9.1. Dunkle Materie.1.

Dunkle Materie - Hinweise
Ausbildungsseminar: Kerne & Sterne
Christof Thalhammer
18. Juni 2007
Inhaltsverzeichnis
1
Einführung
2
2
Längenskala von Galaxien
2
3
Längenskala von Galaxienhaufen
3.1 Virialtheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Analyse der Röntgenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Gravitationslinseneekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Linsengleichung, Einstein-Radius und kritische Dichte
3.3.3 Bestimmung der Masse mit Hilfe von Arcs . . . . . . .
3.3.4 Eigenschaften der Linsenabbildung . . . . . . . . . . .
3.3.5 Bestimmung der Masse mit Hilfe von Arclets . . . . .
3.4 Vergleich der Messmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Sunyaev-Zel'dovich Eekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
4
4
5
5
5
6
6
6
9
11
12
13
15
16
4
Kosmologische Längenskala
16
5
Die Milchstraÿe
16
6
Zusammenfassung
17
Dunkle Materie
1
- Hinweise
Ausbildungsseminar: Kerne & Sterne
Einführung
Seitdem Newton das Gravitationsgesetz aufstellte, hat die Menschheit groÿe Fortschritte darin
erzielt, die Bewegung der Körper im Universum zu verstehen. Doch jedesmal, wenn eine Beobachtung einen scheinbaren Widerspruch darstellt, muss man sich die Frage stellen: Ist dies ein
Gegenargument zur Theorie der Gravitation oder deutet die Anomalie auf etwas hin, was man
bisher einfach nicht gesehen hat?
So führte diese Suche nach dem scheinbar Unsichtbaren zur Entdeckung des Neptun durch den
Franzosen U. Le Verrier und den Engländer John Couch Adams als sie die unerwartete Bewegung
des Uranus untersuchten. Als man jedoch mit demselben Ansatz versuchte, die Bewegungen des
Merkurs zu erklären, indem man einen Planeten namens Vulcan forderte, scheiterte man und
und konnte dieses Dilemma erst durch die Veränderung des Gravitationsgesetz durch Einsteins
Allgemeine Relativitätstheorie lösen.
Heute steht man vor einem sehr ähnlichen Problem: man muss Beobachtungen auf Längenskalen von Galaxien bis hin zu kosmologischen Skalen entweder mit Hilfe von dunkler Materie
erklären oder die Gesetze der Gravitation und der Allgemeinen Relativitätstheorie abändern.
2
Längenskala von Galaxien
Den überzeugendsten Hinweis für dunkle Materie auf der Längenskala von Galaxien (kpcBereich) ndet man, indem man die Rotationskurven von Galaxien untersucht, das heiÿt die
Rotationsgeschwindigkeit der Sterne und Gase gegen den Abstand zum Galaxienzentrum anträgt.
Nach Newton gilt für ein Objekt der Masse m, das um die Masse M (r) kreist:
m
v2
r
⇒v
M (r) · m
= G
2
r r
GM (r)
=
r
(1)
(2)
Hierbei ist M (R) = 4π drρ(r)r2 , wobei ρ(r) die Massendichte ist. Man erwartet also, dass
die Rotationsgeschwindigkeit
für ein gravitativ gebundenes Keplersystem wie eine Galaxie zum
1
Rand hin mit r− 2 abnimmt.
R
Durch Messungen der Rotverschiebung der 21 cm Wasserstoinie konnten in den letzten
Jahrzehnten viele Rotationskurven für verschiedene Galaxien aufgenommen werden. Diese zeigten jedoch stets ein Abachen der Kurve. Die Tatsache, dass v am Rand der Galaxien also nahezu
konstant ist, deutet darauf hin, dass diese von einem Halo aus nicht sichtbarer, dunkler Materie mit M (r) ∝ r und einer Massendichte ρ(r) ∝ rα mit α = −2 umgeben sind. Besonders
aufschlussreich ist hierbei die Beobachtung von LSB-Galaxien, d.h. Low Surface BrightnessGalaxien: diese werden wohl über ihre gesamte Ausdehnung von dunkler Materie dominiert und
der sichtbare stellare Anteil trägt nur einen kleinen Teil zur Rotationskurve bei.
Nach der Auswertung der Kurven ist man sich zwar zur Zeit einig über die Verteilung der dunklen
Materie, d.h. über die Gröÿe von α, in den Randbereichen der Galaxien, über die Verteilung
im Kern der Galaxien aber wird nach wie vor diskutiert. So kam eine Forschungsgruppe nach
Untersuchung von 13 LSB-Galaxien zum Schluss, dass die Kerne wohl eine eher ache Verteilung
aufweisen, d.h. dass der Betrag von α sehr viel kleiner als 2 ist. Weiterhin behauptet eine andere Gruppe, dass sowohl LSB- als auch HSB-Galaxien ein einheitliche Massenverteilung haben,
2
Dunkle Materie
- Hinweise
Ausbildungsseminar: Kerne & Sterne
Abbildung 1: Rotationskurve der Galaxie NGC 6503, [1].
bestehend aus einer exponentiell dünnen stellaren Scheibe und einem kugelförmigem Halo aus
dunkler Materie mit einem achen Kern mit α = − 32 . Ergebnisse von N-Teilchen-Simulationen
hingegen prognostizieren sehr viel steilere Kerne, was durch manche Messergebnisse auch belegt werden kann. Eine mögliche Erklärung für die Diskrepanzen zwischen den verschiedenen
Resultaten ist die Beachtung des Unterschieds zwischen der Bahngeschwindigkeit und der Rotationsgeschwindigkeit des Gases.
