A 4-4 Winkelfunktionen

• Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg
Schule
• Mathematik 4 Arbeitsblatt A 4-4
4 Winkelfunktionen
Thema
Unterlagen
• LehrerInnenteam/ Mag. Wolfgang Schmid
Winkelmaße
Um die Größe eines Winkels anzugeben gibt es verschiedene Maßeinheiten.
Eines davon ist ihnen bereits bekannt:
1) (Alt)Grad
Definition:: 1 Grad ist ein Neunzigstel
N
eines rechten Winkels.
1° =
1
des rechten Winkels.
inkels.
90
Auch 1 Grad will aber weiter unterteilt. sein. 1 Grad besteht aus 60
Winkelminuten.
nuten. Man schreibt die: 1°=60’. Eine Winkelminute besteht aus 60
Winkelsekunden.
kunden. Man schreibt dies: 1’ = 60’’.
Es gilt also: 1°=60’=3600’’
Dieses traditionelle Winkelmaß
Winkelmaß hat einen Nachteil, es wird nicht mit der Zahl 10
umgerechnet, folglich ist es nicht
nicht direkt übertragbar in unser dekadisches
Zahlensystem
lensystem (Dies beruht ja auf die Umrechnungszahl 10. Wir müssen also
folglich
lich stets zwischen diesen Winkelangaben und der dezimalen
dez
Winkelangabe
gabe umrechnen:
Beispiel: Gib 15°10’ als Dezimalzahl an.
Lösung:
Da wir 15 ganze Grad haben muss die Zahl also 15, ... lauten. Damit wir
die Dezimalstellen bestimmen, müssen wir die 10’ in eine Dezimalzahl
umrechnen. Da ein ganzes Grad 60 Winkelminuten entspricht, müssen
also 10’ gleich
10
eines Grades entsprechen.
60
Wir müssen also die Winkelminuten durch 60 dividieren:
•
10 : 60 = 0,16
Wenn wir nun die 15° dazugeben können wir die Lösung angeben:
•
15°10' = 15,16 °
1
Natürlich will man aber öfters auch den umgekehrten Weg gehen. Man hat
einen Winkel in dezimaler Schreibweise gegeben und will ihn in Winkelminuten
angeben.
Beispiel: Gib den Winkel 25,24° in den Winkeleinheiten an:
Lösung:
Wir können die 25,24° zerlegen in 25° + 0,24°.
Wir sehen also, dass 25° in dieser Dezimalzahl enthalten sind. Nun
müssen wir untersuchen, wie viele Winkelminuten in den 0,24° enthalten
sind. Da ein Grad aus 60 Winkelminuten besteht, müssen wir also folglich
mit 60 multiplizieren, um die Grad in Winkelminuten umzuwandeln:
0,24° ⋅ 60 = 14,4'
Die 14,4’ können wir wieder zerlegen in 14’ + 0,4’. Wir erkennen also,
dass zu unseren 25° 14’ dazugekommen sind. Nun können wir noch
untersuchen, wie viele Winkelsekunden in den 0,4’ enthalten sind. Um
die Winkelminuten in Winkelsekunden umzurechnen müssen wir wieder
mit 60 multiplizieren:
0,4'⋅60 = 24' '
Wir bekommen also noch 60’’ zu unseren 25°14’ dazu. Das Ergebnis l
lautet also: 25,24° = 25°14'24' '
2)Neugrad
Dies ist nun ein anderes Winkelmaß. Wie oben beschrieben, haben die
Altgrad den Nachteil, dass sie nicht auf unserem 10er-System beruhen.
Folglich hat man ein neues Winkelmaß geschaffen, welches eben auf diesem
10er-System beruht, eben die Neugrad.
Definition: Ein Neugrad ist der 100ste Teil eines rechten Winkels.
1g =
1
des rechten Winkels. (sprich: 1 Gon)
100
Auch hier gibt es kleinere Winkeleinheiten, wobei aber die Umrechnungszahl
nun stets 100 ist. Ein Neugrad besteht aus 100 Neuminuten (Schreib: 1g = 100 c ).
Eine Neuminute besteht wieder aus 100 Neusekunden (Schreib: 1c = 100 cc ).
Praktisch angewandt wird diese Winkelangabe im Vermessungswesen und in
manchen Teilgebieten der Physik. In der Mathematik hingegen ist die
traditionelle Angabe in Altgrad üblich. Sie sollten also lediglich wissen, dass es
diese Winkelangabe gibt, rechnen werden wir nicht mit dem Neugrad.
