rot-schwarz-Bäume

Informatik I
7. Kapitel
rot-schwarz-Bäume
Rainer Schrader
Zentrum für Angewandte Informatik Köln
30. Juni 2008
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rot-schwarz-Bäume
rot-schwarz-Bäume
• wir benutzen in diesem Kapitel wiederum Bäume als Datenstruktur
Gliederung
• durch Einfüge- und Löschoperationen werden sich die Bäume
• Definitionen und Eigenschaften
dynamisch verändern
• wir wollen dabei stets sicherstellen, dass die entstehenden Bäume
• Operationen auf rot-schwarz-Bäumen
„balanciert” sind
• Sichtbarkeitsproblem
• d.h., dass ihre Höhe in der Größenordnung des Logarithmus der Anzahl
ihrer Knoten liegt
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rot-schwarz-Bäume
rot-schwarz-Bäume
• Sei T ein binärer Suchbaum
• die Knoten seien zusätzlich rot oder schwarz gefärbt
• (die Farbe können wir durch ein zusätzliches Bit speichern)
Vereinbarung:
• wir verwenden Bäume, in denen jeder Knoten zwei Söhne oder keinen
Sohn hat
• wir stellen dies sicher, indem wir “künstliche” Knoten hinzufügen:
T heißt rot-schwarz-Baum, wenn folgendes gilt:
• fehlende Knoten werden durch künstliche Knoten aufgefüllt
(1) jeder Knoten ist entweder rot oder schwarz,
• alle Blätter werden künstlich hinzugefügt
(2) die Wurzel und alle Blätter sind schwarz,
• die künstlichen Knoten (= Blätter) werden durch Nullzeiger dargestellt
(3) beide Kinder eines roten Knotens sind schwarz,
• die Schlüssel werden nur in internen Knoten gespeichert
(4) jeder Pfad von einem Knoten zu einem Blatt enthält die gleiche Anzahl
von schwarzen Knoten.
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rot-schwarz-Bäume
Beispiel:
• Höhe eines Knotens h(v):
• Anzahl der Kanten auf einem längsten Pfad von v zu einem Blatt
26
= schwarz
17
= rot
14
21
10
7
16
12
15
• Schwarzhöhe eines Knotens bh(v):
41
19
30
23
28
20
• Anzahl der schwarzen Knoten auf einem Pfad von v zu einem
Blatt, ohne v mitzuzählen
47
• eindeutig wegen Eigenschaft (4)
38
35
39
• Im Beispiel:
5
• h(14) = 4
bh(14) = 2
h(T ) = 6
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rot-schwarz-Bäume
AVL-Bäume (nach Adelson-Velskii und Landis)
Ein binärer Baum heißt AVL-Baum, wenn sich in jedem Knoten die Höhen
des rechten und des linken Teilbaums um höchstens 1 unterscheiden.
• wir empfinden einen Baum als “unbalanciert‘”, wenn sich die Wege von
einem Knoten zu Blättern in ihrer Länge stark unterscheiden
• die Eigenschaft (4) sichert, dass zumindest die schwarzen Knoten
4
„balanciert” sind
A
• wir werden sehen, dass die roten Knoten nicht zu sehr stören
2
• d.h. es gilt stets Höhe(T ) = O(log n)
3
B
F
2
1
• wir wollen vorher jedoch noch zwei weitere Balancekonzepte diskutieren
1
D
E
1
G
J
1
H
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rot-schwarz-Bäume
Lemma
AVL-Bäume sind rot-schwarz-Bäume.
Rang-Balanciertheit
Beweisskizze:
• sei T ein binärer Baum
• zu jedem Knoten v ∈ T existiere eine Zahl rang(v ) ∈ N
• färbe alle Knoten mit gerader Höhe (einschließlich der Blätter) schwarz
• ein Knoten mit ungerader Höhe wird genau dann rot gefärbt, wenn die
Höhe seines Vater um genau 1 größer ist
• T heißt rang-balanciert, wenn folgendes gilt:
(1) rang(v ) ≤ rang(Vater (v )) ≤ rang(v ) + 1
(2) rang(v ) < rang(Vater (Vater (v ))
4
A
A
2
(3) ist v ein Blatt, so ist rang(v ) = 0 und rang(Vater (v )) = 1
3
B
B
F
F
2
1
1
D
1
G
J
E
G
D
J
E
1
H
1
H
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rot-schwarz-Bäume
Rot-Schwarz-Baum
(1) jeder Knoten ist entweder rot oder schwarz,
• umgekehrt gilt aber auch: ein rang-balancierter Baum ist ein
(2) die Wurzel und alle Blätter sind schwarz,
rot-schwarz-Baum
(3) beide Kinder eines roten Knotens sind schwarz,
(4) jeder Pfad von einem Knoten zu einem Blatt enthält die gleiche Anzahl
von schwarzen Knoten.