Ein weiterer Streitpunkt ist die Verteilung dunkler Materie bei massiven Scheibengalaxien:
So behaupten manche Forscher, dass es bei Balken-Spiralgalaxien im Bereich der Balken keine
dunkle Materie geben kann, da die Materie in den Balken sonst durch die Wechselwirkung mit
der dunklen Materie abgebremst würde, doch auch hiergegen gibt es Gegenargumente von anderen Gruppen.
Die Vermessung der Rotationsgeschwindigkeiten von Spiralgalaxien hat auf jeden Fall ein
sehr solides Argument für die Existenz dunkler Materie auf der Gröÿenordung der Galaxien
erbracht. Die Menge an dunkler Materie lässt sich jedoch daraus nicht bestimmen, da man die
Ausdehnung des Halos nicht kennt.
Weitere Hinweise auf dunkle Materie auf der Längenskala von Galaxien:
starke Gravitationslinseneekt sowie besondere Prole der Röntgenstrahlung von deren Gaswolken beobachtet, was auf
dunkle Materie schlieÿen lässt. Warum diese Eekte als Hinweise dienen können, wird
später erläutert.
• Bei einigen Ellipsengalaxien wurde bereits der
Oort Diskrepanz : Der
niederländische Astronom behauptete bereits in den 30er Jahren, dass in unserer Gala-
• Ein sehr früher Hinweis auf dunkle Materie ist die sogenannte
3
Dunkle Materie
- Hinweise
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xie, der Milchstraÿe, die beobachteten Sterne allein durch das Gravitationspotential ihrer
Verteilung nicht zusammengehalten werden könnten und sich die Milchstraÿe statt dessen
seit langem hätte auösen müssen. Daraus folgerte er die Existenz von zusätzlicher Masse
innerhalb der Galaxie, um deren Stabilität zu erklären.
• Es wurde auÿerdem der
schwache Gravitationslinseneekt
durch die Strukturen im Vordergrund beobachtet.
von entfernten Galaxien
• Die Geschwindigkeitsverteilungen von Kugel-Sternhaufen implizieren durch ihr, im Ver-
gleich zu dem in unserer "solaren Nachbarschaft", hohen Masse-Leuchtkraft-Verhältnis
ebenfalls dunkle Materie.
3
Längenskala von Galaxienhaufen
Der erste Hinweis auf dunkle Materie war dass der Astronom F. Zwicky 1933 bei der Untersuchung des Coma-Clusters ein Masse-Leuchtkraftverhältnis berechnete, welches 400 mal gröÿer
als das unserer Sonne war. Die Galaxien des Clusters hätten aufgrund ihrer Geschwindigkeit
längst auseinander driften müssen. Also folgerte Zwicky, dass diese durch nicht leuchtende Materie zusammengehalten werden.
Die Bestimmung des Masse-Leuchtkraftverhältnisses und der anschlieÿende Vergleich mit
bekannten Werten gibt also Aufschluss darüber, ob die Struktur allein durch ihre leuchtende
Materie zusammengehalten werden kann, oder ob dunkle Materie dazu nötig ist.
Die Leuchtkraft wird hierbei photometrisch bestimmt, zur Massenbestimmung gibt es verschiedene Methoden, die im Folgenden dargestellt werden.
3.1 Virialtheorem
3.1.1
Theorie
Das Virialtheorem, das die mittlere kinetische und potentielle Energie eines abgeschlossenen
Systems miteinander verbindet, lautet:
2 hT i = hU i
(3)
Die Masse eine Galaxienclusters lässt sich daraus wie folgt bestimmen: Die gesamte kinetische
Energie des Haufens ist gegeben durch
T =
1X
2
mi |~
vi | ,
2 i
die gesamte potentielle durch
U =−
1 X Gmi mj
.
2
rij
(4)
(5)
i6=j
Hierbei ist mi und vi die Masse der i-ten bzw. der Betrag der Geschwindigkeit der i-ten Haufengalaxie und rij der räumliche Abstand zwischen der i-ten und der j-ten Galaxie. Der Faktor 12
bei der potentiellen Energie ist nötig, da sonst jedes Galaxienpaar zweimal gezählt würde. Man
deniert dies Gesamtmasse des Haufens als
M=
X
mi ,
(6)
i
4
Dunkle Materie
- Hinweise
Ausbildungsseminar: Kerne & Sterne
sowie die massengewichtete Geschwindigkeitsdispersion
und den gravitativen Radius
2
1 X
v =
mi vi2
M i
(7)

−1
X mi mj
 .
rG = 2M 2 
rij
(8)
i6=j
Somit erhält man für die kinetische und die potentielle Energie
T =
GM 2
M 2
v bzw. U = −
,
2
rG
(9)
und mit dem Virial-Theorem ergibt sich für die Massenabschätzung
rG v 2
M=
.
G
(10)
Man geht nun von einer isotropen Geschwindigkeitsverteilung innerhalb des Cluster aus,
(11)
2
v = 3σv2 ,
wobei σv die die eindimensionale Geschwindigkeitsdispersion der Galaxien ist, die man z.B.
entlang der Sichtlinie durch die Rotverschiebung direkt messen kann. Nun ersetzt man noch rG
durch D · θ, wobei D der Abstand des Clusters zum Beobachter und θ der Winkelradius der
Galaxie ist, und erhält für die Masse
14
MV irial (θ) ≈ 1, 1 · 10 M
3.1.2
σv
2 103 km s−1
θ
3000
D
1Gpc
.
