Kurzskript

Ludwig-Maximilians-Universität München
Prof. Dr. Thomas Vogel
Vorlesung Sommersemester 2016
Geometrie und Topologie von Flächen
Hinweis: Dieses Kurzskript fasst die Inhalte einer Vorlesung wirklich kurz zusammen,
es ersetzt nicht den Besuch der Vorlesung. Es werden nur die wichtigsten Stichpunkte
und Tatsachen wiedergegeben. Desweitern sind die Übungsaufgaben ein Bestandteil
der Vorlesung.
Verweise auf Literatur sollen auch helfen, die Grundbegriffe zu wiederholen die
man schon vergessen hat. Es lohnt sich, nicht nur den angegeben Abschnitt/die angegeben Seite anzusehen. Die Kapitelnummern/Seitenzahlen beziehen sich auf die
Auflage, die im Literaturverzeichnis angegeben ist. Andere Auflagen weichen eventuell davon ab.
Erweiterungen und Änderungen erfolgen ohne besondere Ankündigung zu unverhersagbaren Zeiten. Sollten Ihnen Fehler auffallen, wenden Sie sich bitte an mich.
1. Vorlesung am 13.4.
• Definition: Eine Kurve γ in einem metrischen Raum (X, d) ist eine stetige
Abbildung γ : I −→ X, wobei I ⊂ R ein Intervall ist.
Anstatt dem Wort Kurve verwendet man oft synonym Weg.
metrische Räume, s. [Wa2] Kap. 1.5, Wege und Kurven [Wa2], Kap. 5.10,
• Eine Kurve γ : I −→ (X, d) ist Lipschitzstetig, wenn eine Konstante λ existiert,
so dass d(γ(t), γ(s)) ≤ λ|t − s|.
• Eigenschaften von Kurven in Rn : Eine Kurve ist differenzierbar, glatt, C k mit
k ≥ 1, wenn die Komponenten die jeweilige Eigenschaft haben.
• Definition: Eine Kurve in Rn ist regulär, wenn sie stetig differenzierbar ist und
γ̇(t) 6= 0 für alle t ∈ I.
• Definition: Sei I = [a, b] ein kompaktes Intervall und γ : I −→ (X, d) eine
Kurve. Die Kurve ist rektifizierbar, wenn
)
( N
X
L(γ) = sup
d(γ(ti ), γ(ti−1 ) a = t0 < t1 < . . . < tN = b < ∞.
i=1
•
•
•
•
L(γ) ist dann die Länge von γ.
Lipschitzstetige Kurven sind rektifizierbar: Wenn λ eine Lipschitzkonstante von
γ : I −→ (X, d) ist, so gilt L(γ) ≤ λ(b − a).
n
Satz: Stetig
R b differenzierbare Kurven γ : I −→ R sind rektifizierbar und es
gilt L(γ) = a kγ̇(t)k dt.
s. [Bä], Proposition 2.1.18. oder [Wa2], Kap. 5.12
Definition: Seien γ : I −→ X und γ
b : Ib −→ X zwei Kurven. γ
b ist eine
b
Umparametrisierung von γ, wenn ein Homöomorphismus ϕ : I −→ I existiert,
so dass γ ◦ ϕ−1 = γ
b,
s. [Bä], Def. 2.1.7 für glatte Wegen in Rn , wenn die beteiligten Kurven C k
sind, so verlangt man, dass ϕ ein C k -Diffeomorphismus ist.
Definition: Eine rektifizierbare Kurve γ : [a, b] −→ (X, d) ist nach Bogenlänge
parametrisiert, wenn L(γ|[s,t] ) = t − s für alle a ≤ s < t ≤ b.
2
2. Vorlesung am 15.4.
• Definition: Seien γ1 : [a1 , b1 ] −→ (X, d) und γ2 : [a2 , b2 ] −→ (X, d) zwei
Kurven, so dass b1 = a2 und γ1 (b1 ) = γ2 (a2 ). Dann ist die Kurve
γ1 ∗ γ2 : [a1 , b2 ] −→ (X, d)
γ1 (t) t ∈ [a1 , b1 ]
t 7−→
γ2 (t) t ∈ [a2 , b2 ]
die Verknüpfung der Wege/Kurven γ1 und γ2 .
• Lemma: Wenn γ1 und γ2 rektifizierbar sind, so ist γ1 ∗ γ2 rektifizierbar und
L(γ1 ∗ γ2 ) = L(γ1 ) + L(γ2 ).
• Lemma: Sei γ : I −→ (X, d) ein rektifizierbarer Weg. Dann ist
ϕ : [a, b] −→ [0, L(γ)]
t 7−→ L(γ|[a,t] )
•
•
•
•
•
stetig und monoton.
Bew. in [Wa2], Kap. 5.12.
Proposition: Wenn γ : I −→ (X, d) rektifizierbar ist und für alle kompakten,
nicht ausgearteten Intervalle J ⊂ I gilt L(γ|J ) 6= 0, so gibt es eine Umparametrisierung von γ, die nach Bogenlänge parametrisiert ist.
Man verwendet unter anderem Satz 2.12 aus [Wa2] um zu zeigen, dass die
Funktion ϕ aus dem vorangehenden Lemma ein Homöomorphismus ist.
Korollar: Reguläre Kurven in Rn können nach Bogenlänge parametrisiert werden.
Definition: Wenn γ : I −→ Rn in t0 ∈ I regulär ist (d.h. γ ist C 1 auf einer
Umgebung von t0 und γ̇(t0 ) 6= 0), so ist die Tangente an γ in γ(t0 ) die durch
γ(t0 ) + sγ̇(t0 ), s ∈ R parametrisierte Gerade.
Lemma: Wenn γ
b eine Umparametrisierung einer rektifizierbaren Kurve γ :
[a, b] −→ (X, d) ist, so ist γ
b rektifizierbar und L(γ) = L(b
γ ).
Der Beweis ist eine Übungsaufgabe auf Blatt 1.
Wir haben die Existenz nicht rektifizierbarer Kurven diskutiert, ein einfaches
Beispiel finden Sie auf Blatt 1. Ein komplizierteres Beispiel ist die Koch’sche
Schneeflocke und die Peano-Kurve. Letztere wird in [Wa2] am Ende von Kapitel
5 (Aufgabe 12, S. 188) beschrieben.
3. Vorlesung am 20.4.
• Definition: Eine ebene Kurve ist eine stetige Abbildung γ : I −→ R2 , wobei I
ein Intervall ist.
• Wir betrachten jetzt nur reguläre Kurven und verwenden die Notation
0 −1
J=
.
1 0
Beachte J 2 = −E.
• Definition: Sei γ eine reguläre ebene Kurve. Der Normalenvektor an γ in γ(t0 )
ist J(γ̇(t0 )/kγ̇(t0 )k).
3
2
• Sei γ eine ebene C -Kurve, die nach Bogenlänge parametrisiert ist. Dann gilt
kγ(t)k2 = 1 und deshalb
d
hγ̇(t), γ̇(t)i
dt
= 2hγ̈(t), γ̇(t)i.
0=
Also steht γ̈(t) senkrecht auf γ̇(t) und es gibt eine eindeutig bestimmte Zahl
κ(t) so dass
κ(t)J(γ̇(t)) = γ̈(t).
• Definition: κ(t0 ) ist die Krümmung von γ in γ(t0 ).
• Beispiel: Die Krümmung einer Gerade ist überall 0, die Krümmung eines Kreises mit Radius R, der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird, ist überall
R−1 .
• Sei γ eine glatte, nach Bogenlänge parametrisierte Kurve und κ0 = κ(t0 ) 6= 0.
Wir betrachten den Kreis mit Radius |κ0 |−1
µ0 : R −→ R2
s 7−→ γ(t0 ) +
κ−1
0 J(γ̇(t0 ))
−
κ−1
0
cos(κ0 s) − sin(κ0 s)
sin(κ0 s) cos(κ0 s)
J(γ̇(t0 )).
Dies ist der Ankreis an γ in γ(t0 ). Es gilt
µ0 (0) = γ(t0 )
µ̇0 (0) = γ̇(t0 )
µ̈0 (0) = γ̈(t0 ).
• Satz: Sei k : [a, b] −→ R eine Lipschitz-stetige Funktion. Dann gibt es eine
nach Bogenlänge parametrisierte C 2 -Kurve γ : [a, b] −→ R so dass
κ(t) = k(t).
γ ist eindeutig bestimmt bis auf orientierungserhaltende Euklidische Bewegungen in R2 . (Euklidische Bewegungen sind Isometrien der Euklidischen Ebene.)
Wir haben den Beweis nur angedeutet, er basiert auf dem Satz von PicardLindelöf über die eindeutige Lösbarkeit bestimmter Anfangswertprobleme. Die
Einzelheiten des Beweises findet man in [Kü], Satz 2.15 (dort setzt man n = 2).
Die Existenz kann man auch ohne den Satz von Picard-Lindelöf zeigen indem
man eine Lösung direkt angibt, s. Aufg. 3 der Präsenzaufgaben Woche 2.
• Korollar: Eine nach Bogenlänge parametrisierte C 2 -Kurve, so dass κ(t) ≡ 0,
ist ein Segment einer Gerade. Eine nach Bogenlänge parametrisierte C 2 -Kurve,
so dass κ(t) ≡ κ0 6= 0, ist ein Kreisbogen mit Radius |κ0 |−1 .
• Lemma: Sei γ : I −→ R2 eine ebene C 1 -Kurve die nach Bogenlänge parametrisiert ist. Dann gibt es eine Funktion stetige ϑ : I −→ R, so dass
cos(ϑ(t))
(1)
γ̇(t) =
.
sin(ϑ(t))
Wenn ϑ, ϑb zwei Funktionen mit diesen Eigenschaften sind, so gilt ϑ − ϑb =
2πk, k ∈ Z.
Den Beweis findet man in [Bä] S. 43 (Lemma 2.2.5.).
4
• Definition: Sei γ : R −→ R2 eine nach Bogenlänge parametrisierte C 1 -Kurve,
periodisch mit Periode T und ϑ eine stetige Funktion mit der Eigenschaft (1),
so ist
1
nγ =
(ϑ(T ) − ϑ(0))
2π
die Windungszahl von γ.
cos(t)
• Beispiel: Sei γ+ (t) =
. Dies ist eine einfach geschlossene, auf R
sin(t)
definierte, nach Bogenlänge parametrisierte ebene Kurve mit Periode T = 2π.
Es gilt
− sin(t)
cos(t + π/2)
γ̇+ (t) =
=
cos(t)
sin(t + π/2)
In diesem Fall ist also ϑ+ (t) = t + π/2 eine Funktion mit der Eigenschaft (1)
und es gilt
1
nγ+ =
(ϑ+ (2π) − ϑ+ (0)) = 1.
2π
Die Kurve γ− (t) = γ+ (−t) kann man analog behandeln. Man erhält ϑ− (t) =
−t − π/2 und nγ− = −1.
4. Vorlesung am 22.4.
• Unabhängigkeit von nγ von der Wahl von ϑ und des Zeitnullpunktes, nγ ist
ganzzahlig. Wenn γ eine Umparametrisierung von γ ist,so dass die Orientierung
umgedreht wird, so gilt −nγ = nγ . Berechnung der Windungszahl.
• Ist γ eine reguläre C 2 -Kurve, die nicht unbedingt nach Bogenlänge parametrisiert ist, so ist die Krümmung von γ
b = γ ◦ ϕ (nach Bogenlänge parametrisiert,
ϕ0 orientierungserhaltend) in γ
b(ϕ(t)) durch
det γ̇(t) γ̈(t)
kγ̇(t)k3
gegeben.
Der Beweis ist eine Übungsaufgabe.
• Satz: Sei γ : R −→ R2 eine nach Bogenlänge parametrisierte periodische C 2 Kurve mit Periode T und κ ihre Krümmung. Dann gilt
Z T
1
nγ =
κ(t)dt.
2π 0
Der Beweis basiert auf der Beobachtung
(2)
ϑ̇(t) = κ(t)
wobei ϑ eine Funktion mit der Eigenschaft (1) ist. Dies liefert auch eine anschauliche Bedeutung für die Krümmung einer ebenen, nach Bogenlänge parametrisierten C 2 -Kurve. Die Details stehen in [Bä], S. 47.
• Umlaufsatz: Sei γ eine einfache geschlossene C 1 Kurve die nach Bogenlänge
parametrisiert ist. Dann gilt nγ = ±1.
Erinnerung: Eine periodische Kurve γ mit Periode T ist einfach falls γ [0,T )
injektiv ist.
Der Beweis des Umlaufsatzes basiert auf zwei Lemmas und folgt [Bä], S. 50f
mit kleinen Abwandlungen.
