Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Kreisteilungspolynome.tex 17. April 2010 Einheitswurzeln und Kreisteilungspolynome DEFINITION 1: Eine komplexe Zahl ζ heit n -te Einheitswurzel, wenn ζ n = 1 ist. Sie heit primitive n -te Einheitswurzel, wenn alle n -ten Einheitswurzeln als Potenzen von ζ darstellbar 2πi sind. Insbesondere ist die Zahl ζn = e n eine n -te Einheitswurzel. SATZ 1: Die n -ten Einheitswurzeln sind die Zahlen ζnk = e 2kπi n , 1 ≤ k ≤ n. (1) Darunter sind genau diejenigen primitiv, fur die ggT(n, k) = 1 gilt. BEWEIS: Die erste Aussage folgt unmittelbar aus der Eulerschen Identitat eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ und den Additionstheoremen fur die trigonometrischen Funktionen. Ersichtlich ist ζn primitiv, denn alle Einheitswurzeln (1) sind Potenzen von ζn . Sei jetzt ξ eine beliebige primitive Einheitswurzel, dann hat ξ die Gestalt ζnk mit einem gewissen k , 1 ≤ k ≤ n . Weil ξ primitiv ist, mu es ein eindeutig bestimmbares kleinstes positives x geben, so da insbesondere die Zahl ζn als Potenz von ξ darstellbar ist: ξ x = ζnk·x = ζn = e 2πi n . (2) Daraus folgt e n = e n , und das bedeutet kx ≡ 1 (mod n) . Weil hier x als eindeutige Losung der Kongruenz aufgefat werden kann, 1) gilt ggT(k, n) = 1 . Setzt man umgekehrt ggT(k, n) = 1 voraus, so hat die Kongruenz kx ≡ 1 (mod n) eine 2kxπi 2πi eindeutige Losung (vgl. Funote 1). Daraus folgt e n = e n , gema (2) also ζnk·x = ζn . Da ζn selber eine primitive Einheitswurzel ist, mu dies auch fur ζnk gelten, denn ist η eine beliebige Einheitswurzel, so gibt es ein ` mit η = ζn` = ζnk(x·`) . Damit ist bewiesen, da genau die zu n teilerfremden k die primitiven Einheitswurzeln ζnk liefern. Folglich gibt es genau ϕ(n) primitive Einheitswurzeln. DEFINITION 2: Das Polynom 2kxπi 2πi Φn (x) = Y (x − ζ) = n Y (x − e 2kπi n ) (3) 1≤k≤n ggT(k,n)=1 ζ =1 ζ primitiv heit n -tes Kreisteilungspolynom. Es ist klar, da das n -te Kreisteilungspolynom den Grad ϕ(n) hat. Dies fuhrt auf den SATZ 2: Das Produkt Y Φd (x) (4) d|n der Kreisteilungspolynome Φd (x) , bei dem d alle Teiler von n durchlauft, hat den Grad n. BEWEIS: Die Behauptung erfolgt unmittelbar aus der von Gau stammenden Formel n = X ϕ(d) (5) d|n In der elementaren Zahlentheorie beweist man, da die Kongruenz ax ≡ b (mod n) genau dann eine eindeutige Losung x hat, wenn a teilerfremd zu n ist. Diese Losung kann im strengen Sinne eindeutig bestimmt werden, weil man x unter den Zahlen 1, 2, . . . , n nden kann. 1) 1 Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Kreisteilungspolynome.tex 17. April 2010 und der Tatsache, da das d -te Kreisteilungspolynom Φd (x) den Grad ϕ(d) hat. 2) Sei ζ eine beliebige n -te Einheitswurzel. Weil ζ n = 1 ist, gibt es gewi ein kleinstes positives d ≤ n , so da ζ d = 1 gilt. Dieses d wird Ordnung von ζ genannt. F ur die Ordnung einer n -ten Einheitswurzel gilt folgender SATZ 3: Hat die n -te Einheitswurzel ζ die Ordnung d , so gilt ζ t = 1 dann und nur dann, wenn d ein Teiler von t ist. Insbesondere gilt stets d|n . BEWEIS: Setzen wir d|t voraus, so ist t = dr . Das ergibt ζ t = (ζ d )r = 1r = 1 . Setzen wir ζ t = 1 voraus, so kann man wegen t = qd + r mit r < d auf 1 = ζ t = (ζ d )q ζ r = 1q ζ r = ζ r (6) schlieen. Das ist ein Widerspruch zur Ordnung d als kleinster positiver Zahl mit ζ d = 1 . Weil fur die n -te Einheitswurzel stets ζ n = 1 gilt, heit das Ergebnis insbesondere, da die Ordnung einer n -ten Einheitswurzel immer ein Teiler von n ist. SATZ 4: Ist d ein Teiler von n , so existiert eine n -te Einheitswurzel der Ordnung d . BEWEIS: Aus d|n folgt n = dt mit 1 ≤ t ≤ n . Folglich ist ζnt eine Wurzel der behaupteten Art, denn es gilt 2tπi 2dtπi (ζnt )d = e n ·d = e dt = e2πi = 1 . (7) Der nachste Satz notiert eine bemerkenswerte Formel: SATZ 5: xn − 1 = Y Φd (x) (8) d|n BEWEIS: Weil die beiden Polynome rechter und linker Hand in (8) wegen der Formel (5) von Gau denselben Grad n und uberdies denselben Leitkoezienten 1 haben, reicht es zu zeigen, da die beiden Polynome genau dieselben Nullstellen besitzen. Die Nullstellen von 2πi xn − 1 sind die n -ten Einheitswurzeln ζnk mit 1 ≤ k ≤ n , ζn = e n . Wir sind fertig, wenn wir zeigen konnen, da jede n -te Einheitswurzel eine primitive d -te Einheitswurzel fur einen gewissen Teiler d von n ist und da umgekehrt fur jeden Teiler d von n jede d -te primitive Einheitswurzel eine n -te Einheitswurzel ist. Ist ζnk eine n -te Einheitswurzel mit ggT(n, k) = 1 , so ist ζnk nach Denition 2 Nullstelle von Φn (x) . Ist ζnk hingegen eine n -te Einheitswurzel mit t = ggT(n, k) > 1 , so haben wir die Teilerbeziehungen n = dt und k = `t zur Verfugung. Das ergibt `t ζnk = ζdt = e 2`tπi dt = e 2`πi d = ζd` . (9) Hier gilt ggT(d, `) = ggT( nt , kt ) = 1 . 3) Mithin ist ζnk = ζd` nach Satz 1 eine d -te primitive Einheitswurzel, also eine Nullstelle von Φd (x) , 1 ≤ d < n . Folglich ist jede n -te Einheitswurzel ur einen gewissen Teiler d von n und damit Nullstelle von eine Q primitive d -te Einheitswurzel f d|n Φd (x) . 2) 3) vgl. dazu die Bemerkung im Anschlu an Satz 5 Auch dies wird in der elementaren Zahlentheorie bewiesen. 2 Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Kreisteilungspolynome.tex 17. April 2010 Ist umgekehrt d ein beliebiger Teiler von n und ξ eine Nullstelle von Φd (x) , so ist ξ nach Denition 2 eine d -te primitive Einheitswurzel und damit naturlich auch eine d -te Einheitswurzel. Also gilt ξ d = 1 . Weil d Teiler von n ist, hat man n = dt und demzufolge (ξ d )t = ξ n = 1 . Mithin ist jede d -te primitive Einheitswurzel einen jeden Teilers d von n eine Nullstelle von xn − 1 . Damit ist der Satz vollstandig bewiesen. BEMERKUNG: Im vorstehenden Beweis wird Bezug auf die Formel (5) von Gau genommen. Die Formel ist jedoch auch aus Satz 5 ableitbar, wenn man den Beweis unter Verzicht auf (5) dadurch erganzt, da man zeigt, da keine d -te primitive Einheitswurzel zugleich d0 -te primitive Teiler d0 von n sein kann. Dann namlich ist Einheitswurzel fur einen von d verschiedenen Q n klar, da die Polynome x − 1 und d|n Φd (x) genau dieselbe Anzahl von Nullstellen haben, so da die Gultigkeit von (5) wegen n = Grad(xn − 1) = Grad Y Φd (x) = d|n X ϕ(d) . (10) d|n unmittelbar aus (8) folgt. Weil nun das t in Zeile (9) durch n und festes k eindeutig bestimmt ist, sind auch die Zahlen d und ` eindeutig bestimmt, woraus sich ergibt, da das ζd` in Zeile (9) ebenfalls eindeutig ist. Mithin kann man von der Einheitswurzel ζnk auf keine andere d0 -te primitive Einheitswurzel gefuhrt werden. BEISPIEL: Ist n = 12 , so lauten die 6 Faktoren des Produktes Qd|12 Φd(x) mit 12 = ggT(12, 12) (x − ζ2 ) mit 6 = ggT(12, 6) (x − ζ3 )(x − ζ32 ) mit 4 = ggT(12, 4) und 4 = ggT(12, 8) (x − ζ4 )(x − ζ43 ) mit 3 = ggT(12, 3) und 3 = ggT(12, 9) (x − ζ6 )(x − ζ65 ) mit 2 = ggT(12, 2) und 2 = ggT(12, 10) 5 7 11 )(x − ζ12 )(x − ζ12 ) mit 1 = ggT(12, 1) (x − ζ12 )(x − ζ12 Φ1 (x) = (x − ζ1 ) Φ2 (x) = Φ3 (x) = Φ4 (x) = Φ6 (x) = Φ12 (x) = (11) Hierbei entsprechen die Wurzeln der Polynome links und rechts in (8) gema der Umrechnung einander in folgender Weise: (9) ξ12 ↔ ξ12 5 5 ξ12 ↔ ξ12 9 ξ12 ↔ ξ43 2 ξ12 ↔ ξ6 6 ξ12 ↔ ξ2 10 ξ12 ↔ ξ65 3 ξ12 ↔ ξ4 7 7 ξ12 ↔ ξ12 11 11 ξ12 ↔ ξ12 4 ξ12 ↔ ξ3 8 ξ12 ↔ ξ32 