2
3) Das Bogenmaß
Dies ist nun wieder eine für die Mathematik wichtige Winkelangabe, da sie bei
manchen Aufgabenstellungen praktischer als die Altgrad ist.
Zunächst erklären wir einmal auf welche Idee das Winkelmaß beruht:
Wir nehmen uns einmal zwei Schenkel, die einen beliebigen Winkel bilden.
Nun legen wir genau in das Zentrum des Winkels einen Kreis mit dem
Radius r = 1. Diesen Kreis nennt man den so genannten Einheitskreis (Ein
Begriff, den sie alle behalten sollten.
Definition: Einen Kreis mit dem Radius 1 nennt man einen Einheitskreis.
B
r=1
A
Dieser Kreis schneidet nun die beiden Schenkel in zwei Punkten (A und B
in der Zeichnung beschriftet). Zu jedem Winkel ergibt sich nun genau
eine bestimmte Länge des Kreisbogens zwischen diesen beiden
Schnittpunkten. Die Länge des Kreisbogens ist dabei für jeden Winkel
unterschiedlich groß und eindeutig. Damit ist also die Länge dieses
Kreisbogens als Winkelmaß geeignet und man nennt es das Bogenmaß.
Die Einheit dafür ist 1rad. Dies entspricht einem Winkel, dessen
Kreisbogen genau 1 lang ist (Würde in etwa 57,3° entsprechen).
Definition: 1 rad ist die Länge eines Kreisbogens eines Kreissektors mit
Radius r = 1.
3
Umrechnung zwischen Grad und rad.
Beispiel: Gib 35,24° im Bogenmaß an.
Lösung:
Wenn wir diesen Winkel im Bogenmaß angeben wollen, müssen wir in
Wirklichkeit nur ausrechnen, wie Lange der Kreisbogen sein würde,
wenn wir um das Zentrum dieses Winkels einen Kreis mit Radius r = 1
(Einheitskreis) legen würden. Wie man die Länge eines Kreisbogens
berechnet ist uns aber bereits aus dem 2. Semester bekannt (wenn
nicht, bitte nachschlagen):
r ⋅ π ⋅α
b=
180
Für r können wir aber nun 1 einsetzen (Da wir immer am Einheitskreis
rechnen) und der Winkel α ist laut Angabe 35,24°.
r ⋅ π ⋅ α 1⋅ π ⋅ 35,24
b=
180
=
180
= 0,62
Die Länge dieses Kreisbogens beträgt also genau 0,62. Dies ist aber
genau die Winkelangabe im Bogenmaß. Wir erhalten also:
35,24° = 0,62rad
Nun müssen wir noch wissen, wie man vom Bogenmaß in Grad umrechnet.
Beispiel: Rechne 2,3rad in Grad um.
Lösung:
Dass der Winkel 2,3rad groß ist, bedeutet ja nur, dass die Länge des
Kreisbogens am Einheitskreis (r = 1) also 2,3 lang ist. Wir müssen uns also
nur den dazugehörigen Winkel α ausrechnen. Wir nehmen also wieder
unsere Formel zur Berechnung des Kreisbogens.
r ⋅ π ⋅α
b=
180
Nun wissen wir, dass b = 2,3 ist. Der Radius muss wiederum 1 sein. Wir
setzen also ein:
1⋅ π ⋅ α
2,3 =
180
Wir formen nach α um:
1⋅ π ⋅ α
2,3 =
/⋅ 180
180
414 = π ⋅ α /:π
414
α=
= 131,78°
π
Es gilt also: 2,3rad = 131,78°
4
FESTLEGEN VON WINKELN DURCH
RECHTWINKELIGE DREIECKE
Wir denken uns zunächst einmal einen Winkel beliebiger Größe:
α
Im Zentrum diese Winkels zeichnen wir nun wieder unseren Einheitskreis
(r = 1)ein:
r=1
α
Nun können wir um die Schnittpunkte zwischen Kreis und Winkelschenkel ein
rechtwinkeliges Dreieck herauszeichnen:
Dieses rechtwinkelige Dreieck( Vom Eckpunkt A zum Eckpunkt E und zu D),
welches sich am Einheitskreis bildet interessiert uns nun. Wenn wir die Größe
des Winkels α verändern, verändert sich auch die Größe der senkrechten
Kathete von E nach D. Es folgt daraus, dass jedem Winkel α also genau eine
solche senkrechte Länge zugeordnet werden kann. Diese Länge bezeichnet
man nun also den „Sinus von α“ (Schreib: sin α ).
