Einführung in die Logik

Institut für
Theoretische Informatik
ITI
Dr. Jürgen Koslowski
Einführung in die Logik
Aufgabenblatt 9, 2016-06-21
Lesen Sie bitte die verbesserte Motivation für die Prädikatenlogik im Skript.
Das Alphabet der Prädikatenlogik besteht aus
. V, einer abzählbar unendlichen Menge von Variablen x0 , x2 , x3 , . . . ,
. einer Signatur Σ,
. den Quantoren ∀ und ∃
. und den Hilfssymbolen Klammern )“ , (“ , Komma ,“ und Doppelpunkt :”
”
”
”
”
Die Menge aller Σ-Terme ist die kleinste Menge, die
. V umfaßt, d.h., jede Variable x0 , x1 , x2 . . . ist ein Term;
. mit jedem n-stelliges Funktionssymbol f und n Termen ti , i < n, auch f (t0 , . . . , tn−1 )
enthält. (Im Fall n = 0 erhält man so die Konstanten.)
Die Menge aller Σ-Terme deren Variablen in M ⊆ V liegen bezeichnet man mit TΣ (M).
. Atomare Formeln haben die Form
t0 = t1
sowie
R(t0 , . . . , tn−1 )
wobei die ti Terme sind und R ein n-stelliges Prädikatssymbol aus Σ ist.
. Die Formeln der Prädikatenlogik bilden die kleinste Menge,
1. die jede atomare Formel enthält,
2. bezüglich der Junktoren ¬, ∧ und ∨ abgeschlossen ist,
3. mit jeder Formel F und jeder Variable x auch (∀x : F ) und (∃x : F ) enthält.
Übungsaufgabe 39
es Die Signatur Σ enthalte drei Funktionssymbole g, f , c mit den Stelligkeiten 3, 1 bzw. 0,
und zwei Relationssymbole R, S mit den Stelligkeiten 2 bzw 2. Entscheiden Sie, welche der
folgenden Ausdrücke korrekt gebildete prädikatenlogische Terme oder Formeln dieser Signatur
sind (x, y, z seien Variablen). Falls ein Term vorliegt, zeichnen Sie den Syntaxbaum; falls weder
ein Term noch eine Formel vorliegt, begründen Sie dies.
(a) f (f (c))
(b) R(R(c, x), y)
(c) g(f (g(x, f (y), z)), z, f (c))
(d) R(x, y) ⇒ (∃z : S(z, y))
(e) ∀x : ∃y : (R(c, f (x, c)) ∧ ((∀z : S(c, c)) ∨ R(g(h(x), c, c), z)))
( f ) x = g(x, x, f (x)) ∨ ∃c : f (x) = c
(g) ∃x : ∀y : R(x, y) ∨ S(y, g(c, c, x))f (x) = g(x, z, f (y))
Lösungsvorschlag:
Vorüberlegung: Sobald Relationssymbole oder die Gleichheit auftreten, kann es sich nicht mehr
um Terme handeln.
(a) Term mit Syntaxbaum
f
f
c
(b) R(R(c, x), y) ist weder ein Term (da Relationssymbole auftreten), noch eine atomare Formel, da das erste Argument des äußeren Relationssymbols R kein Term ist.
(c) Term mit Syntaxbaum
g
z
f
c
g
x
f
f
z
y
(d) Formel; es spielt keine Rolle, dass die Variable z nicht in S auftritt.
(e) keine Formel; in der ersten Instanz von R hat das zweite Argument f zwei Argumente statt
nur eins.
( f ) Da die Signatur eine Konstante c beinhaltet, dürfen wir keine Variable mit c benennen,
insofern handelt es sich bei ∃c : nicht um einen zulässigen Junktor und der Ausdruck ist
keine korrekte Formel. (Bei einer Signatur ohne Konstante c wäre dieser Teil des Ausdrucks
aber eine korrekte Formel.)
(g) keine Formel; die Konkatenation von S(y, g(c, c, x)) und f (x) ist nicht definiert.
Aufgabe 40 [18 PUNKTE]
Weisen Sie ¬(A ⇒ B) ⇒ (C ⇒ A) als Tautologie nach:
(a) [4 punkte] mittels Wahrheitstafel;
(b) [8 punkte] mittels natürlicher Deduktion, indem Sie ¬(A ⇒ B) ` C ⇒ A betrachten;
(c) [3 punkte] mittels semantischer Überlegungen, indem Sie die Folgerelation ¬(A ⇒ B) |=
C ⇒ A betrachten;
(d) [3 punkte] mittels semantischer Umformungen.
Lösungsvorschlag:
(a)
A
0
0
0
0
1
1
1
1
B
0
0
1
1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
1
0
1
¬(A ⇒ B)
0
0
0
0
0
0
1
1
C⇒A
0
1
0
1
0
0
0
0
¬(A ⇒ B) ⇒ (C ⇒ A)
1
1
1
1
1
1
1
1
(b)

