Vollständige Induktion

Vollständige Induktion
Aussageformen mit natürlichen Zahlen als Parametern kann man mit
vollständiger Induktion beweisen. Ist A(n) eine von n ∈ N abhängige
Aussage, so sind dazu die folgenden beiden Beweisschritte durchzuführen.
Induktionsanfang: Man zeigt, dass A(1) richtig ist.
Induktionsschluss: Man zeigt, dass aus der Annahme, dass A(n)
richtig ist (Induktionsvoraussetzung), folgt, dass auch A(n + 1) richtig
ist, d.h.
A(n) =⇒ A(n + 1) .
Dann ist gewährleistet, dass A(n) für alle n ∈ N gilt.
Vollständige Induktion
1-1
Vollständige Induktion
Aussageformen mit natürlichen Zahlen als Parametern kann man mit
vollständiger Induktion beweisen. Ist A(n) eine von n ∈ N abhängige
Aussage, so sind dazu die folgenden beiden Beweisschritte durchzuführen.
Induktionsanfang: Man zeigt, dass A(1) richtig ist.
Induktionsschluss: Man zeigt, dass aus der Annahme, dass A(n)
richtig ist (Induktionsvoraussetzung), folgt, dass auch A(n + 1) richtig
ist, d.h.
A(n) =⇒ A(n + 1) .
Dann ist gewährleistet, dass A(n) für alle n ∈ N gilt.
Bei einem Induktionsbeweis wird sukzessive das Nächste aus dem
Vorherigen gefolgert. Wird der Induktionsanfang nicht für n0 = 1, sondern
für ein n0 > 1 durchgeführt, so gilt die Aussage nur für alle n ≥ n0 .
Vollständige Induktion
1-2
Beispiel:
Beweis der Formel für die Summe der Quadratzahlen,
A(n) :
n
X
k=1
1
k 2 = 12 + 22 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) ,
6
mit vollständiger Induktion
Vollständige Induktion
2-1
Beispiel:
Beweis der Formel für die Summe der Quadratzahlen,
A(n) :
n
X
k=1
1
k 2 = 12 + 22 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) ,
6
mit vollständiger Induktion
Induktionsanfang (A(1)):
1
X
k=1
k 2 = 12 =
1·2·3
6
Vollständige Induktion
2-2
Vollständige Induktion
2-3
Induktionsschluss (A(n) =⇒ A(n + 1)):
n+1
X
k2 =
k=1
n
X
k=1
k 2 + (n + 1)2 =
n(n + 1)(2n + 1)
+(n + 1)2
6
|
{z
}
A(n)
=
(n + 1) n(2n + 1) + 6(n + 1)
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
=
6
6
Vollständige Induktion
2-4
Induktionsschluss (A(n) =⇒ A(n + 1)):
n+1
X
k2 =
k=1
n
X
k=1
k 2 + (n + 1)2 =
n(n + 1)(2n + 1)
+(n + 1)2
6
|
{z
}
A(n)
=
(n + 1) n(2n + 1) + 6(n + 1)
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
=
6
6
Verwendung der Induktionsvoraussetzung bei der zweiten Gleichheit
Vollständige Induktion
2-5
Beispiel:
Anzahl der Spiele bei einem Tennis-Turnier (K.O.-System) mit 2n
Teilnehmern
2n − 1
(n = 7 bei einem Grand-Slam)
Vollständige Induktion
3-1
Beispiel:
Anzahl der Spiele bei einem Tennis-Turnier (K.O.-System) mit 2n
Teilnehmern
2n − 1
(n = 7 bei einem Grand-Slam)
(i) Beweis mit vollständiger Induktion:
Vollständige Induktion
3-2
Beispiel:
Anzahl der Spiele bei einem Tennis-Turnier (K.O.-System) mit 2n
Teilnehmern
2n − 1
(n = 7 bei einem Grand-Slam)
(i) Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang (n = 1):
2 = 21 Teilnehmer
1 = 21 − 1 Spiele
Vollständige Induktion
3-3
Beispiel:
Anzahl der Spiele bei einem Tennis-Turnier (K.O.-System) mit 2n
Teilnehmern
2n − 1
(n = 7 bei einem Grand-Slam)
(i) Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang (n = 1):
2 = 21 Teilnehmer
1 = 21 − 1 Spiele
Induktionsschluss (n → n + 1):
Vollständige Induktion
3-4
Beispiel:
Anzahl der Spiele bei einem Tennis-Turnier (K.O.-System) mit 2n
Teilnehmern
2n − 1
(n = 7 bei einem Grand-Slam)
(i) Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang (n = 1):
2 = 21 Teilnehmer
1 = 21 − 1 Spiele
Induktionsschluss (n → n + 1):
2n+1 Teilnehmer
zwei Gruppen mit je 2n Teilnehmern
