Repetition Ekektrotechnik

Repetition Elektrotechnik
für Elektroniker im
4. Lehrjahr
von
Alexander Wenk
 2005, Alexander Wenk, 5079 Zeihen
Inhaltsverzeichnis
Temperaturabhängigkeit von Widerständen ____________________________________ 1
Berechnung der Widerstandsänderung __________________________________________ 1
Beispiele zum Temperatureinfluss auf Widerstände _______________________________ 1
Berechnung von α für eine andere Bezugstemperatur ______________________________ 2
Zusatzaufgabe zur Temperaturabhängigkeit von Widerständen._____________________ 3
Die Brückenschaltung ________________________________________________________ 4
Die reale Spannungsquelle _________________________________________________ 5
Ersatzspannungsquelle für den Spannungsteiler ________________________________ 7
Laborversuch Brückenschaltung _______________________________________________ 9
Der Superpositions- oder Überlagerungssatz ____________________________________ 10
Temperaturabhängigkeit von Widerständen
Berechnung der Widerstandsänderung
Bei Leitermaterialien mit linearem Temperaturverhalten lässt sich die
Widerstandsänderung mit dem Temperaturkoeffizeinten α berechnen:
∆R = R20⋅α20⋅∆T
∆T = T - T20 = T - 20 °C
∆R: Widerstandsänderung
R20: Widerstand bei 20°C
α20:⋅Temperaturkoeffizient bei 20°C
[1/K]
∆T: Temperaturänderung (hier in
Bezug auf 20 °C)
T: Aktuelle Temperatur vom Leiter
R: Widerstand bei der Temperatur T
Häufig interessiert uns nicht die
Widerstandsänderung, sondern der neue
Widerstand bei einer bestimmten Temperatur. Es ist
R = R20 + ∆R = R20 + R20⋅α20⋅∆T
R = R20⋅(1 + α20⋅∆T)
Merke: α20 bezieht sich stets auf R20. Ist der Widerstand des Leiters bei einer
anderen Temperatur wie 20 °C gemessen, müssen wir R20 durch Umstellen der
Formel berechnen, oder wir müssen den Temperaturkoeffizienten α
umrechnen.
Einige Temperaturkoeffizenten (bei 20 °C) findest Du in dieser Liste:
Material
α20 [1/K] Material
α20 [1/K]
Aluminium
0.0040 Kohle
-0.00045
Blei
0.0042 Kupfer
0.0039
Eisen
0.00657 Manganin
0.00001
Konstantan
0.00004 Wolfram
0.0051
Der Effekt der Temperaturabhängigkeit von Widerständen ist in ElektronikSchaltungen meist unerwünscht. Wir können uns dieses Phänomen aber in
Form von Widerstands-Temperaturmessgeräten zu Nutze machen.
Beispiele zum Temperatureinfluss auf Widerstände
1. Eine Spule hat bei 20 °C einen Widerstand von 50 Ω. Wie gross ist der
Widerstand bei der Betriebstemperatur 80 °C?
R80 = 61.7 Ω
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2. Eine Motorwicklung hat im kalten Zustand (10 °C) einen Widerstand von
3.45 Ω, bei Betriebstemperatur 4.55 Ω. Wie hoch ist die Betriebstemperatur
der Kupferwicklung?
R20 = 3.59 Ω
∆T = 68.6 K
TWarm = 88.6 °C
3. Eine Kupferspule hat bei 80 °C den Widerstand 130 Ω. Wie gross ist der
Kaltwiderstand?
R20 = 105.4 Ω
Weitere Übungen:
• Für Automatiker Europa-Rechenbuch S. 47/48 Nr. 1, 3a, 6, 8, 10, 11
• Für Elektroniker Westermann S. 48 Nr. 12 -14, 17, 18, 22
Berechnung von α für eine andere Bezugstemperatur
Es gibt Aufgabenstellungen, wo der Widerstand R20 nicht bekannt ist. In
diesem Fall gibt es zur Lösung zwei Möglichkeiten:
• Wir berechnen aus den gegebenen Daten R20, um anschliessend die
gesuchten Grössen zu finden.