¬(A ⇒ B)
Praemisse

C
Kastenpraemisse

¬A
Kastenpraemisse

A
Kastenpraemisse

⊥
(⊥i), 3, 4

B
(⊥e), 5

A⇒B
(⇒i), 4 − 6

⊥
(⊥i), 1, 7

¬¬A
(¬i), 3 − 8

A
(¬¬e), 9

C⇒A
(⇒i), 2 − 10
(c) Jede Belegung α, die ¬(A ⇒ B) ≡ A ∧ ¬B erfüllt, muß A erfüllen, folglich auch A ∨ ¬C ≡
C ⇒ A.
(d)
¬(A ⇒ B) ⇒ (C ⇒ A) ≡ ¬(¬(¬A ∨ B)) ∨ ¬C ∨ A ≡ ¬A ∨ B ∨ ¬C ∨ A ≡ >
Aufgabe 41 [12 PUNKTE]
Die Signatur Σ enthalte ein 2-stelliges Prädikatensymbol P , Funktionssymbole c (0-stellig, Konstante), f (1-stellig) und g (2-stellig). Welche der folgenden Ausdrücke in den Variablen x, y
und z sind korrekt gebildete Formeln über Σ?
(a) [2 punkte] ∀x : (∃x : ((x = z) ∧ (P (f (c), g(c, x)) ∨ (f (x) = x)) ⇒ z))
(b) [2 punkte] (x = c) ∨ (∀x : (P (x) ∧ (f (g(z, y)) = c))
(c) [2 punkte] ∃y : (∀x : ((g(x, y) = c) ∧ ¬(c = x)))
(d) [2 punkte] (f (x) = c) ∧ (∃c : (c = x))
(e) [2 punkte] ∃x : (y = f (g(x, x), x))
( f ) [2 punkte] ∀x : (P (f (g(f (f (f (x))), f (g(x, x))))))
Identifizieren Sie die Fehler bei den unzulässigen Formeln und geben Sie bei den zulässigen
Formeln jeweils die freien und die gebundenen Variablen an.
Lösungsvorschlag:
(a) Korrekt; gebunden: x, frei: z
(b) Falsch: P (x) widerspricht der 2-Stelligkeit von P
(c) Korrekt; gebunden: x und y, keine freien Variablen
(d) Falsch: über die Konstante c kann nicht quantifiziert werden.
(e) Falsch: f ist nur 1-stellig, wird hier aber 2-stellig verwendet.
( f ) Korrekt; gebunden: x
Aufgabe 42 [15 PUNKTE]
(a) [5 punkte] Identifizieren Sie die Menge FRM (M) der aussagenlogischen Formeln mit
Variablen in M als Term-Algebra für eine geeignete Signatur Σ.
(b) [5 punkte] Wie genau sind die konkreten Operationen auf dieser Term-Algebra definiert?
Bitte unterscheiden Sie deutlich zwischen den Funktionssymbolen in Σ und deren Interpretation auf FRM (M).
(c) [5 punkte] Wie sehen die resultierenden atomaren prädikatenlogischen Formeln für Ihre
Signatur Σ aus? Erweitern Sie ggf. Ihre Signatur, so dass Sie im Wesentlichen die Semantik
der Aussagenlogik wiederfinden.
Lösungsvorschlag:
(a) Die Signatur Σ enthalte zunächst nur eine Konstante (= 0-stelliges Funktionssymbol) ⊥,
ein einstelliges Funktionssymbol ¬ und zwei 2-stellige Funktionssymbole ∧ und ∨. Die resultierenden Terme in Präfixschreibweise entsprechen genau den Formeln aus Definition
2.1.3. in Infix-Schreibweise. Alternativ kann man Terme wie Formeln als geordnete Bäume
auffassen, mit Variablen bzw. Konstanten als Blätter und positiv-stelligen Funktionssymbolen als inneren Knoten, die nur unterschiedlich bezeichnet werden.
(b) Wir bezeichnen die Funktionen auf der Termalgebra mit den entsprechenden roten Symbolen. Dann gilt
¬(F ) = ¬F
∧(F, G) = F ∧ G
∨(F, G) = F ∨ G
(c) Ohne explizites Prädikat in Σ sind die einzigen atomaren prädikatenlogischen Formeln solche, die die (syntaktische) Gleichheit zwischen zwei aussagenlogischen Formeln behaupten.
Interessanter ist der Fall, in dem es ein 2-stelliges Prädikatssymbol ≡ in Σ gibt. Die intendierte Interpretation ist natürlich die semantische Äquivalenz aussagenlogischer Formeln.
Neu gegenüber der Aussagenlogik in Teil 1 der VL sind die Quantifizierungen über Variablen. Dort kann man praktisch überall implizite All-Quantoren ergänzen, z.B. beim
Absorbtionsgesetz:
∀A : ∀B : A ≡ A ∧ (A ∨ B)
Existenz-Quantoren kommen eher selten vor. Betrachte z.B.
∀A : ∃B : A ∨ B ≡ ¬⊥ sowie
∃A : ∀B : A ∨ B ≡ ⊥
Die erste dieser prädikatenlogischen Formeln ist wahr, die zweite nicht.