12 ξ12 ↔ ξ1 (12) SATZ 6: Die Koezienten eines jeden Kreisteilungspolynoms Φn (x) sind ganzzahlig. Ist n eine Primzahl p , so hat das Kreisteilungspolynom die Gestalt xp−1 + xp−2 + · · · + x2 + x + 1 . (13) BEWEIS: Der Beweis erfolgt durch Induktion. Man erkennt ohne Umstande Φ1 (x) = x − 1 und Φ2 (x) = x + 1 . Sei n > 2 , dann gilt nach (10) xn − 1 = Φn (x) · Y Φd (x) = Φn (x) · Ω(x) , d|n d6=n 3 (14) Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Kreisteilungspolynome.tex 17. April 2010 worin die Koezienten der Polynome Φd (x) , d < n , und deswegen auch die des Produktes Ω(x) ganzzahlig sind. U berdies hat Ω(x) den Leitkoezienten 1 . Folglich ergibt die Polynomdivision Φn (x) = xn − 1 Ω(x) (15) ein Kreisteilungspolynom Φn (x) mit ganzzahligen Koezienten. Ist n = p eine Primzahl, so gibt es nur die beiden Teiler 1 und p von p , so da man Φp (x) = xp − 1 = xp−1 + xp−2 + · · · + x2 + x + 1 . x−1 (16) erhalt. Die Kreisteilungspolynome und Einheitswurzeln gehorchen einen ganzen Reihe von Regeln. REGEL 1: Ist ζnk = e n eine n -te primitive Einheitswurzel so gilt das auch fur die 2kπi konjugiert komplexe Zahl ζn−k = e− n . 2kπi BEWEIS: Sei ξ eine beliebige n -te Einheitswurzel, dann gibt es ein t mit ξ = (ζnk )t = e 2ktπi Folglich leistet −t fur ζn−k dasselbe, denn es ist auch (ζn−k )−t = e n = ξ . 2ktπi n . HILFSSATZ 1: Ist n ≥ 3 ungerade und k eine zu n teilerfremde Zahl, so gilt ggT(2k + n, 2n) = 1 . BEWEIS: Ware d = ggT(2k + n, 2n) > 1 , so gabe es einen Primteiler p ≥ 2 von d . Im Falle p = 2 hatte man 2k + n = 2t , also n = 2(t − k) , was der Voraussetzung, da n ungerade ist, widerspricht. Fur p ≥ 3 erhielte man 2n = ps . Wegen ggT(2, p) = 1 hiee das aber p|n , was zusammen mit p|(2k + n) auf 2k + ps = pr , also auf 2k = p(r − s) fuhrt. Damit ware p ein Teiler von k und von n . Und das widerspricht der Voraussetzung ggT(n, k) = 1 . REGEL 2: −ζnk Ist n ≥ 3 ungerade und ζnk eine primitive n -te Einheitswurzel, so ist eine primitive 2n -te Einheitswurzel. BEWEIS: Sei ζnk eine primitive n -te Einheitswurzel, dann hat ζnk nach Satz 1 die Gestalt e mit ggT(n, k) = 1 . Also ist −ζnk = −e 2kπi n = e 2kπi n +πi = e 2kπi+nπi n = e (2k+n)πi n = e 2(2k+n)πi 2n 2k+n = ζ2n . 2kπi n (17) Weil ggT(n, k) = 1 ist, liefert uns der Hilfssatz 1 ggT(2k + n, 2n) = 1 . Das aber heit nach Satz 1, da wie behauptet −ζnk eine primitive 2n -te Einheitswurzel ist. Mehr primitive 2n te Einheitswurzeln kann es nicht geben, denn wegen der Multiplikativitat der ϕ -Funktion gilt ϕ(2n) = ϕ(2)ϕ(n) = 1 · ϕ(n) = ϕ(n) . Wir fuhren jetzt das Polynom Ψn (x) = Y (x + ζ) n ζ =1 ζ primitiv ein und beweisen damit die REGEL 3: Ist n ≥ 3 , so gilt Φn (x) = Ψn (−x) und Φn (−x) = Ψn (x) . 4 (18) Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Kreisteilungspolynome.tex 17. April 2010 BEWEIS: Fur jedes n ≥ 3 ist ϕ(n) eine gerade Zahl. Die Zahl der an Φn (x) beteiligten primitiven Einheitswurzeln ist also gerade. Folglich gilt Φn (x) = Y −(−x + ζ) = (−1)ϕ(n) n Y (−x + ζ) = n ζ =1 ζ primitiv Y (−x + ζ) = Ψn (−x) . (19) n ζ =1 ζ primitiv ζ =1 ζ primitiv Der zweite Teil Φn (−x) = Ψn (x) ergibt sich genauso. BEMERKUNG: Aus dem Beweis zu Regel 3 ergibt sich fur Kreisteilungspolynome Φn (x) mit n ≥ 3 unmittelbar die Identitat Y Y (20) (x − ζ) = (ζ − x) . ζ n =1 ζ primitiv REGEL 4: ζ n =1 ζ primitiv Ist n ≥ 3 ungerade, so gilt Φ2n (x) = Φn (−x) . BEWEIS: 2k+n Nach Regel 2 hat jede primitive 2n -te Einheitswurzel die Form −ζnk = ζ2n , wobei eine primitive n -te Einheitswurzel ist. Unter Bezug auf den Beweis zu Regel 3 ergibt sich damit, wenn wir die primitiven 2n -ten Einheitswurzeln durch