Vollständige Induktion
3-5
Beispiel:
Anzahl der Spiele bei einem Tennis-Turnier (K.O.-System) mit 2n
Teilnehmern
2n − 1
(n = 7 bei einem Grand-Slam)
(i) Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang (n = 1):
2 = 21 Teilnehmer
1 = 21 − 1 Spiele
Induktionsschluss (n → n + 1):
2n+1 Teilnehmer
zwei Gruppen mit je 2n Teilnehmern
Induktionsvoraussetzung
=⇒
[2n − 1] Spiele in jeder Gruppe
Vollständige Induktion
3-6
Beispiel:
Anzahl der Spiele bei einem Tennis-Turnier (K.O.-System) mit 2n
Teilnehmern
2n − 1
(n = 7 bei einem Grand-Slam)
(i) Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang (n = 1):
2 = 21 Teilnehmer
1 = 21 − 1 Spiele
Induktionsschluss (n → n + 1):
2n+1 Teilnehmer
zwei Gruppen mit je 2n Teilnehmern
Induktionsvoraussetzung
=⇒
[2n − 1] Spiele in jeder Gruppe
zusätzliches letztes Spiel für die Sieger der beiden Gruppen
2 · [2n − 1] + 1 = 2n+1 − 1
Spiele bei 2n+1 Teilnehmern
Vollständige Induktion
3-7
(ii) einfachere Argumentation ohne vollständige Induktion:
Vollständige Induktion
3-8
(ii) einfachere Argumentation ohne vollständige Induktion:
Beim K.O.-System verliert bis auf den Gewinner jeder Teilnehmer genau
einmal; jedes Spiel hat genau einen Verlierer.
Vollständige Induktion
3-9
(ii) einfachere Argumentation ohne vollständige Induktion:
Beim K.O.-System verliert bis auf den Gewinner jeder Teilnehmer genau
einmal; jedes Spiel hat genau einen Verlierer.
ein Spiel weniger als die Teilnehmerzahl
Vollständige Induktion
3-10
(ii) einfachere Argumentation ohne vollständige Induktion:
Beim K.O.-System verliert bis auf den Gewinner jeder Teilnehmer genau
einmal; jedes Spiel hat genau einen Verlierer.
ein Spiel weniger als die Teilnehmerzahl
Alternativbeweis auch bei Teilnehmerfeldern beliebiger Größe anwendbar
(z.B. bei Freilosen)
Vollständige Induktion
3-11
letzte 3 Runden des Wimbledon-Turniers von 1985
g replaements
Gunthardt
4:6, 3:6, 2:6
Jarryd
Jarryd
6:2, 6:7, 3:6, 3:6
Beker
Leonte
6:7, 6:3, 3:6, 4:6
Beker
Beker
6:3, 6:7, 7:6, 6:4
Beker
MEnroe
2:6, 2:6, 4:6
Curren
Curren
6:2, 6:2, 6:1
Curren
Connors
6:1, 7:6, 6:2
Connors
Auna
Vollständige Induktion
3-12
Beispiel:
falsche Aussage
Alle Mäuse sind grau“
”
Vollständige Induktion
4-1
Beispiel:
falsche Aussage
Alle Mäuse sind grau“
”
Beweis mit vollständiger Induktion
Vollständige Induktion
4-2
Beispiel:
falsche Aussage
Alle Mäuse sind grau“
”
Beweis mit vollständiger Induktion
Induktionsschluss (n → n + 1):
Vollständige Induktion
4-3
Beispiel:
falsche Aussage
Alle Mäuse sind grau“
”
Beweis mit vollständiger Induktion
Induktionsschluss (n → n + 1):
n + 1 Mäuse: M1 , . . . , Mn+1
Vollständige Induktion
4-4
Beispiel:
falsche Aussage
Alle Mäuse sind grau“
”
Beweis mit vollständiger Induktion
Induktionsschluss (n → n + 1):
n + 1 Mäuse: M1 , . . . , Mn+1
M1 , . . . , Mn und M2 , . . . , Mn+1 jeweils grau nach
Induktionsvoraussetzung
Vollständige Induktion
4-5
Beispiel:
falsche Aussage
Alle Mäuse sind grau“
”
Beweis mit vollständiger Induktion
Induktionsschluss (n → n + 1):
n + 1 Mäuse: M1 , . . . , Mn+1
M1 , . . . , Mn und M2 , . . . , Mn+1 jeweils grau nach
Induktionsvoraussetzung
=⇒
n + 1 Mäuse grau
Vollständige Induktion
4-6
Beispiel:
falsche Aussage
Alle Mäuse sind grau“
”
Beweis mit vollständiger Induktion
Induktionsschluss (n → n + 1):
n + 1 Mäuse: M1 , . . . , Mn+1
M1 , . . . , Mn und M2 , . . . , Mn+1 jeweils grau nach
Induktionsvoraussetzung
=⇒
n + 1 Mäuse grau
Grund für den Widerspruch: fehlender Induktionsanfang
Vollständige Induktion
4-7