Unendlich? ∞ Infinite? - Fachbereich Mathematik

Hobit 2015: Mathematik
Studiengänge und Fachvortrag
Unendlich? ∞ Infinite?
(1) Kann man die Größe unendlicher Mengen messen?
(2) Ein paar Gedankenexperimente im Unendlichen
some of them in English
Martin Otto
Arbeitsgruppe Logik
Fachbereich Mathematik
Technische Universität Darmstadt
www.mathematik.tu-darmstadt.de/˜otto
Martin Otto 2015
1/14
Zählen & Mengengrößen messen
• die Größe endlicher Mengen kann man durch Zählen messen:
für M = {e1 , . . . , en },
mit paarweise verschiedenen Elementen e1 , . . . , en ,
ist die Elementezahl |M| = n ∈ N natürliches Maß
Martin Otto 2015
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Zählen & Mengengrößen messen
• die Größe endlicher Mengen kann man durch Zählen messen:
für M = {e1 , . . . , en },
mit paarweise verschiedenen Elementen e1 , . . . , en ,
ist die Elementezahl |M| = n ∈ N natürliches Maß
einfacher Größenvergleich unter endlichen Mengen:
M ∼ M 0 falls |M| = |M 0 | (“gleichgroß”)
M 4 M 0 falls |M| 6 |M 0 | (“höchstens so groß wie”)
Martin Otto 2015
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Zählen & Mengengrößen messen
• die Größe endlicher Mengen kann man durch Zählen messen:
für M = {e1 , . . . , en },
mit paarweise verschiedenen Elementen e1 , . . . , en ,
ist die Elementezahl |M| = n ∈ N natürliches Maß
einfacher Größenvergleich unter endlichen Mengen:
M ∼ M 0 falls |M| = |M 0 | (“gleichgroß”)
M 4 M 0 falls |M| 6 |M 0 | (“höchstens so groß wie”)
• natürliche Zahlen messen die Größe endlicher Mengen
(eines der Grundkonzepte der natürlichen Zahlen)
. . . und für unendliche Mengen?
Martin Otto 2015
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unendliche Mengen
Beispiele:
N
{0, 2, 4, 6, . . .} ⊆ N
{p ∈ N : p prim } ⊆ N
Z, Q, R, . . .
(Menge der natürlichen Zahlen)
(Menge der geraden Zahlen)
(Menge der Primzahlen)
(ganze, rationale, reelle Zahlen)
viele interessante Mengen von Folgen, Funktionen,
geometrischen Objekten, Gleichungen, Formeln, . . .
sind unendlich
mögliche Definition:
“|M| = ∞” falls für alle n ∈ N gilt |M| =
6 n
Martin Otto 2015
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unendliche Mengen
Beispiele:
N
{0, 2, 4, 6, . . .} ⊆ N
{p ∈ N : p prim } ⊆ N
Z, Q, R, . . .
(Menge der natürlichen Zahlen)
(Menge der geraden Zahlen)
(Menge der Primzahlen)
(ganze, rationale, reelle Zahlen)
viele interessante Mengen von Folgen, Funktionen,
geometrischen Objekten, Gleichungen, Formeln, . . .
sind unendlich
mögliche Definition:
“|M| = ∞” falls für alle n ∈ N gilt |M| =
6 n
• ist das schon alles?
• sind denn je zwei unendliche Mengen “gleichgroß”?
Martin Otto 2015
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Größenvergleich, Mächtigkeit/Kardinalität (Cantor)
Idee: (partielle) Paarungen statt Zählen
M • • ··· •
M0 • • · · · •
zeigt dass M ∼ M 0
Georg Cantor (1845–1918)
Martin Otto 2015
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Größenvergleich, Mächtigkeit/Kardinalität (Cantor)
Idee: (partielle) Paarungen statt Zählen
M • • ··· •
M0 • • · · · •
zeigt dass M ∼ M 0
M • • ··· •
M0 • • · · · • • · · · •
zeigt dass M 4 M 0
Martin Otto 2015
Georg Cantor (1845–1918)
4/14
Größenvergleich, Mächtigkeit/Kardinalität (Cantor)
Idee: (partielle) Paarungen statt Zählen
M • • ··· •
M0 • • · · · •
zeigt dass M ∼ M 0
M • • ··· •
M0 • • · · · • • · · · •
zeigt dass M 4 M 0
Georg Cantor (1845–1918)
Definition: M 4 M 0 falls M = {mi : i ∈ M 0 }
(eine Liste (mi )i∈M0 deckt M ab)
M ∼ M 0 falls sowohl M 4 M 0 als auch M 0 4 M
M ≺ M 0 falls M 4 M 0 und nicht M 0 4 M
Martin Otto 2015
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Größenvergleich, Mächtigkeit/Kardinalität (Cantor)
Idee: (partielle) Paarungen statt Zählen
M • • ··· •
M0 • • · · · •
zeigt dass M ∼ M 0
M • • ··· •
M0 • • · · · • • · · · •
zeigt dass M 4 M 0
Georg Cantor (1845–1918)
manche Intuitionen aus dem Endlichen setzen sich fort,
andere nicht!
