Die Stochastischen Eigenschaften von OLS Das Bivariate Modell

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Die Stochastischen Eigenschaften von OLS
Das Bivariate Modell
Thushyanthan Baskaran
thushyanthan.baskaran@awi.uni-heidelberg.de
Alfred Weber Institut
Ruprecht–Karls Universität Heidelberg
Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Wiederholung
In der letzten Veranstaltung wurden die algebraischen
Eigenschaften des OLS Schätzers im bivariaten Modell
yi = a + bxi + i
(1)
hergeleitet
Diese Eigenschaften gelten immer, unabhängig von den
Annahmen über i
Nun wollen wir die statistischen Eigenschaften des Schätzers
untersuchen
Konzentration auf b̂, für â ergibt sich alles analog
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Wiederholung
Wir beginnen mit zwei Annahmen
1
2
E (i ) = 0
E (xi i ) = 0
Was ergibt sich aus diesen Annahmen für b̂?
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der Schätzer b̂
Wir haben für b̂ berechnet:
P
(xi − x̄)(yi − ȳ )
b̂ = i P
2
i (xi − x̄)
(2)
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Umformungen
Durch Umformungen kann man b̂ auch schreiben als
b̂ = b +
1 X
di i ,
SSTx
(3)
i
mit SSTx =
P
i (xi
− x̄)2 und di = (xi − x̄)
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Erwartungstreue
Ist der OLS Schätzer erwartungstreu?
E (b̂) = b?
Wenn man den Erwartungsnutzenoperator of Gl. 3 anwendet,
erhält man
1 X
E (di i ),
(4)
E (b̂) = b +
SSTx
i
Da di = (xi − x̄) und E (xi i ) = 0 und E (i ) = 0, ergibt sich
E (b̂) = b
→ Erwartungstreu
(5)
6 / 25
Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Varianz
Was ist die Varianz des OLS Schätzers?
Um die Frage zu beantworten, treffen wir eine weitere
Annahme über i
Var (i ) = σ 2 ∀i
(6)
Wenn diese Annahme getroffen wird, kann man zeigen, dass
OLS in der Klasse der unverzerrten linearen Schätzer die
kleinste Varianz besitzt (Gauss-Markov)
Im folgenden berechnen wir die Varianz
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Varianz
Var (b̂) =
=
!
1
SSTx
2
1
SSTx
2 X
X
Var
di i
i
di2 Var (i )
i
2 X
1
=
di2 σ 2
SSTx
i
2
1
=σ 2
SSTx
SSTx
Also folgt : Var (b̂) =
σ2
SSTx
(7)
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
Tests
Weshalb benötigen wir die Varianz von b̂?
Wenn wir einen Parameter schätzen, wollen wir wissen wie
präzise wir ihn schätzen
Je präziser ein Parameter geschätzt wird, mit desto größerer
Sicherheit können wir Hypothesen über das Modell annehmen
oder ablehnen
Es gibt verschiedene Hypothesentests, die beliebtesten sind
der t-Test und der F-Test
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
Outline
1
Einführung
2
Repräsentationen von b̂
3
Erwartungstreue und Varianz
4
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
Der t-Test
Beim t-Test wird getestet, ob der wahre Parameter einen
bestimmten Wert annimmt oder nicht
Die wohl beliebtesten Hypothesen (anhand derer das
Verfahren illustriert werden soll):
H0 : b = 0
H1 : |b| > 0
(8)
Also ein zweiseitiger Test, ob der wahre Parameter von 0
verschieden ist
Wie können diese Hypothesen getestet werden?
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
Idee und Voraussetzungen des t-Tests
Man fragt, ob |b̂| (genügend) Anhaltspunkte dafür liefert,
dass b = 0 ist
Allerdings ist b̂ eine Zufallsvariable und kann eine ganze Reihe
von Werten annehmen
Jede Aussage, die wir auf der Basis von |b̂| treffen, ist daher
mit Unsicherheit behaftet
Es geht darum, zwischen Type I und Type II Fehler abzuwägen
Um das zu tun, müssen wir zunächst die Dichtefunktion von b̂
herausfinden
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
Die Dichtefunktion von b̂
Wir machen eine letzte Annahme
i ∼ N(0, σ 2 )
Dann ist
b̂ ∼ N(b,
σ2
)
SSTx
(9)
(10)
Weil
E (b̂) = b
σ2
Var (b̂) = SST
x
Und die Summe normalverteilter und unabhängiger
P ZV auch
1
normalverteilt ist (Zur Erinnerung: b̂ = b + SST
i di i )
x
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
z-Teststatistik
Also gilt
b̂ − b
q
∼ N(0, 1)
1
σ · SST
x
(11)
und unter H0 : b = 0 gilt
z=
σ·
b̂
q
1
SSTx
∼ N(0, 1)
(12)
H0 wird abgelehnt, wenn |z| > zα (zα ist der kritische Wert)
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
Ein Problem
Unglücklicherweise kann die z−Statistik nicht berechnet
werden, da man σ 2 nicht kennt
Also muss man zunächst σ 2 schätzen, ein konsistenter
Schätzer ist
s
1 X 2
σ̂ =
ei
N −2
i
P
Wobei i ei2 die Summe der Residuuen ist
(13)
Die Frage ist jetzt, wie die folgende Statistik verteilt ist
t=
σ̂ ·
b̂
q
1
SSTx
∼?