(12)
Ergebnisse
Das soeben beschriebene Verfahren wandte auch Zwicky an und wie er haben Forscher bis heute
verschiedene Cluster untersucht: Das Ergebnis ist, dass man für die Haufen, verglichen mit der
Gesamtleuchtkraft der Haufengalaxien, Werte um
M M
≈ 300
L Cluster
L
(13)
erhält, was etwa 10 mal gröÿer ist als die Verhältnisse von typischen Galaxien. Dies wertet man
als deutlichen Hinweis für die Existenz dunkler Materie in den Haufen.
3.2 Analyse der Röntgenstrahlung
3.2.1
Theorie
In den Galaxienhaufen sind stets groÿe Mengen an Gas vorhanden, welches zeitlich konstante
Röngtenstrahlung emittiert. Das Spektrum der Strahlung ist konsistent mit der Bremsstrahlung
eines heiÿen Gases, und somit ist die Emissivität eine Funktion der Temperatur und der Dichte
des Gases. Auÿerdem kann man vom hydrostatischen Gleichgewicht ausgehen, da die Schalllaufzeit durch die Galaxienhaufen ( ≈ 108 a) klein gegen das Alter der Haufen ( ≈ 109 a) ist. Somit
gilt:
dP (r)
G · M (r)
= −ρ(r)
,
(14)
dr
r2
5
Dunkle Materie
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was sich bei sphärischer Symmetrie für ideale Gase mit P = µaρmp kT zu folgender Gleichung
umformen lässt:
kT r
d ln ρ d ln T
M (r) = −
+
.
(15)
Gµa mp d ln r
d ln r
µa ist hierbei das mittlere Atomgewicht und mp die Protonenmasse.
Den logarithmischen Temperaturgradient kann man mit groÿer Sicherheit Null setzen und der
logarithmische Dichtegradient ist typischerweise ∼ −2. Durch Einsetzen typischer Gröÿen und
ersetzen von r durch D · θ erhält man dann für die Masse
14
MRoentgen (θ) ≈ 0, 7 · 10 M
3.2.2
T
108 K
θ
3000
D
1Gpc
.
(16)
Ergebnisse
Messungen haben ergeben, dass die Cluster in etwa zu 3% aus Sternen, 15% aus interstellarem
Gas und 82% aus dunkler Materie bestehen.
Würde man nur von sichtbarerer, baryonischer Materie ausgehen, würde deren Gravitation niemals ausreichen, die Gaswolken innerhalb des Clusters zu binden.
Abbildung 2: Röntgenaufnahme des Coma-Clusters mit dem ROSAT-PSPC. Die verschiedenen
Farben entsprechen den verschiedenen Temperaturen des Gases, [2]
3.3 Gravitationslinseneekt
3.3.1
Einführung
Anfang des 20. Jahrhundert entwickelte Albert Einstein die Allgemeine Relativitätstheorie und
sagte unter anderem voraus, dass massereiche Objekte wie Sterne oder Galaxien die vierdimensionale Raumzeit krümmen würden. Das heiÿt, ein Lichtstrahl, der an solch einem Objekt
6
Dunkle Materie
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vorbeiläuft, wird durch diese Verzerrung abgelenkt und so können diese Objekte als Linsen dienen.
Abbildung 3: Prinzip einer Gravitationslinse. (Quelle: www.wikipedia.de)
1919 gelang es Sir A. Eddington erstmals, diese Behauptung zu beweisen, als er die Positionsveränderung von Sternen, die am Rand der Sonne zu sehen waren, während einer Sonnennsternis beobachtete. Inzwischen ist der Gravitationslinseneekt ein wichtiges Werkzeug,
um Massenverteilungen im Universum zu untersuchen. Man unterscheidet dabei zwischen drei
verschiedenen Eekten:
•
Starker Gravitationslinseneekt
Bei diesem Eekt werden durch die starke Ablenkung gleich mehrere Bilder eines Objekts erzeugt. So sind z.B. sogenannte Einsteinkreuze beobachtbar, bei denen eine Galaxie 4 mal oder öfter zu sehen ist. Wenn die Lichtquelle,
die Linse und der Beobachtungspunkt auf einer Geraden liegen, entstehen die sogenannten
Einsteinringe, bzw. Bögen (Arcs ), falls nicht alle Punkte perfekt auf einer Geraden liegen.
Man kann nun mit Hilfe der Linsenwirkung von Galaxienhaufen auf deren Masse schlieÿen
(Details siehe unten) und ndet damit einen weiteren Hinweis auf einen groÿe Menge an
dunkler Materie darin.