5
Definition: Jene Länge, welche durch einen Winkel α am Einheitskreis als
senkrechte Kathete gebildet wird nennt man den „Sinus von α“.
Genau dasselbe können wir aber auch für die waagrechte Kathete (Geht
von A nach E) feststellen. Verändern wir den Winkel α, so ändert sich auch die
Länge dieser Strecke. Folglich ist auch diese geeignet zur Festlegung eines
Winkels geeignet. Man bezeichnet diese Strecke als „Cosinus von α“ (Schreib:
cosα ).
Definition: Jene Länge, welche durch einen Winkel α am Einheitskreis als
waagrechte Kathete gebildet wird nennt man den „Cosinus von α“.
Noch eine Folgerung können wir aus der Definition von Sinus und Cosinus
ableiten Da dies beide Längen innerhalb des Einheitskreises sind, können also
sowohl sin α als auch cosα nie größer als 1 werden.
Merke: sin α und cosα sind stets kleiner gleich 1.
Eine Winkelfunktion, welche wir benötigen, fehlt uns nun noch. Da diese an
einem anderen rechtwinkeligen Dreieck festgelegt ist, sehen wir uns deren
Definition am Einheitskreis genauer an:
Wir bilden nun ein rechtwinkeliges Dreieck (Eckpunkte A, B, D), indem wir vom
unteren Schnittpunkt zwischen Schenkel und Einheitskreis im rechten Winkel
nach oben gehen. Wir bilden das rechtwinkelige Dreieck also nun außerhalb
des Einheitskreises.
Aber auch hier gilt: Verändert man den Winkel α, so verändert sich auch die
Länge der Strecke zwischen B und C. Diese Länge ist also ebenfalls typisch
und eindeutig für jeden Winkel. Man bezeichnet diese Länge als den
„Tangens von α“(Schreib: tan α ).
Definition: Jene Länge, welche durch einen Winkel α außen am Einheitskreis
als senkrechte Kathete gebildet wird nennt man den „Tangens von α“.
Wichtig erscheint mir, dass sie sich also Folgendes bewusst sind.
6
Merke: Zu jedem Winkel α gibt es genau eine bestimmte Länge namens „Sinus
α“, genau eine Länge namens „Cosinus α“ und eine Länge namens „Tangens
α“.
Da der Tangens außerhalb des Einheitskreises gebildet wird, kann dieser
größer als 1 werden. (Überlegen Sie sich dies!!)
Merke: Der Tangens eines Winkels kann beliebig groß sein.
Satz: Da es sich sowohl beim Sinus als auch bei Cosinus und Tangens eines
Winkels um eine Zuordnung handelt, welche einem Winkel genau eine
bestimmte Länge zuordnen, handelt es sich also um Funktionen. Man nennt
Sinus, Cosinus und Tangens Winkelfunktionen.
Nun stellt sich natürlich die einfache Frage: Wie rechnen wir mit diesen
Winkelfunktionen? Da Sie die besprochenen Winkelfunktionen am
Taschenrechner zur Verfügung haben, ist das konkrete Ausrechnen
heutzutage kein Problem mehr.
Beispiel: Ermittle am Taschenrechner den Wert der 1) Sinusfunktion 2)
Cosinusfunktion und 3) Tangensfunktion des Winkels α = 23,12° .
Lösung:
1) Wir wollen also den Sinus von 23,12° berechnen. Man schreibt dies
folgendermaßen: sin 23,12° =
Das Berechnen selbst übernimmt der Taschenrechner für Sie: Geben Sie
nur 23,12 ein und drücken danach die Taste „SIN“. Das Ergebnis erscheint
sofort (Ohne Drücken der „= Taste“). Wir erhalten:
sin 23,12° = 0,3927
Anmerkung: Machen Sie sich bitte unbedingt bewusst, was sie eigentlich jetzt
berechnet haben.
2) Wir müssen nun lediglich 23,12 und dann „COS“ drücken. Wir erhalten:
cos 23,12° = 0,9197
Anmerkung: Machen Sie sich bitte unbedingt bewusst, was sie eigentlich jetzt
berechnet haben.
3) Wir müssen nun 23,12 und dann „TAN“ drücken und erhalten:
tan 23,12° = 0,4269
Anmerkung: Machen Sie sich bitte unbedingt bewusst, was sie eigentlich jetzt
berechnet haben.