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• Wir rechnen den Temperaturkoeffizienten α auf die neue
Bezugstemperatur um.
∆R = α 20 ⋅ R20 ⋅ ∆T = α x ⋅ Rx ⋅ ∆T ⇒ α x =
R20 =
αx =
Rx
1 + α 20 ⋅ ∆T
=
α 20 ⋅ R20
Rx
α 20 ⋅ Rx
Rx
⇒ αx =
1 + α 20 ⋅ (Tx − 20°C )
Rx (1 + α 20 ⋅ (Tx − 20°C ))
α 20
1 + α 20 ⋅ (Tx − 20°C )
=
1
1
α 20
+ Tx − 20°C
Zusatzaufgabe zur Temperaturabhängigkeit von
Widerständen.
Als Abgastemperatursensor wird ein Widerstandswickel aus Eisen verwendet
(α20 = 0.0061 K-1 ). Dieser Widerstand wurde so konzipiert, dass er bei 100 °C
ein Widerstand von R100 = 100 Ω besitzt.
a) Wie gross ist sein Widerstand R20 bei 20 °C?
b) Wie gross ist α100 wenn wir direkt von R100 aus die Widerstände für andere
Temperaturen berechnen möchten.
c) Kontrolliere Dein Ergebnis, indem Du mit dem Ergebnis aus b) den
Widerstand bei 20 °C berechnest.
d) Wie gross ist der Widerstand bei einer Temperatur von 250 °C (Annahme:
die Widerstandsänderung verhalte sich bis ca. 350 °C linear zur
Temperaturänderung)
e) Wie gross ist die Temperatur des Drahtes, wenn dieser einen Widerstand
von 150 Ω besitzt? (Rechnen nach Arbeitsblatt und mit unserer auf 100 °C
bezogene Formel.)
a) R20 = 67.2 Ω
b) α100 = 4.099⋅10-3 K-1
c) R20 = 67.2 Ω
d) R250 = 161.5 Ω
e) TWarm = 222 °C
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Die Brückenschaltung
R3= 15k
U5
R4= 2.7k
R2= 4.7k
UB 10V
R1= 10k
+
Die Brückenschaltung besteht im Prinzip aus zwei parallel geschalteten
Spannungsteilern. Uns interessiert nun die Spannung zwischen den beiden
Spannungsteilern.
Die unbelastete Brücke kann einfach berechnet werden:
Ist die Spannung U5 = 0 V, sprechen wir von einer abgeglichenen Brücke. Das
Verhältnis der Widerstände R1/R2 entspricht dann genau dem Verhältnis
R3/R4. Abgeglichene Brücke: R1/R2 = R3/R4
Dieser Spezialfall wird messtechnisch verwendet, um Widerstände genau
auszumessen. Die eine Seite ist dann ein Präzisions-Potentiometer, auf der
anderen Seite haben wir einen Referenzwiderstand in Serie mit dem
unbekannten Widerstand. Zwischen den beiden Spannungsteiler befindet sich
ein Galvanometer, d.h. ein sehr empfindlicher Spannungsmesser. Mit dem
Potentiometer wird nun solange abgeglichen, bis das Galvanometer 0 anzeigt.
Diese Messart hat den Vorteil, dass das Ergebnis nicht von der
Betriebsspannung der Brücke abhängt. Das Messresultat beinhaltet also nur
den Fehler der anderen beteiligten Widerstände.
Wir haben bis jetzt von der unbelasteten Brücke gesprochen. Schwieriger wird
es, wenn wir in die nicht abgeglichene Brücke noch einen Widerstand R5
einsetzen. Wie gross wird die Brückenspannung U5 in diesem Fall?
Übungen Westermann S. 97 Nr. 6, 8, 9, 11, 12
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Seite 4
Die reale Spannungsquelle
Eine ideale Spannungsquelle liefert unabhängig von der Belastung immer
dieselbe Spannung. Dieser Idealfall ist aber nicht erreichbar.