Martin Otto 2015
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Hilbertsches Hotel (1):
ℵ0 + 1 = ℵ0
in einem Hotel mit unendlich vielen Zimmern (Zimmer 1, 2, 3, . . . )
sind alle Zimmer schon belegt — und es kommt ein neuer Gast
David Hilbert (1862–1943)
Mathematiker, nicht Hotelier
Martin Otto 2015
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Hilbertsches Hotel (1):
ℵ0 + 1 = ℵ0
in einem Hotel mit unendlich vielen Zimmern (Zimmer 1, 2, 3, . . . )
sind alle Zimmer schon belegt — und es kommt ein neuer Gast
• unmöglich, ihn unterzubringen?
• oder doch?
David Hilbert (1862–1943)
Mathematiker, nicht Hotelier
Martin Otto 2015
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ℵ0 + 1 = ℵ0
Hilbertsches Hotel (1):
in einem Hotel mit unendlich vielen Zimmern (Zimmer 1, 2, 3, . . . )
sind alle Zimmer schon belegt — und es kommt ein neuer Gast
• unmöglich, ihn unterzubringen?
• oder doch?
1 2 3 4 5 6 7
Zimmer •O •O •O •O •O •O •O
Gäste
•
Martin Otto 2015
• • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7
/
/
David Hilbert (1862–1943)
Mathematiker, nicht Hotelier
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ℵ0 + 1 = ℵ0
Hilbertsches Hotel (1):
in einem Hotel mit unendlich vielen Zimmern (Zimmer 1, 2, 3, . . . )
sind alle Zimmer schon belegt — und es kommt ein neuer Gast
• unmöglich, ihn unterzubringen?
• oder doch?
1 2 3 4 5 6 7
Zimmer •O •O •O •O •O •O •O
Gäste
•
Martin Otto 2015
• • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7
1 2
Zimmer ◦ H •
/
/
3 4 5 6 7
• • • • •
H H H H H
Gäste
•
/
• • • • • • • /
1 2 Hilbert
3 4 (1862–1943)
5 6 7
David
Mathematiker, nicht Hotelier
5/14
ℵ0 + 1 = ℵ0
Hilbertsches Hotel (1):
in einem Hotel mit unendlich vielen Zimmern (Zimmer 1, 2, 3, . . . )
sind alle Zimmer schon belegt — und es kommt ein neuer Gast
• unmöglich, ihn unterzubringen?
• oder doch?
1 2 3 4 5 6 7
Zimmer •O •O •O •O •O •O •O
Gäste
•
Martin Otto 2015
• • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7
1 2
Zimmer ◦K H •
/
/
3 4 5 6 7
• • • • •
/
H H H H H
Gäste • • • • • • • /
David
1 2 Hilbert
3 4 (1862–1943)
5 6 7
•
Mathematiker, nicht Hotelier
5/14
ℵ0 + ℵ0 = ℵ0
Hilbertsches Hotel (2):
wieder sind alle Zimmer schon belegt
— und es kommen unendlich viele neue Gäste (1, 2, 3, . . . )
1 2 3 4 5 6 7 8
Zimmer •O •O •O •O •O •O •O •O
Gäste
• • • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7 8
• • • • /
Martin Otto 2015
/
/
6/14
Hilbertsches Hotel (2):
ℵ0 + ℵ0 = ℵ0
wieder sind alle Zimmer schon belegt
— und es kommen unendlich viele neue Gäste (1, 2, 3, . . . )
1 2 3 4 5 6 7 8
Zimmer •O •O •O •O •O •O •O •O
Gäste
• • • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7 8
• • • • /
Martin Otto 2015
1 2 3 4 5 6 7 8
/ Zimmer ◦ • ◦ • ◦ < • ◦ 9 •
B
r
y
H
yyy rrrr
yy rrr
yyy rrr
/
• • • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7 8
/
/
6/14
Hilbertsches Hotel (2):
ℵ0 + ℵ0 = ℵ0
wieder sind alle Zimmer schon belegt
— und es kommen unendlich viele neue Gäste (1, 2, 3, . . . )
1 2 3 4 5 6 7 8
Zimmer •O •O •O •O •O •O •O •O
Gäste
• • • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7 8
• • • • /
Martin Otto 2015
1 2 3 4 5 6 7 8
/ Zimmer ◦ • ◦ • ◦ < • ◦ 9 •
M H I B F y B rr
yyyy rrrr
yyy rrrr
• • • y• r • • • •
/
1 2 3 4 5 6 7 8
/
/
/
• • • •
6/14
Hilbertsches Hotel (2):
ℵ0 + ℵ0 = ℵ0
wieder sind alle Zimmer schon belegt
— und es kommen unendlich viele neue Gäste (1, 2, 3, . . . )