5
2
1
• Lemma 1: Sei U ⊂ R konvex und f : U −→ S stetig. Dann existiert eine
stetige Funktion ϑ : U −→ R, so dass für alle u ∈ U
cos(ϑ(u))
= f (u).
sin(ϑ(u))
• Lemma 2: Sei f : [a, b] −→ S 1 \ {(cos(α) sin(α))T } stetig und ϑ : [a, b] −→ R
eine stetige Abbildung so dass f (t) = (cos(ϑ(t)) sin(ϑ(t)))T . Dann gilt |ϑ(b) −
ϑ(a)| < 2π.
• Korollar: Sei γ eine reguläre periodische Kurve mit |nγ | =
6 1. Dann ist γ nicht
einfach, d.h. die Kurve schneidet sich selber.
5. Vorlesung am 27.4.
• Abschluss des Beweises vom Umlaufsatz, Diskussion (wofür braucht man einfach geschlossene Kurven, etc.)
• Satz: Sei γ : R −→ R2 eine einfach geschlossene glatte Kurve mit Periode T
die ein Gebiet G berandet so dass nγ = 1. Sei A(G) die Fläche von G und L(γ)
die Länge von γ|[0,T ] . Dann gilt
L(γ)2 ≥ 4πA(G).
Der Fall der Gleichheit tritt genau dann ein, wenn G eine Kreisscheibe ist.
• Beispiele: Wenn G eine Kreisscheibe mit Radius R ist, so gilt L(γ) = 2πR
und A(G) = πR2 , es folgt 4πA(G) = 4π 2 R2 = (2πR)2 = (L(γ))2 .
Wenn G ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, so gilt A(G) = a2 und L(γ) = 4a.
Tatsächlich gilt dann
L(γ)2 = 16a2 > 4πa2 = 4πA(g)
weil 4 > π. (Der Rand des Quadrates ist nicht glatt!)
• Erinnerung an den Divergenzsatz: Sei γ eine nach Bogenlänge parametrisierte, einfach geschlossene glatte Kurve die ein Gebiet G ⊂ R2 berandet
und positiv umläft (insbes. nγ = 1) und V = (v, w) ein stetig differenzierbares
Vektorfeld auf einer Umgebung von G. Dann gilt
Z
Z T
div(V )dx dy = −
hV (γ(t)), n(γ(t))idt
G
0
wobei n(γ(t)) den nach G gerichteten
Normalenvektor
(mit Länge 1) an γ in
∂v
γ(t) bezeichnet und div(V ) = ∂x
+ ∂w
ist die Divergenz von V .
∂y
Einen Beweis des Divergenzsatzes findet man in [Wa2], Kapitel 8.1.
• Anwendung: Wählt man V (x, y) = (x, y) und schreibt γ(t) = (x(t), y(t)), so
folgt
Z T
2A(G) =
(x(t)ẏ(t) − ẋ(t)y(t)) dt.
0
• Erinnerung an Fourierreihen: Sei f : R −→ C eine 2π-periodische C 2 Funktion, k ∈ Z und
Z π
1
f (x)e−ikx dx.
ck =
2π −π
6
P
ikx
Die Fourierreihe ∞
konvergiert gleichmässig gegen f . Wenn f sogar
k=−∞ ck e
P
3
ikx
eine C Funktion ist, so konvergiert die Reihe ∞
gleichmässig gek=−∞ ikck e
0
gen f . Die wichtigsten Tatsachen zu Fourierreihen findet man in [Wa2], Kapitel
10.1 – 10.9 oder [Fo1] in Kapitel 23.
• Der Beweis der isoperimetrischen Ungleichung mit Hilfe einer Kombination
aus Fourierreihen (man identifiziert R2 mit C) und Divergenzsatz stammt von
Hurwitz, die Einzelheiten stehen in [Bä], S. 62ff.
6. Vorlesung am 29.4.
• Abschluß des Beweises der isoperimetrischen Ungleichung
– γ wird so umparametrisiert, dass die Kurve mit konstanter Geschwindigkeit mit Periode 2π durchlaufen wird. Man erhält γ
b. Wir
γ
b als
P fassen iks
C-wertige Abbildung auf und betrachten die Fourierreihe k∈Z ck e .
– T sei die Periode von γ. Direkte Rechnungen zeigen
X
k 2 |ck |2
(L(γ))2 = L(b
γ ))2 = 4π 2
4πA(G) =
4π
2
k∈Z
T
Z
(ẋ(t)y(t) − x(t)ẏ(t)) dt
0
Z 2π
= 2π
= 4π
2
0
X
< ib
γ (s)γ
b˙ (s) ds
k|ck |2 .
k∈Z
– Die Ungleichung 4πA(G) ≤ (L(γ))2 folgt aus der Betrachtung der Summanden der beiden Reihen. Gleichheit gilt genau dann, wenn ck = 0 für
alle k 6∈ {0, 1}. In diesem Fall parametrisiert γ
b(s) = c0 +c1 eis einen Kreis.
• Kurze Erläuterung von Steiner’s Ansatz, eine Quelle ist http://www.math.
utah.edu/~treiberg/Steiner/SteinerSlides.pdf
• Damit endet das Kapitel über Kurven, ein Abschnitt über Flächen in R3 beginnt.
• Defnition: Sei S ⊂ R3 eine Teilmenge. S ist eine reguläre Fläche wenn für alle
p ∈ S eine offene Umgebung V ∈ R3 von p existiert mit einer offenen Teilmenge
U ⊂ R2 und einem Homöomorphismus
ϕ : U −→ V ∩ S
mit folgenden Eigenschaften:
1. ϕ ist glatt und
2. dϕ (eine lineare Abbildung R2 −→ R3 ) ist an jedem Punkt injektiv.
Die Abbildung ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ist eine Parametrisierung/ein
lokales Koordinatensystem; V ∩ S ist eine Koordinatenumgebung von p.
• Beispiel 0: S = R2 × {0} ⊂ R2 × R = R3 .
• Beispiel 1: S = S 2 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 − 1 = 0}. Eine Koordinatenumgebung von (0, 0, 1) ist gegeben durch V = {z > 0}, U = D2 = {(u, v) ∈
R2 | u2 + v 2 < 1} und die glatte Abbildung
(3)
ϕ : U = D2 −→ {z > 0} ∩ S 2
√
(u, v) 7−→ u, v, 1 − u2 − v 2 .
7
−1
2
2
Die Umkehrabbildung ϕ : V ∩ S −→ D , (x, y, z) 7−→ (x, y) ist stetig und
das Differential dϕ(u,v) ist injektiv weil die Jacobi-Matrix


1
0

0
1
dϕ = 
∂z
∂z
(u, v) ∂v (u, v)
∂u
immer Rang 2 hat. Dieses Beispiel kann verallgemeinert werden zu folgendem
Lemma:
• Lemma: Sei U ⊂ R2 offen und f : U −→ R glatt. Der Graph
Γf = {(u, v, f (u, v)) | (u, v) ∈ U } ⊂ R3
ist eine reguläre Fläche.
• Definition: Sei U ⊂ Rn offen und f : U −→ Rm stetig differenzierbar. p ∈ U
ist ein kritischer Punkt von f wenn dfp nicht surjektiv ist. In diesem Fall ist
f (p) ein kritischer Wert. Ein Punkt p ist regulär wenn p nicht kritsch ist und
q ∈ Rn ist ein regulärer Wert wenn kein Element des Urbildes f −1 (q) kritisch
ist.
Insbesondere ist q ein regulärer Wert wenn f −1 (q) = ∅.
• Lemma: Sei f : U ⊂ R3 −→ R glatt und a ∈ R ein regulärer Wert. Dann ist
f −1 (a) ⊂ R3 eine reguläre Fläche.
7. Vorlesung am 4.5.
• Beweis des vorangehenden Lemmas mit Hilfe des Umkehrsatzes wie in [dCa],
S. 49–50.
• Beispiel: Der einzige kritische Wert von f : R3 −→ R mit f (z, y, z) = x2 +
y 2 + z 2 ist 0, die Sphäre mit Radius 1 ist f −1 (1) ist eine reguläre Fläche. Wählt
man
g : R3 −→ R
(x, y, z) 7−→ (f (x, y, z) − 1)2 ,
so ist jeder Punkt von g −1 (0) kritisch, trotzdem ist g −1 (0) = f −1 (1) eine reguläre Fläche.
• Beispiel: f : R3 −→ R, f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 . Der einzige kritische Punkt
von f ist (0, 0, 0), der einzige kritische Wert ist 0.
– f −1 (0) ist ein Doppelkegel und keine reguläre Fläche (s. unten), entfernt man den Punkt (0, 0, 0) so erhält man die reguläre Fläche f −1 (0) \
{(0, 0, 0)}.
– f −1 (1) bzw. f −1 (−1) sind reguläre Flächen, man nennt sie einschaliges
bzw. zweischaliges Hyperboloid.
• Tatsache: Der Doppelkegel ist keine reguläre Fläche.
• Der Beweis ist ein Widerspruchsbeweis: Wir nehmen an, dass es eine lokale
Parametrisierung ϕ von f −1 (0) um q = (0, 0, 0) gibt. Man zeigt dann:
– Nach dem Zwischenwertsatz gibt es keinen stetigen Weg in f −1 (0) \
{(0, 0, 0)} der Punkte in {z < 0} mit Punkten in {z > 0} verbindet.
(Die analoge Aussage gilt für das zweischalige Hyperboloid f −1 (−1).)
– Im Doppelkegel können je zwei Punkte durch stetige Wege verbunden
werden.
8
– Man kann Wege, deren Endpunkte von q verschieden sind, immer so
abändern, dass die modifizierten Wege q nicht treffen ohne dabei die
Endpunkte der Wege zu verändern. Für diese Konstruktion verwendet
man die lokale Parametrisierung ϕ.
8. Vorlesung am 6.5.
• Lemma: Sei S ⊂ R3 eine reguläre Fläche und p ∈ S. Dann gibt es eine
Umgebung W von p in S so dass W = f (V1 ) der Graph einer glatten Funktion
f : V1 −→ R ist, wobei V eine offene Teilmenge der xy-Ebene, der yz-Ebene
oder der zx-Ebene ist.
Der Beweis des Lemmas ist eine Anwendung des Umkehrsatzes, s. [dCa],
Proposition 3 (S. 52-53).
• Anwendung: Der Graph Γf der Funktion
f : R2 −→ R
(x, y) 7−→ |x|
ist keine reguläre Fläche. Mit Hilfe des vorangehenden Lemmas folgt aus der
Annahme, Γf sei eine reguläre Flache, dass f selbst regulär sein müsste. Die
Betragsfunktion ist aber nicht differenzierbar.
• Es gibt mehrere Möglichkeiten zu definieren, wann eine stetige Funktion auf
einer regulären Fläche glatt ist. Man kann zum Beispiel definieren, dass f :
S −→ R differenzierbar/glatt in p ∈ S ist , wenn es eine Umgebung U von p und
eine Funktion F : U −→ R gibt, so dass F S = f und F ist differenzierbar/glatt
in p.
• Beispiel: Sei π : R3 −→
R die Funktion F (x, y, z) = z und S eine reguläre
Fläche. Dann ist f = F S glatt im Sinne der voranstehenden Definition. Wenn
p 6∈ S, so ist die Abstandsfunktion d : S −→ R, d(q) = kp − qk glatt in diesem
Sinn.
• Definition: Sei S ⊂ R3 eine reguläre Fläche und f : S −→ R stetig. Dann ist
f in p differenzierbar/glatt, falls es ein lokales Koordinatensystem
ϕ : U −→ (V ∩ S)
mit p ∈ ϕ(U ) gibt, so dass f ◦ ϕ differenzierbar/glatt in p ist.
• Bemerkung: Wenn V ⊂ R3 offen ist, S ⊂ V und F : V −→ R glatt ist, so ist
f = F |S glatt.
• Lemma über Koordinatentransformationen: Sei S ⊂ R3 eine reguläre
Fläche und
ϕ : U −→ (V ∩ S)
b −→ (Vb ∩ S)
ϕ
b:U
(4)
b ) 6= ∅. Dann ist
zwei lokale Koordinatensystem mit ϕ(U ) ∩ ϕ(
bU
b ) −→ ϕ−1 ϕ(U ) ∩ ϕ(
b)
ϕ−1 ◦ ϕ
b:ϕ
b−1 ϕ(U ) ∩ ϕ(
bU
bU
ein Diffeomorphismus.
• Zum Beweis beobachtet man zuerst,
dass ϕ−1 ◦ ϕ
b in (4) Homöomorphisms ist.
∂(x,y) Wenn a ∈ U ein Punkt ist mit ∂(u,v) (a) 6= 0, so setzt man ϕ fort zur glatten
9
Abbildung
F : π −1 (U ) −→ R3
(u, v, t) 7−→ (x(u, v), y(u, v), z(u, v) + t),
wobei π : R3 −→ R2 die Projektion auf die uv-Ebene ist und x, y, z die Komponenten von ϕ sind. F ist regulär in (q, 0). Eine Anwendung des Umkehrsatzes
liefert offene Mengen V1 , V2 ⊂ R3 mit F (a, 0) = ϕ(a) ∈ V1 und (a, 0) ∈ V2 sowie
einen Diffeomorphismsus G : V1 −→ V2 so dass F ◦ G = idV1 und G ◦ F = idV2 .