Wie verhält sich die Klemmenspannung einer realen Spannungsquelle in
Bezug auf den Strom, den wir von der Quelle beziehen?
Probieren wir es doch einfach einmal aus! Wir messen dazu Spannung und
Strom an einer 1.5 V Batterie bei verschiedenen Belastungen, und erstellen
dazu eine Messtabelle und ein Diagramm.
Messtabelle:
Schaltung:
I
+
+
V
RL
UB
A
U
U
[V]
I
[mA]
1.51
1.41
1.33
1.00
0
13.9
27.4
86
U [V]
Kennlinie der Batterie
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
50
100
150
200
250
300
I [mA]
Unsere Erkenntnis aus der Messung:
Je grösser der bezogene Laststrom aus der Quelle,
desto kleiner ist die Klemmenspannung.
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Um diese Tatsache schaltungs- und rechnungstechnisch erfassen zu können,
bedienen wir uns des folgenden Schaltbildes:
I
+
Ri = 10
Uo = 10V
U
Die Konstanten bedeuten
U0
Leerlaufspannung
Ri
Innenwiderstand der Quelle
U
Klemmenspannung
I
Laststrom
Die Klemmenspannung können wir berechnen, wenn die Leerlaufspannung,
der Innenwiderstand und der Laststrom bekannt sind. Sie ist
U = U0-URi
U = U0 - I⋅Ri
URi = I ⋅Ri
Ri = ∆U/∆I
Beispiel: Berechne die Ausgangsspannung U in der oben dargestellten
Schaltung bei einem Strom von I = 200 mA.
U = U0- I⋅Ri = 10 V – 10 Ω⋅0.2 A = 8 V
Übungen: Die Übungen sind nach Schwierigkeitsgrad geordnet. Falls
Probleme auftreten, findet Ihr auf dem Lehrerpult noch ein Blatt mit weiteren
Hilfestellungen und Informationen.
• Einfache Übungen:
o Westermann S. 72 Nr. 2, 3, 5, 6,
• mittelschwere Übungen
o Westermann S. 72/73 Nr. 7, 9
o Auswertung unserer Messung: Wie gross sind die
Leerlaufspannung und der Innenwiderstand der von uns
ausgemessenen Quelle? Und wie gross wäre der
Kurzschlussstrom?
• schwere Übungen
o Westermann S. 73/74 Nr. 10, 12, 16
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Ersatzspannungsquelle für den Spannungsteiler
I
U+
Ri =
I
+
R2 = 1k
UB 10V
R1 = 1k
+
Wir haben kürzlich die reale Spannungsquelle betrachtet und dabei den
Innenwiderstand einer Spannungsquelle bestimmt.
Ferner untersuchten wir bereits einmal den belasteten Spannungsteiler und
stellten dabei fest, dass die Ausgangsspannung sinkt, wenn wir den
Lastwiderstand anhängen. Genau dasselbe betrachteten wir auch bei der
belasteten Spannungsquelle. Die Vermutung liegt nahe, dass wir den
Spannungsteiler mit der Ersatzschaltung von der realen Spannungsquelle
beschreiben können. Wie gross sind aber die Komponenten U0 und Ri der
Ersatzschaltung?
Uo =
U
U
U-
Wir wollen diese Werte in einem Versuch messen und den Zusammenhang
erkennen. Dazu messen wir die Schaltung aus:
Messtabelle:
U
[V]
Kennlinie des Spannungsteilers
6
I
[mA]
0
4
U [V]
5
5
3
2
1
0
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
I [mA]
Diese Strom-Spannungsfunktion erinnert uns an die kürzlich besprochene
reale Spannungsquelle. Von dieser kennen wir bereits das Ersatzschaltbild und
die Berechnungsformel
U = U 0 − I ⋅ Ri
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Wenn der Verlauf unserer Messung identisch mit der Messung einer realen
Spannungsquelle ist, können wir sicher die Ersatzgrössen U0 und Ri aus
unserer Messung bestimmen:
Folgende Entdeckung können wir aus diesem Experiment ziehen:
• Wir können das Verhalten eines Spannungsteilers mit
der Ersatzschaltung der realen Spannungsquelle
beschreiben.