die mit negativem Vorzeichen versehenen primitiven n -ten Einheitswurzeln ersetzen, ζnk Φ2n (x) = Y 2n (x − ζ) = ζ =1 ζ primitiv SATZ 7: Y −(−x + ζ) = Y (−x − ζ) = Φn (−x) . (21) n 2n ζ =1 ζ primitiv ζ =1 ζ primitiv Ist n ≥ 3 , so ist Φn (x) fur alle reellen x positiv. BEWEIS: Nach Regel 1 treten die primitiven n -ten Einheitswurzeln als konjugiert komplexe Paare in Φn (x) auf. Die Zahlen 1 und −1 sind die primitiven Einheitswurzeln von Φ1 (x) bzw. Φ2 (x) . F ur n ≥ 3 hingegen sind alle primitiven Einheitswurzeln von 1 und −1 verschieden. Weil sie aber auf dem Einheitskreis liegen, gilt fur ihren Realteil a stets |a| < 1 . 2kπi 2kπi Nun gilt ferner, wenn ζnk = e n = a + ib und ζn−k = e− n = a − ib ein in Φn (x) auftretendes Paar konjugierter primitiver n -ter Einheitswurzeln ist, fur ihr Produkt (x − ζnk )(x − ζn−k ) = x − (a + ib) x − (a − ib) = x2 − 2ax + 1 . (22) Hier steht rechter Hand eine Parabel, deren Werte durchweg positiv sind, denn ihre Ableitung lautet 2(x − a) . Sie nimmt ihr Mimimum also an der Stelle x = a an. Dort aber gilt wegen |a| < 1 x2 − 2ax + 1 = a2 − 2a2 + 1 = 1 − a2 > 0 . (23) Folglich sind alle Produkte konjugierter Einheitswurzeln fur jedes reelle x positive Faktoren von Φn (x) , und andere Faktoren gibt es nicht, was die Behauptung beweist. SATZ 8: BEWEIS: und Fur k ≥ 1 gilt Φ2k (x) = 1 + x2 k−1 . Die Behauptung ist fur k = 1 und k = 2 gewi richtig, denn es gilt Φ2 (x) = 1 + x Φ4 (x) = (x − i)(x + i) = 1 + x2 . 5 (24) Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Kreisteilungspolynome.tex 17. April 2010 Angenommen, sie sei fur alle k ≤ ` , ` ≥ 2 , schon bewiesen, dann erhalt man unter Bezug auf (6) x2 k+1 Y −1 = Φd (x) d∈{1,2,4,8,... ,2k+1 } = Φ1 (x)Φ2 (x)Φ4 (x)Φ8 (x) · · · Φ2k (x)Φ2k+1 (x) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) · · · (x2 = (x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1) · · · (x2 4 4 = (x − 1)(x + 1) · · · (x k−1 2 .. . = (x2 k−1 2k = (x − 1)(x2 k−1 k−1 k−1 + 1)Φ2k+1 (x) + 1)Φ2k+1 (x) (25) + 1)Φ2k+1 (x) + 1)Φ2k+1 (x) − 1)Φ2k+1 (x) . Jetzt fuhrt eine Polynomdivision zum Ziel k+1 k x2 Φ2k+1 (x) = 2k = x2 + 1 . x −1 (26) REGEL 5: Ist n ≥ 3 ungerade und ζ eine primitive n -te Einheitswurzel, so ist auch ζ eine primitive n -te Einheitswurzel, und wenn ζ alle primitiven n -ten Einheitswurzeln durchlauft, so gilt dasselbe fur ζ 2 . 2 BEWEIS: Eine primitive n -te Einheitswurzel ζ hat die Form e n mit ggT(n, k) = 1 . Folglich 2(2k)πi hat ζ 2 die Form e n mit ggT(n, 2k) = 1 , denn n ist nach Voraussetzung ungerade. Mithin ist auch ζ 2 eine primitive n -te Einheitswurzel. 2kπi Sind ζ = e n und ξ = e n , k 6= ` , zwei verschiedene primitive n -te Einheitswurzeln, so 2(2k)πi 2(2`)πi mu das auch fur ζ 2 und ξ 2 gelten, den andernfalls hatte man e n = e n , und das hiee 2k ≡ 2` (mod n) . Weil n ungerade ist, kann man diese Kongruenz durch 2 kurzen, was auf k ≡ ` (mod n) und damit auf ζ = ξ hinauslauft. Widerspruch! Also durchlaufen ζ und ζ 2 gleichermaen alle primitiven n -ten Einheitswurzeln, wenn k von 1 bis n lauft. 2kπi 2`πi REGEL 6: Ist n ≥ 3 beliebig, p ≥ 3 eine zu n teilerfremde Primzahl und ζ eine primitive n -te Einheitswurzel, so ist auch ζ p eine primitive n -te Einheitswurzel, und wenn ζ alle primitiven n -ten Einheitswurzeln durchlauft, so gilt dasselbe fur ζ p . BEWEIS: Der Beweis lauft genauso wie der zu Regel 5. Es ist lediglich die 2 durch die ungerade Primzahl p zu ersetzen. Der einzige Unterschied ist der, da im Beweis zu Regel 5 ggT(n, 2k) = 1 verwendet werden konnte, weil n als ungerade vorausgesetzt wurde, und hier ggT(n, pk) = 1 wegen ggT(n, p) = 1 gilt. SATZ 8: Ist die Primzahl p ein Teiler von n , so gilt Φpn (x) = Φn (xp ) . BEWEIS: Wir notieren vorab zwei einfache, unmittelbar einzusehende Tatsachen. 