Stetigkeitsbedingungen der Felder an Grenzflächen 1

Stetigkeitsbedingungen der Felder an Grenzflächen
1
Elektrische Flussdichte
~ betrachtet man die GrenzFür die Herleitung der Stetigkeitsbedingung der elektrischen Flussdichte D
fläche zwischen zwei Medien mit den Permittivitäten ε1 und ε2 , welche jeweils den Halbraum mit z > 0
bzw. z < 0 ausfüllen. Ausgehend vom Durchflutungsgesetz der Maxwell-Gleichungen
~ = %V
div D
(1.1)
wird nun über das Volumen V eines Zylinders der Höhe h und Grundfläche A integriert, welcher sich
innerhalb der Grenzschicht und je zur Hälfte in beiden Medien befindet (Abbildung 1).
Medium 1
(z > 0, ε1 )
z
~t
D
1
ε1
~n1
~1
D
~n
D
1
y
z
h
x
A
~n
D
2
x
~n2
(z < 0, ε2 )
Medium 2
ε2
~2
D
~t
D
2
~ gedachter, infiAbbildung 1: Zur Herleitung der Stetigkeitsbedingung der elektrischen Flussdichte D
nitesimal flacher Zylinder der Höhe h, welcher sich je zur Hälfte in beiden Medien befindet.
Unter Nutzung des Gaußschen Integralsatzes formt sich das Volumenintegral über das Zylindervolumen V auf der linken Seite der Gleichung in ein Flächenintegral über die geschlossene Zylinderoberfläche
∂V um und es folgt
˚
‹
˚
~
~ A
~=
div DdV
=
Dd
%V dV
(1.2)
V
V
∂V
Lässt man die Höhe h des Zylinders schließlich gegen Null gehen, so verbleibt von diesem Oberflächenintegral mit der verschwindenden Mantelfläche lediglich die Integration über Grund- und Deckfläche,
während aus dem Volumenintegral über die Raumladungsdichte %V auf der rechten Seite eine Integration über die an der Grenzschicht vorhandene Flächenladungsdichte %F wird. Mit der Beziehung
~n1 = −~n2 für die Normalenvektoren der Flächen A1 = A2 = A erhält man hieraus letztlich
‹
¨
¨
˚
¨
h→0
~ A
~ h→0
~ 1~n1 dA +
~ 2~n2 dA =
Dd
=
D
D
%V dV =
%F dA
(1.3)
∂V
A
~ 1~n2 A + D
~ 2~n2 A =
−D
A
(−D1n
V
+ D2n ) A
D2n − D1n
A
= %F A
(1.4)
= %F
(1.5)
d.h. die Normalkomponente der elektrischen Flussdichte Dn ist im Allgemeinen unstetig. Befinden sich
hingegen keine Ladungen innerhalb der Grenzschicht, also gilt %F = 0 - dies ist beispielsweise bei
ungeladenen Isolatoren der Fall - so folgt mit D2n = D1n die Stetigkeit.
1
2
Elektrische Feldstärke
~ betrachtet man die GrenzFür die Herleitung der Stetigkeitsbedingung der elektrischen Feldstärke E
fläche zwischen zwei Medien mit den Permittivitäten ε1 und ε2 , welche jeweils den Halbraum mit z > 0
bzw. z < 0 ausfüllen. Ausgehend vom Induktionsgesetz der Maxwell-Gleichungen
~ =−
rot E
~
∂B
∂t
(2.1)
wird nun über die Fläche A eines Rechtecks der Breite b und Länge l integriert, welches sich innerhalb
der Grenzschicht und je zur Hälfte in beiden Medien befindet (Abbildung 2).
z
Medium 1
(z > 0, ε1 )
~t
E
1
ε1
~t
~1
E
~n
E
1
y
z
b
x
A
~n
E
2
x
l
(z < 0, ε2 )
Medium 2
ε2
~2
E
~t
E
2
~ gedachtes, infiniAbbildung 2: Zur Herleitung der Stetigkeitsbedingung der elektrischen Feldstärke E
tesimal schmales Rechteck der Breite b, welches sich je zur Hälfte in beiden Medien befindet.
Unter Nutzung des Stokesschen Integralsatzes formt sich das Flächenintegral über die Rechteckfläche
A auf der linken Seite der Gleichung zu einem Wegintegral über die geschlossene Randkurve ∂A um
und es folgt
¨ ~
¨
˛
∂B ~
~
~
~
rot EdA = Ed~r = −
dA
(2.2)
∂t
A
A
∂A
Lässt man die Breite b des Rechtecks schließlich gegen Null gehen, so verbleibt von diesem Wegintegral
lediglich die Integration über die Wegstücke tangential zur Grenzschicht, während das Flächeninte~ auf der rechten Seite aufgrund der
gral über die zeitliche Ableitung der magnetischen Flussdichte B
verschwindenden Integrationsfläche Null liefert. Man erhält somit
˛
∂A
l
l
ˆ2
~ r b→0
Ed~
=
ˆ− 2
~ 1~tdr +
E
− 2l
E1t l
−
¨
~ 2~tdr = −
E
E2t l
=
E1t
(2.3)
A
l
2
¡
~
∂B
~ h→0
= 0
dA
∂t
−
E2t
¢
l = 0
(2.4)
E2t − E1t = 0
(2.5)
Dementsprechend ist die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke E t also stetig.
