Polynome

Gunter Ochs
Analysis 1 für Informatik
Polynome
sind reelle Funktionen, die sich ausschlieÿlich mit den Rechenoperation Addition, Subtraktion und
Multiplikation berechnen lassen. Die allgemeine Funktionsgleichung eines Polynoms
p in Normalform
ist
p(x) =
Ist
Pn
k=0
an 6= 0,
ak ak = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0
so ist
n∈N
der
Grad
p,
von
Bezeichnung
Koezienten a0 , ..., an ∈ R.
mit
n = deg p(x)
(von englisch
degree).
Beispiel (1) p(x) = −2x4 +x3 −x+3 ist ein Polynom vom Grad n = 4 mit den Koezienten a4 = −2,
a3 = 1, a2 = 0 (da x2 nicht vorkommt), a1 = −1 und a0 = 3.
Beispiel (2) p1 (x) = x2 +2x+2, p2 (x) = −x3 , p3 (x) = 2−x−x2 +3x4 und p4 (x) = 2x7 −4x4 +3x2 −1
sind Polynome mit Grad deg p1 (x) = 2, deg p2 (x) = 3, deg p3 (x) = 4 und deg p4 (x) = 7.
Beispiel (3)
Die Funktionsgleichung
f (x) = (x − 2) · (x2 + 4) − (2x + 5) · (6 − x · 3)
beinhaltet nur
die Grundrechenarten plus, minus und mal. Somit handelt es sich um ein Polynom. Die Normalform
erhält man, indem die Klammern ausmultipliziert und Terme geeignet zusammengefasst werden:
f (x) = x3 − 2x2 + 4x − 8 − 12x − 30 + 6x2 + 15x = x3 + 4x2 − 23x − 38.
Allgemein ist der Grad die höchste Potenz der Variablen
x,
Der Grad ist somit 3.
die in der Normalform der Funktions-
gleichung auftritt.
Bemerkungen und Eigenschaften
•
Polynome
•
Konstante Funktion
Grad
•
−∞
Polynome
p(x)
sind für alle
x∈R
p(x) = a0
deniert.
sind Polynome vom Grad
0,
der
Nullfunktion p(x) = 0
wird der
zugeordnet.
p(x) = a1 x + a0
sind
lineare Funktionen,
ihr Funktionsgraph ist eine Gerade.
• Quadratische Polynome p(x) = a2 x2 + a1 x + a0 haben den Grad 2, ihr Funktionsgraph
Parabel. Dabei wird der Graph von f (x) = x2 als Normalparabel bezeichnet.
•
Ein
die
ist eine
p(x0 ) = 0 heiÿt Nullstelle des Polynoms p(x). Hat ein Polynom p(x) vom Grad n
Nullstelle x0 , so gibt es ein Polynom q(x) vom Grad n − 1 mit p(x) = (x − x0 ) · q(x).
q(x)
x0
mit
kann mittels einer
Polynomdivision
berechnet werden. Dies kann mit Hilfe des Horner
Schemas geschehen (siehe unten).
Der
Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nichtkonstante Polynom eine Nullstelle im
R, z. B.
Bereich der komplexen Zahlen besitzt. Es gibt jedoch Polynome ohne Nullstelle in
p(x) = x2 + 1.
Die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms (welches nicht konstant 0 ist) ist immer kleiner
gleich seinem Grad.
•
Die Nullstellen eines quadratischen Polynoms der Form
f (x) = x2 + py + q
erhält man durch
die
pq Formel: x1,2 = − p2 ±
q
p 2
2
− q.
Dabei treten 3 Fälle auf:
Fall 1: Ist der Ausdruck unter der Wurzel > 0, so hat f (x) zwei verschiedene reelle Nullstellen.
Beispiel: fq(x) = x2 − x − 2 (d. h. p = −1 und q
q = −2) hat
x1 = 12 − 14 + 2 = 21 − 32 = −1 und x2 = 12 + 14 + 2 = 2.
Fall 2:
Ist der Ausdruck unter der Wurzel
Beispiel: p(x) = x2 + 4x + 4
Fall 3:
= 0,
hat als einzige Nullstelle
Ist der Ausdruck unter der Wurzel
< 0,
f (x)
so hat
so hat
die Nullstellen
eine reelle Nullstelle
x0 = −2 ±
f (x)
√
x0 = − p2 .
22 − 4 = −2.
keine reellen Nullstellen. In diesem
Fall erhält man zwei Nullstellen im Bereich der komplexen Zahlen.