(14)
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
Die Verteilung der t-Statistik
Man kann zeigen, dass die Zufallsvariable
P 2
e
E = i 2 i ∼ χ2 (n − 2)
σ
(15)
Hauptsächlich, weil das quadrat einer normalverteilten
Variablen χ2 -verteilt ist
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
Die Verteilung der t-Statistik
Jetzt konstruieren wir mit Hilfe von E eine neue
Zufallsvariable
sP
r
2
1
1√ 2
1
i ei
=
=
D= E
σ̂
N −2
σ N −2
σ
mit σ̂ 2 =
(16)
2
i ei
N−2
P
Diese ZV ist also die Wurzel einer mit (N-2) Freiheitsgraden
verteilten χ2 ZV, die durch (N-2) geteilt wird
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
Die Verteilung der t-Statistik
Wenn wir nun z durch D teilen, erhalten wir
σ·
z/D =
qb̂
1
SSTx
√
1
σ
σ̂ 2
b̂
= q
=t
1
σ̂ SST
x
(17)
Also ist die t-Statistik eine ZV, die sich als der Quotient einer
standarnormalverteilten ZV und einer ZV, die sich als Wurzel
einer χ2 − verteilten ZV mit (N-2) Freiheitsgraden, die
wiederum durch N − 2 geteilt wird, ergibt.
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
Die Verteilung der t-Statistik
Eine solche ZV ist aber qua Definition t− verteilt mit (N-2)
Freiheitsgraden, also gilt
σ̂
b̂
q
1
SSTx
∼ t(N − 2)
(18)
Und H0 wird abgelehnt, wenn |t| > tα
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
Outline
1
Einführung
2
Repräsentationen von b̂
3
Erwartungstreue und Varianz
4
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
Goodness of Fit
Der F-test Test versucht die Signifikanz des gesamten Modells
zu bestimmen
Enger Zusammenhang zu R 2
Im bivariaten Modell sind F-Test und t-Test äquivalent
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Einführung
Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
F-Statistik
Die F-Statistik ist definiert als
ESS/(k − 1)
RSS/(N − k)
(19)
TSS = ESS + RSS
(20)
F =
mit
und k = Anzahl der Parameter im Modell und
N = Anzahl der Beobachtungen
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Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
F-Statistik
Die F-Statistik kann in Termini von R 2 angegeben werden,
wenn Zähler und Nennen in Gl. 19 durch TSS geteilt wird
F =
(ESS/TSS)/(k − 1)
R 2 /(k − 1)
=
(RSS/TSS)/(N − k)
(1 − R 2 )/(N − k)
(21)
Und im bivariaten Modell gilt
F =
R2
(1 − R 2 )/(N − 2)
(22)
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Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
Die Verteilung der F-Statistik
Die F-Statistik ergibt sich als Quotient zweier χ2 - verteilter
ZV mit (k − 1) und (N − k) Freiheitsgraden, die durch die
entsprechenden Freiheitsgrade geteilt werden
Eine solche Zufallsvariable besitzt eine F-Verteilung
F ∼ F (k − 1, N − k)
(23)
H0 wird abgelehnt, wenn F > Fα
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Repräsentationen von b̂
Erwartungstreue und Varianz
Hypothesentests
Der t-Test
Der F-Test
Äquivalenz zwischen F- und t-Statistik
Im bivariaten Modell ist die F-Statistik das Quadrat der
t-Statistik
P
(ŷi − ȳ )2
ESS
= P i2
(24)
F =
RSS/(N − 2)
i ei /(N − 2)
P
((â + b̂xi ) − (â + b̂x̄))2
= i
(25)
σ̂ 2
1 X 2
b̂ 2
= 2
b̂ (xi − x̄) = 2 P
(26)
σ̂
σ̂ / i (xi − x̄)2
i
=t
2
(27)
25 / 25
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