1 2 3 4 5 6 7 8
Zimmer •O •O •O •O •O •O •O •O
Gäste
• • • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7 8
• • • • /
1 2 3 4 5 6 7 8
/ Zimmer ◦ • ◦ • ◦ < • ◦ 9 •
M H I B F y B rr
yyyy rrrr
yyy rrrr
• • • y• r • • • •
/
1 2 3 4 5 6 7 8
/
/
/
• • • •
Beobachtung: Z ∼ N
die Menge Z der ganzen Zahlen hat dieselbe Kardinalität wie
die Menge N der natürlichen Zahlen (“abzählbar unendlich”)
Martin Otto 2015
6/14
Hilbertsches Hotel (3):
ℵ0 · ℵ 0 = ℵ0
wieder sind alle Zimmer schon belegt
— und es kommen unendlich viele Busse (1, 2, 3,. . . )
mit jeweils unendlich vielen Passagieren (1, 2, 3,. . . )
Busse O
4
3
2
1
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
/
1 2 3 4
Martin Otto 2015
Passagiere
7/14
ℵ0 · ℵ 0 = ℵ0
Hilbertsches Hotel (3):
wieder sind alle Zimmer schon belegt
— und es kommen unendlich viele Busse (1, 2, 3,. . . )
mit jeweils unendlich vielen Passagieren (1, 2, 3,. . . )
Busse O
4
3
2
1
•_?G?GG• • •
?G
•_?J?JJ•??_ G?G•G •
? J ? GG
•_?O?OO•O_?J?J•J_?J?G•GG
? OO? J? G
• •/ •' $• G#
neue Gäste
• • • • • •
1 2 3 4 5 6
/
/
1 2 3 4
Martin Otto 2015
Passagiere
7/14
ℵ0 · ℵ 0 = ℵ0
Hilbertsches Hotel (3):
wieder sind alle Zimmer schon belegt
— und es kommen unendlich viele Busse (1, 2, 3,. . . )
mit jeweils unendlich vielen Passagieren (1, 2, 3,. . . )
Busse O
4
3
2
1
•_?G?GG• • •
?G
•_?J?JJ•??_ G?G•G •
? J ? GG
•_?O?OO•O_?J?J•J_?J?G•GG
? OO? J? G
• •/ •' $• G#
neue Gäste
• • • • • •
1 2 3 4 5 6
/
/
1 2 3 4
Passagiere
Satz (Cantor): Q ∼ N
die Menge Q der rationalen Zahlen hat dieselbe Kardinalität wie
die Menge N der natürlichen Zahlen (auch abzählbar unendlich)
Martin Otto 2015
7/14
die nach oben offene Kardinalitäts-Skala
Satz (Cantor): M ≺ P(M)
für jede Menge M gilt M ≺ P(M),
d.h. die Menge der Teilmengen einer Menge ist
stets strikt mächtiger als die Menge selbst
vgl. im Endlichen: |P(M)| = 2|M|
Martin Otto 2015
8/14
die nach oben offene Kardinalitäts-Skala
Satz (Cantor): M ≺ P(M)
für jede Menge M gilt M ≺ P(M),
d.h. die Menge der Teilmengen einer Menge ist
stets strikt mächtiger als die Menge selbst
vgl. im Endlichen: |P(M)| = 2|M|
P(M)
M
• • ··· • ··· • ···
• • ··· •
jede Paarung bleibt auf Seite von P(M) unvollständig
Martin Otto 2015
8/14
die nach oben offene Kardinalitäts-Skala
Satz (Cantor): M ≺ P(M)
für jede Menge M gilt M ≺ P(M),
d.h. die Menge der Teilmengen einer Menge ist
stets strikt mächtiger als die Menge selbst
vgl. im Endlichen: |P(M)| = 2|M|
P(M)
M
• • ··· • ··· • ···
• • ··· •
jede Paarung bleibt auf Seite von P(M) unvollständig
Beweis (“Diagonalisierung”): in jeder Liste (sm )m∈M von
M-vielen Teilmengen von M fehlt immer mindestens diese:
s := {m ∈ M : m 6∈ sm }
denn für jedes m ist s 6= sm , da m ∈ s gdw. m 6∈ sm
Martin Otto 2015
8/14
die nach oben offene Kardinalitäts-Skala
Satz (Cantor): M ≺ P(M)
für jede Menge M gilt M ≺ P(M),
d.h. die Menge der Teilmengen einer Menge ist
stets strikt mächtiger als die Menge selbst
vgl. im Endlichen: |P(M)| = 2|M|
Korollar: N ≺ P(N) ∼ R
die Menge R der reellen Zahlen ist überabzählbar,
d.h. strikt mächtiger als die Mengen N, Z oder Q
Martin Otto 2015
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Diagonalisierungsidee:
Überabzählkbarkeit von P(N): keine Liste von Teilmengen
s0 , s1 , s2 , . . . ⊆ N kann vollständig sein:
Martin Otto 2015
0
1
2
3
4
5
6
7
s0
X
×
X X
×
X X X
s1
s2
X X X X X × × ×
× × × X × X X X
s3
×
×
×
X
s4
..