Abbildung 4: Aufnahme des Galaxienhaufens Abell 2218, aufgenommen vom HUBBLEWeltraumteleskop. Deutlich zu erkennen sind die verformten Abbilder der Galaxien, die sogenannte Arcs und Arclets. (Quelle: http://hubblesite.org)
7
Dunkle Materie
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Ausbildungsseminar: Kerne & Sterne
Abbildung 5: Aufnahme der Galaxie 1938+666 durch das HUBBLE Weltraumteleskop (InfrarotBereich). Ihr Bild wird dabei durch eine Galaxie im Vordergrund (leuchtender Punkt in der Mitte) zu einem Einsteinring verzerrt. (Quelle: http://www.astronomie.at/Aktuell/aktuell0498.htm)
•
Microlensing
•
Schwacher Gravitationslinseneekt
An sich lenkt jedes kosmische Objekt das Licht ab, aber die Stärke dieser Ablenkung hängt sehr von seiner Masse ab. So ist die Ablenkung durch einen Stern mit
Sonnenmasse in kosmischer Entfernung in der Gröÿenordnung von Mikrobogensekunden
und somit nicht auösbar. Man kann jedoch trotzdem die Linsenwirkung durch einzelne
Sterne nachweisen, indem man die Gesamtverstärkung misst, also die Aufsummierung der
Helligkeiten von allen durch Mikrolinsen erzeugten Bildern. Man nützt hierbei die Tatsache aus, dass sich die Gesamtverstärkung zeitlich ändert, da sich sowohl die Lichtquelle,
als auch die Linsen und der Beobachter im Universum stets gegeneinander bewegen. Somit
verändert sich natürlich auch der Einuss der Linsen auf den Lichtstrahl. Man kann nun
das Verhalten der Sterne und ihre Wirkung als Linsen mit Hilfe von Computern simulieren
und so die Mikrolinsen-Fluktuationen nachvollziehen.
Die bisher besprochenen Auswirkungen des
Gravitationslinseekt sind zwar die stärksten, aber sie tauchen nur sehr selten auf, denn
nur wenige Galaxienhaufen haben genügend Masse, um Mehrfachbilder, hohe Verstärkungen und Verzerrungen wirklich zu erzeugen. Viel häuger hingegen tritt der schwache
Gravitationslinseneekt auf, welcher in schwachen Verstärkungen oder schwachen Verzerrungen (Arclets ) resultiert. Dieser ist jedoch sehr schwer nachzuweisen. Man hat allerdings festgestellt, dass z.B. bei der Verzerrung von Hintergrundgalaxien durch Cluster
die schwachen Eekte vorwiegend in Richtung senkrecht zum Galaxienhaufen geschehen,
das heiÿt, dass die meisten Galaxien ein wenig tangential auseinander gezogen sind. Dieser Eekt lässt bei Beobachtung einzelner Galaxien noch keine begründeten Schlüsse zu,
da die meisten Galaxien sowieso nicht perfekt kreisförmig sind. Wenn man jedoch viele
Tausend Hintergrund-Galaxienbilder in den Auÿenbereichen eines Galaxienhaufens untersucht, kann man ein leicht kohärentes Signal feststellen.
Da dieser Eekt sehr häug auftritt, ist er eines der gebräuchlichsten Mittel, um die Materie in Clustern zu bestimmen und durch Vergleich mit der Sichtbaren darin auf dunkle
Materie zu schlieÿen. (Details siehe unten)
Die Untersuchung der Gravitationslinseneekte hat sich inzwischen zu einem der wichtigsten
Werkzuge in der Astrophysik entwickelt, mit dem heute eine groÿe Anzahl an Gebieten unter8
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sucht wird, wie z.B. die groÿächigen Strukturen im Universum, die Eigenschaften von Quasaren
und viele andere Bereiche, weshalb im Folgenden die Theorie dahinter ausführlich vorgestellt
werden soll.
3.3.2
Linsengleichung, Einstein-Radius und kritische Dichte
An sich wird der Weg, die Gröÿe und der Querschnitt eines Lichtbündels auf seinem Weg durch
das All von der gesamten Masse zwischen Quelle und Beobachter beeinusst. Für die Berechnungen benutzt man jedoch die Dünne-Linsen-Näherung, bei der man annimmt, dass die
gesamte Linsenwirkung von einer einzelnen Masseninhomogenität an einem bestimmten Punkt
ausgeht. Diese Näherung ist nur dann zulässig, wenn die Relativgeschwindigkeiten von Quelle,
Linse und Beobachter klein gegen die Lichtgeschwindigkeit c sind und wenn das Newtonsche
Potential der Linse klein ist: |Φ| c2 . Diese Annahmen sind jedoch bei den betrachteten Fällen
stets gerechtfertigt.
Abbildung 6: Geometrie der Linsenanordnung (Quelle: http://auriga.astro.physik.uni-
potsdam.de/ jkw/)
Beim Aufstellen der Linsengleichung für ein System, bestehend aus einer Punktlichtquelle,
einer punktförmigen Linse und einem Beobachter geht man von der Geometrie wie in Abb.
6 aus. Bei der Dünnen-Linsen-Näherung werden die hyperbolischen Strecken durch ihre
Asymptoten angenähert und man erhält bei kreisförmiger Symmetrie für den Ablenkwinkel α̃:
α̃ =
4GM (ξ)
,
c2 ξ
(17)
wobei M (ξ) die im Radius ξ eingeschlossene Masse ist. Aus Abb. 6 folgt des Weiteren die
Gleichung
θDS = βDS + α̃DLS ,
(18)
9
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wobei man θ, β, α̃ 1 annimmt, was quasi bei allen astronomischen Situationen erfüllt ist. Mit
α̃(θ) lässt sich Obiges zur Linsengleider Denition des reduzierten Ablenkwinkels α(θ) = DDLS
S
chung
β = θ − α(θ)
(19)
umformen. Falls die Massenverteilung nicht symmetrisch ist, muss man die skalaren Winkel in
zweidimensionale umwandeln. Die zweidimensionale Linsengleichung lautet also
(20)
~ = θ~ − α
~
β
~ (θ).
