Hans Walser, [20131110] Ganze Zahlen im - walser-h-m.ch

Hans Walser, [20131110]
Ganze Zahlen im gleichseitigen Dreieck
1 Basisfigur
Die Abbildung 1 zeigt die Basisfigur. In einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 8
können wir Ecktransversalen der Seitenlänge 7 einzeichnen. Beweis durch Nachrechnen.
Abb. 1: Basisfigur
Die Abbildung 2 zeigt dasselbe als Lochstreifenmodell.
Abb. 2: Lochstreifenmodell
Hans Walser: Ganze Zahlen im gleichseitigen Dreieck
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2 Dreieck im Dreieck
In der Abbildung 3 ist einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 11 ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge 7 einbeschrieben.
Abb. 3: Einbeschriebenes Dreieck
Die Abbildung 4 zeigt dasselbe als Lochstreifenmodell.
Abb. 4: Lochstreifenmodell
Hans Walser: Ganze Zahlen im gleichseitigen Dreieck
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3 Sechseck im Sechseck
Die Abbildung 5 zeigt ein Sechseck mit Seitenlänge 8 mit einbeschriebenem Sechseck
der Seitenlänge 7.
Abb. 5: Einbeschriebenes Sechseck
Die Abbildung 6 zeigt das entsprechende Lochstreifenmodell.
Abb. 6: Lochstreifenmodell
Hans Walser: Ganze Zahlen im gleichseitigen Dreieck
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4 Hintergrund
4.1 Generierende Formeln
Analog zu den pythagoreischen rechtwinkligen Dreiecken gibt es pythagoreische Dreiecke mit einem Winkel von 60° oder von 120°. Das geht so: Wir wählen zwei Zahlen
u,v ∈! 0 mit folgenden Eigenschaften: u > v ≥ 0 , gcd(u,v) = 1 , ( u − v ) mod 3 ≠ 0
Nun berechnen wir a, b, c nach einem der drei Formelsätze (i), (ii), (iii).
(i):
a = u 2 + 2uv
b = v 2 + 2uv
c = u 2 + v 2 + uv
(ii):
a = u 2 − v2
b = u 2 + 2uv
c = u 2 + v 2 + uv
(iii): a = u 2 − v 2
b = v 2 + 2uv c = u 2 + v 2 + uv
In den Fällen (i) und (ii) erhalten wir ein Dreieck mit dem Winkel γ = 60° , im Fall (iii)
ein Dreieck mit dem Winkel γ = 120° . Der Nachweis kann mit dem Kosinussatz geführt werden.
Alle drei Formelsätze sind homogen vom zweiten Grad.
Formelsatz (i) ist symmetrisch in u und v. Hier kann die Bedingung u > v weggelassen
werden.
Aus dem Formelsatz (ii) ergibt sich für u = 1 und v = 0 das gleichseitige Dreieck der
Seitenlänge 1.
Ich weiß nicht, ob man mit diesen Formeln alle pythagoreischen Dreiecke mit Winkeln
von 60° oder 120° erhält.
4.2 Beispiel
Wir wählen jeweils u = 2 und v = 1.
Formelsatz (i) liefert: a = 8, b = 5 und c = 7. Die Abbildung 7, welche auf der Abbildung 1 basiert, zeigt das Dreieck.
Abb. 7: 8-5-7-Dreieck
Hans Walser: Ganze Zahlen im gleichseitigen Dreieck
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Formelsatz (ii) ergibt: a = 3, b = 8 und c = 7 (Abb. 8). Das Dreieck ist komplementär
zum Dreieck der Abbildung 7.
Abb. 8: 3-8-7-Dreieck
Formelsatz (iii) führt zu: a = 3, b = 5 und c = 7 (Abb. 9). Das Dreieck ergibt sich aus
dem Dreieck der Abbildung 7 oder 8 durch Abschneiden eines gleichseitigen Dreieckes.
Abb. 9: 3-5-7-Dreieck
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Hans Walser: Ganze Zahlen im gleichseitigen Dreieck
Die Tabelle gibt die ersten nach Formelsatz (i) berechneten Werte.
u
v
a
b
c
1
0
1
0
1
2
1
8
5
7
3
1
15
7
13
3
2
21
16
19
4
3
40
33
37
5
1
35
11
31
5
3
55
39
49
5
4
65
56
61
6
1
48
13
43
6
5
96
85
91
7
2
77
32
67
7
3
91
51
79
7
5
119
95
109
7
6
133 120 127
8
1
80
17
73
8
3
112
57
97
8
7
176 161 169
9
1
99
19
91
9
2
117
40
103
9
4
153
88
133
9
5
171 115 151
9
7
207 175 193
9
8
225 208 217
10
3
160
10
9
280 261 271
69
139
Tab. 1: Nach Formelsatz (i)
Hans Walser: Ganze Zahlen im gleichseitigen Dreieck
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Literatur
[Hasse 1977]
Hasse, Helmut: Ein Analogon zu den ganzzahligen pythagoräischen
Dreiecken. Elemente der Mathematik 32 (1977), Seiten 1-6.
[Hoehn/Walser 2003] Hoehn, Alfred und Hans Walser: Gittergeometrie und pythagoreische Dreiecke. Praxis der Mathematik (5/45), 2003, S. 215 – 217
[Walser 1995]
Walser, Hans: Pythagoreische Dreiecke in der Gittergeometrie. Didaktik der Mathematik (23), 1995, Seiten 193 - 205.
[Walser 1999]
Walser, Hans: Pythagoreische Dreiecke und Gittergeometrie. Beiträge zum Mathematikunterricht 1999. Vorträge auf der 33. Tagung für
Didaktik der Mathematik vom 1. bis 5.3.1999 in Bern. Für die GDM
herausgegeben von Michael Neubrand. Hildesheim: Franzbecker,
1999. ISBN 3-88120-304-4. S. 575-577
[Walser 2000]
Walser, Hans: Lattice Geometry and Pythagorean Triangles. ZDM
Zentralblatt für Didaktik der Mathematik. Jahrgang 32, April 2000,
Heft 2, S. 32 - 35