.
×
×
X
×
×
×
s
×
×
X
×
X
X
×
X
X
×
X
...
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Diagonalisierungsidee:
Überabzählkbarkeit von P(N): keine Liste von Teilmengen
s0 , s1 , s2 , . . . ⊆ N kann vollständig sein:
Martin Otto 2015
0
1
2
3
4
5
6
s0
X
×
X X
×
X X X
s1
X
X
X X X
×
s2
×
×
×
X
×
X X X
s3
×
×
×
X
×
X
×
X
s4
..
.
×
×
X
×
×
X
×
X
×
7
...
×
9/14
Diagonalisierungsidee:
Überabzählkbarkeit von P(N): keine Liste von Teilmengen
s0 , s1 , s2 , . . . ⊆ N kann vollständig sein:
0
s0
s1
s2
s3
2
3
4
5
6
7
X × X X × X X
X X X X X × ×
× × × X × X X
× × × X × X ×
× × X × × X ×
X
...
×
X
X
X
6=
s4
..
.
1
s
Martin Otto 2015
× × X × X
9/14
Kombinatorik unendlicher Mengen: ein Beispiel
make only finitely many mistakes
an infinite team is challenged to find a strategy for the following:
(fair play, no cheating, no tricks!)
• each player is going to be given a blue or green cap and
cannot see his/her own colour but everbody else’s;
• they then must simultaneously and independently
respond to the question what colour their own cap is;
• they win (as a team) if only finitely many answers are wrong.
Martin Otto 2015
10/14
Kombinatorik unendlicher Mengen: ein Beispiel
make only finitely many mistakes
an infinite team is challenged to find a strategy for the following:
(fair play, no cheating, no tricks!)
• each player is going to be given a blue or green cap and
cannot see his/her own colour but everbody else’s;
• they then must simultaneously and independently
respond to the question what colour their own cap is;
• they win (as a team) if only finitely many answers are wrong.
impossible?
Martin Otto 2015
10/14
Modellierung des Gedankenexperiments
. . . simultaneously and independently declare the colour of their own
cap; the team wins if only finitely many answers are wrong
für das Team (∼ N) betrachten wir die
Menge M aller 0-1-Folgen s = (sn )n∈N
M ∼ P(N) überabz.!
M kodiert alle möglichen
Kappen-Verteilungen
0 : n hat grüne Kappe
sn =
1 : n hat blaue Kappe
Martin Otto 2015
Antworten des Teams
0 : n antwortet “grün”
an =
1 : n antwortet “blau”
11/14
Modellierung des Gedankenexperiments
. . . simultaneously and independently declare the colour of their own
cap; the team wins if only finitely many answers are wrong
für das Team (∼ N) betrachten wir die
Menge M aller 0-1-Folgen s = (sn )n∈N
M ∼ P(N) überabz.!
M kodiert alle möglichen
Kappen-Verteilungen
0 : n hat grüne Kappe
sn =
1 : n hat blaue Kappe
Ziel:
Martin Otto 2015
Antworten des Teams
0 : n antwortet “grün”
an =
1 : n antwortet “blau”
s∆a := {n : an 6= sn } endlich “only finitely many mistakes”
11/14
Modellierung des Gedankenexperiments
. . . simultaneously and independently declare the colour of their own
cap; the team wins if only finitely many answers are wrong
für das Team (∼ N) betrachten wir die
Menge M aller 0-1-Folgen s = (sn )n∈N
M ∼ P(N) überabz.!
