Blatt8

SS 2005
Blatt 8
Prof.W. Strauss, F. Schmid
Übungen zur Vorlesung
Wahrscheinlichkeit und Statistik
Aufgabe 50. Sie X eine reele Zufallsvariable mit der Dichte f : R → R+ . Bestimmen Sie zuerst
die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen Y = X 2 . Mit Hilfe der Verteilungsfunktion F
bestimmen Sie nun die Dichte g von Z.
Aufgabe 51. Sei X eine reele Zufallsvariable. Zeigen Sie auf verschiedene Weisen, dass folgendes
gilt:
X ≥ 0 und EX = 0 ⇒ P [X = 0] = 1 d.h.: X ist P -fast sicher 0.
a) Benützen Sie dazu einmal die Definition des Maß-Integrals. Approximieren Sie X durch
kn
X
αin IAni (ω).
monoton wachsende Zufallsvariabeln Xn (ω) =
i=1
Z
Was gilt für lim
Xn (ω)dP (ω)? Was folgt daraus für die Xn ? Und was folgt wiederum
n→∞
daraus für X?
b) Benützen Sie dieses mal den Satz von der monotonen Konvergenz (Beppo Levi). Wählen
n
X
Sie dabei die Xn =
X · I[2k <X≤2k+1 ] . Machen Sie sich vielleicht zuerst ein Bild von
k=−n
X · I[2k <X≤2k+1 ] für k ∈ Z.
Warum folgt nun aus dem Satz von Beppo-Levi, dass P [2k < X ≤ 2k+1 ] = 0 gilt?
Aufgabe 52. Berechnen Sie die Erwartungswerte von rellen Zufallsvariablen mit folgenden
Verteilungen
n
a) Bernoulli-Verteilung: b(n, k, p) =
pk (1 − p)n−k
k
b) Gleich-Verteilung auf dem Intervall [a, b] ⊂ R.
c) Exponential-Verteilung (einer positiven Zufallsvariable). Die Dichte f : R+ → R+ ist
dabei gegeben durch f (x) = λe−λx für ein λ > 0.
Aufgabe 53. schriftlich Eine Pumpe sei ununterbrochen in Betrieb, bis sie ausfalle. Die
Zufallsvariable X, die die zufällige Dauer der Funktionsfähigkeit der Pumpe beschreibt, möge
stetig verteilt sein mit einer Dichte der Form
2
λ · x · e−λ·x x > 0
f (x) =
0
x≤0
Weiter sei bekannt, dass Pumpen dieser Art im Mittel 100 Stunden laufen, bis sie ausfallen.
a) Wie ist der Parameter λ zu wählen, damit der Erwartungswert von X gleich der mittleren
Laufzeit dieser Pumpen ist?
b) Man bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
P (X ≤ 100),
P (X ≤ 200 | X ≥ 100),
P (X ≤ 300 | X ≥ 200).
c) Aus Sicherheitsgründen tauscht man eine Pumpe, sobald sie 100 Stunden lang ununterbrochen gelaufen ist, gegen eine neue gleichartige aus. Man bestimme die Verteilungsfunktion
der Zufallsvariablen Y , die die Einsatzzeit einer Pumpe beschreibt. (Die Einsatzzeit ist
die Zeit, die vergeht, bis die Pumpe entweder ausfällt oder aber ausgewechselt wird.)
d) Zu ermitteln sind EY , V (Y ).
Aufgabe 54. schriftlich Die Prämie einer neugegründeten Kfz-Versicherung betrage im ersten
Jahr α Euro. Die Prämie soll λr · α Euro (0 < λ < 1) im (r + 1)-ten Jahre betragen, sofern der
Versicherungsnehmer in den ersten r Jahren keinen Schadensfall bei der Versicherung angemeldet hat (r ∈ N). Wird in irgendeinem Jahr der Versicherung ein Schadensfall mitgeteilt, dann
soll die Prämie in diesem Jahr noch unverändert bleiben, im nächsten Jahr jedoch wieder auf
α Euro hochgesetzt werden. In Bezug auf die Berechnung der Prämien in den folgenden Jahren
soll dieses Jahr dann so behandelt werden, als sei es das erste Versicherungsjahr.
Wir setzen voraus, dass für einen Versicherungsnehmer die Wahrscheinlichkeit, in einem beliebigen Jahr keinen Unfall zu verursachen, konstant gleich q (0 < q < 1) ist.
i) Man bestimme den Erwartungswert des Prämienaufkommens eines Versicherungsnehmers
im n-ten Jahr.
ii) Wie muß die Versicherung λ festlegen, damit der obige Erwartungswert in jedem Jahr
den Wert kα (k > 0) übersteigt?
(Hinweis: Drücken Sie das Prämienaufkommen im n-ten Jahr als Zufallsvariable Xn aus, die
rekursiv von Xn−1 abhängt. Der Schadensfall im n-ten Jahr ist natürlich unabhängig von dem
Prämienaufkommen. Wenn Sie es in Vorlesung noch nicht gehabt haben, so dürfen Sie dennoch
benutzen, dass für zwei unabhängige Zufallsvariablen X, Y folgendes gilt: E XY = EX EY .)
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