§2 Teilbarkeit in Z

§2 Teilbarkeit in Z
Bis auf weiteres stehen kleine Buchstaben für ganze Zahlen.
Teilbarkeit. Sei a 6= 0. Eine Zahl b heißt durch a teilbar, wenn es ein q
gibt mit b = qa. Wir sagen dann auch: a teilt b (ist ein Teiler von b) und b
ist ein Vielfaches von a.
Wir schreiben dafür: a | b.
Wenn a die Zahl b nicht teilt, schreiben wir: a - b.
Ist a | b und b = qa, so ist q = ab eindeutig durch das Paar a, b bestimmt.
Die trivialen Teiler von b sind ±b und ±1(b = 1 · b = b · 1 und b =
(−1)(−b) = (−b)(−1)).
2.1 Regel
(a) Aus a | b folgt a | −b und −a | b und −a | −b und |a| |b|.
(b) Aus a | b und b | c folgt a | c.
(c) Aus a | b und c | d folgt ac | bd (insbes.: a | b =⇒ ac | bc).
(d) Aus a | b und a | c folgt a | bx + cy für beliebige x, y.
(e) Aus ac | bc und c 6= 0 folgt a | b.
Beweis.
(a) b = qa =⇒ −b = (−q)a, b = (−q)(−a), −b = q(−a), |b| = |q| |a|
(b) b = qa, c = rb =⇒ c = r(qa) = (rq)a =⇒ a | c
(c) b = qa, d = rc =⇒ bd = (qa)(rc) = (qr)(ac) =⇒ ac|bd
(d) b = qa, c = ra =⇒ bx + cy = qax + ray = (qx + ry)a
1.2
(e) bc = q(ac), c 6= 0 =⇒ b = qa =⇒ a|b
Ist a 6= 0, so kann man b durch a immer mit Rest dividieren.
2.2 Division mit Rest. Sei a 6= 0 und b beliebig. Dann gibt es zu a, b genau
ein Zahlenpaar q, r mit
(∗)
b = qa + r
und 0 ≤ r < |a|
1
(a | b ⇐⇒ r = 0).
Man nennt q den unvollständigen Quotienten von b durch a, und
r den Divisionsrest (Rest bei der Division von b durch a).
Beweis. 1. Existenz. Es genügt, dies für a > 0 zu zeigen, denn: Wenn
a < 0, so ist −a > 0. Aus b = q̃(−a) + r mit 0 ≤ r < |a| = |− a| folgt:
b = qa + r, wobei q := −q̃.
Für u0 = −|b| ist b − u0 a = b + |b|a ≥ 0. Also ist die Menge M := {b − ua |
u ∈ Z und b − ua ≥ 0} ⊆ N nicht leer. Nach dem Prinzip vom kleinsten
Element existiert somit eine kleinste natürliche Zahl r der Form
r = b − qa , q ∈ Z.
Wegen der Minimalität von r ist r − a = b − (q + 1)a < 0, also r < a. Damit
ist, wie gefordert
b = qa + r und 0 ≤ r < a.
2. Eindeutigkeit. Sei b = qa + r = q 0 a + r0 mit 0 ≤ r < |a| und 0 ≤ r0 < a.
Dann ist (q − q 0 )a = r0 − r und |r0 − r| < |a|. Es folgt q − q 0 = 0, und
r0 − r = 0 · a = 0, also r0 = r.
Der größte gemeinsame Teiler von zwei Zahlen.
2.3 Bemerkung. Ist a 6= 0 und b | a, so ist |b| ≤ |a|. Insbesondere kommen
als Teiler von a nur die endlich vielen Zahlen ±1, ±2, . . . , ±a in Frage.
Beweis. b | a =⇒ a = qb, q 6= 0, da a 6= 0 =⇒ |q| ≥ 1 =⇒ |a| = |q| |b| ≥ |b|.
Nach dieser Bemerkung gibt es einen größten gemeinsamen Teiler von zwei
Zahlen a, b, welche nicht beide Null sind. Schreibe für den größten gemeinsamen Teiler (a, b) oder ggT (a, b). Mit anderen Worten:
Der größte gemeinsame Teiler (a, b) von a und b ist die eindeutig bestimmte natürliche Zahl d mit folgenden Eigenschaften:
(i) d | a und d | b
(ii) Gilt t | a und t | b, so ist t ≤ d.
Ist (a, b) = 1 so heißen a und b teilerfremd. In der Tat sind dann +1 und
−1 die einzigen gemeinsamen Teiler von a und b.
2.4 Satz. Seien a und b nicht beide 0 und d = (a, b). Dann gilt:
2
(a) d ist die kleinste positive Zahl der Form ax + by.
(b) Ist (a, b) = 1, so gibt es Zahlen x und y mit
ax + by = 1
(c) Ist t gemeinsamer Teiler von a und b, so ist t ein Teiler von d.
