Musterlösung Blatt 4

8. September 2016
Elektrizitätslehre I
Martin Loeser
Musterlösung Blatt 4
1
Widerstandsdimensionierung
An einem Vorschaltwiderstand soll bei einem vorgegebenen Strom I = 6 A ein Spannungsabfall U = 1.5 V auftreten. Der Widerstand wird aus Konstantandraht hergestellt, wobei gilt ρ = 0.5 Ω·mm2/m. Die zulässige Stromdichte im Draht beträgt
j = 3 A/mm2 . Berechnen Sie allgemein und für die gegebenen Zahlenwerte den Mindestdurchmesser d des Drahtes und die erforderliche Drahtlänge L.
Widerstand:
I = 6 A; U = 1.5 V ⇒ R =
U
= 0.25 Ω
I
Querschnittsfläche:
I=j A⇒A=
I
= 2 mm2
j
Drahtlänge:
R=ρ
2
L
AR
⇒L=
= 1m
A
ρ
Kupferleitung
Ein Verbraucher wird über eine 100 m lange zweiadrige Kupferleitung mit dem spezifischen Widerstand ρ = 17.8 mΩ·mm2/m an das Netz mit dem Effektivwert der Spannung UN = 230 V angeschlossen.
(a) Welche Stromdichte j darf maximal auftreten, wenn als Spannungsabfall über
der Leitung 2,5% der Netzspannung zugelassen sind?
UL = 0.025 UN = 5.75 V
UL = RL IL = ρ
j=
L
j A=ρLj
A
UL
= 3.23 A/mm2
ρL
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2
(b) Wie gross muss der Drahtdurchmesser d mindestens gewählt werden, wenn in
der Leitung ein Maximalstrom von 10 A fliesst?
I=j A=j
2
d
2
s
π ⇒d=2
I
= 1.99 mm
πj
(c) Wie gross ist der Leitungswiderstand RL ?
R=
UL
= 0.58 Ω
I
(d) Um wieviel Prozent müsste der Leitungsdurchmesser geändert werden, wenn der
Strom um 4% erhöht wird, die Stromdichte aber konstant bleiben soll?
Damit die Stromdichte konstant bleibt, muss sich die Querschnittsfläche auch
um 4%, also um den Faktor 1.04 vergrössern. Da der Durchmesser quadratisch
√
in die Fläche eingeht, muss sie sich um den Faktor 1.04 ≈ 1.02 vergrössern.
Das entspricht einer Steigerung von 2%.
3
Transformator
Die Kupferwicklung eines Transformators hat bei 15 ◦ C einen Widerstand von 18.00 Ω.
Im Dauerbetrieb steigt der Widerstand auf 23.5 Ω. Welche Temperatur ϑW hat die
Wicklung angenommen? Es gelte α20 = 3.9 × 10−3 K−1 .
Für ϑ = 15 ◦ C gilt ∆T = −5 K, und das lineare Temperaturgesetz ergibt
R15 = R20 (1 + α20 ∆T ) ⇒ R20 =
R15
= 18.36 Ω
1 + α20 ∆T
Im Dauerbetrieb gilt dann R(T ) = 23.5 Ω (bei unbekanntem ∆T )
R(T ) = R20 (1 + α20 ∆T ) = 23.5 Ω ⇒ ∆T =
R(T )
R20
−1
α20
= 72 K.
Für die Betriebstemperatur gilt dann
T = 293 K + ∆T = 365 K ⇒ ϑ = 92 ◦ C
4
Magnetspule
Eine Magnetspule hat bei Raumtemperatur (20 ◦ C) einen Widerstand von 50.0 Ω.
Sie erwärmt sich auf 70 ◦ C. Wie gross ist der Warmwiderstand R70 , wenn die Spule
mit Aluminiumdraht gewickelt ist? Für Aluminium gilt α20 = 3.77 × 10−3 K−1 .
Es gilt ∆T = 50 K, und damit
R(T ) = R20 (1 + α20 ∆T ) = 59.4 Ω.
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5
3
Generator
Ein Generator hat eine Leerlaufspannung ULL = 24 V und einen Kurzschlussstrom
IK = 3 A. Die zulässige innere Verlustleistung beträgt Pm = 2 W.
(a) Wie gross ist der Innenwiderstand Ri des Generators?
Ri =
ULL
= 8Ω
IK
(b) Wie gross darf der Strom I werden, um den Generator nicht zu überlasten?
s
Pmax = I 2 R1 ⇒ I =
Pmax
= 0.5 A
Ri
Welche Spannung fällt dabei am Innenwiderstand ab?
Ui = I Ri = 4 V
(c) Wie gross muss der Lastwiderstand Rs mindestens sein, damit der zulässige
Strom nicht überschritten wird?
I=
U
U
= 48 Ω ⇒ Rs = 40 Ω
⇒ Rs + Ri =
Rs + Ri
I
Wie gross ist die in der Last umgesetzte Leistung?
Ps = I 2 Rs = 10 W
Wie gross ist der Wirkungsgrad dieses Aufbaus?
Ptot = Pi + Ps = 12 W
η=
Ps
= 83.3 %
Ptot