Lemma
T rot-schwarz ⇐⇒ T ist rang-balanciert.
rang-balanciert
Beweis: Übungsaufgabe (rang(v ) = Schwarzhöhe(v ))
(1) rang(v ) ≤ rang(Vater (v )) ≤ rang(v ) + 1
(2) rang(v ) < rang(Vater (Vater (v ))
• wir werden daher beide Konzepte synonym verwenden
• und statt von Schwarzhöhe auch von Rang sprechen
(3) ist v ein Blatt, so ist rang(v ) = 0 und rang(Vater (v )) = 1
• für einen rot-schwarz-Baum setze rang(v ) = Schwarzhöhe(v )
• dann gilt offensichtlich: ein rot-schwarz-Baum ist rang-balanciert
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rot-schwarz-Bäume
(i)
Lemma
Sei T rang-balanciert und u ein Knoten mit rang(u) = k . Dann gilt:
(i)
1
Höhe(u)
2
≤ rang(u) ≤ Höhe(u) :
• die Aussage ist richtig für k = 0
• sei u ein Knoten vom Rang k ≥ 1
≤ rang(u) ≤ Höhe(u),
(ii) u hat mindestens 2k − 1 interne Knoten als Nachfolger,
(iii) Höhe(T ) =
1
Höhe(u)
2
• wenn u keinen Enkel hat, so ist rang(u) = 1 und Höhe(u) = 1
• andernfalls sei v ein Enkel von u maximaler Höhe
O(log n).
• dann ist Höhe(u) = Höhe(v ) + 2 und
Beweis:
(iii) folgt aus (i) und (ii):
rang(u) ≤ rang(v ) + 2
• sei r die Wurzel von T
• nach (i) ist 21 Höhe(T ) ≤ rang(r ) ≤ Höhe(T )
≤ Höhe(v ) + 2
≤ 2 · rang(v ) + 2
(per Induktion)
= 2 · (rang(v ) + 1)
rang(r )
• nach (ii) gilt 2
≤ |T | = n
• damit ist rang(r ) ≤ log n
• und Höhe(T ) ≤ 2 log n
≤ 2 · rang(u)
und somit rang(u) ≤ Höhe(v ) + 2 = Höhe(u) ≤ 2 · rang(u).
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rot-schwarz-Bäume
(ii) u hat mindestens 2k − 1 interne Knoten als Nachfolger:
• per Induktion über die Höhe von u
• ist Höhe(u) = 0, so ist u ein Blatt und k = 0
• dann hat u 2k − 1 = 20 − 1 = 0 interne Nachfolger
Folgerung:
• die Operationen suche, minimum, maximum, symmetrischer Nachfolger
und symmetrischer Vorgänger benötigen
rot-schwarz-Bäumen
• sei Höhe(u) ≥ 1
• dann hat jeder Sohn von u den Rang mindestens k − 1
• sowie eine Höhe, die echt kleiner ist als Höhe(u)
• das gleiche gilt auch für füge_ein und lösche
• allerdings können die bisherigen Realisierungen nicht garantieren, dass
• per Induktion hat jeder Sohn mindestens 2k −1 − 1 interne Nachfolger
• damit beträgt die Anzahl der internen Nachfolger von u mindestens
k −1
2 · (2
O(log n) Zeit auf
auch nachher noch ein rot-schwarz-Baum vorliegt
• wir werden zeigen, dass wir auch dies in O(log n) Zeit erreichen
können.
k
− 1) + 2 ≥ 2 − 1.