1. Ist f ein Polynom r -ten Grades, so hat das Polynom g(x) := f (xs ) den Grad rs . 2. Ist η eine Nullstelle 1 des Polynoms f , so sind die s Werte η s Nullstellen des Polynoms g(x) := f (xs ) 6 Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Kreisteilungspolynome.tex 17. April 2010 Wir zeigen zuerst, da die Polynome Φpn (x) und Φn (xp ) denselben Grad haben. Schreibt man namlich n = p` m mit ggT(p, m) = 1 , so mu ` ≥ 1 sein, weil p|n vorausgesetzt ist, und man kann sich auf ggT(p` , m) = ggT(p`+1 , m) = 1 stutzen. Nach Satz 1 ist dann Grad Φpn = ϕ(pn) = ϕ(p`+1 m) = ϕ(p`+1 )ϕ(m) = (p`+1 − p` )ϕ(m) . (27) Fur das Polynom Φn hingegen gilt Grad Φn = ϕ(n) = ϕ(p` m) = ϕ(p` )ϕ(m) = (p` − p`−1 )ϕ(m) . (28) Nach der eingangs getroenen ersten Feststellung hat Φn (xp ) aber den Grad p(p` − p`−1 )ϕ(m) = (p`+1 − p` )ϕ(m) , (29) und somit denselben Grad wie Φpn (x) . Weil beide Polynome nicht nur denselben Grad, sondern auch denselben Leitkoezienten 1 haben, reicht es zu zeigen, da jede der ϕ(pn) Wurzeln von Φpn (x) auch eine der ϕ(pn) 2kπi k Wurzeln von Φn (xp ) ist. 4) Nun haben die Wurzeln von Φpn (x) alle die Gestalt ζpn = e pn 2kπi mit ggT(n, k) = 1 . Aus dem Kriterium des Satzes 1 folgt daher, da jede Zahl der Form e n mit ggT(n, k) = 1 Wurzel des Kreisteilungspolynoms Φn (x) ist, und aus unserer eingangs 2kπi 2kπi 1 getroenen zweiten Feststellung folgt abschlieend, da jede Zahl der Form (e n ) p = e pn eine Wurzel von Φn (xp ) ist. SATZ 9: Ist p eine Primzahl mit ggT(p, n) = 1 , so gilt Φpn (x)Φn (x) = Φn (xp ) . BEWEIS: Wir stutzen uns auf die U berlegungen im Beweis zu Satz 8 und gehen wie dort vor. Das Produktpolynom Φpn (x)Φn (x) hat wegen ggT(p, n) = 1 den Grad ϕ(p)ϕ(n) + ϕ(n) = (p − 1)ϕ(n) + ϕ(n) = pϕ(n) . (30) Das Polynom Φn (xp ) hat ebenfalls den Grad pϕ(n) . Auerdem haben beide den Leitkoezienten 1 . Es reicht also wieder zu zeigen, da Φpn (x)Φn (x) und Φn (xp ) dieselben Wurzeln besitzen. des PolyEine Wurzel des Polynoms Φpn (x) hat die Form e pn . Daher ist sie auch Wurzel 2p`πi 2`πi p pn n =e . Folglich noms Φn (x ) . Und eine Wurzel des Polynoms Φn (x) hat die Form e ist sie ebenfalls eine Wurzel von Φn (xp ) . Damit sind zwar alle Wurzeln des Produktpolynoms Φpn (x)Φn (x) Wurzeln von Φn (xp ) , aber es ist nicht ohne weiteres sicher, da das Produktpolynom keine mehrfache Wurzeln hat. Im Falle mehrfacher Wurzeln des Produktpolynoms k onnte namlich Φn (xp ) Wurzeln besitzen, die nicht in Φpn (x)Φn (x) auftreten, was der Tatsache, da die Grade von Φn (xp ) und Φpn (x)Φn (x) gleich sind, nicht entgegenstunde. 2kπi Die letzte Lucke wird so geschlossen: Angenommen es gabe ganze Zahlen 0 < k ≤ pn und 2p`πi 2kπi 2`πi 2p`πi 0 < ` ≤ n , so da die Gleichung e pn = e n = e pn erf ullt ist. Dann mute 2kπi pn = pn , 2kπi also k = p` sein. Das bedeutet p|k . Weil aber e pn eine primitive pn -te Einheitswurzel ist, gilt ggT(k, pn) = 1 . Folglich kann p kein Teiler von k sein. Dieser Widerspruch schliet den Beweis ab. Man beachte: hier genugt es, einfach von Wurzeln von Φpn (x) und Φn (xp ), zu sprechen, nicht notwendig von primitiven Einheitswurzeln. 