Beweis. M+ = {ax + by | x, y ganz und ax + by > 0} ist nicht leer, da
a2 + b2 ∈ M+ . Sei δ = MinM+ . Zeige zunächst:
(1) δ | a und δ | b
(2) t | a und t | b =⇒ t | δ
Sei δ = ax + by
Zu (1) Dividiere a durch δ mit Rest: a = qδ + r, 0 ≤ r < δ =⇒ r = a − qδ =
a − q(ax + by) = a(1 − qx) + b(−qy) = ax0 + by 0 .
Es folgt r = 0, da δ = MinM+ , und a = qδ, d.h. δ|a. Analog zeigt man, daß
δ | b.
2.1
Zu (2) t | a und t | b =⇒ t | ax + by = δ
Speziell gilt (2) für t = d =⇒ d|δ =⇒ d ≤ δ. Nach (1) ist δ gemeinsamer
Teiler von a und b, somit δ ≤ d. Es folgt d = δ, und (a) ist bewiesen.
(b) folgt aus (a).
Wegen (2) und δ = d gilt auch (c).
2.5 Korollar. M = {ax + by | x, y ∈ Z} ist die Menge der Vielfachen von
(a, b).
2.1
Beweis. (a, b) = d | a und d | b =⇒ d | ax + by, d.h. ax + by ist Vielfaches
von d.
Nach 2.4 ist d von der Form d = ax0 + by0 . Sei v = qd Vielfaches von
d =⇒ v = a(qx0 ) + b(qy0 ) ∈ M .
Das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen.
b heißt Vielfaches von a, wenn a | b.
Definition. Seien a > 0 und b > 0. Eine Zahl m heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b, wenn m das kleinste unter den gemeinsamen
3
positiven Vielfachen von a und b ist (es gibt solche Vielfache, etwa ab). Schreibe dafür kgV (a, b).
2.6 Bemerkung. Seien a > 0 und b > 0. Dann gilt: Aus a|n und b|n folgt
kgV (a, b) | n. In Worten: Jedes gemeinsame Vielfache von a und b ist ein
Vielfaches von kgV (a, b).
Beweis. Sei m = kgV (a, b). Division mit Rest ergibt n = qm + r, 0 ≤ r <
2.1
m. =⇒ r = n − qm =⇒ a|r und b|r =⇒ r = 0 nach Definition von m.
2.7 Satz. Seien a > 0 und b > 0. Dann gilt
(a, b)kgV (a, b) = ab.
Beweis. Sei m = kgV (a, b). Aus a | ab und b | ab folgt nach 2.6: m | ab und
g = ab
ist ganz. Es ist zu zeigen, daß g = (a, b).
m
a = g · mb , b = g · m
mit m
, m ∈ Z, also gilt
a
a b
(1)
g | a und g | b.
2.6
Aus t | a und t | b folgt bt , at ∈ Z und a | a bt , b | b at =⇒ m |
ab
t
=⇒ t |
ab
m
=g
Also ist gezeigt:
(2)
Aus t | a und t | b folgt t | g, insbesondere t ≤ g.
Aus (1) und (2) ergibt sich: g = (a, b).
Nach Satz 2.7 können wir den Begriff kgV“ eigentlich wieder vergessen. Wir
”
notieren noch
2.8 Regeln für den größten gemeinsamen Teiler. Sei a 6= 0.
(a) 1 ≤ (a, b) ≤ Min(|a|, |b|) falls auch b 6= 0 (folgt aus 2.3)
(b) (a, 1) = 1 (folgt aus a))
(c) (a, 0) = |a|, (−a, b) = (a, b) = (b, a) (klar)
(d) Für c > 0 ist (ac, bc) = c · (a, b)
a
b
(e) ( (a,b)
, (a,b)
)=1
(f) (a, b + ax) = (a, b) für alle x
(g) b | a =⇒ (a, b) = |b|
4
(h) a | bc und (a, b) = 1 =⇒ a|c
Beweis.
2.4
d) d = (a, b) | a und d | b =⇒ dc | ac und dc | bc =⇒ dc | (ac, bc) =: δ
2.4
c | ac und c | bc =⇒ c | δ =⇒ δc ist ganz. Es folgt: δ | ac =⇒ δc | a und
δ | bc =⇒ δc | b
δ
c
2.4
| a und δc | b =⇒ δc | d =⇒ δ | dc
dc | δ und δ | dc =⇒ dc = δ
d)
a
b
a
b
e) (a, b) = ( (a,b)
· (a, b), (a,b)
· (a, b)) = (a, b)( (a,b)
, (a,b)
)
Kürzen ergibt die Behauptung.
2.1
2.1
f) t | a und t | b =⇒ t | a und t | b + ax =⇒ t | a und t | (b + ax) − ax = b.
Also haben die Paare a, b und a, b + ax die gleichen gemeinsamen Teiler
=⇒ (a, b) = (a, b + ax)
d)
b)
g) a = bq =⇒ (a, b) = (bq, b · 1) = |b|(q, 1) = |b|.
c)
h) c = 0 =⇒ a | c. c 6= 0, a | ac, a | bc =⇒ a | (ac, bc) = |c|(a, b) = |c| =⇒
a | c.
