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# !" ! 8 $ # !" Man verwendet für beliebige die Symbole 9 Mächtiger“ als die Aussagenlogik ” Die Prädikatenlogik ist die formale Sprache der Mathematik und Informatik. ;: % % * für Variablen (dies sind Variablen für Objekte), + % < ;: = für -stellige Funktionen ( . , Symbole . Ein Computer der denkt“, denkt in der Regel in der Sprache der Prädikatenlogik ” Die Prädikatenlogik ist eine wesentliche Grundlage für ), > + % < ;: = . . für -stellige Prädikate ( ,? Symbole ), > – Künstliche Intelligenz (siehe www.cis.TUGraz.at/igi/lehre/EKI/) – Softwaretechnologie (z.B: automatische Programmverifikation) – Datenbanken – Maschinelles Beweisen (siehe TI 2) – Maschinelles Lernen (z.B: first odrer logic programming) – Hardware Verifikation + einem Symbol “=”für ein 2-stelliges Prädikat (“Gleichheitszeichen”), (Existenzquantor), sowie die Quantoren @ A (Allquantor). Anmerkungen: 1D 1E C 1B * verwenden wir auch *1 Neben + (auch mit Indizes) als Variablen % Die Prädikatenlogik ist bisher dauerhafter als jede Programmiersprache geblieben. (Welche 70 Jahre alte Programmiersprache gibt es?) ( ) ( " In der Aussagenlogik ist es nicht möglich auszudrücken, daß gewisse c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 3 &' Prädikatenlogik: Erweiterung der Aussagenlogik c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 1 0-stellige Funktionssymbole spielen die Rolle von Konstanten. Mittels Funktionszeichen (möglicherweise hintereinandergeschaltet) angewendet auf Variablen für Objekte können neue formale Bezeichnungen für Objekte erzeugt werden, die als Terme bezeichnet werden: Objekte“ in gewissen Beziehungen (Relationen) zueinander stehen, ” daß eine Eigenschaft für alle Objekte gilt, Definition eines Terms oder daß ein Objekt mit einer bestimmten Eigenschaft existiert. * 1. Jede Variable 2 / 1, 232/ 01 . sind 2 / 1, 232/ 01 ,- 2. Falls ein Symbol für eine -stellige Funktion ist, und Terme, so ist auch ein Term. + . ,- gilt: , sodaß für alle gibt es ein Für alle ist ein Term. + Beispiel: + Die wesentlichen Bestandteile hier sind die sprachlichen Konstrukte für al” le“ und es gibt“, sowie die Verwendung von Funktionen (abs, , ) und Re” lationen ( , , ). Die Objekte sind in diesem Beispiel Zahlen. ist eine Konstante. 5 7 ist ein Term, und 7 1 * 0 4 0 61 * 4 - Beispiel: P R ÄDIKATENLOGIK , 2 c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 4 c T. Natschläger ! ! " " &' % Formeln. & ( * ( ) % $ % $ &" - und + + &" ! , , eine Formel ist, so sind auch " Formeln. - % %% $ .$ . + $ 0 2 / 01! / , * % . $ + Beispiel für eine Formel: und & + eine Variable und eine eine Formel. & ( Formeln sind, so sind auch & & 4. Falls $" ' eine Formel ist, so ist auch " & 3. Falls ! # 2. Falls ein Symbol für ein -stelliges Prädikat ist, so ist ! 1. Falls Terme sind und Formel (atomare Formeln). Bemerkungen: 1. Man bezeichnet die nach 1. in Definition 1.2.2 gebildeten Formeln als atomare Formeln. ist eine Abkürzung für ' ( * , wie in der Booleschen Logik. , wie in der Booleschen Logik. & & 3 ( % % $ )$ ( 3 ( 4 ist eine Abkürzung für & ( 3 & 3. & 2. c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 5 c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 7 5 # !" ! (Definition Struktur) 7 6 8 9 8 7 Definition einer Struktur: Eine Struktur is ein Paar . Dabei ist eine Menge (das “Universum” der Struktur, die Variablen laufen über die Elemente von ), und ist eine Abbildung (“Interpretation”) 8 9 7 8 8 wird als gebunden bezeichnet, von liegt. Andernfalls wird Definition: Ein Auftreten einer Variablen in einer Formel oder falls es innerhalb einer Teilformel der Form dieses Auftreten von in als frei bezeichnet. 