• Die Leerlaufspannung entspricht der
Ausgangsspannung des unbelasteten
Spannungsteilers (ILast = 0)
• Der Innenwiderstand entspricht der Parallelschaltung
der beiden Widerstände vom Spannungsteiler.
Nachdem wir diese Beziehungen herausgefunden haben, dürfte es uns möglich
sein, den Kurzschlussstrom des Spannungsteilers zu berechnen:
Die Messung des Kurzschlussstromes ergibt IK =
R1
Wir versuchen nun, die Formel unserer Spannungsteilerschaltung rein
rechnerisch zu ermitteln. Folgende Ersatzschaltung ermöglicht uns, dies
relativ einfach zu tun. Wie lautet die Formel, die unsere reale Quelle
beschreibt? Wir berechnen zunächst I = f(U) und stellen dann um.
+
I
R2
+
UB
U
Übungen: Westermann S. 76/77 Nr. 22, 23, 27 a - c
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Laborversuch Brückenschaltung
R5 = 10k
R3= 15k
+
R1= 1k
Wir haben die belastete Brückenschaltung Mithilfe der Ersatzspannungsquelle
für die beiden Spannungsteilerpfade berechnet. Mit folgender Schaltung
können wir unsere Erkenntnisse nochmals üben und messtechnisch
überprüfen:
R4= 22k
R2= 470
UB 10V
U5
Aufgaben:
• Berechne die Spannung U5, wenn die Brückenschaltung a) unbelastet und
b) mit R5 belastet wird
• Baue die Schaltung auf und messe die Spannung U5 mit und ohne
Widerstand R5 nach.
• Berechne für die Schaltung mit eingesetztem R5 die Ströme I1, I2, I3, I4 und
I5 und messe diese Ströme nach.
• Berechne und messe auch den Gesamtstrom I.
Viel Spass beim Experimentieren!
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Der Superpositions- oder Überlagerungssatz
Nach einigen mathematischen Umformungen haben wir aus dem
Spannungsteiler gemäss Laborversuch eine Ersatzspannungsquelle bilden
können, die am Ausgang dasselbe Verhalten wie die tatsächliche Schaltung
zeigte. Als Nebenprodukt fanden wir folgendes heraus:
Die Gesamtwirkung aller Strom- und Spannungsquellen auf ein
bestimmtes Element der Schaltung ist gleich der Summe der
Einzelwirkungen.
Was bedeutet dieser Satz? Und was müssen wir dabei beachten?
Zur Bedeutung des Satzes: Wir stellen uns vor, dass wir zur Bestimmung der
Einzelwirkung einer Quelle alle anderen Quellen ausschalten. So können wir
der Anteil der einzelnen Quellen an der Gesamtwirkung herausfinden.
Was ist zu beachten?
• Ausgeschaltete Spannungsquellen sind im Schema
als Kurzschluss zu betrachten. (UQuelle = 0 V)
• Ausgeschaltete Stromquellen sind als Unterbruch zu
betrachten ( IQuelle = 0 A)
R2 = 4.7k
UB 10V
R1 = 3.3k
+
Beispiel 1: Gesucht ist die Spannung an R2 in Abhängigkeit der Strom- und
Spannungsquelle gemäss Schema:
IL 1mA
U2 3.94V
U2 = U2,UB + U2,IL
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IL 1.48mA
R2 = 4.7k
+
UB 10V
R1 = 3.3k
+
Beispiel 2: Wie gross ist der Strom IL, der in die Quelle UL hineinfliesst?
U 3V
IL = IL,U1 + IL,UL
Übungen: Aufgabenblatt aus Mathematik für Elektroniker
S. 59 Nr. 5 – 9 (siehe nächste Seite)
Lösungen auf www.Elektroniker.ch.tf
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