2
3
Magnetische Flussdichte
~ betrachtet man die GrenzFür die Herleitung der Stetigkeitsbedingung der magnetischen Flussdichte B
fläche zwischen zwei Medien mit den Permeabilitäten µ1 und µ2 , welche jeweils den Halbraum mit z > 0
bzw. z < 0 ausfüllen. Ausgehend von der Maxwell-Gleichung
~ =0
div B
(3.1)
wird nun über das Volumen V eines Zylinders der Höhe h und Grundfläche A integriert, welcher sich
innerhalb der Grenzschicht und je zur Hälfte in beiden Medien befindet (Abbildung 3).
Medium 1
(z > 0, µ1 )
z
~t
B
1
µ1
~n1
~1
B
~n
B
1
y
z
h
x
A
~n
B
2
x
~n2
(z < 0, µ2 )
Medium 2
µ2
~2
B
~t
B
2
~ gedachter, inAbbildung 3: Zur Herleitung der Stetigkeitsbedingung der magnetischen Flussdichte B
finitesimal flacher Zylinder der Höhe h, welcher sich je zur Hälfte in beiden Medien befindet.
Unter Nutzung des Gaußschen Integralsatzes formt sich das Volumenintegral über das Zylindervolumen V auf der linken Seite der Gleichung in ein Flächenintegral über die geschlossene Zylinderoberfläche
∂V um und es folgt
˚
‹
~
~ A
~=0
div BdV
=
Bd
(3.2)
V
∂V
Lässt man die Höhe h des Zylinders schließlich gegen Null gehen, so verbleibt von diesem Oberflächenintegral mit der verschwindenden Mantelfläche lediglich die Integration über Grund- und Deckfläche.
Mit der Beziehung ~n1 = −~n2 für die Normalenvektoren der Flächen A1 = A2 = A erhält man letztlich
‹
¨
¨
h→0
~
~
~
~ 2~n2 dA = 0
BdA =
B1~n1 dA +
B
(3.3)
∂V
A
A
~ 1~n2 A + B
~ 2~n2 A = (−B1n + B2n ) A = 0
−B
B2n
−
B1n
= 0
d.h. die Normalkomponente der magnetischen Flussdichte B n ist stetig.
3
(3.4)
(3.5)
4
Magnetische Feldstärke
~ betrachtet man die GrenzFür die Herleitung der Stetigkeitsbedingung der magnetischen Feldstärke H
fläche zwischen zwei Medien mit den Permeabilitäten µ1 und µ2 , welche jeweils den Halbraum mit z > 0
bzw. z < 0 ausfüllen. Ausgehend von der Maxwell-Gleichung
~ = J~ +
rot H
~
∂D
∂t
(4.1)
wird nun über die Fläche A eines Rechtecks der Breite b und Länge l integriert, welches sich innerhalb
der Grenzschicht und je zur Hälfte in beiden Medien befindet (Abbildung 4).
z
Medium 1
(z > 0, µ1 )
~t
H
1
µ1
~n
H
1
y
b
z
~t
~1
H
~n
A
x
~n
H
2
x
l
(z < 0, µ2 )
Medium 2
µ2
~2
H
~t
H
2
~ gedachtes, infiAbbildung 4: Zur Herleitung der Stetigkeitsbedingung der magnetischen Feldstärke H
nitesimal schmales Rechteck der Breite b, welches sich je zur Hälfte in beiden Medien befindet.
Unter Nutzung des Stokesschen Integralsatzes formt sich das Flächenintegral über die Rechteckfläche
A auf der linken Seite der Gleichung zu einem Wegintegral über die geschlossene Randkurve ∂A um
und es folgt
¨
¨ ~
¨
˛
∂D ~
~
~
~
~
~
JdA +
rot HdA = Hd~r =
dA
(4.2)
∂t
A
A
∂A
A
Lässt man die Breite b des Rechtecks schließlich gegen Null gehen, so verbleibt von diesem Wegintegral
lediglich die Integration über die Wegstücke tangential zur Grenzschicht, während das Flächenintegral
~ auf der rechten Seite aufgrund der verüber die zeitliche Ableitung der elektrischen Flussdichte D
schwindenden Integrationsfläche Null liefert und das Flächenintegral über die Volumenstromdichte J~
zu einer Integration über die in der Grenzschicht fließende Flächenstromdichte J~F wird. Man erhält
somit
˛
∂A
l
~ r b→0
Hd~
=
l
ˆ2
ˆ− 2
~ 1~tdr +
H
− 2l
¨
~ 2~tdr =
H
¨
~ A
~+
Jd
A
l
2
¢
t
A
l
ˆ2
~
∂D
h→0
~
dA =
J~F ~ndr
∂t
(4.3)
− 2l
H1t l − H2t l = H1t − H2 l = −JF l
(4.4)
H2t
(4.5)
¡
−
H1t
= JF
Folglich ist die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke H t im Allgemeinen unstetig. Treten
in der Grenzschicht hingegen keine Flächenströme auf, so gilt mit H1t = H2t auch die Stetigkeit.
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