Dann ist ϕ−1 ◦ ϕ
b=π◦G◦ϕ
b differenzierbar in ϕ
b−1 (ϕ(q)).
Mehr Details stehen in [dCa], S. 58–60.
• Anwendung: Sei S ⊂ R3 regulär, p ∈ S und f : S −→ R stetig. Wenn f ◦ ϕ
glatt/differenzierbar in ϕ−1 (p) so ist f ◦ ϕ
b differenzierbar in ϕ
b−1 (p). Ob f in
p differenzierbar ist hängt also nicht von der Wahl des lokalen Koordinatensystems ab.
• Definition: Sei S ⊂ R3 eine reguläre Fläche und p in S. Der Tangentialraum
an S in p ist
Tp S = dϕϕ−1 (p) (R2 ),
wobei ϕ : U −→ (V ∩ S) eine Parametrisierung von S mit p ∈ ϕ(U ) ist.
• Bemerkung: Nach dem Lemma über Koordinatentransformationen ist der
Tangentialraum an S in p unabhängig von der Wahl der Parametrisierung.
• Hinweis: Wenn man sich nicht mehr genau an den Umkehrsatz erinnert, kann
man z.B. in Kapitel 4 von [Wa2] nachsehen.
9. Vorlesung am 11.5.
• Einschub: Wenn (X, d) ein metrischer Raum ist und S ⊂ X eine Teilmenge, so
ist (S, d|S ) wieder ein metrischer Raum. Wiederholung wichtiger Grundbegriffe:
offene, abgeschlossene Teilmenge, Umgebung. Eine Abbildung f : (X, d) −→
(Y, d0 ) ist stetig genau dann, wenn für jede offene Teilmeng V ⊂ U das Urbild
f −1 (V ) ⊂ X offen ist. Man nutzt dies, um zu definieren wann eine Abbildung
einer Teilmenge von Rn - etwa einer regulären Fläche - in einen anderen metrischen Raum stetig ist.
Eine gute Quelle dazu ist [Wa2], Kapitel 1.
• Lemma: Sei S ⊂ R3 eine reguläre Fläche, V eine offene Teilmenge von R3 ,
U ⊂ R2 offen und
ϕ : U −→ (V ∩ S)
sei stetig, injektiv und dϕp sei injektiv für alle p ∈ U . Dann ist
ϕ : U −→ ϕ(U )
ein Homöomorphismus.
Der Beweis ist wieder eine Anwendung des Umkehrsatzes, s. [dCa], S. 53
(Proposition 4).
• Bemerkung: Die Tangentialräume Tp S = dϕϕ−1 (p) (R2 ) ⊂ R3 (ϕ ist eine lokale
Parametrisierung, die p trifft) und Tq S an eine reguläre Fläche in p, q ∈ S mit
p 6= q sind nicht als Untervektorräume desselben Vektorraums R3 aufzufassen.
Zum Beispiel ist es im Allgemeinen nicht sinnvoll, Tp S ∩ Tq S für p 6= q zu
betrachten.
10
• Definition: Seien S, S 0 reguläre Flächen in R3 und f : S −→ S 0 sei eine
stetige Abbildung. Dann ist f glatt, wenn dies für die Komponenten von f
gilt. f ist ein Diffeomorphismus, wenn f ein Homöomorphismus ist und die
Umkehrabbildung f −1 : S 0 −→ S glatt ist.
• Kriterium: Seien U, V ⊂ R3 offene Mengen und F : U −→ V ein Diffeomorphismus und S ⊂ U sei eine reguläre Fläche. Dann ist f = F |S : S −→ F (S)
ein Diffeomorphisms.
• Definition: Elemente des Tangentialraums Tp S sind Tangentialvektoren. Das
folgende Lemma liefert eine alternative Beschreibung von Tangentialvektoren.
• Lemma: Für jeden Tangentialvektor v ∈ Tp S gibt es eine glatte Kurve γ :
(−ε, ε) −→ S mit ε > 0 und γ(0) = p, so dass γ̇(0) = v.
Umgekehrt ist für jede differenzierbare Kurve γ : (−ε, ε) −→ S mit γ(0) = p
die Ableitung γ̇(0) ein Element von Tp S.
Man sagt, dass der Weg γ mit γ̇(0) = v ∈ Tp S den Tangentialvektor v
represäntiert. Wir schreiben [γ] = v.
• Definition: Sei f : S −→ S 0 eine glatte Abbildung. Das Differential dfp von f
bei p ist
dfp : Tp S −→ Tf (p) S 0
d v 7−→ (f ◦ γ)(t), wobei γ ein Weg ist, der v repräsentiert.
dt
t=0
• Notation: Häufig schreibt man anstelle von dfp auch Dfp oder f∗p .
10. Vorlesung am 13.5.
• Proposition: Seien S und S 0 reguläre Flächen und f : S −→ S 0 sei glatt. Sei
v ∈ Tp S und seien γ, γ̃ Kurven die v repräsentieren. Dann gilt
d d (f ◦ γ)(t) = (f ◦ γ̃)(t)
dt t=0
dt t=0
und dfp : Tp S −→ Tf (p) S 0 ist eine lineare Abbildung.
Zum Beweis wählt man lokale Parametrisierungen ϕ : U −→ (S ∩ V ) um p
und ψ : U 0 −→ (S 0 ∩ V 0 ) um f (p). Man schreibt
(5)
f ◦ γ = ψ ◦ (ψ −1 ◦ f ◦ ϕ) ◦ (ϕ−1 ◦ γ).
Wir haben schon gezeigt, dass ϕ−1 ersetzt werden kann durch eine differenzierbare Abbildung G, die auf einer Umgebung V1 von γ(0) = p in R3 definiert ist
und S ∩ V1 auf eine Teilmenge von R2 × {0} ⊂ R3 abbildet.
Dann kann man die Kettenregel auf (5) anwenden (die Abbildungen sind
so geklammert, dass man die Komposition von drei Abbildungen betrachtet,
welche auf offenen Teilmengen von R oder R2 definiert sind).
Man erhält
d −1
−1 (f (p)) ◦ d ψ
(f
◦
γ)(t)
=
dψ
◦
f
◦
ϕ
◦ dGp (γ̇(0)).
ψ
ϕ−1 (p)
dt t=0
Die rechte Seite hängt nur noch von v ab und dfp ist die Komposition linearer
Abbildungen. (Der Grund warum hier auch ψ ◦ ψ −1 eingefügt wurde, wird erst
später deutlich. Bis jetzt ist dies eigentlich nicht nötig.)
11
0
00
3
• Satz: (Kettenregel) Seien S, S sowie S reguläre Flächen in R und f :
S −→ S 0 sowie g : S 0 −→ S 00 glatt. Dann gilt für p ∈ S
d(g ◦ f )p = dgf (p) ◦ dfp
Der Beweis, dass d(g ◦ f )p (v) = dgf (p) (dfp (v)) für v ∈ Tp S erfolgt durch die
Betrachtung eines Weges γ, der v repräsentiert sowie durch die Beobachtung
dass f ◦ γ den Tangentialvektor dfp (v) repräsentiert.
• Bemerkung: Für eine lokale Parametrisierung ϕ : U −→ (S ∩ V ) um p erhält
man aus der Standardbasis von R2 die Basis
∂ϕ
∂ϕ
1
0
Xu =
= dϕϕ−1 (p)
, Xv =
= dϕϕ−1 (p)
von Tp S.
0
1
∂u
∂v
•
•
•
•
•
Hier sind u, v die kartesischen Koordinaten auf U ⊂ R2 .
Sei nun f : S −→ S 0 glatt und ψ : U 0 −→ (S 0 ∩ V 0 ) eine Parametrisierung
von S 0 um f (p). Die darstellende Matrix von dfp bezüglich der Basen ∂ϕ
, ∂ϕ
∂u ∂v
∂ψ ∂ψ
0
−1
von Tp S und ∂u
◦ f ◦ ϕ bei ϕ−1 (p).
0 , ∂v 0 von Tp S ist die Jacobimatrix von ψ
Als Beispiel haben wir Beispiel 2 auf S. 71 in [dCa] besprochen, allerdings ein
bisschen anders. Wir haben p = (x, y, z) ∈ S 2 mit z > 0 betrachtet und an
Hand der Parametrisierungen ϕ = ψ aus (3) die vorangehende Bemerkung
ausgeführt.
Definition: Sei f : S −→ S 0 eine glatte Abbildung zwischen regulären Flächen
und p ∈ S. f ist ein lokaler Diffeomorphismus bei p wenn es eine Umgebung
V1 von f (p) in S 0 , eine Umgebung V2 von p in S sowie einen Diffeomorphismus
g : V1 −→ V2 gibt, so dass f ◦ g = idV1 und g ◦ f |V2 = idV2 .
Satz: f : S −→ S 0 ist ein lokaler Diffeomorphismus genau dann, wenn dfp
bijektiv ist.
Der Beweis folgt aus dem Umkehrsatz mit Hilfe von lokalen Parametrisierungen ϕ, ψ um p, f (p). Wir haben die Einzelheiten nicht diskutiert.
Definition: Sei f : S −→ S 0 eine glatte Abbildung. p ∈ S ist ein kritischer
Punkt von f wenn dfp nicht surjektiv ist, ansonsten ist p ein regulärer Punkt.
Wenn f −1 (p0 ) einen kritischen Punkt enthält, so ist p0 ein kritischer Wert von
f , ansonsten ist p0 ein regulärer Wert.
Definition: Sei f : S −→ R eine glatte Abbildung. Das Differential dfp von f
bei p ist
dfp : Tp S −→ R
d v 7−→ (f ◦ γ)(t), wobei γ ein Weg ist, der v repräsentiert.
dt t=0
Wie oben zeigt man, dass dfp eine wohldefinierte lineare Abbildung ist.
• Als Beispiel haben wir Beispiel 1 auf S. 71 in [dCa] besprochen.
• Definition: Sei f : S −→ R eine glatte Abbildung. p ∈ S ist ein kritischer
Punkt von f wenn dfp nicht surjektiv ist (d.h. dfp = 0), ansonsten ist p ein
regulärer Punkt. Wenn f −1 (p0 ) einen kritischen Punkt enthält, so ist p0 ein
kritischer Wert von f , ansonsten ist p0 ein regulärer Wert.
• Anmerkung: Wenn f : S −→ R eine glatte Funktion so kann man jedem
Punkt in p ∈ S ein Element von Tp S ∗ (nämlich dfp : Tp S −→ R) zuordnen.
Diese einfache Tatsache ist (in allgemeinerer Form) wichtig in der theoretischen
Mechanik.
12
• Erinnerung: Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Dann ist
V ∗ := {ϕ : V −→ R , K-linear}
der Dualraum von V . V ∗ ist wieder ein K-Vektorraum. Ohne zusätzliche Daten
gibt es keinen interessanten und natürlichen Homomorphismus V −→ V ∗ . Aber
es gibt die kanonische Abbildung (Einsetzhomomorphismus)
V −→ (V ∗ )∗
v 7−→ (ϕ 7−→ ϕ(v)).
Diese Abbildung ist injektiv, K-linear und spielt eine wichtige Rolle in der
Funktionalanalysis. Wenn (V, h·, ·i) ein euklidischer R-Vektorraum ist, so erhält
man einen Isomorphismus
V −→ V ∗
ϕv : V −→ R
v 7−→
.
w 7−→ hv, wi
11. Vorlesung am 18.5.
• Erinnerung: Sei V ein R-Vektorraum der Dimension n < ∞ und seien v =
(v1 , . . . , vn ), w = (w1 , . . . , wn ) zwei geordnete Basen. v und w repräsentieren
die gleiche Orientierung, v ∼ w, wenn die lineare Abbildung F : V −→ V ,
die durch F (vi ) = wi festgelegt wird, positive Determinante hat. Dies definiert
eine Äquivalenzrelation auf der Menge B der geordneten Basen von V und B
zerfällt in genau zwei Äquivalenzklassen.
Falls n 6= 0, so ist eine Orientierung von V ist die Wahl einer solchen Äquivalenzklasse. Wenn n = 0, so ist eine Orientierung von V = {0} die Wahl einer
der Zahlen ±1. Mehr dazu steht zum Beispiel in Kapitel 3.4. von [Fi].
• Beispiel: Sei (v1 , . . . , vn ) ∈ B eine Basis von V mit n ≥ 1. Dann repräsentieren
(v1 , . . . , vn ) und (−v1 , v2 , . . . , vn ) verschiedene Orientierungen von V .
• Definition: Eine reguläre Fläche S ⊂ R3 ist orientierbar, wenn es eine Familie
(ϕi : Ui −→ (S ∩ Vi ))i∈I von lokalen Parametrisierungen von S gibt, so dass
1. ∪i∈I ϕi (Ui ) = S, d.h. die Famile überdeckt S und
2. für alle i, j ∈ I hat die Determinante der Jacobimatrix von
−1
−1
ϕ−1
i ◦ ϕj : ϕj (ϕi (Ui ) ∩ ϕj (Uj )) −→ ϕi (ϕi (Ui ) ∩ ϕj (Uj ))
überall positives Vorzeichen.