Setzt man nun Gleichung 17 in Gleichung 19 ein und benützt weiterhin ξ = DL θ, erhält man
4GM DLS 1
.
c2 DL DS θ
β(θ) = θ −
(21)
Für den Spezialfall der Einsteinringe, bei denen die Quelle exakt hinter der Linse liegt, d.h.
β = 0, erhält man als Winkelradius den sogenannten Einstein Radius :
r
θE =
4GM DLS
c2 DL DS
(22)
Bei der Behandlung von allgemeinen, dreidimensionalen Massenverteilungen einer ausgedehnten
Linse projeziert man die Massendichte ρ(~r) entlang der Sichtlinie auf die Linsenebene und erhält
~ als
so die Oberächen-Massendichte Σ(ξ)
~ =
Σ(ξ)
ZDS
ρ(~r) dz.
(23)
0
Der zweidimensionale Ablenkwinkel ~α̃ ist damit gegeben als die Summe über alle Massenelemente in der Linsenebene:
Z ~ ~0
(ξ − ξ )Σ(ξ~0 ) 2 0
~ = 4G
~α̃(ξ)
(24)
2 d ξ .
2
c
~ ~0 ξ − ξ Für einen endlichen Kreis mit konstanter Oberächen-Massendichte ergibt sich der reduzierte
Ablenkwinkel α
~ mit der Beziehung ξ = DL θ zu
α(θ) =
Man deniert nun die kritische
Σkrit
DL DLS 4πGΣ
θ.
DS
c2
(25)
Oberächen-Massendichte Σkrit als
DS
c2
g
=
= 0, 35 2
DL DLS 4πG
cm
D
1Gpc
−1
,
(26)
wobei D = DLDDsLS der eektive Abstand ist. Somit ergibt sich für den reduzierten Ablenkwinkel
solch einer Massenverteilung der Ausdruck
α(θ) =
Σ
θ.
Σkrit
(27)
Man sieht, dass für den Fall der Einsteinringe, bei denen β = 0 und somit α = θ gilt, die
Oberächen-Massendichte gleich der kritischen ist, Σ = Σkrit . Nimmt man an, dass in diesem
10
Dunkle Materie
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Fall die gesamte Masse über die Fläche des Kreises mit dem Einsteinradius RE = θE DL "verschmiert" ist, so erhält man z.B. für eine Linse mit Rotverschiebung zL = 0, 5 und eine Quelle
mit zQ = 2, 0 in etwa einen Wert Σkrit ≈ 0, 8 cmg 2 .
Eine beliebige Massenverteilung kann also nur dann mehrere Bilder erzeugen, wenn ihre
Oberächen-Massendichte gröÿer als die kritische ist. Somit kann man zwischen Objekten unterscheiden, bei denen der starke Gravitationslinseneekt auftritt, Σ > Σkrit , und Objekten,
die nur den schwachen Eekt erzeugen können, Σ < Σkrit .
3.3.3
Bestimmung der Masse mit Hilfe von Arcs
Abbildung 7: Arc der tangential an der kritischen Kurve liegt. [3]
Mit diesen Hilfsmitteln lässt sich nun die projezierte Masse eines Clusters durch die Form
und Position von beobachteten Giant Luminous Arcs bestimmen, denn hier tritt der starke
Gravitationslinseneekt auf. Für eine kreisförmige Linse ist die durchschnittliche OberächenMassenverteilung hΣi innerhalb der tangentialen, kritischen Kurve gleich der kritischen OberächenDichte Σkrit . Da die Giant Luminous Arcs in etwa tangential an den kritischen Kurven liegen,
kann man vom Radius θArc , der durch den Arc vorgegeben wird, auf den Einstein-Winkelradius
θE schlieÿen:
hΣ(θArc i ≈ hΣ(θE )i = Σkrit .
(28)
Somit lässt sich die Masse des Clusters mit Hilfe folgender Formel bestimmen:
MGrav.Linse (θ) = Σkrit π(DL θ)2 ≈ 1, 1 · 1014 M
Cluster
A 370
A 2390
MS 2137-23
θ
3000
2 DL
1Gpc
(29)
M/L (in Vgl. zu M /L )
∼ 200
∼ 120
∼ 250
Tabelle 1: Masse-Leuchtkraft-Verhältnisse einiger Cluster, bestimmt mit Hilfe des starken Gravitaitonslinseneekts. [3]
11
Dunkle Materie
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Tabelle 1 zeigt, dass die beobachteten Masse-Leuchtkraftverhältnisse sehr groÿ sind und
somit die Existenz groÿer Mengen an dunkler Materie nahe legen.
3.3.4
Eigenschaften der Linsenabbildung
Um das Verfahren der Massenbestimmung mit Hilfe von Arclets durch den schwachen Gravitationslinseneekt zu verstehen, muss man zunächst das Konzept des eektiven Linsenpotentials und die Eigenschaften der Linsen-Abbildung genauer untersuchen.
~ , welches das skalierte und projezierte
Man deniert zunächst ein skalares Potential ψ(θ)
Newtonsche Potential der Linse darstellt:
~ =
ψ(θ)
DLS 2
DL DS c2
Z
~ z) dz.
