06.12.2013 Themen Prädikatenlogik: Modelle, Strukturen, ¨Aquival

Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen
Vorlesung 5 – 06.12.2013
Themen Prädikatenlogik: Modelle, Strukturen, Äquivalenz, Gleichheit
Äquivalenz Zeigen Sie folgende Äquivalenz:
∃x(G ∨ H) ≡ ∃xG ∨ ∃xH
Erfüllbarkeit und Gültigkeit Seien F , G und H prädikatenlogische Formeln
und x eine freie Variable, die in allen drei Formeln vorkommt. F sei erfüllbar, aber
nicht gültig, G sei gültig und H sei unerfüllbar. Welche Möglichkeiten gibt es für
die folgenden Formeln?
gültig unerfüllbar weder noch
¬G ∨ H
∀x G
∃x G
∀x F
∃x H
¬∀x F
Strukturen und Modelle
a) Geben Sie eine prädikatenlogische Formel G und eine zu G passende Struktur A
an, so dass A genau dann ein Modell für G ist, falls die Goldbachsche Vermutung
wahr ist. Die Goldbachsche Vermutung ist die folgende Behauptung:
Jede gerade Zahl größer als zwei kann als Summe zweier Primzahlen
geschrieben werden.
b) Gegeben sei die Formel
∃x∃y∃z(P (x, y) ∧ P (z, y) ∧ P (x, z) ∧ ¬P (z, x)).
Ist die Struktur
UA = P(N), P A = {(A, B) ∈ P(N)2 |A ⊆ B}
ein Modell für F ?
c) Geben Sie zwei prädikatenlogische Formeln F und G an, welche die Prädikatensymbole
P und Q, die Funktionssymbole f und a, sowie die Variablen x und y enthalten.
Die Formeln F und G sollen zur Struktur A mit
UA = N, P A = {(m, n) ∈ N2 |m < n}, QA = {m ∈ N|m 6= 12},
f A (n) = n2 , aA = 11, xA = 111
passen, wobei A ein Modell für F , jedoch kein Modell für G sein soll.
1
Ergänzungen zu Logik und Diskrete Strukturen
Vorlesung 5 – 06.12.2013
Prädikatenlogik mit Gleichheit
1) Zeigen Sie: Ist eine prädikatenlogische Formel F erfüllbar, so hat Sie (auch) ein
unendliches Modell (Struktur mit unendlichem Universum).
2) Ergänzen Sie die Definition der Prädikatenlogik um die Gleichheit. Ergänzen
Sie die benötigten Bildungsregeln für Formeln (Syntax) und die Auswertung der
neuen Formeln (Semantik).
3) Geben Sie eine prädikatenlogische Formel Fn (mit Gleichheit, wie definiert) an,
für die gilt: Ist A ein Modell von Fn , so gilt |UA | ≤ n.
4) Zeigen Sie, dass jede prädikatenlogische Formel F (mit Gleichheit), mit der Eigenschaft
∀n∃A : A |= F ∧ |UA | ≥ n
auch ein unendliches Modell besitzt.
Erfüllbarkeitsäquivalenz der Skolemform Beweisen Sie, dass die Skolemform
einer Formel F erfüllbarkeitsäquivalent zu F ist.
2