Eine Orientierung von S ist die Wahl einer solchen Familie. Zwei Orientierungen
(ϕi )i∈I und (ψj )j∈J sind gleich, genau dann wenn die Vereinigung dieser beiden
Familien auch eine Orientierung von S ist.
• Beispiel: Graphen glatter Funktionen und die 2-Sphäre S 2 = {(x, y, z) | x2 +
y 2 + z 2 = 1} sind orientierbar.
• Erinnerung: Seien v, w ∈ R3 Vektoren. Dann steht das Kreuzprodukt v × w
senkrecht auf v, w. Wenn v, w linear unabhägig sind, so ist v, w, v × w eine
Orientierung von R3 die unabhängig von der Wahl von v, w ist. (Natürlich
müssen v, w immer linear unabhängig sein.)
• Weil Tp S ⊂ R3 zweidimensional ist, gibt es genau zwei Vektoren der Länge 1, die
auf Tp S senkrecht stehen. Wenn ϕ : U −→ (S ∩V ) eine lokale Parametrisierung
13
von S mit p ∈ ϕ(U ) ist, so sind dies die Vektoren
(6)
∂ϕ
(ϕ−1 (p)) ×
∂u
Nϕ (p) = ∂ϕ
(ϕ−1 (p)) ×
∂u
∂ϕ
(ϕ−1 (p))
∂v
∂ϕ
−1 (p))
(ϕ
∂v
und − Nϕ (p).
Wenn ϕ
b eine weitere lokale Parametrisierung ist, deren Bild p enthält, so gilt
Nϕ (p) = Nϕb(p) genau dann, wenn die Jacobideterminante von
D ϕ−1 ◦ ϕ
b ϕb−1 (p)
positiv ist. Auf dieser Tatsache basiert der Beweis von folgendem Lemma.
• Lemma: Eine reguläre Fläche S ⊂ R3 ist genau dann orientierbar, wenn es
eine stetige Abbildung
N : S −→ R3
p 7−→ N (p) = ein Einheitsvektor der auf Tp S senkrecht steht
existiert. Ein solches Vektorfeld nennt man Normalenvektorfeld von S.
Zum Beweis sei (ϕi )i∈I eine Orientierung. Dann erhält man ein wohldefiniertes Normalenvektorfeld durch (6) (also p 7−→ Nϕi (ϕ−1
i (p)). Umgekehrt sei
N : S −→ R3 ein Normalenvektorfeld. Wir wählen eine Überdeckung von
S durch lokale Parametrisierungen (ϕi : Ui −→ S ∩ Vi )i∈I so dass Ui zusammenhängend ist. Wenn Nϕi (p) = −N (p), so ändert man ϕi nicht, falls
Nϕi (p) = N (p), so ersetzt man ϕi durch ϕi ◦ σ wobei σ : R2 −→ R2 ein
beliebiger Diffeomorphismus von R2 ist, der die Orientierung umkehrt (zum
Beispiel σ(u, v) = (v, u)). Dann gilt Nϕi ◦σ = N auf ganz ϕi (Ui ) (weil Ui zusammenhängend ist). Tut man dies für alle i ∈ I, so erhält man eine Orientierung
von S.
12. Vorlesung am 20.5.
• Satz: Das Möbiusband ist nicht orientierbar.
Die Beschreibung des Möbiusbandes S ⊂ R3 durch lokale Parametrisierungen
findet man auf Blatt 6, Aufgabe 3 (man braucht zwei Parametrisierungen ϕ, ϕ
b
mit jeweils zusammenhängendem Definitionsbereich). Der Definitionsbereich
von ϕ−1 ◦ ϕ
b ist nicht zusammenhängend, auf einer Komponente ist ϕ−1 ◦ ϕ
b
orientierungserhältend, auf der anderen -umkehrend. Nimmt man an dass S
orientierbar ist, so erhält man ein Normalenvektorfeld. Wendet man den Beweis
des vorangehenden Lemmas auf die Familie (ϕ, ϕ)
b an, so erhält man keine
Orientierung obwohl die Definitionsbereiche zusammenhängend waren. Dies ist
ein Widerspruch.
• Lemma: Sei f : U ⊂ R3 −→ R glatt und a ein regulärer Wert. Dann ist
S = f −1 (a) orientierbar.
Wenn ∇f das Gradientenvektorfield von f ist, so ist N (p) = ∇f /k∇f k ein
Normalenvektorfeld entlang S. Also ist S orientierbar.
• Rechenregel: Seien ϕ, ϕ
b lokale Parametrisierungen von S um p. Und v =
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
b
∂ϕ
b
b
a ∂u + b ∂v = b
a ∂ ub + b ∂bv ∈ Tp S ein Tangentialvektor. Dann gilt
∂ ub −1
∂u
b
−1
b
a
(ϕ
(p))
(ϕ
(p))
a
∂u
∂v
.
∂b
v
∂b
v
−1
−1
bb =
b
(ϕ
(p))
(ϕ
(p))
∂u
∂v
Hier ist u
b die u
b-Komponente von ϕ
b−1 ◦ ϕ.
14
• Folgerung: Mit der gleichen Notation gilt
∂ ub −1
∂ϕ
b ∂ϕ
∂ϕ ∂ϕ
b
(ϕ (p)) ∂∂vub (ϕ−1 (p))
∂u
×
= det ∂bv −1
×
.
∂b
v
(ϕ (p)) ∂v
(ϕ−1 (p))
∂u
∂v
∂b
u
∂b
v
∂u
• Definition: Sei R ⊂ S eine abgeschlossene beschränkte Teilmenge einer regulären Fläche in R3 so dass es eine lokale Parametrisierung ϕ : U −→ (S ∩ V )
gibt, mit ϕ(U ) = S. Der Flächeninhalt/die Fläche von R ist
Z
Z
∂ϕ ∂ϕ ×
dA.
(7)
A(R) =
du dv =:
∂v ϕ−1 (R) ∂u
ϕ−1 (R)
Nach der Transformationsformel (s. [Wa2], S. 247 oder [Fo3] Satz 2 in §13) ist
A(R) unabhängig von der Wahl der Parametrisierung.
13. Vorlesung am 25.5.
• Definition: Sei S ⊂ R3 eine reguläre Fläche und p ∈ S. Die erste Fundamentalform auf Tp S ist die symmetrische Bilinearform
Ip : Tp S × Tp S −→ R
(v, w) 7−→ hv, wi.
Ip ist also die Einschränkung vom Skalarprodukt von R3 auf Tp S.
• Notation: Sei ϕ : U −→ S ∩ V eine lokale Parametrisierung von V . Man
definiert drei reellwertige Funktionen E, F, G auf U durch
2
∂ϕ
E(u, v) = (u,
v)
∂u
∂ϕ
∂ϕ
(u, v),
(u, v)
(8)
F (u, v) =
∂u
∂v
2
∂ϕ
.
G(u, v) = (u,
v)
∂v
c
a
in der Basis ∂ϕ
und w =
Wenn Tp S 3 v =
(u, v), ∂ϕ
(u, v) von
∂u
∂v
d
b
Tp S (mit ϕ(u, v) = p), so gilt
T a
E F
c
Ip (v, w) =
.
b
F G
d
• Beispiel: Fläche des Torus, wie in [dCa], S. 81.
• Erinnerung: Klassifikation von symmetrischen Bilinearformen über R. (Trägheitssatz von Sylvester). Dies und die Definition von orthogonalem Komplement
findet man in [Fi], §5.5, §5.7.
b Dann ist f eine
• Definition: Seien S, Sb reguläre Flächen und f : S −→ S.
Isometrie, wenn
1. f ein glatter Homöomorphismus ist und
2. für alle glatten Kurven γ : [a, b] −→ S gilt L(γ) = L(f ◦ γ).
• Satz: Seien
ϕ : U −→ (S ∩ V )
b −→ (Sb ∩ Vb )
ϕ
b:U
15
(9)
b ) existiert genau
lokale Parametrisierungen. Eine Isometrie f : ϕ(U ) −→ ϕ(
bU
b
dann, wenn es einen Diffeomorphismsus (Reparametrisierung) r : U −→ U
gibt, so dass
b Fb
E F
E
−1 T
−1
Jac(r )
Jac(r ) =
b .
F G
Fb G
• Bemerkung: (9) beschreibt das Transformationsverhalten der darstellenden
Matrix von Ip bei Koordinatenwechseln.
14. Vorlesung am 27.5.
• Vereinbarung: Im folgenden ist S eine orientierte Fläche und N das entsprechende Normalenvektorfeld.
• Motivation für die 2. Fundamentalform: Wir betrachten den Abstand
ein Punkten der regulären Fläche S ⊂ R3 von p + Tp S und entwickeln diese
Funktion auf einer Umgebung von ϕ−1 (p) = (u0 , v0 ) in eine Taylorreihe.
Das Ergbnis ist
2
2
1
∂ ϕ
∂ ϕ
2
d(ϕ(u, v), p + Tp S) =
, N (u0 , v0 )(u − u0 ) + 2
, N (u − u0 )(v − v0 )
2
∂u2
∂u∂v
2
∂ ϕ
2
+
(u0 , v0 )(v − v0 ) , N
+ o((u − u0 )2 + (v − v0 )2 ).
∂v 2
Hier ist N = N (p) der Normalenvektor in p.
• Definition: Die zweite Fundamentalform ist die Bilinearform
IIp : Tp S × Tp S −→ R
E D 2
E 
 D 2
T
∂ ϕ
∂ ϕ
,N
,N
(10)
a
a1
∂u2
∂u∂v
2
 D 2
E D 2
E 
(w1 , w2 ) 7−→
,
∂ ϕ
∂ ϕ
b1
b
2
,
N
,
N
∂u∂v
∂v 2
+ bi ∂ϕ
, i = 1, 2.
wobei wi = ai ∂ϕ
∂u
∂v
3
• Definition: Sei S ⊂ R eine reguläre Fläche. Die Gauß-Abbildung von S ist
S −→ S 2
p 7−→ N (p) = Einheitsnomalenvektor von Tp S,
der der Orientierung von S entspricht.
⊥
• Lemma: Die Abbildung DN : Tp S −→ Tp S 2 = (N (p))⊥ = (Tp S)⊥
ist
selbstadjungiert.
Der Beweis ist eine wichtige Rechnung, s. [dCa], Proposition 1 auf S. 103.
• Lemma: Es gilt
(11)
IIp (v, w) = −hDN (v), wi.
Der Beweis ist ein Nebenergebnis des vorangehenden Beweises. Viele Lehrbücher
verwenden das Ergebnis dieses Lemma als Definition der zweiten Fundamentalform. (Sollten Sie je danach gefragt werden, dürfen Sie dies auch.)
• Definition: Sei γ : (−ε, ε) −→ S eine glatte, nach Bogenlänge parametrisierte
Kurve in S. Dann ist
κn := hγ̈(0), N (γ(0))i die Normalenkrümmung von S entlang γ
κt := hγ̈(0), γ̇(0) × N (γ(0))i die geodätische Krümmung von S entlang γ.
16
Es gilt κ2n + κ2t = κ2 := kγ̈(0)k2 . Die geodätische Krümmung wird oft auch mit
κg abgekürzt.
• Satz: Die Normalenkrümmung von γ in γ(0) ∈ S hängt nur von w = γ̇(0) ab
und es gilt in lokalen Koordinaten ϕ : U −→ S ∩ V
κn (w) = κn (γ) = e · (u̇(0))2 + 2f · (u̇(0)v̇(0)) + g · (v̇(0))2
mit den auf U definierten Funktionen
∂ϕ ∂ϕ
e = IIp
,
∂u ∂u
∂ϕ ∂ϕ
(12)
f = IIp
,
∂u ∂v
∂ϕ ∂ϕ
,
.
g = IIp
∂v ∂v
15. Vorlesung am 1.6.
• Definition: Für p ∈ S und v ∈ Tp S sei Pv = span{v, N (p)}. Dann ist Pv ∩ S
das Bild einer egulären Kurve γ. Diese Kurve ist ein Normalenschnitt.
• Proposition: Sei γ : (−ε, ε) ein nach Bogenlänge parametrisierter Normalenschnitt und γ̇(0) = v. Dann gilt κn (γ̇(0)) = IIp (v, v).
• Erinnerung: Diagonalisierung von symmetrischen Matrizen/symmetrischen
(man sagt auch selbstadjungierten) Endomorphismen, s. [Fi], §6.5 .
• Definition: DN : Tp S −→ Tp S ist symmetrisch. Die Eigenwerte κ1 , κ2 von
Tp S sind die Hauptkrümmungen. Falls κ1 6= κ2 , so heißen die Eigenvektoren
von DN Hauptkrümmungsrichtungen. Die Gauß-Krümmung von S in p ist
K = det(−DN ) = κ1 κ2 .