Beispiel:
Für
f (x) = x2 − x + 2
ist
p 2
2
Nullstellen. Die komplexen Nullstellen
•
Ein Polynom vom Grad
gilt
•
n
heiÿt
− q = 41 −√2 = − 74 < 0.
1
sind
± j · 27 .
2
normiert,
Somit hat
wenn für den Koezient
an
f (x)
keine reellen
der höchsten Potenz
xn
an = 1.
2
Sollen die Nullstellen eines nicht normierten quadratischen Polynoms p(x) = ax + bx + c
1
berechnet werden, so kann p(x) durch Multiplikation mit
zunächst normiert und dann die
a
pq Formel angewendet werden.
Beispiel: −2x2 + 4x + 6 = 0 ⇔ x2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = 1 ±
Nullstellen x1 = −1 und x2 = 3.
Alternativ können die Nullstellen auch direkt mit der
√
1 + 3 = 1 ± 2,
abcFormel x1,2 =
also sind die
√
−b± b2 −4ac
berechnet
2a
werden.
•
Für die Nullstellen eines Polynoms vom Grad
≥ 3 gibt es keine einfachen Formeln mehr. Bei
p(x) vom Grad 3 kann wie folgt vorgegangen
der Bestimmung der Nullstellen eines Polynoms
werden. Zunächst wird eine Nullstelle
Satz von Vieta: Sind
a0 des Ploynoms sein.
Folgerung aus dem
konstanten Terms
x1
durch Probieren geraten. Hilfreich ist dabei oft eine
alle Nullstellen ganzzahlig, so müssen sie Teiler des
q(x) = p(x) : (x − x1 )
q(x) (Beispiel folgt).
Dann führt man die Polynomdivsion
p(x)
sind dann die Nullstellen von
durch. Die übrigen Nullstellen von
Berechnung von Polynomen mit Hornerschema
Durch geschicktes Ausklammern lässt sich der Rechenaufwand bei der Auswertung eines Polynoms
signikant reduzieren. Dies ist vor allem bei Berechnungen hilfreich, in denen eine groÿe Zahl von
Polynomauswertungen durchgeführt wird. Beispielsweise lässt sich ein Polynom 3. Grades wie folgt
umschreiben:
p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = ((a3 x + a2 )x + a1 )x + a0
Führt man jetzt die Berechnung ausgehend von der inneren Klammer durch, so erfordert die Berechnung von
p(x)
neben 3 Additionen noch 3 Multiplikationen, im Gegensatz zu 6 Multiplikationen bei
Auswertung der ursprünglichen Funktionsgleichung.
Allgemein kann die Auswertung eines Polynoms
rekursiven Algorithmus erfolgen:
p(x) =
Pn
k=0
ak x k
vom Grad
n
mit folgendem
Algorithmus:
Startwert
für
y 1 = an ,
i = 1, ..., n
Dann ist
berechne
yi+1 = yi · x + an−i .
yn+1 = p(x).
Beispiel (1)
Zu
p(x) = 2x3 − 3x2 + 4x − 5
und
x=2
erhält man
y1 = a3 = 2,
y2 = y1 · x + a2 = a3 · x + a2 = 2 · 2 − 3 = 1,
y3 = y2 · x + a1 = (a3 · x + a2 ) · x + a1 = 1 · 2 + 4 = 6
und schlieÿlich
y4 = y3 · x + a0 = ((a3 · x + a2 ) · x + a1 ) · x + a0 = p(x) = 6 · 2 − 5 = 7.
(2)
Berechne
p(−1)
für
p(x) = 2x4 − 3x3 + x2 + 3x − 3.
y1 = a4 = 2, y2 = y1 · x + a3 = 2 · (−1) − 3 = −5, y3 = y2 · x + a2 = −5 · (−1) + 1 = 6,
y4 = y3 · x + a1 = 6 · (−1) + 3 = −3 und schlieÿlich p(x) = y5 = y4 · x + a0 = −3 · (−1) − 3 = 0
Man erhält:
Die Berechnung lässt sich übersichtlich im rechts dargestellten Schema durchführen.
Erläuterung: Die obere Zeile enthält die Koezienten a4 = 2,
a3 = −3, a2 = 1, a1 = 3 und a0 = −3 des Polynoms.
Die untere Zeile ergibt sich als Summe der beiden ersten Zeilen.