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rot-schwarz-Bäume
• wir verändern Bäume dynamisch durch Einfügen oder Löschen von
Knoten
Gliederung
• Definitionen und Eigenschaften
• wir führen danach ggf. zusätzliche Hilfsoperationen (Rotationen) aus
• Operationen auf rot-schwarz-Bäumen
• diese Rotationen werden helfen, die Eigenschaften (1) (4) wiederherzustellen
• Sichtbarkeitsproblem
• Rotationen ändern lokal die Zeigerstruktur
• dabei bleibt jedoch die Suchbaum-Eigenschaft erhalten
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rot-schwarz-Bäume
Links- und Rechtsrotationen
Leftrotate(T, x)
Links−Rotation
leftrotate(T,x)
Rechts−Rotation
rightrotate(T,y)
y
y = rightson(x)
rightson(x) = leftson(y)
Vater(leftson(y)) = x
Vater(y) = Vater(x)
ist x Wurzel von T, so mache y zur Wurzel von
andernfalls:
ist x linker Sohn seines Vaters,
so mache y zum linken Sohn des Vaters von
ist x rechter Sohn seines Vaters,
so mache y zum rechten Sohn des Vaters von
leftson(y) = x
Vater(x) = y
x
rightrotate(T,y)
x
y
α
γ
leftrotate(T,x)
α
β
γ
β
T
x
x
• bei Rechtsrotationen muss gelten x 6= NULL, entsprechend y 6= NULL
bei Linksrotationen
Rightrotate ist symmetrisch zu Leftrotate.
• die Suchbaumrelationen bleiben erhalten
Laufzeit: O(1)
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rot-schwarz-Bäume
Illustration:
füge_ein(T , u)
7
x
4
11
(1) suche nach u wie in Suchbäumen
y
3
6
9
2
18
14
• die Suche endet in einem schwarzen Knoten
• denn ein roter Knoten hat zwei (schwarze) Kinder
19
12
17
22
(2) füge u als neuen Knoten mit zwei neuen Blättern ein
20
(3) färbe die neuen Blätter schwarz und u rot
7
y
4
• wir ersetzen somit einen schwarzen Knoten durch einen roten
Knoten mit zwei schwarzen Söhnen
18
x
3
2
6
11
9
19
14
12
• daher kann lediglich Bedingung (iii) verletzt sein
22
17
20
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rot-schwarz-Bäume
(4a) ist u Wurzel, so färbe u schwarz, stop.
(5) damit haben wir die folgende Situation:
• T ist zulässig gefärbt
u
• u und w = Vater(u) sind rot
• dann kann w nicht die Wurzel sein
u
• sei x = Vater(u) = Großvater(u)
• dann ist x schwarz
• die rot-schwarz-Bedingungen sind nur zwischen u und
w verletzt
(4b) ist w = Vater(u) schwarz, stop.
• T ist zulässig gefärbt
• wir werden jetzt:
w
• entweder den Baum durch Rotationen reparieren
• oder
u
• die Verletzung zur Wurzel hin verschieben
• und dort beseitigen
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rot-schwarz-Bäume
Untersuchung der Ränge:
(5) u und w = Vater(u) sind rot, x = Vater(w ) = Großvater(u) schwarz
• sei r + 1 der Rang von x vor dem Umfärben
• die roten Knoten haben dann Rang r + 1
(6) sei w rechter Sohn von x (der andere Fall folgt symmetrisch)
(7) hat x nur rote Söhne:
• der andere schwarze Knoten hat Rang r
• nach dem Umfärben verändern sich die Ränge lokal
• vertausche Farben, setze u := x , gehe zu (4)
• Tx ist repariert, gehe höher im Baum
• sie stören aber die Rangbedingungen nicht, da
• x entweder Wurzel ist
x
x
w
√
• oder der Vater von x vorher und nachher den Rang r + 2 hat
w
r+2
r+1
a
u
a
u
r+1
r+1
r+1
r+1
Analog, falls u linker Sohn von w
r
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r+1
r
r+1
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rot-schwarz-Bäume
(8) andernfalls hat x mindestens einen schwarzen Sohn
Untersuchung der Ränge:
• da w rot ist, muss der Bruder b von u wegen (iii) schwarz sein
• sei der Rang von x vor dem Umfärben wieder r + 1
• wir unterscheiden zwei Fälle:
• führe eine L-Rotation durch
• die roten Knoten haben ebenfalls Rang r + 1
• alle anderen schwarzen Knoten haben Rang r
• nach dem Umfärben verändern sich die Ränge wieder lokal
• und vertausche die Farben von x und w
• der Rang der lokalen Wurzel bleibt aber gleich
(8a) u = Rightson(w ) :
r+1
w
x
r+1
r+1
r+1
x
w
r+1
r
u
r+1
a
u
r
r
r
r
r
b
a
c
b
c
d
r
d
r
• danach ist die Verletzung der Bedingung (iii) beseitigt
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rot-schwarz-Bäume
(8b) u = Leftson(w ) :
• führe eine R- und eine L-Rotation durch und färbe um
u
x
x
u
w
a
a
u
x
• füge_ein: O(log n)
b
d
a
b
Laufzeit:
w
w
c
c
b
c
d
• Anzahl der Durchläufe von (4)-(7): O(log n) (immer nach oben)
d
• also insgesamt O(log n) (bei maximal zwei Rotationen).