Man beachte det(−A) = (−1)k det(A) für (k × k)-Matrizen!
• Lemma: Sei ϕ : U −→ S ∩ V eine lokale Parametrisierung von S. Dann gilt
eg − f 2
.
EG − F 2
Hier verwendet man die Notation aus (8) und (12), s. [dCa], Kapitel 3.3. Das
Lemma folgt auch unmittelbar aus (11): Sei A = AT die darstellende Matrix
von DN . Für alle v, w ∈ Tp S gilt
E F
e f
T
T
v A
w = −v
w
F G
f g
E F
e f
Also gilt A
=−
. Wendet man die Determinante auf beide
F G
f g
Seiten dieser Gleichung an, so erhält man die gewünschte Formel.
K=
16. Vorlesung am 3.6.
• Lemma: Sei p ∈ S und ϕ : U −→ S ∩ V eine lokale Parametrisierung von S
um p. Für ε > 0 sei Uε = Bε (ϕ−1 (p)) und Vε = ϕ(Uε ). Es gilt
A(N (Vε ))
= |K(p)|.
ε→0
A(Vε )
lim
Der Beweis steht in [dCa] auf S. 125.
17
3
• Definition: Eine abgeschlossene Teilmenge B von R ist strikt konvex falls
B konvex ist und es durch jeden Punkt p ∈ ∂B eine Ebene Ep gibt, so dass
B ∩ Ep = p. Eine reguläre Fläche ist strikt konvex, wenn sie Rand einer strikt
konvexen, abgeschlossenen Teilmenge B von R3 ist.
• Lemma: Eine strikt konvexe reguläre Fläche in R3 ist diffeomorph zu S 2 .
• Satz: Für eine strikt konvexe, geschlossen Fläche S in R3 , so dass alle Punkte
von S elliptisch sind, gilt
Z
KdA = 4π.
(13)
S
• Bemerkungen:
– Hier wird S durch Normalenvektoren orientiert, welche in die unbeschränkte Komponente von R3 \ S zeigen. Der Beweis wird nächstes mal
diskutiert.
– Die Definition der linken Seite ergibt sich aus (12) (dort steht die konstante Funktion 1 vor dA.)
• Definition: Sei S ⊂ R3 regulär und p ∈ S und κ1 , κ2 die Eigenwerte von
−DNp . Dann ist p
elliptisch
falls K = κ1 κ2 > 0,
hyperbolisch falls K < 0,
parabolisch falls K = 0 und DNp 6= 0,
flach
falls DNp = 0,
umbilisch
falls κ1 = κ2 .
Referenz: [dCa], S. 107.
• Proposition: Falls p ∈ S elliptisch ist, so gibt es eine Umgebung von p in S
die ganz auf einer Seite von Tp S liegt. Falls p ∈ S hyperbolisch ist, so enthält
jede Umgebung von p in S Punkte auf beiden Seiten von Tp S.
Hier fassen wir Tp S als Hyperebene in R3 durch den Punkt p auf.
17. Vorlesung am 8.6.
• Wir diskutieren nochmals die Aussage
Z
K dA = 4π
(14)
S
für strikt konvexe reguläre Flächen die überall elliptisch1 sind (s.o.).
• Bemerkung: Wenn die Gauß-Abbildung ein Diffeomorphismus ist, so folgt
(14) aus der Transformationsformel für Integrale, denn det(DN ) = det(−DN ) =
K.
• Lemma: Falls S eine strikt konvexe Menge berandet und alle Punkte von S
elliptisch sind, dann ist die Gauß-Abbildung ein Diffeomorphismus.
• Beweis des Lemmas: N ist ein lokaler Diffeomorphismus: Dies folgt aus dem
Umkehrsatz, denn DN ist nicht ausgeartet weil det(DN ) = K 6= 0 überall.
N ist surjektiv: Sei B die kompakte Menge die S berandet. Zu gegebenem
W ∈ S 2 betrachte die Ebenen E(t) = t · W + W ⊥ und setze tW = max{t ∈
R | E(t) ∩ B 6= ∅}. Diese Teilmenge von R ist abgeschlossen weil B kompakt
ist und nicht leer weil B 6= ∅. Weil B strikt konvex ist, gilt E(tW ) ∩ B = {qW }
(d.h. diese Schnittmenge besteht aus nur einem Punkt). Wenn S durch den
Normalenvektor orientiert ist, der aus B hinaus zeigt, so gilt N (qW ) = W .
1Diese
Annahmen sind teilweise redundant, wir machen sie der Einfachheit wegen trotzdem.
18
N ist injektiv: Wir nehmen an, es gibt p, q ∈ S so dass p 6= q aber N (q) =
N (p) und wir betrachten die Ebene E durch p, q die den Vektor N (q) = N (p)
enthält. Die Schnittmenge E∩B ist strikt konvex und berandet E∩S. Weiter ist
diese Schnittmenge - nach dem Satz über implizite Funktionen - Bild einer regulären, einfachen periodischen Kurve γ : R −→ E. Wir nehmen zusätzlich an,
dass γ nach Bogenlänge parametrisiert ist. Insbesondere besteht S ∩ E ⊃ {p, q}
nicht nur aus einem Punkt (eine Situation die beim Beweis der Surjektivität
auftrat).
Aus den Annahmen folgt, dass γ̈ niemals tangential an γ ist. Also verschwindet die Krümmung κγ von γ (aufgefasst als ebene Kurve in E) niemals. Mit
Hilfe des Umlaufsatzes und (2) (auf S. 4) findet man einen Widerspruch zwischen N (p) = N (q) und der Tatsache, dass κγ niemals verschwindet.
Dieses Lemma schließt den Beweis von (14) ab.
• Beispiel: Man kann den Satz direkt verifizieren, wenn S die 2-Sphäre ist. Dann
gilt für die Gauß-Krümmung K ≡ 1 weil N = idS 2 . Weitere Flächen, die die
Annahmen des obigen Satzes erfüllen, sind die Ellipsoide {x2 /a2 + y 2 /b2 +
z 2 /c2 = 1} mit 0 < a, b, c ∈ R.
• Satz: (Theorema egregium) Die Gauß-Krümmung einer regulären Fläche
hängt nur von der ersten Fundamentalform ab.
K ist also eine Eigenschaft der inneren Geometrie von S. Den Beweis dieser
wichtigen Tatsache findet man in [dCa] auf S. 175ff (ein Teil steht auf S. 114f).
Wenn Sie (10) (S. 15) als Definition der zweiten Fundamentalform verwenden
(und nicht (11)), so vereinfacht sich ein Rechenschritt. In der Rechnung (und
anderswo) spielen folgende Größen eine wichtige Rolle.
• Definition: Sei ϕ eine lokale Parametrisierung von S und Xu = ∂ϕ
(q), Xv =
∂u
∂ϕ
(q) die entsprechende Basis von Tq S sowie N (q) das zugehörige Einheitsnor∂v
malenvektorfeld. Die Funktionen Γijk : U −→ R, i, j, k ∈ {1, 2} in folgenden
Ausdrücken sind die Christoffelsymbole:
∂Xu
∂u
∂Xu
Xuv =
∂v
∂Xv
Xvu =
∂u
∂Xu
Xvv =
∂v
= Γ111 Xu + Γ211 Xv + L1 N
Xuu =
(15)
= Γ112 Xu + Γ212 Xv + L2 N
= Γ121 Xu + Γ221 Xv + L2 N
= Γ122 Xu + Γ222 Xv + L3 N.
Es gilt Γijk = Γikj . Bildet man das Skalarprodukt von (15) mit N , so folgt nach
kurzer Rechnung L1 = e, L2 = f = L2 , L3 = g. Bildet man das Skalarprodukt
von (15) mit Xu , Xv , so erhält man eindeutig lösbare lineare Gleichungssysteme
für Γijk . Die Christoffelsymbole hängen nur von der ersten Fundamentalform ab.
• Betrachtet man die Relation (Xuu )v = (Xuv )u , so erhält man unter anderem:
(16)
K=
−1
E
Γ212
− Γ211
u
+ Γ112 Γ211 + Γ212 Γ212 − Γ211 Γ222 − Γ111 Γ212
v
Details stehen in [dCa], Kap. 4.3.
19
18. Vorlesung am 10.6.
• Definition: Eine lokale Parametrisierung ϕ von S ist orthogonal, wenn
∂ϕ ∂ϕ
F =
,
≡ 0.
∂u ∂v
• Proposition: Um jeden Punkt einer regulären Fläche existiert ein orthogonales
Koordinatensystem.
Der Beweis steht in [dCa], S. 137. Er basiert auf grundlegenden Sätzen über
gewöhnliche Differentialgleichungen, diese findet man in [WaD], insbes. in §10
und §13.
• Tatsache: In orthogonalen Koordinaten findet man folgende Formeln für Christoffelsymbole (bilde Skalarprodukte mit Xu , Xv in (15))
Eu
−Ev
Γ111 =
Γ211 =
2E
2G
G
E
u
v
Γ212 =
Γ112 =
2E
2G
−G
Gv
u
Γ122 =
Γ222 =
.
2E
2G
• Tatsache: Für die Krümmung gilt in orthogonalen Koordinaten (wegen (16))
1
∂
∂
Ev
Gu
√
√
(17)
K=− √
+
.
∂u
2 EG ∂v
EG
EG
• Tatsache: Sei ϕ : U −→ S ∩ V eine lokale Parametrisierung und γ : I −→
ϕ(U ) ein glatter Weg in S sowie Y : ϕ(U ) −→ R3 ein glattes Vektorfeld. Sei
Y (ϕ(u, v)) = a(ϕ(u, v))Xu + b(ϕ(u, v))Xu und γ(t) = (u(t), v(t)). Dann gilt
d
Y (γ(t)) = (a ◦ γ)0 (t)Xu + (b ◦ γ)0 (t)Xv
dt
+ a(γ(t))u̇(t) Γ111 Xu + Γ211 Xv + a(γ(t))v̇(t) Γ112 Xu + Γ212 Xv
+ b(γ(t))u̇(t) Γ121 Xu + Γ221 Xv + b(γ(t))v̇(t) Γ122 Xu + Γ222 Xv
+ (ein Koeffizient) · N.
Die orthogonale Projektion dieses Ausdrucks auf Tγ(t) S hängt nur von γ̇(t), Y
und der ersten Fundamentalform ab. Es gehen nur die Werte ein, die Y auf
γ(I) annimmt.
• Definition: Die kovariante Ableitung von Y entlang γ ist definiert durch
d
D
Y (γ(t)) = pr
Y (γ(t)) ,
(18)
dt
dt
wobei pr : R3 −→ Tγ(t) S die orthogonale Projektion ist.
19. Vorlesung am 15.6.
• S ist eine orientierte reguläre Fläche und N das zugehörige Normalenvektorfeld.
• Definition: Ein Vektorfeld entlang einer Kurve γ : I −→ S ist eine stetige
Abbildung W : I −→ S so daß W (t) ∈ Tγ(t) S.
Im folgenden sind γ und W stückweise glatt, und glatt auf den gleichen
Intervallen.
• Beispiel: Wenn γ : I −→ S eine glatte Kurve ist, so ist γ̇(t) ein Vektorfeld
entlang γ.
20
D
W = 0 (die
• Definition: Ein Vektorfeld entlang einer Kurve ist parallel, wenn dt
kovariante Ableitung von W entlang γ ist definiert durch die linke Seite von
(18)). Eine reguläre Kurve ist eine Geodäte, wenn γ̇(t) parallel entlang γ ist.
• Lemma: Seien V, W glatte Vektorfelder entlang γ und f : I −→ R eine glatte
Funktion. Es gilt
D
D
(f (t)V (t)) = f 0 (t)V (t) + f (t) V (t).
dt
dt
Wenn V, W parallel entlang γ sind, so folgt
d
hV (t), W (t)i = 0.
dt
(19)
Insbesondere hat ein paralleles Vektorfeld V (t) konstante Länge und Geodäten
werden mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen.
• Kriterium: Seien S, S 0 reguläre Flächen so dass γ(I) ⊂ S ∩ S 0 und Tγ(t) S =
Tγ(t) S 0 . Dann gilt
D
D0
V (t) =
V (t)
dt
dt
0
für alle Vektorfelder entlang γ. (Hier ist Ddt die kovariante Ableitung auf S 0 ).
Dieses Kriterium ist insbesondere dann nützlich, wenn S 0 lokal isometrisch zu
R2 mit der euklidischen Metrik ist.
• Beispiel: Großkreise(=Schnitte von Ebenen durch den Ursprung mit der Sphäre)
auf der Sphäre S sind Geodäten. Schnitte von S mit Ebenen die den Ursprung
nicht enthalten sind keine Geodäten.