8< : % :; die einigen -stelligen Prädikatssymbolen jeweils eine beliebige Teilmenge (d.h. -stellige Relationen über ) zuordnet, , = , 7 8 werden alle Auftreten von : 8 7 oder % , > 7 8 : 8 7 8< : Beispiel: jeweils eine beliebige -stellige Funktion , : die einigen -stelligen Funktionssymbolen zuordnet, Durch den ersten Quantor in einer Teilformel in gebunden, die frei in auftreten. in 7 8 beliebige Elemente 8 % und die einigen Variablen zuordnet. C stets die Menge AB ?@ . in der Formel gebundenes Auftreten von 6 Dem 2-stelligen Prädikatssymbol “=” wird in jeder Struktur zugeordnet. freies 7 8 D 8 9 8 7 eine zu einer Formel passende Struktur ist, Definition: Man sagt, daß falls für alle in in vorkommenden Prädikatensymbole, Funktionssymbole und freien Variablen definiert ist. 6 Eine Formel ohne freie Variablen wird als Aussage bezeichnet. Man kann die Variablen der Booleschen Logik als Variablen auffassen die für beliebige Aussagen stehen. 9 8 P R ÄDIKATENLOGIK , 6 c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 8 c T. Natschläger 5 5 % zu: ist, so ist ! eine atomare Formel $ einen Wahrheitswert & & & 1. Falls der Formel # !" ! ( Weiters ordnet % $" falls sonst ! $ % % $ " % & $ ) 4. Falls die Form hat, so ist 5. Falls die Form +( hat, so ist & ( % von der Form 3. Falls " ist, so ist '( von der Form & 2. Falls $ % $ & ( ist, so ist ( %$ $ % & % $ ( " ! - +( ( " ! besitzt, aber der Variablen 8 wie die Struktur 1 / 8 % 0 eine leicht veränderte Struktur, die zwar dasselbe Universum . % $( ' %& $# % $ " gibt, sodaß & , & , falls es mindestens ein . % $( ' %& $# % $ gilt: & & Hierbei ist falls für alle + ,)* . 2 / zuordnet, und sonst genau dieselben Zuordnungen wie trifft. 8 3 0 c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 9 das Element 0 % 1 anstatt c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 11 !! # # ! # !! 8 !! 5 # !" (Interpreation einer Formel) Eine Formel der Prädikatenlogik heißt erfüllbar, falls es eine zu passende Struktur gibt mit . [Man sagt dann, daß ein Modell von ist, geschrieben: .] Sei eine zu passende Struktur, so wird jedem in auftretenden Term ohne gebundene Variablen aufgrund der folgenden Regeln ein Element zugeordnet: / für jede zu heißt allgemeingültig, falls (Schöning sagt stattdessen “gültig”). passende Struktur : / 6 passende Struktur + gibt, sodaß heißt unerfüllbar , falls es keine zu . * . 6 + / * / ist, dann ist Falls eine Variable 6 2 1 . , / 22301 / 1, , / ist, so ist / 2 223/ 01 / ,- Falls von der Form + + Bemerkung: Wie in der Booleschen Logik gilt auch in der Prädikatenlogik für jede Formel : ist allgemeingültig genau dann wenn nicht erfüllbar ist. P R ÄDIKATENLOGIK , 12 c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 10 c T. Natschläger ! und Variablen & gilt: + . * * A ' ' & , & + + 1. ( ? ist erfüllbar, aber nicht allgemeingültig. Behauptung: ! # 8 ( # # ! # !! !! 8 Für beliebige Formeln ' ' & & , + + erfüllbar ist, betrachte eine beliebige Struktur ? Um zu beweisen, daß A * * nicht frei vorkommt in + 2. Falls ( , so gilt: 6 6 26 ? 1 6 mit & & ( ) ( ) +$ - + % % $ & & ( * ( * +$ - + % % $ A * * * . ? ? * A ist ein Modell der Formel , d.h. Dann gilt ( % % & , & , ( * ( * +$ + % % $ & & ( ) +$ - - ) - +( + % & , , & , ( * +$ * +( + % 6 26 ? 6 4. Es gilt stets & & + + - - , , . . 6 - * ? * . (Letz- * A weil ? ? & , , & + + . . 