Algorithmische Logik SoSe 12 ¨Ubungszettel 4

Algorithmische Logik SoSe 12
Übungszettel 4
Prof. Dr. Ralf Möller, Karsten Martiny, Daniela Becker, Anna Lin
Nächste Übungsgruppe:
04.05.2012, 11:20 - 12:05, SBS95-E4042 und H 0.04
1. Bestimmen Sie, ob die folgenden Ausdrücke Formeln, Nicht-Formeln
oder Aussagen sind.
NF F A
∀xP (a)
∀x∃y(Q(x, y) ∨ R(x, y))
∀xQ(x, x) → ∃xQ(x, y)
∀xP (x) ∨ ∀xQ(x, x)
∀P (x)
P (x) → ∃x
∀∃P (x)
∀x¬∀yQ(x, y) ∧ R(x, y)
∃z(Q(z, x) ∨ R(y, z)) → ∃y(R(x, y) ∧ Q(x, z))
∃x(¬P (x) ∨ P (a))
P (x) → ∃xP (x)
∃x∀y((P (y) → Q(x, y)) ∨ ¬P (x))
1
Lösung:
NF
∀xP (a) [a Konstante]
∀x∃y(Q(x, y) ∨ R(x, y))
∀xQ(x, x) → ∃xQ(x, y)
∀xP (x) ∨ ∀xQ(x, x)
√
∀P (x)
(∀?)
√
P (x) → ∃x
(∃x?)
√
∀∃P (x)
(∀∃?)
∀x¬∀yQ(x, y) ∧ R(x, y)
∃z(Q(z, x) ∨ R(y, z)) → ∃y(R(x, y) ∧ Q(x, z))
∃x(¬P (x) ∨ P (a))
P (x) → ∃xP (x)
∃x∀y((P (y) → Q(x, y)) ∨ ¬P (x))
F
√
(y ungebunden)
√
√
√
(x ungebunden)
2. Gegeben seien die Variablen x, y, das einstellige Prädikat P und das
zweistellige Prädikat Q, sowie folgende prädikatenlogische Formeln:
(a) ∀x.P (x) ∨ ∀x.Q(x, x)
(b) ∀x.(P (x) ∨ Q(x, x))
(c) ∀x.(∀y.P (y) ∨ ∀y.Q(y, y))
Prüfen Sie, welche von diesen Formeln sich gegenseitig bedingen.
Lösung:
a |= b, a ≡ c, c |= b
Formaler Test durch Resolution.
Intuitiv ergibt sich dies auch aus der Graphenrepräsentation.
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A
√
√
√
√
√
3. Gegeben sind zwei prädikatenlogische Formeln F = ∃x.P (f (x), x) und
G = ∀x.(¬R(f (x)) → R(x)). Weiterhin ist eine Struktur A wie folgt
gegeben:
• A = (U, I)
• U =N
• xI = 1
• P I = {(n, n)|n ∈ N}
• RI = {n|n ist eine Primzahl }
• f I (n) = n2
Berechnen Sie, welchen Wahrheitswert den Formeln durch die Struktur
A zugeordnet wird, d. h. bestimmen Sie A(F ) und A(G). Zeigen Sie jeweils durch die Angabe aller Teilschritte, wie sich dieser Wahrheitswert
ergibt.
Lösung:
(a) xI = 1
(b) f I (xI ) = f I (1) = 1
(c) P I (f I (xI ), xI ) = P I (1, 1) = true
(d) ∃x.P I (f I (xI ), xI ) = true, da P I (f I (xI ), xI ) für ein Element x
(nämlich 1) true ist
(a) xI = 1
(b) f I (xI ) = f I (1) = 1
(c) RI (xI ) = RI (1) = f alse
(d) RI (f I (xI )) = RI (1) = f alse
(e) ∀x.(¬RI (f I (xI )) → RI (xI )) = f alse, da ¬RI (f I (xI )) = ¬RI (1) =
true und RI (xI ) = RI (1) = f alse ist. Hier würde man aus etwas
richtigem, etwas falsches folgern. Also ist die Aussage falsch, da
es nicht für alle x gilt.
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4. Gegeben seien die Variablen x, y, die Konstante a und das einstellige
Prädikat P . Prüfen Sie, ob die folgenden prädikatenlogischen Formeln
gültig, erfüllbar oder widersprüchlich sind.
Formel
∀x.P (a)
∃x.(¬P (x) ∨ P (a))
P (a) → ∃x.P (x)
P (x) → ∃x.P (x)
∀x.P (x) → ∃x.P (x)
∀x.P (x) → ¬∃y.P (y)
Ergebnis
Lösung:
(a) ∀x.P (a), je nach P(a) ist diese Formel wahr oder falsch. Also ist
sie erfüllbar.
(b) ∃x.(¬P (x)∨P (a)), je nach P(a) ist diese Formel wahr oder falsch.
Somit ist sie erfüllbar.
(c) P (a) → ∃x.P (x) ist gültig. Falls P(a) wahr ist, ist die Formel
wahr, weil ∃x.P (x) = wahr. Falls P(a) falsch ist, darf ich alles
draus folgern.
(d) P (x) → ∃x.P (x) ist so wie P (a) → ∃x.P (x).
(e) ∀x.P (x) → ∃x.P (x) ist gültig.
(f ) ∀x.P (x) → ¬∃y.P (y) ≡ ∀x.P (x) → ∀y.¬P (y) ist erfüllbar, da aus
etwas Falschem etwas Wahres gefolgert werden könnte.
Also:
Formel
∀x.P (a)
∃x.(¬P (x) ∨ P (a))
P (a) → ∃x.P (x)
P (x) → ∃x.P (x)
∀x.P (x) → ∃x.P (x)
∀x.P (x) → ¬∃y.P (y)
Ergebnis
erfüllbar
erfüllbar
gültig
gültig
gültig
erfüllbar
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5. Es seien Q und R zweistellige Prädikatensymbole, P ein einstelliges
Prädikatensymbol, a eine Konstante, x, y Variablen. Geben Sie für die
folgenden Formeln jeweils eine passende Struktur an:
• ∀x.Q(x, x) → ∃x.Q(x, x) ∨ P (a)
Lösung:
Man muss ein Universum U angeben und dann jedem Symbol in
der Formel Untermengen von U bzw. Paare von U zuordnen.
Beispiel U I = {1, 2, 3}. Dann könnte man QI = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3)},
P I = {1}, aI = 1 setzen.
Passend heisst hier, dass wirklich alle Symbole im Universum liegen - und nicht nur Teile davon.
• ∀x.∃y.((Q(x, y) ∨ R(x, y)) ∧ P (a))
Lösung:
U I = {1, 2, 3}
aI = 1, P I = 1, QI = {(1, 2), (2, 3)}, RI = {(3, 1)}
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