• Notation: Sei γ eine Kurve und V ein glattes Vektorfeld entlang γ mit |V (t)| ≡
1. Dann schreibt man
D
D
V (t) =
V (t), N (γ(t)) × V (t) .
dt
dt
• Lemma: Seien V, W Vektorfelder entlang γ : I −→ S mit |V (t)| = |W (t)| ≡ 1
und ϑ : I −→ R eine Funktion, so dass W (t) = cos(ϑ(t))V + sin(ϑ)(N × V ).
Dann gilt
D
D
dϑ
W (t) =
V (t) +
.
(20)
dt
dt
dt
Der Beweis steht in [dCa] auf S. 192.
1 0
0 1
),
• Bemerkung: Wenn S die Ebene ist (mit der ersten Fundamentalform
1
γ nach Bogenlänge parametrisiert ist, W = γ̇ und V =
, so entspricht
0
(20) der Formel κγ = ϑ̇. Diese Formel ist (2) auf S. 4.
• Bemerkung: In der Situation des letzten Lemmas: Wenn V parallel entlang
von γ ist und γ nach Bogenlänge parametrisiert ist, dann folgt
(κt (t) =)κg (t) = ϑ̇(t).
Dies verallgemeinert (2).
21
20. Vorlesung am 17.6.
• Lemma: Sei ϕ eine orthogonale Parametrisierung (verträglich mit der Orientierung von S) und W : I −→ R3 ein Vektorfeld entlang γ = ϕ(u(t), v(t)) :
I −→ ϕ(U ) ⊂ S mit |W (t)| ≡ 1. Dann gilt
1
D
dϑ
W (t) = √
(21)
(Gu v̇ − Ev u̇) +
dt
dt
2 EG
Xu
Xu
√
wobei ϑ : I −→ R die Relation W (t) = cos(ϑ(t)) √
+
sin(ϑ(t))
N
×
E
E
erfüllt.
Der Beweis steht auf S. 193 in [dCa]. Nur der zweite Summand hängt von
W ab.
• Lemma: Sei γ : I −→ S eine Kurve, t0 ∈ I und W0 ∈ Tγ(t0 ) S. Dann gibt
es ein eindeutig bestimmtes Vektorfeld W (t) entlang γ das parallel ist und
W (t0 ) = W0 erfüllt. Der Definitionsbereich von W ist I.
Der Beweis steht auf S. 192f in [dCa].
• Definition: Sei γ : [0, 1] −→ S ein glatter Weg mit γ(0) = p und γ(1) = q.
Der Paralleltransport von p nach q entlang γ ist die Abbildung
ψγ : Tp S −→ Tq S , W 7−→ W (1),
wobei W (t) das parallele Vektorfeld entlang γ mit W (0) = W ist.
• Bemerkung: Aus den Eigenschaften (19) paralleler Vektorfelder folgt, dass ψγ
eine Isometrie euklidischer Vektorräume ist. Einfache Beispiele auf S 2 zeigen,
dass ψγ vom Weg abhängt, den man wählt um p und q zu verbinden.
• Bemerkung: Eine glatte Kurve γ ist genau dann eine Geodäte, wenn in einem
Koordinatensystem ϕ : U −→ S ∩ V (wir schreiben γ = ϕ(u(t), v(t))) gilt:
ü(t) = − Γ111 (u(t), v(t))u̇(t)u̇(t) + 2Γ112 (u(t), v(t))v̇(t)u̇(t) + Γ122 (u(t), v(t))v̇(t)v̇(t)
v̈(t) = − Γ211 (u(t), v(t))u̇(t)u̇(t) + 2Γ212 (u(t), v(t))v̇(t)u̇(t) + Γ222 (u(t), v(t))v̇(t)v̇(t) .
• Satz: Sei p ∈ S und 0 6= W0 ∈ Tp S. Dann gibt es ε > 0 und eine Geodäte
γ : (−ε, ε) −→ S mit γ(0) = p und γ̇(0) = W0 . Alle Geodäten stimmen mit γ
auf dem Schnitt der Definitionsbereiche überein.
• Beispiel: Man kann, wie in [dCa] (S. 195ff), das qualitative Verhalten von
Geodäten auf Rotationsflächen diskutieren. Wesentliches Ergebnis ist die Relation von Clairaut: r cos(ϑ) ist konstant entlang von Geodäten γ auf der Rotationsfläche. Hier ist r der Abstand eines Punktes von der Rotationsachse und
ϑ, der Winkel zwischen γ̇ und den Kreisen auf der Rotationsfläche.
21. Vorlesung am 22.6.
• Satz: Sei γ : R −→ R2 eine stückweise glatte, einfach geschlossene Kurve, nach
Bogenlänge parametrisiert welche ein Gebiet in R2 positiv umläuft. Sei αi der
Winkel zwischen den beiden Tangentialvektoren (links- und rechtsseitig) am
Punkt γ(ti ) wo γ nicht glatt ist
und 0 = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = L eine
Zerlegung von [0, L], so dass γ [ti ,ti+1 ] glatt ist.
Dann gilt
n−1 Z ti+1
n−1
X
X
κi (t)dt +
αi = 2π.
i=0
ti
i=0
22
Man erhält diese Aussage aus dem Umlaufsatz für glatte Kurven durch Approximation von γ durch glatte, einfach geschlossen Kurven die außerhalb immer kleiner Umgebungen nicht glatter Punkte mit γ übereinstimmen. Man
erinnere sich an (2) auf S. 4 und den Umlaufsatz (Vorlesung am 22.4.)
• Satz (lokale Version vom Datz von Gauß-Bonnet): Sei ϕ : U −→ S ∩ V
eine orthogonale Parametrisierung und γ : R −→ ϕ(U ) ein einfach geschlossener Weg, stückweise glatt, nach Bogenlänge parametrisiert so dass γ ein Gebiet
R positiv umläuft. Dann gilt
Z
n−1
n−1 Z ti+1
X
X
KdA +
αi = 2π.
(22)
kg (t)dt +
i=0
ti
R
i=1
Hier ist κg die geodätische Krümmung. Der Beweis steht auf [dCa], S.206f.
• Anwendung: Die Fläche eines geodätischen Dreiecks (d.g. die Kanten sind
Geodäten, also kg ≡ 0) in der Sphäre {x2 + y 2 + z 2 = 1} (mit Krümmung
K ≡ 1) ist β0 + β1 + β2 − π, wobei βi die Innenwinkel sind.
22. Vorlesung am 24.6.
• Definition: Eine Triangulierung einer Fläche S ist eine Familie (Ti )i∈I (I ist
die Indexmenge) von Teilmengen von S, so dass folgende Bedingungen erfüllt
sind: S
1. i∈I Ti = S.
2. Für alle i ∈ I ist Ti abgeschlossen in S und kompakt sowie homöomorph
zur Einheitskreisscheibe.
3. Der Rand ∂Ti von Ti in S ist das Bild einer stückweise glatten Kurve,
diese Kurve hat genau drei Punkte an denen sie nicht differenzierbar ist.
Diese Punkte sind die Ecken von Ti , der Abschluss der glatten Stücke
sind die Kanten. Die Mengen Ti sind Dreiecke.
4. Falls i 6= j, so ist Ti ∩ Tj entweder leer, eine gemeinsame Kante oder eine
gemeinsame Ecke.
5. Die Zerlegung (Ti )i∈I ist lokal endlich, d.h. jeder Punkt von S hat eine
Umgebung die nur endlich viele der Ti schneidet.
• Beispiel: Aus jedem kompakten, konvexen Polyeder mit endlich vielen Ecken
kann man (nachdem man die Seitenflächen in Dreiecke zerlegt) eine Triangulierung von S 2 konstruieren, so dass alle Kanten Stücke von Großkreisen sind.
• Satz: Sei (Vj )j∈J eine offene Überdeckung einer Fläche S und C1 , . . . , Ck eine
Menge paarweise disjunkter, geschlossener, glatter Kurven in S. Dann gibt es
eine Triangulierung (Ti )i∈I von S, so dass
– für alle i ∈ I gibt es ein j(i) so dass Ti ⊂ Vj(i) und
– jede der Kurven Cl ist eine Vereinigung von Kanten von Dreiecken der
Triangulierung.
Wir haben den Beweis nicht diskutiert, er steht (in etwas allgemeinerem Kontext) in [AhS], Chapter 1, §8.
• Definition: Sei R eine kompakte Teilmenge in S deren Rand ∂R in S die
Vereinigung von stückweise glatten, paarweise disjunkten Kurven C1 , . . . , Ck
ist. Dann ist die Eulercharakteristik χ(R) von R wie folgt definiert: Man wählt
eine Triangulierung wie im vorangehenden Satz (der Rand von R ist also die
Vereinigung von Kanten). Mit e, f, k bezeichnen wir die Anzahl von Ecken,
23
Flächen, Kanten in R. Man definiert
χ(R) = e − k + f.
(23)
• Bemerkung: Ist eine Kante der Schnitt Ti ∩Tj , so wird diese Kante nur einmal
gezählt obwohl sie die Kante zweier Dreiecke ist. Aus der lokalen Endlichkeit
der Triangulierung und der Kompaktheit von R folgt, dass nur endlich viele
Dreiecke R schneiden. Insbesondere sind e, f, k endlich.
• Satz von Gauß-Bonnet: Sei R ⊂ S eine kompakte Teilmenge einer orientierten Fläche, deren Rand eine endliche Vereinigung von stückweise glatten
Kurven Ci ist und deren Inneres (in S) eine reguläre Fläche ist. Die Randkurven sind orientiert als Rand von R (d.h. ein Tangentialvektor der an einer
glatten Stelle von Ci (t) aus R hinaus zeigt gefolgt von Ċi (t) ist eine orientierte
Basis von TCi (t) S). An einem nicht glatten Punkt von ∂R bezeichnet ϑbl den
Winkel (im Bogenmaß) zwischen den Geschwindigkeitsvektoren der anliegenden Kanten. Dann gilt
Z
XZ
X
ϑbl = 2πχ(R).
(24)
kg (t)dt +
KdA +
i
Ci
R
l
Im Beweis verwendet man die lokale Version des Satzes und eine Triangulierung
von R, so dass jedes der Dreiecke in einem orthogonalen Koordinatensystem
auf S liegt. Die Einzelheiten stehen in [dCa], S. 211f.
• Folgerung: Die Eulercharakteristik χ(R) hängt nicht von der Wahl der Triangulierung ab, denn der Ausdruck auf der linken Seite von (24) ist unabhängig
von der Triangulierung.
• Folgerung: Für die Sphäre gilt χ(S 2 ) = 2 (man betrachte die runde Metrik,
R = S 2 , ∂S 2 = ∅, mit K ≡ 1). Das ist der Eulersche Polyedersatz.
23. Vorlesung am 29.6.
• Satz: Sei R, R1 , R2 Teile der Fläche S die die Bedingungen des Satzes von
Gauß-Bonnet erfüllen so dass R = R1 ∪ R2 , R1 , R2 haben disjunktes Inneres
und R1 ∩ R2 ist die Vereiniung von ganzen Randkurven von R1 , R2 . Dann gilt
(25)
χ(R) = χ(R1 ) + χ(R2 ).
• Satz: Sei R ⊂ S und R0 ⊂ S 0 wie im Satz von Gauß-Bonnet und U, U 0 Umgebungen von R, R0 und ψ : U −→ U 0 ein Diffeomorphismus. Dann gilt
χ(R) = χ(R0 ).
• Beispiel: Mit Hilfe dieser beiden Aussagen kann man die Eulercharakteristik
von vielen Flächen effektiv berechnen:
χ D2 (1)) = Scheibe = 1
χ D2 (2) \ D̊2 (1)) = Kreisring = 0
χ(Torus) = 0
χ(Zylinder) = 0
• Korollar: Es gibt keinen Diffeomorphisms zwschen S 2 und Torus (beides sind
geschlossene Flächen).
• Satz (Jordanscher Kurvensatz): Das Komplement einer einfach geschlossene Kurve γ in S 2 hat genau zwei Wegzusammenhangskomponenten, jeder
Punkt auf der Kurve hat eine Umgebung die von γ in genau zwei Teile zerlegt
wird die zu verschiedenen Komponenten von S 2 \ γ gehören.
24
Das Bild einer injektiven steigen Abbildung γ : [0, 1] −→ S 2 hat zusammenhängendes Komplement, jeder Punkt von γ((0, 1)) hat eine Umgebung die
von γ in genau zwei Teile geschnitten wird. γ(0), γ(1) haben keine solche Umgebung.
Einen transparenten Beweis für Polygonzüge anstelle stetiger Kurven findet
man auf S. 14f in [Os].
• Definition: Ein Netzwerk auf S 2 besteht aus einer endlichen Teilmenge E 6= ∅
von S 2 (den Ecken) und einer endlichen Menge von Kurven γi : [0, 1] −→
S 2 , i = 1, . . . , k, (den Kanten) mit folgenden Eigenschaften.
– γi (0,1) ist injektiv,
– γi (0), γi (1) ∈ E und
– γi ((0, 1)) ∩ γj ((0, 1)) = ∅ falls i 6= j.