7
Natürlich kann man auch den umgekehrten Weg gehen. Man kennt zum
Beispiel die Sinuslänge eines bestimmten Winkels und will den Winkel wissen.
Man geht also den umgekehrten Weg. Wir benötigen dazu also eine Funktion
die genau umgekehrt zur Funktion Sinus (Berechnet aus gegebenem Winkel
die Sinuslänge) aus gegebener Sinuslänge den Winkel berechnet. Man nennt
diese
Umkehrfunktionen
die
sogenannten
„Arkusfunktionen“.
Die
Umkehrfunktion zum Sinus heißt Arkussinus (Schreib: arcsin ), zu Cosinus
Arkuscosinus (Schreib: arccos ) und zum Tangens Arkustangens (Schreib: arctan ).
Definition: Die Umkehrfunktionen zu den Winkelfunktionen heißen Arkussinus,
Arkuscosinus und Arkustangens).
Gehen wir dies an einem praktischen Beispiel durch:
Beispiel: Gib jenen Winkel an, für den gilt, dass sin β = 0,32 .
Lösung:
Die Angabe bedeutet nichts anderes, als dass uns bekannt ist, dass die
Sinuslänge eines Winkels 0,32 lang ist und wir daraus den Winkel
berechnen müssen. Wir benötigen also die Umkehrfunktion für den
Sinus, den Arkussinus und schreiben:
sin β = 0,32
β = arcsin 0,32
Das praktische Ausrechnen des Wertes übernimmt wieder der
Taschenrechner für uns, wobei aber die Beschriftung etwas anders ist.
Die Umkehrfunktion zum Sinus ist wahrscheinlich mit „ sin −1 “ beschriftet
und befindet sich als zweite Funktion auf der Sinustaste. Bei den
Umkehrfunktionen zu Cosinus und Tangens ist es entsprechend.
Wir geben also Folgendes in den TR ein: 0,32 . Drücken nun die Taste
„2nd“ und nun „Sin“ und erhalten das Ergebnis:
β = 18,66°
8
AUFLÖSUNG DES RECHTWINKELIGEN DREIECKS
Wir haben zwar jetzt bereits die Winkelfunktionen kennen gelernt, haben aber
bisher theoretisch immer nur an rechtwinkeligen Dreiecken gearbeitet,
welche am Einheitskreis gebildet wurde. Wie wir nun sehen werden, lassen
sich aber die Winkelfunktionen leicht auf beliebig große rechtwinkelige
Dreiecke anwenden.
Zunächst noch einmal eine Benennung zur Wiederholung:
Hypotenuse
Kathete
Kathete
Merke: Bei einem rechtwinkeligen Dreieck nennt man jene beiden Seiten,
welche einen rechten Winkel bilden „Katheten“, jene dritte und längste Seite,
welche nicht den rechten Winkel bildet die „Hypotenuse“.
Wir werden nun dieses rechtwinkelige Dreieck immer von einem bestimmten
Winkel aus betrachten. Von diesem Gesichtspunkt aus unterscheidet man
auch noch zwischen den beiden Katheten:
Hypotenuse
Gegenkathete
α
Ankathete
Wir betrachten das obige rechtwinkelige Dreieck vom Winkel α aus. Es gibt nun eine Kathete, welche ein
Schenkel des Winkels α ist, diese nennt man die Ankathete, und eine Kathete, welche kein Schenkel des
Winkels α ist (die also dem Winkel gegenüber liegt), diese nennt man die Gegenkathete.
Definition: Jene Kathete, welche Schenkel zu einem gegebenen Winkel ist,
nennt man die Ankathete. Jene Kathete, welche kein Schenkel des
gegebenen Winkels ist, nennt man Gegenkathete.
9
Beachten Sie bitte, dass man also nicht allgemein sagen kann, was die
Gegenkathete und was die Ankathete ist, da dies immer abhängt, von
welchem Winkel aus wir dies betrachten.
So, nach dieser Definition, überlegen wir uns nun, wie wir die Längen sin α ,
cosα und tan α bei einem gegebenen Winkel α berechnen können. Wir
nehmen dazu ein beliebig großes rechtwinkeliges Dreieck an und bezeichnen
die Seiten nur mit AK für Ankathete, GK für Gegenkathete und HYP für
Hypotenuse.