In der mittleren Zeile startet man links mit 0, die übrigen Werte sind der Wert jeweils links darunter
x = −1 (durch Pfeile markiert).
f (x) = 0 erscheint rechts unten.
multipliziert mit
Das Ergebnis
Für andere
xWerte ist das Vorgehen das gleiche. Z. B. für x = 3 wird in Richtung der grünen Pfeile
jeweils mit 3 multipliziert und man erhält
2 −3 1 3 −3
0
6 9 30 99 ⇒ p(3) = 96.
2
3 10 33 96
Polynomdivision
r(x)
p(x)
lässt sich in der Form f (x) = k(x) +
mit Polynomen
q(x)
q(x)
schreiben, wobei der Grad von r(x) kleiner dem von q(x) ist.
Jeder Quotient zweier Polynome
k(x)
und
r(x)
f (x) =
k(x) der ganzrationale und k(x)
der echt gebrochenrationale Anteil von f (x). Die Berechnung
q(x)
k(x) und r(x) erfolgt durch eine Polynomdivision mit Rest.
Dabei ist
von
Division ganzer Zahlen mit Rest:
Diese ist analog zur
Zahlen
k
k, r ∈ N0
mit
0≤r<q
und
Ganzzahlquotient
p : q = k , Rest r.
ist dabei der
schreibt
Beispiel:
Zu
13 : 5 = 2,
p = 13
Rest
3,
und
da
q=5
ist
p
q
p=k·q+r ⇔
oder
k=2
13 = 2 · 5 + 3 ⇔
=k
Zu
+ qr .
p, q ∈ N
gibt es eindeutig bestimmte
ganzzahlige Anteil der Division, r
und
13
5
r = 3,
=2+
der
Divisionsrest.
Man
d. h.
3
.
5
Mit Polynomen lässt sich analog eine Division mit Rest durchführen:
Zu gegebenen Polynomen
p(x)
und
q(x),
für die der Grad von
ist, gibt es eindeutig bestimmte Polynome
k(x)
und
r(x),
p(x)
gröÿer gleich dem Grad von
wobei der Grad von
r(x)
q(x)
kleiner dem von
q(x)
ist, so dass
p(x) = k(x) · q(x) + r(x) ⇔
Der Grad von
k(x)
ist dann gleich dem Grad von
p(x)
r(x)
= k(x) +
.
q(x)
q(x)
p(x)
p(x) : q(x) = k(x)
k(x)
ganzrationale Anteil
ist der
Beispiel:
Mit
minus dem von
Rest
der Polynomdivision,
r(x)
q(x).
Man schreibt
r(x).
der
Divisionsrest.
p(x) = x3 − 2x + 1, q(x) = x − 3, k(x) = x2 + 3x + 7
und
r(x) = 22
gilt
k(x)·q(x)+r(x) = (x2 +3x+7)·(x−3)+22 = x3 +3x2 +7x−3x2 −9x−21+22 = x3 −2x+1 = p(x).
Somit ist
(x3 − 2x + 1) : (x − 3) = x2 + 3x + 7
Rest
Das vorstehende Beispiel zeigt jedoch nicht, wie
22 ⇔
x3 − 2x + 1
22
= x2 + 3x + 7 +
x−3
x−3
k(x) und r(x) bei gegebenen p(x) und q(x) bestimmt
werden können. Dies wird im Folgenden erläutert:
Berechnung der Polynomdivision am Beispiel:
2
q(x) = x − x + 1.
p(x) = 2x3 − x2 + 1 und
3 − 2 = 1 sowie ein Polynom r(x)
Gegeben seien
k(x) vom Grad
p(x) = k(x) · q(x) + r(x). Dies erhält man
Gesucht ist also ein Polynom
mit Grad kleiner 2, so dass
durch folgende Rechnung:
2x3 −x2
+1 : x2 − x + 1 = 2x + 1
−2x3 +2x2 −2x
Rest −x
0
+x2 −2x +1
−x2 +x −1
0
−x +0
Oben rechts steht der ganzrationale Anteil
k(x) = 2x + 1, den Rest r(x) erhält man aus der untersten
Zeile. Die durchgeführte Rechnung besteht aus folgenden Schritten:
Zunächst werden die Summanden mit der jeweils gröÿten Potenz von p(x) und
3
2
ergibt den ersten Summanden des ganzrationalen Anteils k(x): 2x : x = 2x
2xfache von q(x) von p(x)
−2x · q(x) = −2x + 2x − 2x unterhalb von p(x) notiert
Im nächsten Schritt wird das
3
2
q(x)
dividiert. Dies
subtrahiert. Dazu wird
und der erste Divisionsrest bestimmt:
r1 (x) = p(x) − 2x · q(x) = 2x3 − x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x = x2 − 2x + 1,
welcher in der 3. Zeile notiert wird. Der
(hier 2) kleiner als der Grad von
p(x)
x3 Term
hebt sich dabei weg, so dass der Grad von
r1 (x)
(hier 3) ist.
r1 (x) noch nicht kleiner dem von q(x) (hier 2) ist, werden die beiden vorhergehenden
r1 (x) statt p(x) wiederholt.
