0 αB̃ + m1 , (αB̃)2 + m1 αB̃ + m2 , 2 n (αB̃)r Mn = ∑ mn−r r! r=0 M2 = m0 M(p, p0 ) = ∞ ∞ n=0 n=0 ∑ Mn (p, p0 ) = exp(αB̃) ∑ mn " 1/2 # m 1/2 1 Sfi = δfi + (2π )4 δ(4) (p0 − p) ∏ M(p, p0 ) ∏ 2Vω ext. VE ext. TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 9 von 19 04 Virtuelle weiche Photonen Möglichkeiten, ein virtuelles Photon einzufügen [1] : TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 10 von 19 04 Virtuelle weiche Photonen Beweis von Mn n Mn = ∑ mn − r r=0 Ansatz: Mn = TU Dresden, 2.5.2012 1 n! Z ... Z n (αB)r r! d4 k ∏ k2 − λi 2 ρn (k1 , ..., kn ) i=1 i IR-Divergenzen in der QED Folie 11 von 19 04 Virtuelle weiche Photonen Beweis von Mn (1) ρn (k1 , ..., kn ) = S(kn )ρn−1 (k1 , ..., kn−1 ) + β n (k1, ..., kn−1 ; kn ) Iteration: ρn (k1 , ..., kn ) =S(kn )S(kn−1 )ρn−2 (k1 , ..., kn−2 ) (1) + S(kn ) β n−1 (k1 , ..., kn−2 ; kn−1 ) (1) + S(kn−1 ) β n−1 (k1 , ..., kn−2 ; kn ) (2) + β n (k1 , ..., kn−2 ; kn−1 , kn ) n ρn (k1 , ..., kn ) = ∑∑ perm r=0 TU Dresden, 2.5.2012 1 r!(n − r)! r ∏ S(ki ) βn−r (kr+1 , ..., kn ) i=1 IR-Divergenzen in der QED Folie 12 von 19 04 Virtuelle weiche Photonen Beweis von Mn n Mn = ∑ r=0 1 r!(n − r)! Z d4 kS(k) k2 − λ 2 r Z n−r ∏ i=1 d4 ki β n−r (k1 , ..., kn−r ) ki2 (1) mit d4 kS(k) k2 − λ 2 Z r 4 1 d ki mr (p, p0 (e)) =: β r (k1 , ..., kr ) 2 r! ∏ i=1 ki αB(p, p0 (e)) =: Z wird (1) zu n Mn = ∑ mn − r r=0 TU Dresden, 2.5.2012 (αB)r r! IR-Divergenzen in der QED Folie 13 von 19 05 IR-divergente Faktoren 2αB(p, p0 (e) = 2αB̃ = −iα (2π )3 α (2π )2 Ze λ Ze k0 d4 k 2 k − λ2 d3 k k0 ∑ Θ i Qi Θ j Qj i<j ∑ Θi Qi Θj Qj i<j 2pj Θj + k 2pi Θi − k + 2 k2 − 2kpi Θi k + 2kpj Θj pj pi − pi k pj k !2 2 → B und B̃ unabhängig vom konkreten Prozess, den Spins und inneren Eigenschaften der äußeren Teilchen → B̃ wird 0 für p → p0 ⇒ klassisch: unbeschleunigte Ladung emittiert keine Strahlung TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 14 von 19 05 IR-divergente Faktoren Mit B und B̃ kann man den Wirkungsquerschnitt ausdrücken: dσ dσ̂ = exp lim 2α(B + B̃) de de λ →0 TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 15 von 19 06 Auslöschung der IR-Divergenzen αB = ∑ αBij (analog für B̃) i<j Die IR-Divergenzen lassen sich durch Selbstenergien und Vertexkorrekturen darstellen. Einige Berechnungen führen zu den Ergebnissen: 1 1+β α Θi Qi Θj Qj lnλ2 2 − ln 4π β 1−β α 4e2 1 1+β αB̃ij = ˜ Θi Qi Θj Qj ln 2 2 − ln 4π β 1−β λ αBij = ˜ r Mit der Relativgeschwindigkeit der Teilchen i und j: β = TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED 1− m m 2 i j pi pj Folie 16 von 19 06 Auslöschung der IR-Divergenzen 1+ β Mit der Abkürzung I := ∑ Θi Qi Θj Qj 2 − β1 ln 1− β i<j wird der IR-divergente Faktor in dσ de zu αI (lnλ2 + ln(4e2 /λ2 )) · (endliche Terme) 2π αI 2π = 4e2 · (endliche Terme) exp 2α(B + B̃) = exp Wahrscheinlichkeit für reinen Prozess α → β: dσ(α → β, q, e = 0) = 0 ⇒ für nicht trivialen Prozess (β 6= 0) ist I > 0 und der Prozess kann nur unter zusätzlicher Energieabstrahlung stattfinden. TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 17 von 19 07 Zusammenfassung • QED: Naive Berechnung von Korrekturen (z.B. weiche Bremsstrahlung) führt zu IR-divergenten Integralen. • Mögliche Lösung: Regularisierung → Einführung einer endlichen Photonmasse λ. • Zusammennahme von virtuellen und rellen Korrekturen führt zur Auslöschung der Infrarotdivergenzen. • Die Ursache der IR-Divergenzen ist also die künstliche Aufteilung in virtuelle und relle Korrekturen. TU Dresden, 2.5.2012 IR-Divergenzen in der QED Folie 18 von 19 Literatur D. R. Yennie, S. C. Frautschi, H. Suura, ”The Infrared Divergence Phenomena and High-Energy Processes“, Annals of Physics: 13, 1961. D. Stöckinger, ”Einschleifenbeiträge zu schwachen Diplmomenten und Quark-/Squarkzerfällen im MSSM“, Karlsruhe, 1998. S. Weinberg, ”The Quantum Theory of Fields“, New York, 1995. F. Mandl, G. Shaw, ”Quantum Field Theory“, Manchester, 1984. M. Kaku, ”Quantum Field Theory“, New York, 1993. 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