Zunächst einmal wollen wir den Sinus des Winkels α berechnen. Dazu
zeichnen wir im Zentrum des Dreiecks den Einheitskreis ein und bilden unser
rechtwinkeliges Dreieck (A, F, E benannt), an dem ja die Länge sin α definiert
ist.
sin α
Wir erhalten nun zwei ähnliche Dreiecke (d.h. die Winkel in den beiden
Dreiecken sind gleich groß). In ähnlichen Dreiecken ist das Verhältnis
entsprechender Seiten aber stets gleich (Wer sich daran nicht mehr erinnert,
bitte in den alten Unterlagen nachsehen), d.h. wenn wir zwei Seiten des einen
Dreiecks durchdividieren und die entsprechenden Seiten des anderen
Dreiecks durchdividieren erhalten wir gekürzt denselben Bruch.
Bei uns ist nun das Dreieck ABC ähnlich dem Dreieck AFE. Ich wähle nun bei
dem Dreieck AFE die Seiten sin α und r(= 1, da Einheitskreis). Die zu sin α
entsprechende Seite des Dreiecks ABC ist die Gegenkathete GK. Die zu r
entsprechende Seite ist die Hypotenuse HYP. Nun dividieren wir jeweils die
Seiten und erhalten:
sin α Gegenkathe te
1
=
Hypotenuse
10
Da
sin α
= sin α erhalten wir:
1
Gegenkathe te
sin α =
Hypotenuse
Damit haben wir eine Formel, mit der wir bei gegebenen zwei der drei Größen
an beliebigen rechtwinkeligen Dreiecken rechnen können.
Satz: Der Sinus eines Winkels ergibt sich bei einem rechtwinkeligen Dreieck aus
dem Verhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse.
sin α =
Gegenkathe te
Hypotenuse
Dies ist bitte auswendig zu lernen!!!!!!
Dasselbe können wir nun für die Berechnung der Cosinuslänge eines Winkels
durchführen. Wir zeichnen wieder unsere Dreiecke:
cos α
Auch hier sind die Dreiecke ABC und AFE wieder ähnlich. Wir verwenden
diesmal vom Dreieck AFE die Seiten r(=1) und cosα . Im Dreieck ABC entspricht
der Seite r die Hypotenuse HYP und der Seite cosα die Ankathete AK. Wir
dividieren wieder die entsprechenden Seiten:
cos α
Ankathete
1
=
Hypotenuse
Wir erhalten also:
cos α =
Ankathete
Hypotenuse
Satz: Der Cosinus eines Winkels ergibt sich bei einem rechtwinkeligen Dreieck
aus dem Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse.
cos α =
Ankathete
Hypotenuse
Dies ist bitte auswendig zu lernen!!!!!!
Als Letztes führen wir unsere Überlegung noch für den Tangens durch. Wir
machen wieder folgende Skizze (Beachten Sie, dass das rechtwinkelige
Dreieck nun natürlich außen am Einheitskreis gebildet wird.
11
tan α
Auch hier sind die Dreiecke ABC und AFE wieder ähnlich. Wir wählen vom
Dreieck AFE die Seiten r (=1) und tan α . Der Seite r entspricht im Dreieck ABC
die Ankathete. Der Seite tan α entspricht die Gegenkathete. Wir dividieren
wieder die entsprechenden Seiten:
tan α Gegenkathe te
1
=
Ankathete
Wir erhalten also:
tan α =
Gegenkathete
Ankathete
Satz: Der Tangens eines Winkels ergibt sich bei einem rechtwinkeligen Dreieck
aus dem Verhältnis von Gegenkathete und Ankathete.
tan α =
Gegenkathete
Ankathete
Dies ist bitte auswendig zu lernen!!!!!!
12
So, nun sehen wir uns aber nach derartig viel Theorie an, wie man mit diesen
Winkelfunktionen wirklich rechnet. Dazu sei zu den Aufgaben in ihrem
Lehrbuch Folgendes gesagt: Wenn nicht ausdrücklich anderes gesagt wird
befindet sich der rechte Winkel stets beim Eckpunkt C, d.h γ = 90° .
Beispiel: Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man c = 110,6 und α = 35,4° .
Berechne die Seiten a und b, den Winkel β und den Flächeninhalt.
Lösung:
Wir fertigen uns zunächst eine Skizze an und tragen uns die bekannten
Größen ein (Tragen Sie diese daheim eventuell mit Farbstift ein):
Als Erstes möchten wir die Seite a berechnen. Bekannt ist uns der Winkel α. Von diesem aus betrachtet ist die Seite a die Gegenkathete.