4) 7 Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Kreisteilungspolynome.tex 17. April 2010 SATZ 10: Ist p eine Primzahl und k ≥ 1 so gilt Φpk = x(p−1)p k−1 + x(p−2)p k−1 + · · · + x2p k−1 + xp k−1 + 1. (31) BEWEIS: Die Behauptung ist fur jede Primzahl p und k = 1 durch den zweiten Teil des Satzes 6, Formel (13) , bereits bewiesen. Angenommen sie sei schon fur alle 0 ≤ k ≤ 1 bewiesen. Wir verwenden fur unseren Zweck die in Satz 5 bewiesene Formel (10) zweimal und schreiben k Y k xp − 1 = Φpi (x) = Φpk (x) · i=0 bzw. pk+1 x −1 = k+1 Y k−1 Y Φpi (x) (32) i=0 Φpi (x) = Φpk+1 (x) · Φpk (x) · i=0 k−1 Y Φpi (x) , (33) i=0 denn die Teiler von pk bzw. pk+1 sind genau die Primzahlpotenzen pi fur i = 0, 1, 2, . . . , k bzw. i = 0, 1, 2, . . . , k + 1 . Eine einfache Polynomdivision liefert nun die Behauptung: k+1 k k k k xp −1 Φpk+1 (x) = = x(p−1)p + x(p−2)p + · · · + x2p + xp + 1 k p x −1 BEMERKUNG: (34) Es ist klar, da die Formel (34) eine Verallgemeinerung der Formel (26) ist. Die Formel (10) druckt Polynome der Form xn −1 durch ein Produkt von Kreisteilungspolynomen oglich, umgekehrt Kreisteilungspolynome Φn durch Polynome Φd , d|n , aus. Doch ist es auch m d der Form x − 1 , d|n , auszudrucken. Um dies zu zeigen benotigt, man die durch fur n = 1 , 0 falls p2 |n f ur eine Primzahl p , µ(n) = r (−1) falls n = p1 p2 · · · pr mit Primzahlen pi 6= pk f ur i 6= k . 1 (35) denierte Mobiusfunktion, die die wegen ihrer Multiplikativitat leicht zu beweisende Eigenschaft X µ(d) = d|n fur n = 1, 0 f ur n > 1. 1 (36) hat. Unter Verwendung der Eigenschaft (36) lat sich der folgende Satz beweisen. SATZ 11: Das n -te Kreisteilungspolynom besitzt die Darstellung Φn (x) = Y n (xd − 1)µ( d ) . (37) d|n BEWEIS: Weil die Formel fur n = 1 trivialerweise richtig ist, setzen wir n > 1 voraus und betrachten das Doppelprodukt YY d (38) (xt − 1)µ( t ) . d|n t|d 8 Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Kreisteilungspolynome.tex 17. April 2010 Hierin ist jedes d ein Teiler von n und zugleich ein Vielfaches von t . Wahlt man ein festes t d und fat alle Faktoren (xt − 1)µ( t ) , bei denen d ein Vielfaches von t ist, zusammen, so erhalt man, wenn die Zahlen t = d1 ≤ d2 ≤ d3 ≤ · · · ≤ dk = n , k ≥ 1 , eben diese d sind, t (x − 1) µ( tt ) t · (x − 1) µ( d2 t ) t µ · · · (x − 1) dk−1 t t µ( n t) · (x − 1) Pk µ i=1 t = x −1 di t . (39) Die Identitat (39) gibt es fur jeden Teiler von n , denn ist d0 ein solcher, so ist mindestens t = d0 ein t , das wir als feste Groe fur (39) wahlen konnen und das d0 als Vielfaches besitzt. Es ist klar, da die Gesamtheit der Zeilen (39) , also die fur jedes t notierten Zeilen das Doppelprodukt (38) vollstandig ersch opfen. Die Summe rechter Hand in (39) , die den Exponenten von xt − 1 bildet, lauft uber alle MobiusWerte µ( dti ) mit den ganzen Zahlen dti . Jede dieser Zahlen ist Teiler von nt , denn nt / dti = dni ist fur jedes i eine ganze Zahl. Andererseits mu jeder Teiler von nt die Form dti haben. Denn ist d ein beliebiger Teiler von nt , so hat man nt = qd , mithin nq = dt mit ganzzahligem n n q . Das aber besagt, da q ein Teiler von n und ein Vielfaches von t ist. Folglich mu sich d = nq /t unter unseren zu t geh origen dti benden. Das Ergebnis der vorstehenden Feststellungen ist, wenn wir der U bersichtlichkeit halber die dti durch nichtindizierte δ ersetzen, k X X di X di µ = = µ(δ) . µ t t n d i=1 i t (40) δ| t |n t Damit konnen wir auf (36) zuruckgreifen und erhalten Pk µ i=1 t x −1 di t P n µ(δ) 1 δ| t t = = x −1 0 fur fur n t n t = 1, > 1. (41) Damit schmilzt die ganze Pracht des Doppelproduktes (38) auf xn − 1 zusammen, denn die Zeilen (39) verschwinden fur jedes t < n und nur fur t = n bleibt xn − 1 zuruck. Unter Bezug auf (10) erhalten wir jetzt Y Φd (x) = d|n YY (xt − 1)µ( t ) , d (42) d|n t|d woraus sich nunmehr durch Induktion nach n der Rest ergibt: Die vorstehende Gleichung ist fur n = 1 gewi richtig, und ist n > 1 und Φk (x) = Y k (xr − 1)µ( r ) (43) r|k fur alle k < n schon nachgewiesen, so braucht man aus (42) nur noch die Gleichungen (43) fur alle diejenigen k < n , die Teiler von n sind, herauszudividieren, um die Behauptung (37) zu erhalten. ϕ(n) hat, ist ganz am Anfang, BEMERKUNG: Da das n-te Kreisteilungspolynom den Grad Q n unmittelbar vor Satz 2, schon gesagt worden. Da auch d|n (xd − 1)µ( d ) den Grad ϕ(n) hat, ist naturlich durch Satz 11 bewiesen. Doch ist das auch ohne Satz 11 leicht Pzu erkennen, denn dieses Produkt ist, wie man unmittelbar erkennt, ein Polynom vom Grade d|n µ( nd )d . Wendet 9 Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Kreisteilungspolynome.tex 17. April 2010 man die Mobiussche Umkehrformel 5) auf die in (7) notierte Gausche Summe n = an, so erhalt man genau X ϕ(n) = µ( nd )d , P d|n ϕ(d) (44) d|n was die U bereinstimmung der Grade bestatigt. Ferner ist die Formel (37) insofern bemerkenswert, als damit eine explizite Darstellung der Kreispolynome durch eine im allgemeinen rationale Funktion vorliegt, denn die Exponenten µ( nd ) k onnen den Wert −1 annehmen, was durch das folgende Beispiel konkret gezeigt werden soll. BEISPIEL: Φ30 (x) = (x2 − 1)(x3 − 1)(x5 − 1)(x30 − 1) = x8 + x7 − x5 − x4 − x3 + x + 1 . (x − 1)(x6 − 1)(x10 − 1)(x15 − 1) (45) HILFSSATZ 2: Ist n > 1 , so ist die Anzahl der Exponenten µ( nd ) in der Formel (37) , die den Wert 1 haben, gleich der Anzahl der Exponenten µ( nd ) , die den Wert −1 haben. BEWEIS: d Weil mit auft, gilt wegen (36) fur n > 1 n genau alle Teiler von n durchl P d auch d die Beziehung d|n µ( n ) = 0 . Weil die Mobiusfunktion gema ihrer Denition (35) nur die Werte −1 , 0 oder 1 annehmen kann, ist diese Beziehung nur moglich, wenn die Behauptung des Hilfssatzes zutrit. SATZ 12: Ist n ≥ 2 , so gilt stets Φn(0) = 1 . BEWEIS: Nach Satz 11 und Hilfssatz 2 lat sich Φn(x) stets als Quotient zweier nichtkonstanten Polynome f (x) und g(x) darstellen, die ihrerseits ein Produkt von Polynomen der Form xd − 1 sind. Das konstante Glied von Produkten der Form xd − 1 ist entweder −1 oder 1 . Nun treten in Formel (37) fur n > 1 gewi Exponenten µ( nd ) mit wechselnden Vorzeichen auf, und zwar, wie Hilfssatz 2 besagt, in gleicher Anzahl. Deshalb mu das konstante Glied von f gleich dem (0) konstanten Glied von g sein, 6) also entweder −1 oder 1 . Daraus folgt Φn (0) = fg(0) = 1. k` k 1 k2 Sei n = p1 p2 · · · p` > 1 die kanonische Zerlegung von n in Primzahlpotenzen. Nach Denition (35) nimmt die Mobiusfunktion nur dann fur einen Teiler d von n einen von Null verschiedenen Wert, namlich −1 oder 1 an, wenn d = 1 oder gleich einer der einzelnen der Primzahlen pi , 1 ≤ i ≤ ` , oder ein Produkt von j , 2 ≤ j ≤ ` , paarweise verschiedenen Primzahlen ist, die in der kanonischen Darstellung von n auftreten. Die Anzahl der Produkte von j der an n beteiligten Primzahlen betragt j` . Insgesamt gibt es also, die 1 als Summand ` 0 eingeschlossen, genau ` ` ` ` ` 2 = (1 + 1) = + + + ··· + + 0 1 2 j−1 j ` ` (46) Teiler von n fur die µ einen von Null verschiedenen Wert annimmt. Davon liefert die Halfte, das sind 2n−1 Stuck, den Wert −1 und die andere Halfte den Wert 1 . 5) Die Mobiussche P Umkehrformel besagt, da zwei zahlentheoretische FunktionenPF und f , die gema der Formel F (n) = d|n f (d) zueinander in Beziehung stehen, die Gleichung f (n) = d|n µ( nd )F (d) erfullen. 