• Polyedersatz von Euler: Sei (E, (γi )) ein Netzwerk auf S 2 , c die Anzahl der
Zusammenhangskomponenten von Γ = ∪i γi ([0, 1]), |E| = e und f die Anzahl
der Zusammenhangskomponenten von S 2 \ Γ. Dann gilt
e − k + f = 1 + c.
Der Beweis erfolgt mit Induktion nach der Anzahl von Kanten. Hilfreich ist
der Begriff der freien Ecke: Eine Ecke x eines Netzwerks ist frei genau dann
wenn es nur eine Kante gibt, die von x ausgeht und nur einer der Endpunkte
dieser Kante x ist. Man zeigt zuerst, dass ein Netzwerk welches keine freie Ecke
hat einen Zykel hat (ein Zykel ist eine Teilmenge γi1 , . . . , γim der Kanten so
dass ∪j=1,...,m γij ([0, 1]) Bild eines geschlossenen Weges ist).
Der Induktionsanfang ist offensichtlich, im Induktionsschritt gibt es Kanten. Es gibt zudem eine freie Ecke (die man mitsamt der anliegenden Kante
entfernen kann) oder einen Zykel. Wenn γ eine der Kanten ist und Teil eines
Zykels erhält man wieder ein Netzwerk mit weniger Kanten. Der Jordansche
Kurvensatz wird gebraucht um zu sehen wie sich f in diesem Prozess ändert.
• Definition: Ein Vektorfeld Y mit Singularitäten auf einer Fläche S ist eine
stetige Abbildung
Y : S \ {p1 , . . . , pk } −→ R3
p 7−→ Y (p) ∈ Tp S.
Die Definitionslücken p1 , . . . , pk von Y sind die Singularitäten.
• Konvention: Man darf annehmen, dass Y normiert ist.
• Definition: Sei p Singularität eines Vektorfelds mit isolierten Singularitäten
auf einer Fläche, ϕ : U −→ S ein Koordinatensystem um p so dass p die einzige
Singularität in ϕ(U ) ist und U konvex ist. Wir betrachten einen geschlossenen
Weg γ, der p genau einmal positiv umläuft (bezüglich der Orientierung von
ϕ(U ) die durch die Karte gegeben ist) und Periode 2π hat. Es gibt eine stetige
Funktion ϑ : [0, 2π] −→ R so dass ϑ der Winkel zwischen Y (γ(t)) und Xu ist
(gemessen von Xu aus in Richtung Xv , wenn Xv = Y dann ist der Winkel also
positiv). Der Index von p ist
ind(Y, p) :=
1
(ϑ(2π) − ϑ(0)).
2π
• Erinnerung: Existenz von ϑ, s. Lemma 1 am 22.4.
25
24. Vorlesung am 1.7.
• Lemma: ind(Y, p) ist wohldefiniert.
• Beweis: Zuerst: ind(Y, p) ist eine ganze Zahl, denn ϑ(2π) und ϑ(0) ist der
Winkel (wohldefiniert. bis auf 2π) zwischen Xu und Y am gleichen Punkt.
– Unabhängigkeit von der Wahl von ϑ: ϑ ist wohldefiniert bis auf ganzzahlige Vielfache von 2π, die Differenz ϑ(2π) − ϑ(0) ist also unabh. von
dieser Wahl.
– Unabh. von der Wahl von γ: Seien γ0 , γ1 zwei Kurven in ϕ(U ) wie in
der Definition. Nach Ergebnissen aus der Vorlesung Funktionentheorie
(s. Anhang A von Kapitel 4 in [FrB]) sind γ0 , γ1 homotop , d.h. es gibt
eine stetige Abbildung H : [0, 1] × [0, 2π] −→ ϕ(U ) \ {p} mit H(0, t) =
γ0 (t), H(1, t) = γ1 (t), H(s, 0) = H(s, 2π) für alle s ∈ [0, 1], t ∈ [0, 2π].
Weil [0, 1]×[0, 2π] konvex ist, gibt es eine Funktion ϑ : [0, 1]×[0, 2π] −→ R
so dass ϑ(s, t) der Winkel zwischen Xu (H(s, t)) und Y (H(s, t)) ist. Dann
ist ϑ(s, 2π) − ϑ(s, 0) stetig in s und ganzzahlig, also konstant. Daher
ϑ(0, 2π) − ϑ(0, 0) = ϑ(1, 2π) − ϑ(1, 0).
Der Index ist unabh. von der Wahl von γ.
– Unabh. von der Wahl von ϕ: Seien ϕ0 , ϕ1 Karten wie in der Definition
(mit Definitionsbereich U0 , U1 ). Wir nehmen an, dass ϕ−1
0 ◦ ϕ1 positive
Determinante in ϕ−1
(p)
hat.
Wir
wählen
γ
so
dass
diese
Kurve eine
1
Scheibe B 3 p in ϕ0 (U0 ) ∩ ϕ1 (U1 ) berandet. Sei α : [0, 2π] −→ R eine
stetige Funktion, so dass α(t) der Winkel zwischen Xu0 und Xu1 ist (von
Xu0 aus gemessen). Dann wählen wir ϑ0 , ϑ1 so dass ϑ0 − ϑ1 = α.
Weil γ nullhomotop in B (nicht in B \ {p}) ist, gibt es eine Homotopie
H : [0, 1] × [0, 2π] −→ B so dass H(0, t) = γ(t), H(1, t) = γ(0) und
H(s, 0) = H(s, 2π) für alle s, t. Dann existiert eine stetige Funktion A :
[0, 1] × [0, 2π] −→ R so dass A(0, 0) = α(0) (also A(0, t) = α(t) für t ∈
[0, 2π]) und A ist der Winkel zwischen Xu0 (H(s, t)) und Xu1 (H(s, t))).
Dann folgt wie oben α(2π) − α(0) = A(0, 2π) − A(0, 0) = A(1, 2π) −
A(1, 0) = 0 denn A(1, t) ist konstant. Also
(ϑ1 (2π) − ϑ1 (0))−(ϑ0 (2π) − ϑ0 (0)) = −α(2π) + α(0)
= −A(0, 2π) + A(0, 0) = 0.
Um den Fall zu betrachten, dass ϕ0 und ϕ1 in Tp S verschiedene Orientierungen erzeugen, genügt es, die zwei Karten ϕ : U −→ S und
ϕ
b = ϕ ◦ σ : σ(U ) −→ S zu betrachten. Man wählt γ(t), ϑ(t) wie in
b = −ϑ(2π − t)
der Definition zu ϕ. Dann ist γ
b(t) = γ(2π − t) und ϑ(t)
eine zulässige Wahl für die Indexbestimmung in ϕ.
b
• Satz (Poincaré-Hopf ): Sei S eine geschlossene Fläche (kompakt, ohne Rand)
und Y ein Vektorfeld mit isolierten Singularitäten p1 , . . . , pm auf S. Dann gilt
X
(26)
ind(Y, pi ) = χ(S).
i
• Korollar: χ(S) ist (zumindest für geschlossene Flächen, aber tatsächlich für
alle kompakten Flächen mit Rand z.B. R im Satz von Gauß-Bonnet.) von der
Wahl der Triangulierung unabhängig.
• Korollar: Weil χ(S 2 ) = 2 6= 0 gibt es auf S 2 kein Vektorfeld ohne Nullstellen.
(Das ist der sogenannte Satz vom Igel.)
26
• Beispiel: Es gilt χ(T orus) = 0. Weil der Torus eine Rotationsfläche ist, gibt
es ein Vektorfeld ohne Nullstellen(=Singularitäten).
• Beweis des Satzes von Poincaré-Hopf: 1. Teil: Es gibt ein Vektorfeld mit
isol. Sing. so dass (26) gilt.
Sei (Ti ), i eine Triangulierung von S. Dann gilt nach Definition χ(S) = e −
k + f wobei e, k und f die Anzahl der Ecken, Kanten und Dreiecke ist. Wir
wählen ein Vektorfeld mit einer Singularität/Nullstelle
– in jeder Ecke, mit Index 1,
– im Mittelpunkt jeder Kante, mit Index −1,
– in einem Punkt im Inneren jedes Dreiecks, von Index 1.
Die folgende Skizze zeigt ein solches Vektorfeld auf der Umgebung eines Dreiecks (die Singularitäten sind die dicken Punkte, die Kanten sind die dicken
Linien).
Abbildung 1. Y in einem Dreieck Ti
• Anmerkung: Auf Blatt 10, Aufg 3 und 4 diskutiert man Geodäten in der
hyperbolischen Ebene. Einen kurzen Überblick findet man in Kapitel 10 von [S].
Dort stehen weitere Literaturhinweise. Wenn Sie etwas abenteuerlustiger sind
können Sie das erste Kapitel von [Th] lesen (im Wesentlichen eine Sammlung
von Aufgaben).
Möbiustransformationen (zum Beispiel die Isometrien die in diesen Aufgaben
auftreten) spielen eine wichtige Rolle in der Funktionentheorie (Stichworte sind
Lemma von Schwarz, Automorphismen der oberen Halbebene, s. zum Beispiel
[FiL], Kapitel 9, §2 und §3).
25. Vorlesung am 6.7.
• Notation: Wenn Y eine Teilmenge des topologischen/metrischen Raumes X
ist, so bezeichnet Op(Y ) irgendeine offene Umgebung von Y in X. (Op steht
für opening.
• Beweis des Satzes von Poincaré-Hopf: 2. Teil: Gegeben seien zwei Vektorfelder Y, Y 0 mit isolierten Singularitäten auf S. Wir wollen zeigen, dass
X
X
(27)
ind(Y, p) −
ind(Y 0 , p0 ) = 0.
p Sing. von Y
p0 Sing. von Y 0
Wir betrachten (vorerst) nur den Fall das S orientiert ist und wir wählen eine
Triangulierung (Ti )i von S so dass alle Singularitäten im Inneren von Dreiecken liegen und jedes der Dreiecke Ti höchstens eine Singularität von Y und
27
0
höchstens eine Singularität von Y enthält. Nachdem man eventuell weitere
Punkte aus dem Definitionsbereich entfernt darf man annehmen, dass jedes
Dreieck Ti genau eine Singularität pi von Y und eine Singularität p0i von Y 0
enthält. Weil S kompakt ist, hat man eine endliche Zahl von Dreiecken. Wir
betrachten Ti .
Um ind(Y, pi ) zu berechnen benutzen wir eine Kurve γi , die den Rand von
Ti parametrisiert (orientiert als Rand von Ti ). Wir nehmen an, dass γi einfach
geschlossen mit Periode 2π ist. Dass Ti ein Dreieck ist, bedeutet, dass es einen
orientierungserhaltenden Diffeomorphismus ψi : Op(Dreieck in R2 ) −→ Op(Ti )
mit ψi (Dreieck) = Ti gibt. Insbesondere ist γi eine Kurve in einem Koordinatengebiet.
Sei ϑi : [0, 2π] −→ R, t 7−→ ϑi (t), der Winkel zwischen Y (γi (t)) und Xu (γi (t)),
analog wählt man ϑ0i . Dann gilt
1
ind(Y, pi )−ind(Y 0 , p0i ) =
(ϑi (2π) − ϑi (0)) − (ϑ0i (2π) − ϑ0i (0))
2π
1
=
(βi (2π) − βi (0))
2π
1
=
(βi (2π) − βi (t2 )) + (βi (t2 ) − βi (t1 )) + (βi (t1 ) − βi (0)) .
2π
Hier ist βi : [0, 2π] −→ R, t 7−→ β i (t), der
Winkel
zwischen Y (γi (t)) und
Y 0 (γi (t)), d.h. βi = ϑi − ϑ0i und γi [0,t1 ] , γi [t1 ,t2 ] , γi [t2 ,2π] parametrisieren die
Kanten von ∂Ti (insbes. ist γi (0) eine Ecke). Diese Differenz ist unabhängig
von der Wahl von ϑi , ϑ0i .
Man kann also die Summe auf der linken Seite von (27) durch eine Summe
über alle Dreiecke ersetzen, und diese Summe dann schreiben als Summe über
die Kanten von Ti . Jede Kante grenzt an genau zwei Dreiecke (weil S geschlossen
ist), kommt also zweimal in in der Summe vor, allerdings mit verschiedenen
Vorzeichen (weil die jede Kante in verschiedene Richtungen durchlaufen wird
wenn man sie als Teil des Randes der anliegenden beiden Dreiecke betrachtet).
Dies zeigt (27) wenn S orientierbar ist.
• Bemerkung: Wenn S eine geschlossene, reguläre Fläche in R3 ist, dann zerfällt
das Komplement in genau zwei Zusammenhangskomponenten, genau eine davon hat kompakten Abschluss in R3 (das ist eine Verallgemeinerung des Jordanschen Kurvensatzes auf höhere Dimension). Insbesondere gibt es ein Normalenvektorfeld N zu S welches überall nach außen zeigt. Daher ist jede reguläre
geschlossene Fläche in R3 orientierbar. (Die Vorlesung am 18.5 behandelt Orientierungen regulärer Flächen.)