Bekannt ist noch die Seite c, welches die Hypotenuse ist. Wir müssen uns nun also überlegen, welche Winkelfunktion mit Gegenkathete
und Hypotenuse rechnet. Dies ist der Sinus. Wir setzen also in die Definition ein:
sin α =
Gegenkathe te a
=
Hypothenus e c
Wir setzen nun unsere bekannten Zahlenwerte ein:
sin 35,4° =
a
110,6
Die Seite a lässt sich also nun berechnen:
a
110,6
a = 110,6 ⋅ sin 35,4°
sin 35,4° =
/ ⋅ 110,6
Wir tippen dies mit dem TR aus und erhalten:
a = 64,07
Da wir nun auch die Seite a haben, können wir die Seite b aus dem pythagoräischen Lehrsatz berechnen:
b 2 = c 2 − a 2 ⇒ b = 110,6 2 − 64,07 2 = 90,15
Genauso gut hätten wir aber b auch mittels der Winkelfunktionen berechnen können. Von α aus ist b die Ankathete, c die Hypotenuse.
Ankathete und Hypotenuse werden vom Cosinus benötigt. Es gilt also:
cos α =
Ankathete
b
=
Hypotenuse c
Wir setzen die bekannten Werte ein:
b
/ ⋅ 110,6
110,6
b =110,6 ⋅ cos 35,4° = 90,15
cos 35,4° =
Auf welche der beiden Arten Sie rechnen ist natürlich völlig egal (Sie
hätten auch noch mit dem Tangens arbeiten können).
13
Nun benötigen wir noch den Winkel β. Da wir bereits alle Seiten des
Dreiecks kennen ist es egal mit welcher Winkelfunktion wir arbeiten. Ich
wähle diesmal den Tangens. Der Tangens ist folgendermaßen definiert:
tan β =
Gegenkathete
Ankathete
Von β aus betrachtet ist die Seite a die Ankathete, b die Gegenkathete. Wir setzen also entsprechend ein:
tan β =
b
a
Wir setzen unsere bekannten Werte ein:
tan β =
90,15
64,07
Nun haben wir wieder den Fall, dass die Tangenslänge bekannt ist
(Ergibt sich als Ergebnis der Division
90,15
), wir aber den dazugehörigen
64,07
Winkel β benötigen. Wir verwenden also die Umkehrfunktion arctan.
β = arctan
90,15
64,07
Wir tippen dies mit dem TR aus und erhalten:
β = 54,6°
Die Fläche ist nun eine Einsetzübung:
A=
a⋅b
= 2887,96
2
Noch ein weiteres Beispiel sei angeführt:
Beispiel: Von einem rechtwinkeligen Dreieck kennt man: b = 120
Berechne die Seiten a und c, den Winkel α und den Flächeninhalt.
β = 29,87° .
Lösung:
Wir fertigen wieder eine Skizze an und tragen bekannte Größen ein:
14
Beginnen wir mit der Berechnung der Seite c. Vom Winkel β, welcher uns bekannt ist, ist die Seite b, welche ebenfalls bekannt ist, die
Gegenkathete, die Seite c die Hypotenuse. Gegenkathete und Hypotenuse verwendet der Sinus. Wir setzen also ein:
sin β =
Gegenkathe te b
=
Hypotenuse
c
Wir setzen bekannte Zahlenwerte ein:
sin 29,87° =
120
c
Wir formen nach c um:
120
/⋅c
c
c ⋅ sin 29,87° = 120 / :sin 29,87°
120
c=
= 240,95
sin 29,87°
sin 29,87° =
Die Seite a berechnen wir mittels des Pythagoras:
a = c 2 − b 2 = 208,94
Anmerkung: man hätte natürlich auch eine Winkelfunktion verwenden können.
Für die Berechnung des Winkels α verwende ich den Sinus (Da alle
Seiten bekannt sind, könnte man jede Winkelfunktion verwenden). Laut
Definition gilt:
sin α =
Gegenkathe te
Hypothenus e
Von α aus ist a die Gegenkathete und c die Hypotenuse.
sin α =
a
c
Wir setzen die bekannten Zahlenwerte ein:
sin α =
208,94
240,95
Wir benötigen wieder die Umkehrfunktion:
α = arcsin
208,94
= 60,13°
240,95
Für die Fläche setzen wir ein:
A=
a⋅b
= 12536,4
2
15