2.9 Der euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers von a und b.
Nach 2.8 können wir annehmen, daß a > b > 0. Man erhält (a, b) nach dem
folgenden Verfahren: Setze a0 := a und a1 := b.
1. Schritt. Dividiere a0 durch a1 mit Rest:
a0 = q0 · a1 + a2 mit 0 ≤ a2 < a1
2.8
Bleibt kein Rest, so ist a1 | a0 =⇒ (a, b) = (a0 , a1 ) = a1 = b. Sonst gilt
0 < a2 < a1 < a0 .
2. Schritt. Dividiere a1 durch a2 mit Rest:
a1 = q 1 a2 + a3 , 0 ≤ a3 < a 2
Solange ein Rest bleibt fährt man fort und kommt zum k–ten Schritt. Es ist
0 < ak < ak−1 < . . . < a1 < a0 .
5
k–ter Schritt. Dividiere ak−1 durch ak mit Rest:
ak−1 = qk−1 ak + ak+1 , 0 ≤ ak+1 < ak
Wegen 0 ≤ ak+1 < ak < . . . < a1 < a0 = a muß das Verfahren abbrechen
(und zwar nach höchstens a Schritten), d.h.: Es gibt eine Zahl n ≥ 1, so daß
(i) ak−1 = qk−1 ak + ak+1 , 0 < ak−1 < ak für 1 ≤ k ≤ n − 1
(ii) an−1 = qn−1 an (also an |an−1 und daher (an , an−1 ) = an ).
Nach Regel f) gilt: (ak , ak−1 ) = (ak+1 + qk−1 ak , ak ) = (ak+1 , ak ) für 1 ≤ k ≤
n − 1. Also ist
(a, b) = (a1 , a0 ) = (a2 , a1 ) = . . . = (an , an−1 ) = an
Fazit.
(1) Ist b|a, so ist (a, b) = b.
(2) Ist b - a, so ist (a, b) der letzte Divisionsrest, der beim euklidischen
Algorithmus auftritt.
Rechenbeispiel. a = 531, b = 93 (siehe § 2)
531
93
66
27
12
=
=
=
=
=
5 · 93 + 66
1 · 66 + 27
2 · 27 + 12
2 · 12 + 3
4·3
letzter Divisionsrest
Also ist (531, 93) = 3.
Sind a > 0 und b > 0 teilerfremd, so gibt es nach 2.4 b) Zahlen x und y, so
daß ax + by = 1 ist. Mit Hilfe des euklidischen Algorithmus kann man solche
x, y leicht berechnen.
Verfahren zur Lösung der Gleichung aX + bY = 1, wenn (a, b) = 1
ist.
6
1. Schritt. Führe den euklidischen Algorithmus für a, b durch (o.E. a > b).
Erhalte Gleichungen (a0 = a, a1 = b).
a0 = q0 a1 + a2
a1 = q1 a2 + a3
..
.
ak−2 = qk−2 ak−1 + ak
..
.
an−2 = qn−2 an−1 + an
an−1 = qn−1 an
an = (a, b)
Im Falle (a, b) = 1 ist dabei an = 1, qn−1 = an−1 .
2. Schritt. Bestimme rekursiv von unten nach oben für k = n, n − 1, . . . z.
Zahlen xk , yk , so daß
(∗)
xk ak−2 + yk ak−1 = 1
Beginn der Rekursion. k = n : 1 · an−2 + (−qn−2 )an−1 = 1. Im Fall
k = n = 2 ist man fertig. Sei nun n ≥ k ≥ 3 und seien xk , yk mit der
Eigenschaft (∗) schon bestimmt. Setze die Gleichung aus dem Euklidischen
Algorithmus ak−1 = ak−3 − qk−3 ak−2 in (∗) ein und erhalte
1 = xk ak−2 + yk (ak−3 − qk−3 ak−2 )
= (xk − yk qk−3 )ak−2 + yk ak−3 = xk−1 ak−3 + yk−1 ak−2
Am Ende erhält man für k = 2
1 = x 2 a0 + y 2 a1 = x 2 a + y 2 b
Rechenbeispiel. Zeige, daß (97, 44) = 1 und
97 = 2 · 44 + 9 9 =
44 = 4 · 9 + 8 8 =


9 = 1·8+1 
y 1 =
löse 97x + 44y = 1
97 − 2 · 44
44 − 4 · 9
9−1·8
Aus 1 = 9 − 1 · 8 und 8 = 44 − 4 · 9 folgt 1 = −44 + 5 · 9. Aus 1 = −44 + 5 · 9
und 9 = 97 − 2 · 44 folgt 1 = 5 · 97 − 11 · 44.
Fazit: x = 5, y = −11 ist eine Lösung der Gleichung 97x + 44y = 1.
7