Φ(DL , θ,
(30)
Die Ableitungen diesen Potentials sind nun von groÿer Bedeutung, denn der Gradient von ψ
nach θ ist der Ablenkwinkel,
∇θ ψ = α
~,
(31)
wohingegen der Laplace-Operator auf das Potential angewandt, einen Term proportional zur
Oberächen-Massendichte liefert:
∇2θ ψ = 2
~
Σ(θ)
~
≡ 2κ(θ).
Σkrit
(32)
~.
Die Oberächen-Dichte, skaliert mit ihrem kritischen Wert Σkrit , nennt man Konvergenz κ(θ)
Die Eigenschaften der Abbildung durch die Linse sind nun gegeben durch die Jacobi Matrix A,
~
∂β
A≡
=
∂ θ~
~
∂αi (θ)
δij −
∂θj
!
=
~
∂ 2 ψ(θ)
δij −
∂θi ∂θj
!
(33)
.
Diese Gleichung zeigt, dass die zweite partielle Ableitung des Potentials ψ (also seine Hesse
Matrix) die Abweichung von der Identitätsabbildung angibt. Im Folgenden wird die Abkürzung
∂2ψ
≡ ψij
∂θi ∂θj
(34)
benützt. Da der Laplace-Operator auf ψ angewendet zweimal die Konvergenz ist, gilt
κ=
1
1
(ψ11 + ψ22 ) = sp ψij .
2
2
(35)
Weiterhin sind noch zwei andere Linearkombinationen von ψij wichtig, und zwar die Komponenten des sog. Scherungs-Tensors,
~ =
γ1 (θ)
~ =
γ2 (θ)
(36)
(37)
~ cos(2φ(θ)),
~
− ψ22 ) ≡ γ(θ)
~ sin(2φ(θ)).
~
= ψ21
≡ γ(θ)
1
2 (ψ11
ψ12
Damit lässt sich die Jacobi Matrix umschreiben zu
A=
1 − κ − γ1
−γ2
−γ2
1 − κ + γ1
= (1 − κ)
1
0
0
1
−γ
cos 2φ
sin 2φ
sin 2φ − cos 2φ
.
(38)
12
Dunkle Materie
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Jetzt erkennt man auch leicht die Bedeutung von Konvergenz und Scherung für die Abbildungseigenschaften der Linse: Die Konvergenz symbolisiert die isotrope Fokussierung des Lichtstrahls, was zu einer isotropen Vergröÿerung des Bildes der Quelle führt. Die Scherung führt
nun zur Anisotropie (oder Astigmatismus) bei der Abbildung und verzerrt das Bild der Quelle.
Wie in Abb. 8 gezeigt wird z.B. eine ringförmige Quelle durch Konvergenz und Scherung in eine
Ellipse mit der groÿen und kleinen Halbachse
(1 − κ − γ)−1 , (1 − κ + γ)−1
(39)
abgebildet.
Abbildung 8: Auswirkung von Konvergenz und Scherung auf die Abbildung. [3]
3.3.5
Bestimmung der Masse mit Hilfe von Arclets
Wie bereits oben erwähnt, ist die Bestimmung der Masse eines Cluster aufgrund des schwachen Gravitationslinseneekts schwierig, da die beobachtbaren Eekte so gering sind. Es ist
überhaupt nur möglich, weil es derart viele Objekte gibt, die diesen Eekt zeigen (etwa 105
pro Quadrat-Grad). Bei den meisten Clustern ndet man Hunderte bis Tausende sogenannte
faint blue galaxies die zur Auswertung herangezogen werden können. Man verwendet dabei
den sogenannten Kaiser & Squires Algorithmus der 1993 entwickelt wurde. Hierbei nützt
man die oben hergeleitete Tatsache aus, dass sowohl die Konvergenz κ als auch die Scherung
~ sind, womit
γ Linearkombinationen der zweiten Ableitung des eektiven Linsenpotentials ψ(θ)
die beiden Gröÿen also durch eine mathematische Relation verknüpft sind. Man geht dabei wie
folgt vor:
~ messen. Deniert man die Elliptizität
• Zunächst muss man das Scherungsfeld der Linse γ(θ)
eines Bildes als
= 1 + 2 =
1 − r 2 iφ
b
e , r≡ ,
1+r
a
(40)
13
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wobei φ der Positionswinkel der Ellipse und a und b deren groÿe und kleine Halbachsen
sind, sieht man mit Gleichung 39, dass die mittlere, durch die Linse erzeugte Elliptizität
hi =
γ
1−κ
(41)
ist, wobei hierbei über einen endlichen Ausschnitt des Himmels gemittelt wird. Im Grenzfall des schwachen Linseneekts (κ, |γ| 1) ergibt somit die gemessene, mittlere Elliptizität direkt die Scherung,
D
E D
E D
E D
E
~ ≈ 1 (θ)
~ , γ2 (θ)
~ ≈ 2 (θ)
~ .
γ1 (θ)
D
(42)
E
~ über eine genügend
Hierbei ist zu beachten, dass beim Bestimmen der Gröÿen 1,2 (θ)
groÿe Anzahl an abgebildeten Objekten gemittelt wird, um eine genügende Genauigkeit zu
erzielen. Deshalb ist bei diesem Verfahren die groÿe Anzahl der Objekte, die den schwachen
Linseneekt zeigen, von so elementarer Bedeutung.
