Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen

Technische Universität München
Flüsse, Schnitte, bipartite
Graphen
Vlad Popa
08.06.2010
Technische Universität München
Inhaltsverzeihnis
1.
2.
3.
4.
5.
Flussnetzwerke und Flüsse
1.1 Ford- Fulkerson
1.2 Edmond Karp
1.3 Dinic
Schnitte
Maximaler Fluss bei minimalen Kosten
Bipartite Graphen
4.1 Matchings
4.2 Minimal vertex cover
4.3 Minimal edge cover
4.4 Maximal independent set
4.5 Eigenschaften bipartiter Graphen
Aufgaben
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Flussnetzwerke und Flüsse
• Definition: Ein Flussnetzwerk G=(V, E) ist ein gerichteter
Graph, in dem jede Kante (u, v) ϵ E eine nichtnegative
Kapazität c(u, v) >= 0 hat.
• Zwei Knoten spielen eine besondere Rolle: Quelle s, Senke t.
• Ein Fluss in G ist die Funktion f: VxV -> |R, die folgende
Bedingungen erfüllt:
- Kapazitätsbeschränkung: f(u, v) <= c(u, v)
- Asymmetrie: f(u, v) = - f(v, u)
- Flusserhaltung: Bei einem Knoten muss der Zufluss
gleich dem Abfluss sein. (Ausnahme: Quelle und Senke)
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Kleines Beispiel
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Algorithmen
1. Ford- Fulkerson
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Ford- Fulkerson Algorithmus
1. Der Algorithmus sucht einen Pfad (Erweiterungspfad)
vom Start- zum Zielknoten im Restnetzwerk G.
2. Der Fluss wird mit der kleinsten Kapazität, cmin,
entlang des Pfades erhöht.
3. Der Fluss auf einer Kante (u, v) des Pfades wird
folgendermaßen aktualisiert:
f[u, v] = f[u, v] + cmin;
f[v, u] = -f[u, v];
4. Falls es noch einen Erweiterungspfad gibt springe
wieder zu 1.
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• Ford-Fulkerson(G; q; s)
1 for alle Kanten (u, v) ϵ E
2 do f [u, v] = 0
3
f [v, u] = 0
4 while es existiert ein Pfad p von Q nach S im
Restnetzwerk G
5
do
6
c (p) = min{c (u, v) : (u, v) gehört zu p}
7
for alle Kanten (u, v) von p
8
do f [u, v] = f [u, v] + c(p)
9
f [v, u] = -f [v, u]
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Algorithmen
1. Ford- Fulkerson
2. Edmond Karp
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Edmonds- Karp Algorithmus
• Benutzt dieselbe Idee wie Ford- Fulkerson.
• Unterschied: Jedes mal wird der Erweiterungspfad
durch eine Breitensuche im Restnetzwerk gesucht.
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Beispiel Forts.
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Algorithmen
1. Ford- Fulkerson
2. Edmond Karp
3. Dinic
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Dinic Algorithmus
1. Man modifiziert das Netzwerk G, so dass im neuen
Netzwerk G’ nur diejenigen Kanten bleiben, die auf
einem optimalen Weg von s nach t führen. (Durch
BFS). Es entsteht ein DAG.
2. Durch eine DFS kann man rekursiv den Fluss auf
mehreren Pfaden aktualisieren: Sei
P1: s -> ...d1...-> n-> .... -> t
P2: s -> ...d1...-> n -> ... -> t.
=> Wenn in n für P1 B Fluss kommt und mit C kann
man insgesamt aufpumpen => für P2: C – B Fluss
3. Wenn 2. den Fluss verändert beginne wieder mit 1.
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Komplexität
•
Ford- Fulkerson: Hängt stark von der Wahl des
erweiternden Weges ab. Grundsätzlich ist hier die
Komplexität O(E * flow)
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• Ford-Fulkerson(G; q; s)
1 for alle Kanten (u, v) ϵ E
2 do f [u, v] = 0
3
f [v, u] = 0
4 while es existiert ein Pfad p von Q nach S im
Restnetzwerk G
-> O(flow)
5
do
6
c (p) = min{c (u, v) : (u, v) gehört zu p}
7
for alle Kanten (u, v) von p
-> O(E)
8
do f [u, v] = f [u, v] + c(p)
9
f [v, u] = -f [v, u]
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Komplexität
•
•
Ford- Fulkerson: Hängt stark von der Wahl des
erweiternden Weges ab. Grundsätzlich ist hier die
Komplexität O(E * flow)
Edmond- Karp: O(V * E^2)
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Komplexität
•
•
•
Ford- Fulkerson: Hängt stark von der Wahl des
erweiternden Weges ab. Grundsätzlich ist hier die
Komplexität O(E * flow)
Edmond- Karp: O(V * E^2)
Dinic: O(V^2 * E)
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Schnitte
• Definition: ein q- s- Schnitt ist eine Aufteilung des
Graphen in zwei Mengen, wobei die Knoten q und s in
verschiedenen Mengen liegen.