Da der Grad von
Schritte mit
x2 : x2 = 1, was den 2. Summanden des ganzrationalen Anteils k(x)
subtrahiert 1 · q(x) von r1 (x) und erhält damit den nächsten Divisionsrest
r2 (x) = r1 (x) − 1 · q(x) = x2 − 2x + 1 − (x2 − x + 1) = x2 − 2x + 1 − x2 + x − 1 = −x.
D. h. man rechnet
Der Grad von
r2 (x) = −x
r2 (x)
ist jetzt kleiner als der Grad von
q(x),
entspricht dann dem endgültigen Divisionsrest
ergibt, und
womit die Rechnung abgeschlossen ist.
r(x).
Berechnung von p(x) : q(x) allgemein
p(x)
Man subtrahiert von
schrittweise Vielfache von
q(x),
sodass in jedem Schritt der Grad des
verbleibenden Restes kleiner wird, solange, bis der Grad des Restes kleiner als der Grad von
Konkreter:
Zu
p(x) = an xn + ... + a0
und
q(x) = bm xm + ... + b0
mit
n≥m
q(x) ist.
bestimmt man im ersten
Schritt
k1 (x) = an xn : bm xm =
an n−m
x
und
bm
r1 (x) = p(x) − k1 (x) · q(x) = p(x) −
Dann ist
an n−m
x
bm
· q(x).
deg r1 (x) < deg p(x).
Nun wiederholt man den ersten Schritt mit
führenden
Summanden
r1 (x)
von
r2 (x) = r1 (x) − k2 (x) · q(x)
und
r1 (x) statt p(x) und bildet den Quotienten k2 (x) aus den
q(x). Dann erhält man einen neuen Divisionsrest
usw.
Dies wird solange fortgesetzt, bis der Grad des erhaltenen Divisionsrestes
von
q(x)
ri (x)
kleiner als der Grad
ist.
k(x) setzt sich zusammen aus allen in den Zwischenschritten auftretenden k1 (x), k2 (x), ...
k1 (x) = 2x3 : x2 = 2x und k2 (x) = −x2 : x2 = −1 und somit
k(x) = k1 (x) + k2 (x) = 2x − 1). Als endgültigen Rest r(x) erhält man den im letzten Schritt
aufgetretenen Rest ri (x).
Das Ergebnis
(im letzten Beispiel war
Bemerkung
p(x) : q(x)
und Vereinfachung: Hat
q(x)
die Form
q(x) = x − a,
auf das Polynom
p(x)
an. Die letzte Zeile enthält dann von links gelesen die Koezienten
sowie als letzten Eintrag rechts unten den (konstanten) Rest
Beispiel 1:
Für
p(x) = 2x3 − 3x2 + 4x − 5
2 −3 4 −5
0 4 2 12
2 1 6 7
Beispiel 2:
so kann die Polynomdivision
x=a
von k(x)
mit dem HornerSchema durchgeführt werden. Dazu wendet mit das Schema für
Es folgt
und
a=2
r.
ergibt das HornerSchema
2x3 − 3x2 + 4x − 5 : x − 2 = 2x2 + x + 6,
Gesucht sind die Nullstellen von
Rest
7.
p(x) = x3 + 2x2 − 5x − 6.
p(−1) = 0 gilt. Im nächsten Schritt wird mit dem Hornerschema
q(x) = p(x) : (x + 1) durchgeführt:
Durch Probieren stellt man fest, dass
die Polynomdivision
1
2 −5 −6
0 −1 −1
6
1
1 −6
0
Wegen
p(−1) = 0 lässt sich p(x) ohne Rest durch x+1 teilen mit dem Ergebnis q(x) = 1·x2 +1·x−6.
Die restlichen Nullstellen von
x = − 12 ±
d. h.
p(x)
q
1
4
+ 6 = − 12 ±
q
hat die Nullstellen
p(x)
25
4
sind die Nullstellen von
= − 12 ±
q(x),
also
x3 =
4
2
5
,
2
x1 = −1, x2 = − 62 = −3
und
= 2.