• Untersuchung der Ränge:
r+1
r+1
r+1
r+1
r
r+1
r+1
r+1
r
r+1
r+1
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
• danach ist die Verletzung der Bedingung (iii) beseitigt
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Entfernung des Knotens z
Beispiel:
Illustration zum Entfernen:
11
14
2
(7)
7
1
8
5
v
14
2
15
7
1
15
11
15
u
5
16
8
5
u
4
4
3
(8b)
L-Rot.
11
7
10
R.Rot.
18
23
14
u
u
2
8
2
11
15
u
5
13
(8a)
7
1
20
12
8
14
1
15
4
6
5
4
7
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rot-schwarz-Bäume
Entferne(T , z )
• sei y schwarz und sei x einziges internes Kind bzw. Blatt
• sei y der (interne) Knoten, der aus T entfernt wird
• es können zwei Fehler auftreten:
• x und Vater (y )(; Vater (x )) sind rot
• ist y rot, so bleibt T ein rot-schwarz-Baum:
• die Pfade, die y enthielten, haben einen schwarzen Knoten
weniger
• der Rang aller Knoten bleibt unverändert,
• keine zwei roten Knoten sind benachbart.
• falls x rot ist:
• sei also y schwarz
• wenn y ein einziges internes Kind hat, sei x diese Kind, andernfalls
Vater(y)
sei x ein Blatt
Vater(y)
Vater(x)
y
Vater(x)
x
x
x
• dann ist x interner Knoten
• färbe x schwarz
• danach ist der Baum wieder ein rot-schwarz-Baum
y
x
Vater(x)
x
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rot-schwarz-Bäume
• sei x ein „doppelt schwarzer” Knoten, der nicht schon die Wurzel ist
• wir betrachten den Fall „x ist linkes Kind“ (rechtes Kind symmetrisch)
• ist x schwarz, so ist Vater (x ) unbalanciert
• sei w der Bruder von x
• w ist nicht Blatt, da sonst Vater(x ) vor dem Löschen die Balance
• zum Ausgleich machen wir x „doppelt schwarz“
• dann stimmt die Farbbalance entlang von Pfaden
verletzt hätte
• aber x ist falsch gefärbt
B
• wir schieben die doppelte Farbe schrittweise nach oben bis wir
x
a) einen roten Knoten erreichen: ; färbe ihn schwarz
b) oder die Wurzel erreichen: ; entferne zusätzliches schwarz
w
D
A
c) oder geeignete Rotation und Umfärbungen machen können
a
E
C
b
d
c
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rot-schwarz-Bäume
rot-schwarz-Bäume
Fall 1: w ist rot
Fall 2: w ist schwarz, beide Söhne von w sind schwarz
• dann sind Vater(x ) und die Söhne von w schwarz
• vertausche die Farben von w und Vater(x )
• färbe x einfach schwarz und w rot
• schiebe schwarz zum Vater von x :
• führe eine Linksrotation im Vater(x ) durch
• danach ist der Bruder von x schwarz
• ist Vater(x ) rot, so färbe ihn schwarz, STOP
• (wenn vorher Fall 1 eingetreten ist, ist Vater(x ) rot)
• andernfalls haben wir die doppelte Färbung nach oben verschoben
• ; Fall 2,3 oder 4
• (und die Ränge bleiben lokal erhalten)
• setze x = Vater(x ) und iteriere
• (die Ränge bleiben lokal erhalten)
r+1
r+1
B
D
Fall 1
x
r+1
w
A
r+1
r−1
x
C
r
E
r
E
r−1
w
C
x
B
D
A
r
r+1
r
B
D
Fall 2
A
r
r−1
r−1
D
D
A
D
C
39 / 55
r
w
x
r
B
r−1
E
r−1
r−1
C
r−1
E
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rot-schwarz-Bäume
rot-schwarz-Bäume