~ sowie κ(θ)
~ , denn für die Transformierten
• Als nächstes Fourier-transformiert man γ1,2 (θ)
gilt die Relation
γˆ1 (~k)
γˆ2 (~k)
!
=k
−2
(k12 − k22 )
2k1 k2
κ̂(~k).
(43)
Hierbei ist ~k der zweidimensionale konjugierte Wellenvektor zu θ~ und die Fourier-transformierten
Gröÿen sind jeweils durch das Dach darüber symbolisiert.
~ erhält man nun κ̂(~k)
• Zusammen mit der Relation 43 und den vorher gemessenen γ1,2 (θ)
~ . Mit der Denition der Konvergenz aus Gleichung 32
und durch Rücktransformation κ(θ)
kann man dann die Oberächen-Massendichte der Linse bestimmen:
~ = Σkrit · κ(θ).
~
Σ(θ)
(44)
In der Praxis gibt es einige Schwierigkeiten bei der Anwendung dieser Technik, so verursachen z.B. atmosphärische Turbulenzen unscharfe Bilder, was dazu führt, dass elliptische Bilder
mehr kreisförmig wirken als sie es sind und man so geringere Scherung misst. Dies kann man
durch extraterrestrische Teleskope lösen, was jedoch auch nicht den Fehler vermeiden kann, dass
kleinste Linsenfehler der Teleskope eigentlich ringförmige Strukturen durch Astigmatismus elliptisch erscheinen lassen.
Im Prinzip sind aber all diese Probleme lösbar und das gesamte Verfahren wurde über die letzten Jahre stetig verfeinert, womit immer genauere Abschätzungen möglich wurden und man
inzwischen detaillierte Massenverteilung aufstellen konnte (Abb. 9).
Wie man Tabelle 2 entnehmen kann, zeigt die Untersuchung von Galaxienhaufen mittels
des schwachen Gravitationslinseneekts stets sehr groÿe Masse-Leuchtkraft-Verhältnisse, welche
darauf hindeuten, dass die Masse des Clusters von dunkler Materie dominiert wird.
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Abbildung 9: Aufnahme des Galaxienhaufens CL0024 durch das HUBBLE Weltraumteleskop,
links mit darüber gelegtem Scherungsfeld, welches durch Anaylse von Arclets am französischkanadischen Hawaii Teleskop beobachtet wurde, und rechts mit daraus berechneter OberächenMassenverteilung. [3]
Cluster
MS 1224
A 1689
Cl 1455
Cl 0016
A 2218
A 851
M/L (in Vgl. zu M /L )
800
400 ± 60
520
740
440
200
Tabelle 2: Masse-Leuchtkraft-Verhältnisse einiger Cluster, bestimmt mit Hilfe des schwachen
Gravitaitonslinseneekts. [3]
3.4 Vergleich der Messmethoden
Betrachtet man die verschiedenen Gleichungen um die Masse der Cluster zu bestimmen, Gleichungen 12, 16 und 29, fällt auf dass sie, obwohl von völlig verschiedenen Überlegungen hergeleitet, erstaunlich gut übereinstimmen und Ergebnisse liefern, die sich nur um den Faktor 2 bis
3 unterscheiden.
Allerdings ist die Situation nicht so zufriedenstellend wie man zunächst glaubt, denn z.B. bei
Gleichung 12 wurde vorrausgesetzt, dass das System virialisiert ist. Dies erscheint jedoch zweifelhaft wenn man die Gröÿen der Cluster betrachtet: eine typische Längenskala von Clustern ist
∼ 3 Mpc ≈ 1025 cm und eine typische Galaxiengeschwindigkeit darin ist ∼ 103 km/s ≈ 108 cm/s.
Folglich braucht eine Galaxie etwa 1017 s ≈ 3 · 109 Jahre um den Cluster zu durchqueren, was in
der selben Gröÿenordnung wie das Alter des Universums liegt. Deshalb ist kaum denkbar, dass
ein dynamisches System nach einer Zeit, die kaum länger ist als die, die Partikel darin brauchten
um es zu durchqueren, virialisiert ist.
Weiterhin wurde bei Gleichung 16 vorrausgesetzt, dass sich der Cluster im hydrostatischen
Gleichgewicht mit einem sphärisch-symmetrischen Gravitationspotential bendet, was sehr fraglich ist, wenn man die eben erwähnten Zeitskalen betrachtet.
Die Massenabschätzung mit Hilfe des starken Gravitationslinseneekts ist zwar unabhängig von
jeglichen Stabilitäts-Annahmen, allerdings ist sie eigentlich nur gültig für Linsen, deren Projektionen radial symmetrisch sind. Da aber die Cluster im Allgemeinen höchst asymmetrisch sind,
weist auch dieses Verfahren seine Mängel auf. Nichstdestoweniger gilt die Abschätzung mit Hilfe
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des starken Gravitationslinseneekts als die genaueste der drei Methoden.
Heutzutage glaubt man weiterhin, dass die geringen Abweichungen zwischen den Resultaten
der drei Verfahren wertvolle Informationen über die dynamischen Eigenschaften von Galaxienhaufen enthalten.