M kodiert alle möglichen
Kappen-Verteilungen
0 : n hat grüne Kappe
sn =
1 : n hat blaue Kappe
Ziel:
Antworten des Teams
0 : n antwortet “grün”
an =
1 : n antwortet “blau”
s∆a := {n : an 6= sn } endlich “only finitely many mistakes”
Problem:
Antwort an darf nicht von sn abhängen,
wohl aber von allen sm für m 6= n: (sm )m6=n
Martin Otto 2015
11/14
Modellierung & Lösungsansatz:
Idee 1: Modellierung der verfügbaren Information
• der einzelne Spieler n kennt nur (sm )m6=n
• was wissen Spieler n1 , n2 , . . . , nk gemeinsam über s?
Martin Otto 2015
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Modellierung & Lösungsansatz:
Idee 1: Modellierung der verfügbaren Information
• der einzelne Spieler n kennt nur (sm )m6=n
• was wissen Spieler n1 , n2 , . . . , nk gemeinsam über s?
Idee 2: Modellierung der relevanten Information
• Antworten a = (an )n∈N und a0 = (an0 )n∈N sind gleich gut
falls die Differenzmenge a∆a0 = {n : an 6= an0 } endlich ist
Martin Otto 2015
12/14
Modellierung & Lösungsansatz:
Antworten a = (an )n∈N und a0 = (an0 )n∈N sind gleich gut
falls die Differenzmenge a∆a0 = {n : an 6= an0 } endlich ist
gröbere Sicht auf M (relevante & allen verfügbare Information):
wir definieren Äquivalenzrelation ≡ auf M
s ≡ s0 :⇔ s∆s0 endlich
Martin Otto 2015
13/14
Modellierung & Lösungsansatz:
Antworten a = (an )n∈N und a0 = (an0 )n∈N sind gleich gut
falls die Differenzmenge a∆a0 = {n : an 6= an0 } endlich ist
gröbere Sicht auf M (relevante & allen verfügbare Information):
wir definieren Äquivalenzrelation ≡ auf M
s ≡ s0 :⇔ s∆s0 endlich
• M zerfällt in Äquivalenzklassen (überabz. viele/abz. groß)
[s] := {s0 : s0 ≡ s}
M
•
Martin Otto 2015
...
“s bis auf endlich viele Differenzen”
s
[s]
•
...
•
13/14
Modellierung & Lösungsansatz:
Antworten a = (an )n∈N und a0 = (an0 )n∈N sind gleich gut
falls die Differenzmenge a∆a0 = {n : an 6= an0 } endlich ist
gröbere Sicht auf M (relevante & allen verfügbare Information):
wir definieren Äquivalenzrelation ≡ auf M
s ≡ s0 :⇔ s∆s0 endlich
• M zerfällt in Äquivalenzklassen (überabz. viele/abz. groß)
[s] := {s0 : s0 ≡ s}
M
•
“s bis auf endlich viele Differenzen”
...
• Ziel: a ≡ s, d.h. a ∈ [s]
Martin Otto 2015
s
[s]
•
...
•
. . . und jeder kennt [s] (!!)
13/14
the rest is easy . . .
at least if we ignore some issues of ‘arbitrary’ choices
and people’s cognitive capacities ;-)
all players agree in advance on some fixed
system of representatives: a choice of one element a([s])
from each equivalence class [s]
Martin Otto 2015
14/14
the rest is easy . . .
at least if we ignore some issues of ‘arbitrary’ choices
and people’s cognitive capacities ;-)
all players agree in advance on some fixed
system of representatives: a choice of one element a([s])
from each equivalence class [s]
M
•
Martin Otto 2015
...
a([s])
[s]
•
...
•
14/14
the rest is easy . . .
at least if we ignore some issues of ‘arbitrary’ choices
and people’s cognitive capacities ;-)
all players agree in advance on some fixed
system of representatives: a choice of one element a([s])
from each equivalence class [s]
M
•
in situation s
Martin Otto 2015
...
a([s])
[s]
•
...
•
• no-one knows s, but
• everyone knows [s]
• everyone can answer according to a([s])
14/14
the rest is easy . . .
at least if we ignore some issues of ‘arbitrary’ choices
and people’s cognitive capacities ;-)
all players agree in advance on some fixed
system of representatives: a choice of one element a([s])
from each equivalence class [s]
M
•
in situation s
...
a([s])
[s]
•
•
• no-one knows s, but
• everyone knows [s]
• everyone can answer according to a([s])
then a([s]) ∈ [s] guarantees a([s]) ≡ s,
Martin Otto 2015
...
a sure win
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