Fall 3: w ist schwarz, der linke Sohn ist rot, der rechte ist schwarz
Fall 4: w ist schwarz, der rechte Sohn ist rot
• vertausche die Farben von w und seinem linken Sohn
• färbe w wie Vater(x ), Vater(x ) und den rechten Sohn von
w schwarz,
• führe eine Rechtsrotation an w aus
• führe eine Linksrotation im Vater(x ) aus
• danach ist der neue Bruder w von x schwarz mit einem roten rechten
• entferne die doppelte Färbung von x
Sohn
• ; Fall 4
• (und die Ränge bleiben lokal erhalten)
• danach ist T ein rot-schwarz-Baum
r+1
r+1
B
r+1
x
B
A
r
r−1
D
A
r−1
r
E
r-1
r
B
D
r
C
C
D
C
r
r-1
r
w
x
r
w
A
B
Fall 3
Fall 4
x
r+1
D
x
E
A
r
E
D
r-1
w
C
r-1
D
r−1
r−1
E
Laufzeit: O(log n).
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rot-schwarz-Bäume
Zusammenfassung
Rot-schwarz-Bäume bilden eine Datenstruktur, die die folgenden
Operationen auf dynamischen Mengen unterstützt:
Gliederung
• suche
• bestimme das Minimum
• grundlegende Definitionen
• Operationen auf rot-schwarz-Bäumen
• bestimme das Maximum
• bestimme den Vorgänger einer symmetrischen Durchmusterung
• bestimme den Nachfolger einer symmetrischen Durchmusterung
• das Sichtbarkeitsproblem
• füge ein
• lösche
Die Laufzeiten betragen jeweils
O(log n).
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rot-schwarz-Bäume
rot-schwarz-Bäume
9
9
Chip (n Zellen)
8
A
Chip (n Zellen)
8
A
kompaktieren
7
6
B
6
B
C
Mindestabstände
5
C
D
einhalten!
4
Mindestabstände
5
kompaktieren
7
3
D
einhalten!
4
2
E
F
3
1
2
0
E
F
1
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
• die relevanten Paare sind die, die sich „sehen” können
10 11 12
(A, D) (A, E ) (B, E ) (C, F ) (D, E )
• ein integrierter Schaltkreis soll kompaktifiziert werden
• dazu sollen die Blöcke in y Richtung zusammengeschoben werden
• formal: zwei Paare S, S 0 sind gegenseitig sichtbar, wenn gilt:
• es existiert eine vertikale Linie, die S und S 0 , aber kein Element
zwischen S und S 0 schneidet
• dabei sollen jeweils Mindestabstände eingehalten werden
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rot-schwarz-Bäume
rot-schwarz-Bäume
Beobachtung:
9
Beim vertikalen (horizontalen) Sichtbarkeitsproblem spielen die Höhen (Breiten) der Zellen keine Rolle.
Chip (n Zellen)
8
A
kompaktieren
7
6
B
C
Mindestabstände
5
D
; Reduktion auf südliche Grenzen (bei vertikaler Sichtbarkeit):
einhalten!
4
3
2
E
F
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
9
8
A
7
6
Naives Verfahren:
B
5
D
C
4
• Überprüfung aller
`n ´
2
3
Paare auf vertikale (horizontale) Sichtbarkeit
2
E
F
1
• ;
Horizontale Segmente,
linke und rechte Koordinaten:
(xl (A), xr (A)) = (1, 4)
(xl (B), xr (B)) = (6, 8)
..
.
2
0
Ω(n ) Laufzeit
0
47 / 55
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Vertikale Koordinaten:
y (A) = 7
y (B) = 5
..
.
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rot-schwarz-Bäume
rot-schwarz-Bäume
Weitere Beobachtung:
Die Sichtbarkeiten können durch vertikale Linien dargestellt werden, die sich
gegenseitig nicht schneiden.
