Logik und Diskrete Strukturen Aufgabenblatt 5

Hertrampf/Weiß
Wintersemester 2013/14
Logik und Diskrete Strukturen
Aufgabenblatt 5
Abgabe: Bis Mo 16.12. 14:00 in den Abgabekästen im Mittelgang des 1. Stocks.
Besprechung: In den Kalenderwochen 51 und 2.
Schreiben Sie Ihren Namen, die Übungsgruppe und den Tutor leserlich auf Ihre Abgabe. Tackern
Sie Ihre Abgabe links oben, falls Sie mehrere Blätter abgeben. Werfen Sie die Abgabe in den
korrekten Abgabekasten im Mittelgang des 1. Stocks.
1. Prädikatenlogische Äquivalenz (schriftlich)
(9 Punkte)
a) Zeigen Sie die folgende Äquivalenz mit Hilfe der in der Vorlesung eingeführten
Äquivalenzen:
∀x∃y(P (y) → Q(x)) ≡ ∃y∀x(P (y) → Q(x)).
b) Beweisen Sie die Äquivalenz ∀xF ∧ ∀xG ≡ ∀x(F ∧ G) aus der Vorlesung anhand der
Definition.
c) Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Behauptung:
Die Formel ∃x P (x) → ∀yP (y) ist gültig.
2. Prädikatenlogische Äquivalenz II (Votieraufgabe)
Zeigen Sie mittels Äquivalenzumformungen oder widerlegen Sie durch Angabe einer geeigneten Struktur folgende Behauptungen:
a) ∃xP (x) ∧ ∃xQ(x) ≡ ∃x P (x) ∧ Q(x) .
b) ∃xQ(x) → ∀yP (y) ≡ ∀y∀x Q(x) → P (y) .
c) ∀x ∃y¬Q(x, f (y)) ∧ P (x) → ∃yR(y) ∧ P (x) ≡ ∀x∃y ¬Q(x, f (y)) ∧ R(y) ∧ P (x) .
3. Formalisieren (Votieraufgabe)
a) Geben Sie eine Formel F mit einem Prädikat P an, sodass eine Struktur (UA , IA ) genau
dann F erfüllt, wenn P A eine Äquivalenzrelation ist.
b) Formalisieren Sie die Gruppenaxiome in Prädikatenlogik. Verwenden Sie dazu das
Gleichheitsprädikat =, die Konstante e (als Einselement) und das zweistellige Funktionssymbol m (als Multiplikation). Geben Sie dazu eine Formel F an, sodass eine
Struktur (UA , IA ) genau dann ein Modell für F ist, wenn (UA , mA ) eine Gruppe mit
Einselement eA ist.
4. Modelle (schriftlich)
(6 Punkte)
Für eine prädikatenlogische Formel F definieren wir die Menge der Kardinalitäten von Modellen von F als MCard(F ) := {|UA | | (UA , IA ) ist Modell für F }. Finden Sie erfüllbare
Formeln F , so dass
a) MCard(F ) = {∞}.
b) MCard(F ) = {2}.
c) MCard(F ) = 2N ∪ {∞} = {2, 4, . . .} ∪ {∞}.
Sie dürfen dabei das Prädikat =“ benutzen. Begründen Sie jeweils ihre Lösung!
”
5. Skolemform (Votieraufgabe)
Gegeben sei die folgende Formel
F = ¬ ∃x∀y P (f (x, y), a) → Q(g(x)) ∧ ∃zP (x, z) ∧ ¬ ∃zQ(g(z)) .
a) Formen Sie F so in eine äquivalente Formel F 0 um, dass Negationszeichen nur direkt
vor Prädikaten auftauchen.
b) Bereinigen Sie die Formel F 0 zu einer äquivalenten Formel F 00 .
c) Wandeln Sie F 00 in eine äquivalente Pränexnormalform F 000 um.
d) Bilden Sie die Skolemform von F 000 . Formen Sie die Matrix der Skolemform von F 000 in
KNF um.
6. Herbrand-Theorie (Votieraufgabe)
Gegeben seien die beiden Formeln
F = ∀x∀y∀z P (x, y) ∧ P (y, x) → P (x, x) ∧ ¬P (z, z) ∧ P (z, f (z))
und
G = ∀x∀y∀z∀w
P (w) ∨ Q(g(f (x), y)) ∧ ¬P (f (x)) ∧ ¬Q(g(z, y))
in Skolemform. Entscheiden Sie, ob diese erfüllbar oder unerfüllbar sind. Ist die Formel
erfüllbar, so geben Sie ein Herbrand-Modell an. Ist die Formel unerfüllbar, so beweisen Sie
dies mit Hilfe des Endlichkeitssatzes und des Satzes von Gödel-Herbrand-Skolem.