• Minimaler Schnitt: Schnitt, bei dem die Gesamtkapazität
über den Schnitt minimal ist. (c (s, t) - minimal)
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Äquivalenz: Maximaler Fluss – minimaler
Schnitt
Wenn f ein Fluss in einem Flussnetzwerk G = (V, E) mit
der Quelle s und der Senke t ist, dann sind die folgenden
Bedingungen äquivalent:
1. f ist ein maximaler Fluss in G.
2. Das Restnetzwerk Gf enthält keine Erweiterungspfade.
3. Es gilt |f| = c(S, T) (für einen Schnitt (S, T) von G).
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Pseudocode
MinCut(G; q; s)
• Berechne maximalen Fluss
• Starte DFS von q im Restnetzwerk
• A = von q erreichbare Knoten
• return A, G \ A
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Maximaler Fluss bei minimalen
Kosten
• Jede Kante besitzt zusätzlich Kosten, die angeben, wie
teuer es ist, eine Einheit Fluss über diese Kante zu
leiten.
• f[u, v] < 0 => cost[u, v] = -cost[v, u].
• Endziel: ∑(u, v) ϵ E f[u, v] * cost[u, v] soll minimal sein.
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Standardaufgabe
Es gibt n Arbeiter und n Aufgaben, die gelöst werden
müssen. Jeder Arbeiter hat eine Liste, in welcher für
jede Aufgabe, die Zeit für ihre Bearbeitung angegeben
wird.
Gesucht wird die minimale Endzeit nachdem alle
Aufgaben bearbeitet wurden.
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Graphmodellierung
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Bipartite Graphen
• Definition:
Ein Graph G = (V, E) heißt bipartit, genau dann wenn
V=V1 U V2 und V1 ∩ V2 = { } und für jede Kante e
existieren zwei Knoten v1 ϵ V1, v2 ϵ V2, so dass
e={v1,v2}.
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Matchings
• Definitionen:
Sei G = (V, E) ein Graph.
- M heißt Matching in G, falls M eine Teilmenge von E
ist und alle Kanten in M paarweise disjunkt sind (kein
Knoten ist zu mehr als einer Kante inzident)
- M heißt perfektes Matching, falls jeder Knoten durch
genau eine Kante aus M überdeckt ist. (|M|=|V|/2)
- |M| ist die Größe des Matchings.
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Das Heiratsproblem
• Gegeben seien heiratswillige Damen und Herren. Jede
Dame gibt an, mit welchem der Herren sie sich
eventuell vermählen würde.
• Das Problem besteht nun darin, möglichst viele Damen
so zu verheiraten, dass jede Dame einen Herren ihrer
Wahl erhält, und dass selbstverständlich keine zwei
Damen mit demselben Herrn verheiratet sind.
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Minimal vertex cover
• Definition: Ein “Vertex Cover” ist eine Menge von
Knoten in einem beliebigen Graph, wobei jede Kante zu
wenigstens einem Knoten inzident ist.
• Ein Vertex Cover ist minimal genau dann wenn es die
minimale Anzahl von Knoten hat.
• Normalerweise ist das ein NP- hartes Problem.
• Ist das auch für bipartite Graphen so?
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Minimal vertex cover
• Definition: Ein “Vertex Cover” ist eine Menge von
Knoten in einem beliebigen Graph, wobei jede Kante zu
wenigstens einem Knoten inzident ist.
• Ein Vertex Cover ist minimal genau dann wenn es die
minimale Anzahl von Knoten hat.
• Normalerweise ist das ein NP- hartes Problem.
• Ist das auch für bipartite Graphen so?
Nein!
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Minimal edge cover
• Definition: Ein “Edge Cover” ist eine Menge von Kanten
in einem beliebigen Graphen, wobei jeder Knoten
wenigstens eine Kante hat die zu ihm inzident ist.
• Ein Edge Cover ist minimal genau dann wenn es die
minimale Anzahl von Kanten hat.
• Für ein bipartiter Graph entspricht er einem Matching.
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Maximum independent Set
• Definition: Ein “Independent Set“ ist eine Menge von
Knoten in einem Graph, wo keine zwei Knoten durch
eine Kante verbunden sind.
• Ein “Independent Set” ist genau dann maximal, wenn
beim Einfügen eines beliebigen Knotens die Definition
verletzt wird.
• Der Komplement eines solcher Menge ist immer ein
vertex cover => Komplement eines Maximum
Independent Sets ist ein Minimal Vertex Cover
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Eigenschaften bipartiter Graphen
• Ein Graph ist bipartit wenn er keinen Zyklus ungerader
Länge enthält. (er enthält keine Clique >= 3)
• Größe des minimum vertex covers = Größe des
maximalen Matchings. (König´s Theorem)
• Maximum independent set + maximaler Matching = |V|
• Größe des minimum edge covers = Größe des
maximalen independent sets.
• Jeder bipartite Graph ist mit zwei Farben färbbar.
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Algorithmus für maximalen Matching
int match (int n) {
mark[n] = 1;
for (int i = 0; i < G[n].size(); ++ i)
if (!d[G[n][i]]) {
d[G[n][i]] = n;
p[n] = G[n][i];
return 1;
}
for (int i = 0; i < G[n].size(); ++ i)
if (mark[d[G[n][i]]] != 1 && match(d[G[n][i]])) {
d[G[n][i]] = n;
p[nod] = G[n][i];
return 1;
}
return 0;
}
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Aufgaben
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