Satz (ohne Beweis)
Ein planarer Graph mit n ≥ 3 Knoten hat höchstens 3n − 6 Kanten.
⇒ Es kann nur
9
O(n) viele Sichtbarkeitspaare geben.
8
A
7
Sei L eine Datenstruktur, die die Operationen unterstützt:
6
B
5
D
• füge_ein
• lösche
C
4
3
2
E
• Vorgänger
• Nachfolger
F
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Zur einfacheren Darstellung nehmen wir an, dass die x -Koordinaten der
Der korrespondierende Graph mit n Knoten ist planar, d.h. er kann ohne
Anfangs- und Endpunkte paarweise verschieden sind.
Kantenüberkreuzungen gezeichnet werden.
49 / 55
50 / 55
rot-schwarz-Bäume
rot-schwarz-Bäume
Idee eines Scanline-Ansatzes
• wir fahren den Bereich von links nach rechts mit einer vertikalen
Scan-Linie ab
Datenstrukturen
• dabei halten wir nur an Anfangs- oder Endpunkten von Segmenten
• dazu verwenden wir eine sortierte Liste aller x -Koordinaten dieser
• zu jedem Segment S existieren Angaben (xl , S, l ), (xr , S, r ) und
(y , S)
Punkte
• sortiere die 2n Werte (xl , S, l ), (xr , S, r ) aufsteigend nach
• die y -Koordinaten der Segmente fassen wir als Schlüssel auf
x -Koordinaten ;
O(n log n)
• sei Q eine Schlange, die diese Werte aufsteigend enthält
• sei T ein rot-schwarz-Baum, der die aktuellen Segmente aufnimmt
• die Nachbarsegmente werden durch die Operationen „Nachfolger” bzw.
• während des Scannens verwalten wir dynamisch die Menge aller
Segmente, die von der Scan-Linie geschnitten werden:
• wird der Anfangspunkt eines Intervalls erreicht, so fügen wir das
Intervall in die Menge ein
„Vorgänger” in der symmetrischen Durchmusterung bestimmt
• wird der Endpunkt eines Intervalls erreicht, so entfernen wir das
Intervall aus der Menge
• die Sichtbarkeitsrelation wird durch benachbarte Schlüsselwerte
bestimmt
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rot-schwarz-Bäume
rot-schwarz-Bäume
Skizze eines scan-line-Ansatzes
while
im Beispiel:
Anfang von Q
Q6= ∅ do
entferne das nächste Element (x,S,e) aus Q
if e = l do
füge (y(S),S) in T ein
sei (y’,S’) Vorgänger in T
falls S’ existiert, gib (S,S’) aus
sei (y”,S”) Nachfolger in T
falls S” existiert, gib (S,S”) aus
else do
//
(1, A, l )
(1, E , l )
(2, D, l )
(3, D, r )
(4, A, r )
(6, B, l )
(7, E , r )
(8, B, r )
(9, C, l )
(9, F , l )
(10, F , r )
(11, C, r )
∅
e = r
sei (y’,S’) Vorgänger in T
sei (y”,S”) Nachfolger in T
falls S’, S” existieren, gib
lösche (y(S),S) aus T
end if
end while
(S’,S”)
aus
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rot-schwarz-Bäume
• einschließlich der Duplikate werden O(n) Paare ausgegeben
• implementiert man Q einfach als Array und sortiert etwa mit Heapsort,
so benötigt das Verfahren O(n log n) Zeit für die Erstellung von
Q und O(1) Zeit für jedes Entfernen aus Q
• im Rot-Schwarz-Baum T benötigen wir O(log n) Zeit für jede
Operation
• daraus ergibt eine Gesamtlaufzeit von O(n log n)
• offensichtlich benötigt das Verfahren O(n) Speicherplatz.
55 / 55
Inhalt von L
(7, A)
(1, E ), (7, A)
(1, E ), (4, D), (7, A)
(1, E ), (7, A)
(1, E )
(1, E ), (5, B)
(5, B)
∅
(4, C)
(1, F ), (4, C)
(4, C)
∅
Ausgabe
(E , A)
(D, E ), (D, A)
(E , A)
(B, E )
(C, F )
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