3.5 Sunyaev-Zel'dovich Eekt
Der Sunyaev-Zel'dovich Eekt beschreibt den Vorgang, bei dem Photonen der kosmischen
Hintergrundstrahlung (CMB) an Elektronen des heiÿen Gases im Cluster gestreut werden. Da
die CMB sehr isotrop ist (näheres zu den Abweichungen folgt in anderem Vortrag), wird statistisch gesehen für jedes Photon das auf dem Weg zur Erde aus dem Sichtstrahl weggestreut
wird, ein anderes in den Sichtstrahl hineingestreut. Eine Veränderung der Photonenzahl ist daher nicht zu messen, wohl aber eine Veränderung in deren Wellenlänge, da die Streuung an
den Elektronen einer inversen Compton-Streuung entspricht und die Elektronen Energie an die
Photonen abgeben. Die Veränderungen sind zwar sehr gering aber messbar.
Man kann diesen Eekt nutzen um den Anteil von Baryonen im Cluster zu bestimmen,
allerdings ist diese Methode nicht unumstritten. Manche Forscher behaupten, dass man eben mit
dem Sunyaev-Zel'dovich Eekt die Messergebnisse des WMAP -Programms widerlegen kann,
und deshalb der Anteil an dunkler Materie im Universum, wie er aus diesen Messungen folgt,
falsch ist.
4
Kosmologische Längenskala
Auf den bisher besprochenen Längenskalen gibt es, wie gezeigt, sehr überzeugende Hinweise auf
dunkle Materie, doch lassen diese noch keine Schlüsse auf die Menge der dunklen Materie im
gesamten Kosmos zu. Der Anteil an dunkler Materie des gesamten Universum kann jedoch aus
der Analyse der kosmischen Hintergrundstrahlung bestimmt werden. Wie dies geschieht
wird in einem anderen Vortrag ausgeführt.
ist
Das Ergebnis, das man damit für den Anteil an nicht baryonischer, dunkler Materie erhält,
ΩDM ≈ 0, 27.
5
(45)
Die Milchstraÿe
Nachdem nun Hinweise auf den verschiedenen Längenskalen des Universums besprochen wurden, stellt sich natürlich die Frage, ob und wie Hinweise auf dunkle Materie in unserer eigenen
Galaxie, der Milchstraÿe zu nden sind.
Abgesehen von Untersuchungen des Microlensing Eekts in Blickrichtung des Galaxienzentrums, wo man schon seit einiger Zeit ein super-massives schwarzes Loch vermutet, soll
hier nun vor allem die Arbeit von P.M.W. Kalberla et. al. aus dem Jahr 2006 vorgestellt werden.
Die Gruppe hat mit Hilfe der Analyse der 21 cm Wasserstoinie eine dreidimensionale MassendichteVerteilung der Milchstraÿe erzeugt, die in der Scheibe bis zu einer Entfernung von 40 kpc vom
Galaxienzentrum reicht, senkrecht dazu etwa 20 kpc.
16
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Ihre Ergebnisse sind, dass, abgesehen eines massiven Halos der Masse M ∼ 1, 8 · 1012 M ,
eine Scheibe aus dunkler Materie gefunden wurde, die eine Masse von M = 2 − 3 · 1011 M hat,
und einen Ring aus dunkler Materie bei 13 < R < 18, 5 kpc mit Masse M = 2, 2 − 2, 8 · 1010 M
enthält. Die daraus resultierende Rotationskurve ist bis zum Radius von R ∼ 27 kpc hin ach und
nimmt danach leicht ab. Auÿerdem haben sie festgestellt, dass die Spiralarme der Milchstraÿe
einen deutlichen Abdruck im Gravitationsfeld bis zu einem Radius von R = 30 kpc hinterlassen.
6
Zusammenfassung
Wie bisher gezeigt wurde, gibt es mehrere, durchaus überzeugende experimentelle Hinweise auf
die Existenz dunkler Materie im Universum. Dennoch wurde bisher weder deren Natur geklärt,
noch konnte man alle Theorien, die die beobachteten Phänomene durch veränderte Gravitationsgestze oder Ähnliches zu erklären versuchen, widerlegen, und somit bleibt die Fachwelt
weiterhin gespalten (wenn auch die Fraktion derer, die dunkle Materie ablehnen, wohl sehr viel
kleiner als die Befürworter-Fraktion ist).
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Literatur
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Phys. Rept. 405 (2005) 279 [arXiv:hep-ph/0404175].
[2] P. Schneider,
Extragalaktische Astronomie und Kosmologie
2006, Springer Verlag Berlin Heidelberg
ISBN: 978-3-540-30589-7 (Online)
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[3] R. Narayan, M. Bartelmann,
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cfa-www.harvard.edu/ narayan/papers/JeruLect.ps, 1996.
Lectures on Gravitational Lensing
[4] M. Bartelmann,
,
Astron. Astrophys. 303 (1995) 643 [arXiv:astro-ph/9412051].
Cluster mass estimates from weak lensing
[5] P. M. W. Kalberla, L. Dedes, J. Kerp and U. Haud,
Dark matter in the Milky Way, II. the HI gas distribution as
a tracer of the gravitational potential
arXiv:0704.3925 [astro-ph], (2007).
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[6] J. Wambsganÿ,
Gravitationslinsen - Universelle Werkzeuge der Astrophysik
www.aip.de/ jkw/phiuz/phiuz.ps, 1999.
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[7] J. Wambsganÿ,
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Living Rev. Relativity 1, (1998), 12. URL (cited on 13.06.2007):
http://www.livingreviews.org/lrr-1998-12.
Gravitational Lensing in Astronomy
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