6 . Dann gilt ). / 16 6 Sei in teres folgt aus 3. Es gilt stets mit ) ( ) +$ + $ * A nicht allgemeingültig ist, betrachte eine belie- & , & , ? * Um zu beweisen, daß bige Struktur ? : Es gelten zusätzlich die Äquivalenzen der Aussagenlogik. c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 13 c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 15 ! " " # ! ! @ Anmerkung: Falls nicht in auftritt, so ist ( ) äquivalent zu ( ), wobei diejenige Formel ist die man aus erhält, wenn man jedes freie Auftreten von in durch ersetzt (“gebundene Umbenennung”). Durch mehrfache gebundene Umbenennung kann man zu jeder Formel eine äquivalente Formel erzeugen in der * * * A + + @ * * + * * A + * * + * * + alle Quantoren verschiedene Variablen binden. keine Variable sowohl frei als auch gebunden in P R ÄDIKATENLOGIK , 16 c T. Natschläger Man nennt eine Formel P R ÄDIKATENLOGIK , 14 ”) falls für jede zu äquivalent . (“ Äquivalenz: Wir schreiben und passende Struktur gilt: * * impliziert ”) falls für jede zu , so ist auch . Implikation: Wir schreiben (“ und passende Struktur gilt: Falls auftritt. mit diesen Eigenschaften bereinigt. c T. Natschläger " " # & " ! " 8 in Pränexform ist nicht eindeutig. Die Umformung einer Formel * B B * * A B die Form @ B ist in Pränexform falls Definition: A A @ * @ Beispiel: Zum Beispiel sind und beides Pränexformen der Formel – vorausgesetzt, daß nicht in und nicht in auftritt. In diesem Spezialfall sind dann auch und äquivalent, obwohl dies im Allgemeinen nicht gilt. * A @ B * @ A 2 * B + + 22 + *6 *0 : ;: 9 + *= * A @1 : > + > = @ * A B B @ * ; B * * B B 6 1 1 * ; ; *1 > B B = * A 1 B B * B * * B * * B 2 B @ @ A aber nicht c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 17 B * * / 1, 2 322/ 01 ,? Um nachzuweisen, daß solche Formeln im Allgemeinen nicht äquivalent sind, betrachte zum Beispiel die konkreten Formeln und , sowie die Struktur mit , die dem Prädikatssymbol die Menge zuordnet. Es gilt dann A hat, wobei , , und in kein Quantor vorkommt. In diesem Fall besteht aus atomaren Formeln der Struktur , die durch verknüpft sind. c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 19 # !" ! # " ( ( # " ! " ( 8 " und Wir schreiben (“ impliziert ”) falls für jede zu Struktur gilt: Falls , so ist auch . passende Bemerkungen In der VO Theoretischen Informatik 2“ werden Herleitungskalküle be” sprochen werden, mit deren Hilfe ein Rechner in einigen Fällen verifizieren kann, daß (“maschinelles Beweisen”). Wir können hier nur eine sehr einfache Regel vorstellen, mit deren Hilfe man manchmal die Gültigkeit der Implikation für Formeln und der Prädikatenlogik aus der Gültigkeit einer Implikation für gewisse andere Formeln der Booleschen Logik folgen kann. 1 P R ÄDIKATENLOGIK , 18 c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 20 c T. Natschläger ! ( ! # " ( ( # " Nehmen wir an, daß und in Pränexform sind, daß beide genau denselben Quantorenblock haben, und daß und die auf die Quantorenblöcke in und folgenden aussagenlogischen Verknüpfungen von atomaren Formeln sind. Wir ersetzen jetzt jede atomare Formel in und durch eine andere Boolesche Variable, wobei aber mehrmals auftretende identische atomare Formeln durch identische Boolesche Variablen ersetzt werden. Wir nennen die auf diese Weise aus und hervorgehenden Booleschen Formeln und . gilt, so gilt auch in der Prädi- Falls für diese Booleschen Formeln katenlogik . Beispiel: Es gilt in der Prädikatenlogik B *1 6 ? @ * * A B B B *1 6 A ? B @ * c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 21 weil in der Booleschen Logik gilt. 22