6) vgl. zur Verdeutlichung das eben notierte Beispiel Φ30 (x) 10 Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Kreisteilungspolynome.tex 17. April 2010 BEMERKUNG: Der Hilfssatz 2 besagt, da die Formel (37) aus Satz 11 auch in der Form Φn (x) = Y n (1 − xd )µ( d ) (47) d|n (x) geschrieben werden kann, denn man braucht, um dies zu erkennen, den Quotienten fg(x) nur hinreichend oft, namlich 2n−1 -mal, mit −1 zu erweitern. U berdies kann man, weil mit d auch n auft, statt (47) auch d alle Teiler von n durchl Φn (x) = Y n (1 − x d )µ(d) (48) d|n schreiben. Ist n > 1 eine quadratfreie Zahl, so lautet ihre Primfaktorzerlegung p1 p2 · · · p` . In diesem Fall lat sich fur den Grad von Φn (x) mit Hilfe der symmetrischen Grundfunktionen verhaltnismaig leicht eine geschlossene Formel nden. Dazu bedienen wir uns der Formel (39) , die, wie im Beweis zu Satz 11 ausgefuhrt, als Quotient zweier Polynome f (x) und g(x) geschrieben werden kann, die ihrerseits ein Produkt von Polynomen der Form xd − 1 sind: Φn (x) = Y n f (x) (xd − 1)µ( d ) = g(x) (49) d|n Samtliche Teiler d von werden im vorliegen Fall n = p1 p2 · · · p` durch die Summanden der symmetrischen Grundfunktionen s0 = 1 , s1 = p1 + p2 + · · · + p` , s2 = p1 p2 + p1 p3 + · · · + pi pj + · · · + p`−1 p` , (50) .. . s`−1 = p1 p2 · · · p`−2 p`−1 + p1 p2 · · · p`−2 p` + · · · + p2 p3 · · · p`−1 p` , s` = p1 p2 · · · p` geliefert. Ist hier ` ≥ 3 ungerade (den Fall ` = 1 betrachten durch Formel (16) als erledigt), dann besteht nd aus einer geraden Anzahl von Primzahlen, sobald d einer der Summanden der symmetrischen Funktionen s1 , s3 , s5 , . . . , s` ist. Daher nimmt µ( nd ) fur diese d den Wert 1 an, was dazu f uhrt, da alle Polynome xd − 1 , bei denen d einer der Summanden der symmetrischen Funktionen s1 , s3 , . . . , s` ist, Faktoren des Zahlerpolynoms f (x) bilden. Ist d indessen einer der Summanden der symmetrischen Funktionen s0 , s2 , s4 , . . . , s`−1 , so schickt µ( nd ) = −1 die Polynome xd − 1 in den Nenner g(x) . Weil nun ferner Grad f die Summe aller d ist, fur die xd − 1 einen Faktor von f (x) bildet, gilt (51) Grad f = s1 + s3 + s5 + . . . + s` . Auf dieselbe Weise erhalt man Grad g = s0 + s2 + s4 + . . . + s`−1 . (52) Damit ist fur ungerades ` der Grad von Φn gewonnen: (`−1)/2 Grad Φn = Grad f − Grad g = X i=0 11 (s2i+1 − s2i ) . (53) Datei: C:\VTeX\TD\MATHEM\Kreisteilungspolynome.tex 17. April 2010 Es bedarf keiner Muhe, zu erkennen, da fur gerades ` Grad f = s0 + s2 + s4 + . . . + s` und Grad g = s1 + s3 + s5 + . . . + s`−1 (54) gilt und daher in diesem Fall Grad Φn `/2 X = Grad f − Grad g = s0 + (s2i − s2i−1 ) (55) i=1 die Formel fur den Grad von Φn ist. SATZ 13: Sei n = 6 m , dann kann es keine n -te primitive Einheitswurzel geben, die zugleich m -te primitive Einheitswurzel ist. BEWEIS: Ist ξ eine n -te primitive Einheitswurzel, so gilt ξ = e n mit einem k , 0 < k < n , das teilerfremd zu n ist. Ware ξ zugleich eine m -te primitive Einheitswurzel, hatte man 2`πi uberdies ξ = e m mit einem ` , 0 < ` < m , das teilerfremd zu m ist. Daraus folgt nk = m` , also km = `n . Mithin ist ` ein Teiler von km . Weil ggT(`, m) = 1 gilt, folgt aus dem Lemma von Euklid ` | k . Genauso ergibt sich k | ` . Das aber heit k = ` und somit n = m . Widerspruch. 2kπi SATZ 14: Fur n ≥ 3 haben die Kreisteilungspolynome Φn(x) alle geraden Grad. BEWEIS: Nach Regel 1 treten n-te Einheitswurzeln paarig auf, namlich als konjugiert komplexe Zahlen. Dies gilt ersichtlich erst ab n = 3 , wahrend die Zahlen 1 und −1 ausschlielich n -te Einheitswurzeln der ersten beiden Kreisteilungspolynome Φ1 (x) bzw. Φ2 (x) sind. Aus dem Beweis zu Satz 7 geht hervor, jedes solche Paar als Parabel der Form x2 − 2ax + 1 einen Faktor von Φn (x) , n ≥ 3 bildet. Mithin haben diese Kreisteilungspolynome alle geraden Grad. U berdies geht hieraus hervor, da sie alle das konstante Glied 1 besitzen. 12