Variablen f¨ur Objekte
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Mächtiger“ als die Aussagenlogik ” Die Prädikatenlogik ist die formale Sprache der Mathematik und Informatik. Ein Computer der denkt“, denkt in der Regel in der Sprache der Prädikatenlogik ” Die Prädikatenlogik ist eine wesentliche Grundlage für – Künstliche Intelligenz (siehe www.cis.TUGraz.at/igi/lehre/EKI/) – Softwaretechnologie (z.B: automatische Programmverifikation) – Datenbanken – Maschinelles Beweisen (siehe TI 2) – Maschinelles Lernen (z.B: first odrer logic programming) – Hardware Verifikation Die Prädikatenlogik ist bisher dauerhafter als jede Programmiersprache geblieben. (Welche 70 Jahre alte Programmiersprache gibt es?) P R ÄDIKATENLOGIK , 1 c T. Natschläger Prädikatenlogik: Erweiterung der Aussagenlogik In der Aussagenlogik ist es nicht möglich auszudrücken, daß gewisse Objekte“ in gewissen Beziehungen (Relationen) zueinander stehen, ” daß eine Eigenschaft für alle Objekte gilt, oder daß ein Objekt mit einer bestimmten Eigenschaft existiert. Beispiel: . gilt: , sodaß für alle gibt es ein Für alle Die wesentlichen Bestandteile hier sind die sprachlichen Konstrukte für al” le“ und es gibt“, sowie die Verwendung von Funktionen (abs, , ) und Re” lationen ( , , ). Die Objekte sind in diesem Beispiel Zahlen. P R ÄDIKATENLOGIK , 2 c T. Natschläger die Symbole Man verwendet für beliebige für Variablen (dies sind Variablen für Objekte), für -stellige Funktionen ( Symbole ), für -stellige Prädikate ( Symbole ), einem Symbol “=”für ein 2-stelliges Prädikat (“Gleichheitszeichen”), (Existenzquantor), sowie die Quantoren (Allquantor). Anmerkungen: verwenden wir auch Neben (auch mit Indizes) als Variablen 0-stellige Funktionssymbole spielen die Rolle von Konstanten. P R ÄDIKATENLOGIK , 3 c T. Natschläger Mittels Funktionszeichen (möglicherweise hintereinandergeschaltet) angewendet auf Variablen für Objekte können neue formale Bezeichnungen für Objekte erzeugt werden, die als Terme bezeichnet werden: Definition eines Terms 1. Jede Variable ist ein Term. ein Symbol für eine -stellige Funktion ist, und 2. Falls ein Term. Terme, so ist auch sind ist eine Konstante. P R ÄDIKATENLOGIK , 4 ist ein Term, und Beispiel: c T. Natschläger eine eine Formel. Formeln. und und eine Formel ist, so sind auch Formeln. Beispiel für eine Formel: Formeln sind, so sind auch eine Variable und 4. Falls eine Formel ist, so ist auch 3. Falls ein Symbol für ein -stelliges Prädikat ist, so ist 2. Falls 1. Falls Terme sind und Formel (atomare Formeln). Bemerkungen: 1. Man bezeichnet die nach 1. in Definition 1.2.2 gebildeten Formeln als atomare Formeln. , wie in der Booleschen Logik. , wie in der Booleschen Logik. P R ÄDIKATENLOGIK , 5 ist eine Abkürzung für 3. ist eine Abkürzung für 2. c T. Natschläger Definition: Ein Auftreten einer Variablen in einer Formel oder falls es innerhalb einer Teilformel der Form dieses Auftreten von in als frei bezeichnet. wird als gebunden bezeichnet, von liegt. Andernfalls wird werden alle Auftreten von oder Durch den ersten Quantor in einer Teilformel in gebunden, die frei in auftreten. Beispiel: in der Formel gebundenes Auftreten von freies . Eine Formel ohne freie Variablen wird als Aussage bezeichnet. Man kann die Variablen der Booleschen Logik als Variablen auffassen die für beliebige Aussagen stehen. P R ÄDIKATENLOGIK , 6 c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 7 c T. Natschläger (Definition Struktur) Definition einer Struktur: Eine Struktur is ein Paar . Dabei ist eine Menge (das “Universum” der Struktur, die Variablen laufen über die Elemente von ), und ist eine Abbildung (“Interpretation”) die einigen -stelligen Prädikatssymbolen jeweils eine beliebige Teilmenge (d.h. -stellige Relationen über ) zuordnet, die einigen -stelligen Funktionssymbolen zuordnet, jeweils eine beliebige -stellige Funktion in beliebige Elemente und die einigen Variablen zuordnet. stets die Menge Dem 2-stelligen Prädikatssymbol “=” wird in jeder Struktur zugeordnet. eine zu einer Formel passende Struktur ist, Definition: Man sagt, daß falls für alle in in vorkommenden Prädikatensymbole, Funktionssymbole und freien Variablen definiert ist. P R ÄDIKATENLOGIK , 8 c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 9 c T. Natschläger (Interpreation einer Formel) Sei eine zu passende Struktur, so wird jedem in auftretenden Term ohne gebundene Variablen aufgrund der folgenden Regeln ein Element zugeordnet: ist, dann ist Falls eine Variable . . ist, so ist Falls von der Form P R ÄDIKATENLOGIK , 10 c T. Natschläger ist, so ist eine atomare Formel 1. Falls zu: einen Wahrheitswert der Formel Weiters ordnet falls sonst ist, so ist von der Form 2. Falls hat, so ist die Form von der Form 3. Falls ist, so ist . gilt: falls für alle 4. Falls . gibt, sodaß , falls es mindestens ein hat, so ist die Form 5. Falls besitzt, aber der Variablen & wie die Struktur das Element % eine leicht veränderte Struktur, die zwar dasselbe Universum $ anstatt # "! Hierbei ist ' $ ( % % & P R ÄDIKATENLOGIK , 11 zuordnet, und sonst genau dieselben Zuordnungen wie trifft. c T. Natschläger Eine Formel der Prädikatenlogik heißt erfüllbar, falls es eine zu pas. [Man sagt dann, daß ein Modell sende Struktur gibt mit .] von ist, geschrieben: für jede zu heißt allgemeingültig, falls (Schöning sagt stattdessen “gültig”). passende Struktur passende Struktur gibt, sodaß heißt unerfüllbar , falls es keine zu . Bemerkung: Wie in der Booleschen Logik gilt auch in der Prädikatenlogik nicht erfüllfür jede Formel : ist allgemeingültig genau dann wenn bar ist. P R ÄDIKATENLOGIK , 12 c T. Natschläger ist erfüllbar, aber nicht allgemeingültig. Behauptung: erfüllbar ist, betrachte eine beliebige Struktur Um zu beweisen, daß ist ein Modell der Formel , d.h. . nicht allgemeingültig ist, betrachte eine belie- Um zu beweisen, daß bige Struktur / . (Letz- weil . Dann gilt ). mit Sei in teres folgt aus Dann gilt mit P R ÄDIKATENLOGIK , 13 c T. Natschläger ”) falls für jede zu äquivalent . P R ÄDIKATENLOGIK , 14 (“ Äquivalenz: Wir schreiben und passende Struktur gilt: impliziert ”) falls für jede zu , so ist auch . Implikation: Wir schreiben (“ und passende Struktur gilt: Falls c T. Natschläger und Variablen gilt: 1. Für beliebige Formeln nicht frei vorkommt in 2. Falls , so gilt: 3. Es gilt stets 4. Es gilt stets Es gelten zusätzlich die Äquivalenzen der Aussagenlogik. P R ÄDIKATENLOGIK , 15 c T. Natschläger Anmerkung: Falls nicht in auftritt, so ist ( ) äquivalent zu ( ), wobei diejenige Formel ist die man in durch ersetzt aus erhält, wenn man jedes freie Auftreten von (“gebundene Umbenennung”). Durch mehrfache gebundene Umbenennung kann man zu jeder Formel eine äquivalente Formel erzeugen in der alle Quantoren verschiedene Variablen binden. P R ÄDIKATENLOGIK , 16 Man nennt eine Formel keine Variable sowohl frei als auch gebunden in auftritt. mit diesen Eigenschaften bereinigt. c T. Natschläger ist in Pränexform falls die Form Definition: hat, wobei , , und in kein Quantor vorkommt. , In diesem Fall besteht aus atomaren Formeln der Struktur verknüpft sind. die durch P R ÄDIKATENLOGIK , 17 c T. Natschläger P R ÄDIKATENLOGIK , 18 c T. Natschläger Die Umformung einer Formel in Pränexform ist nicht eindeutig. und beides PränexBeispiel: Zum Beispiel sind – vorausgesetzt, daß nicht in und formen der Formel nicht in auftritt. In diesem Spezialfall sind dann auch und äquivalent, obwohl dies im Allgemeinen nicht gilt. Um nachzuweisen, daß solche Formeln im Allgemeinen nicht äquivalent sind, betrachte zum Beispiel die konkreten Formeln und , sowie die Struktur mit , die dem zuordnet. Es gilt Prädikatssymbol die Menge dann P R ÄDIKATENLOGIK , 19 aber nicht c T. Natschläger und passende Wir schreiben (“ impliziert ”) falls für jede zu , so ist auch . Struktur gilt: Falls Bemerkungen In der VO Theoretischen Informatik 2“ werden Herleitungskalküle be” sprochen werden, mit deren Hilfe ein Rechner in einigen Fällen verifizie(“maschinelles Beweisen”). ren kann, daß Wir können hier nur eine sehr einfache Regel vorstellen, mit deren Hilfe für Formeln und man manchmal die Gültigkeit der Implikation der Prädikatenlogik aus der Gültigkeit einer Implikation für der Booleschen Logik folgen kann. gewisse andere Formeln P R ÄDIKATENLOGIK , 20 c T. Natschläger Nehmen wir an, daß und in Pränexform sind, daß beide genau denselben Quantorenblock haben, und daß und die auf die Quantorenblöcke in und folgenden aussagenlogischen Verknüpfungen von atomaren Formeln sind. Wir ersetzen jetzt jede atomare Formel in und durch eine andere Boolesche Variable, wobei aber mehrmals auftretende identische atomare Formeln durch identische Boolesche Variablen ersetzt werden. Wir nennen die auf und . diese Weise aus und hervorgehenden Booleschen Formeln gilt, so gilt auch in der Prädi- Falls für diese Booleschen Formeln . katenlogik Beispiel: Es gilt in der Prädikatenlogik P R ÄDIKATENLOGIK , 21 c T. Natschläger weil in der Booleschen Logik gilt. 22