• Wir diskutieren jetzt den Begriff Fläche im Gegensatz zu regulärer Fläche in
R3 . Letztere wurden definiert in der Vorlesung am 29.4.
• Definition: Eine Fläche/2-dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein parakompakter topologischer Raum Σ der die Hausdorffeigenschaft hat so dass es eine
Familie (ein Atlas) (ϕi )i von Homöomorphismen ϕi : Ui ⊂ R2 −→ ϕi (Ui ) ⊂ Σ
(die Karten)
zwischen offenen Mengen gibt, so dass
S
1. i ϕi (Ui ) = S und
2. falls ϕi (Ui ) ∩ ϕj (Uj ) 6= ∅, so ist
−1
−1
ϕ−1
j ◦ ϕi : ϕi (ϕi (Ui ) ∩ ϕj (Uj )) −→ ϕj (ϕi (Ui ) ∩ ϕj (Uj ))
glatt (Definitions- und Bildbereich sind offene Teilmengen von R2 ).
28
Wenn ein topologischer Raum durch Bilder von Homöomorphismen wie oben
überdeckt werden kann, so ist X lokal Euklidisch. Die Fläche/Mannigfaltigkeit
ist dann Σ zusammen mit einem Atlas für Σ.
• Bemerkung: Wenn Sie die Definition einer Riemannschen Fläche wissen wollen: Ersetze oben glatt durch holomorph und R2 durch C. Wenn Sie andere
Dimensionen wollen, ersetzen Sie R2 durch Rn für eine andere natürliche Zahl.
Per Konvention ist die leere Menge eine Mannigfaltigkeit jeder Dimension (auch
negativ).
• Definition: Sei X eine Menge. Eine Topologie O auf X ist eine Teilmenge der
Potenzmenge P(X) )die Elemente von O sind die offenen Mengen) so dass
1. ∅, X ∈ O,
2. beliebige Vereinigungen offener Mengen sind offen,
3. der Schnitt zweier offener Mengen ist offen.
Eine Abbildung zwischen topologsichen Räumen (X, OX ) −→ (Y, OY ) ist stetig
wenn Urbilder offener Mengen offen sind.
• Beispiel: Wenn (X, d) ein metrischer Raum ist, dann ist
O = {U ⊂ X | für alle u ∈ U gibt es ε > 0 so dass aus d(x, y) < ε folgt y ∈ U }
die von d induzierte Topologie. Eine andere Topologie auf einer Menge X 6= ∅
ist Otriv = {∅, X}.
• Definition: Ein topologischer Raum (X, O) ist Hausdorff, wenn für je zwei
Punkte x 6= y ∈ X offene Mengen Ux , Uy existieren so dass
x ∈ Ux , y ∈ Uy und Ux ∩ Uy = ∅.
• Bespiel: Metrische Räume sind Hausdorff, (X, Otriv ) ist nicht Hausdorff wenn
|X| ≥ 2.
• Bemerkung: Man kann die Bedingung Hausdorff in der obigen Definition nicht
weglassen, sie folgt nicht aus den anderen Eigenschaften.
• Definition: Ein topologischer Raum (X, O) ist kompakt, wenn jede offene
Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung hat. Genauer: Für jede Familie
offener Teilmengen (Ui )i∈I mit ∪i Ui = X gibt es eine endliche Teilmenge
{i1 , . . . , iN } ⊂ I so dass Ui1 ∪ . . . ∪ UiN = X.
• Definition: Ein topologischer Raum heißt σ-kompakt, wenn es Familie K1 ⊂
K2 ⊂ K3 . . . kompakter Mengen gibt, so dass ∪i Ki = X.
• Definition: Ein topologischer Raum ist parakompakt, wenn für jede offene
Überdeckung (Ui )i∈I von X eine offene Überdeckung (Vλ )λ∈Λ von X existiert,
so dass
– jeder Punkt von X hat eine Umgebung, die nur endlich viele der Mengen
Vλ nicht trivial schneidet (lokal endlich), und
– für alle λ ∈ Λ gibt es i(λ) ∈ I so dass Vλ ⊂ Ui(λ) (Verfeinerung).
In Worten: Jede offene Überdeckung hat eine lokal endliche Verfeinerung.
• Bemerkung: Kompakte Räume parakompakt.
26. Vorlesung am 8.7.
• Definition: Sei X ein topologischer Raum und x ∈ X. Eine Umgebung U von
x ist eine Teilmenge von X, die eine offene Menge V mit x ∈ V enthält.
• Warnung: Manche Autoren fordern, dass parakompakte Räume Hausdorff
sind, andere nicht. Das analoge Problem gibt es bei kompakt und lokal-kompakt.
29
(Ein Raum ist lokal kompakt, wenn für alle x jede Umgebung von x eine kompakte Umgebung von x enthält.)
• Definition: Sei O eine Topologie auf X. Eine Teilmenge B ⊂ O ist eine Basis
von O wenn jede offene Teilmenge die Vereinigung von Mengen aus B ist.
• Beispiel: Sei (X, d) ein metrischer Raum. Die Mengen
B(x, ε) = {y ∈ X | d(x, y) < ε}
mit x ∈ X und ε > 0 bilden eine Basis der von der Metrik induzierten Toplogie.
• Definition: Ein topologischer Raum (X, O) erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom wenn O eine Basis hat, die aus abzählbar vielen offenen Mengen besteht.
• Beispiel: Wenn im letzten Beispiel X = Rn ist, dann ist die Menge der Bälle
mit Mittelpunkten in Qn und rationalen Radien eine abzählbare Basis der Topologie.
• Bemerkung: Die folgenden Implikationen sind nicht trivial. Für einige davon
würde ich Sätze (von Bing-Nagata-Smirnov/Urysohn, s. [Qu]) verwenden, die
Kriterien dafür liefern, wann eine Topologie von einer Metrik stammt (sowie
die Tatsache, das metrische Räume parakompakt sind). Es gilt:
X σ-kompakt + Hausdorff ⇒ X parakompakt
Xparakompakte Mannigfaltigkeit (insbes. Hausdorff) ⇒ X σ-kompakt +2. Abz.axiom
X mit 2. Abz.axiom, lokal Euklidisch und Hausdorff ⇒ X ist parakompakt.
Man kann also in der Definition von Flächen/Mannigfaltigkeiten parakompakt
durch σ-kompakt oder das zweite Abzählbarkeitsaxiom ersetzen.2
• Beispiel: Wir definieren eine Fläche RP2 .
RP2 ist die Menge der Geraden in R3 durch den Ursprung. Dies ist die Menge
der Äquivalenzklassen von R3 \ {0} bezüglich einer Äuivalenzrelation:
RP2 = R3 \ {0}/ ∼
mit (x, y, z) ∼ (x0 , y 0 , z 0 ) ⇔ ∃λ ∈ R : λ(x, y, z) = (x0 , y 0 , z 0 ).
Für Elemente [(x, y, z)] ∈ RP2 schreibt man [x : y : z] (homogene Koordinaten).
Die Topologie auf RP2 ist die Quotiententopologie, d.h. die Topologie die die
Quotientienabbildung π : R3 \ {0} −→ RP2 zu einer stetigen Abbildung macht
und maximal ist unter allen Topologien mit dieser Eigenschaft, also
ORP2 = {U ⊂ RP2 | π −1 (U ) ist offen in R3 \ {0}}.
Diese Topologie ist Hausdorff: Seien [x : y : z] 6= [x0 : y 0 : z 0 ] ∈ RP2 und
α ∈ (0, π) der Winkel zwischen den Geraden γ(x, y, z) durch 0 und (x, y, z)
und der Geraden γ(x0 , y 0 , z 0 ) durch 0 und (x0 , y 0 , z 0 ). Dann sind
n
α o
U = π (u, v, w) ∈ R3 \ {0} der Winkel zwischen γ(x, y, z) und γ(u, v, w) ist kleiner als
2 o
n
α
U 0 = π (u, v, w) ∈ R3 \ {0} der Winkel zwischen γ(x0 , y 0 , z 0 ) und γ(u, v, w) ist kleiner als
2
offene disjunkte Umgebungen von [x : y : z] und [x0 : y 0 : z 0 ].
RP2 ist parakompakt: Die Einschränkung von π auf S 2 zeigt, dass RP2 kompakt ist als stetiges Bild einer kompakten Menge.
2Bei
Riemannschen Flächen kann man diese Bedingung sogar ganz weglassen (aber nicht sonst)!
Das ist ein Theorem von Rado.
30
Wir betrachten die Abbildung
ϕz : R2 −→ RP2
(u, v) 7−→ [u : v : 1].
Dies ist die Komposition von
t : R2 −→ {z = 1} ⊂ R3 \ {0}
(u, v) 7−→ (u, v, 1)
mit der Quotientenabbildung π, die Umkehrung von t nennen wir pr (beide
sind Homömorphismen).
Diese Abbildung ist injektiv, denn durch jeden Punkt in R3 \ {0} geht genau
eine Gerade durch den Ursprung. Alternativ: Sei ϕz (u, v) = ϕz (u0 , v 0 ). Dann
gibt es λ ∈ R so dass (u, v, 1) = λ(u0 , v 0 , 1). Also folgt λ = 1 und (u, v) = (u0 , v 0 ).
Die Abbildung ϕz ist stetig: Sei U ⊂ RP2 offen. Dann gilt
−1
−1
−1
−1
ϕ−1
z (U ) = (π ◦ t) (U ) = t (π (U )) = pr({z = 1} ∩ π (U ))
2
2
Die Umkehrabbildung ϕ−1
z : ϕz (R ) −→ R ist stetig, d.h. ϕz bildet offene
2
Mengen auf offene Mengen ab: Sei V ⊂ R offen. Dann ist
π −1 (ϕz (V )) = alle Punkte die auf einer Geraden durch t(V ) liegen.
Diese Menge ist offen. Wir haben bis jetzt gezeigt, dass ϕz ein Homöomorphisms
auf sein Bild ist. Das Bild von ϕz besteht aus den Punkten [x : y : z] ∈ RP2 wo
z 6= 0.
Analog zur Definition von ϕz definiert man
ϕx : R2 −→ RP2
(u, v) 7−→ [1 : u : v]
ϕy : R2 −→ RP2
(u, v) 7−→ [u : 1 : v].
Die Bilder dieser Abbildung überdecken ganz RP2 (denn mindestens eine Koordinate in [x : y : z] ist nicht Null). Es gilt weiter
ϕ−1
ϕz (R2 ) ∩ ϕy (R2 ) = {v 6= 0} ⊂ R2
z
ϕ−1
ϕz (R2 ) ∩ ϕy (R2 ) = {v 6= 0} ⊂ R2
z
Der Koordinatenwechsel ϕ−1
z ◦ ϕy ist also
ϕ−1
z
◦ ϕy (u, v) =
ϕ−1
z ([u
: 1 : v]) =
ϕ−1
z
u 1
u 1
: :1
=
,
.
v v
v v
Der Koordinatenwechsel ist also glatt. Wir haben gezeigt, dass {ϕx , ϕy , ϕz } ein
Atlas für RP2 ist.
• Definition: Zwei Atlanten A, A0 für eine Fläche sind äquivalent, falls A ∪ A0
auch ein Atlas für die Fläche ist.
• Definition: Eine Fläche (Σ, A) ist orientierbar, falls es einen Atlas Aor gibt,
so dass
– A und Aor äquivalent sind und
– alle Koordinatenwechsel in Aor haben überall positive Jacobi-Determinante.
Zwei Orientierungen Aor , A0or einer Fläche sind äquivalent, wenn Aor ∪ A0or
wieder eine Orientierung ist.
31
3
• Beispiel: Für Flächen, die reguläre Flächen in R sind, stimmen beide Orientierungsbegriffe überein.
• Beispiel: RP2 ist nicht orientierbar, denn wenn man aus RP2 eine abgeschlossene Scheibe entfernt erhält man eine Fläche die diffeomorph zum Möbiusband
ist.
27. Vorlesung am 13.7.
• Erinnerung: Wir haben letztes Mal die Fläche RP2 diskutiert, insbesondere
gibt es eine stetige Abbildung
S 2 ,→ R3 \ {0} −→ RP2 = R3 \ {0} ∼
(x, y, z) 7−→ (x, y, z) 7−→ [x : y : z].
Jeder Punkt in RP2 hat genau zwei Urbilder in S 2 . Sobald wir definiert haben,
wann eine Abbildung zwische Flächen glatt ist, wird klar sein, dass diese Abbildung glatt (und ein lokaler Diffeomorphismus) ist. S 2 ist orientierbar, RP2
nicht.
• Beispiel: Ähnlich zum Vorgehen im Fall von RP2 erhält man den Zylinder als
Quotienten von R × (−1, 1):
(28)
R × (−1, 1) −→ Z = R × (−1, 1) ∼Z
wobei (x, y) ∼Z (x0 , y 0 ) genau dann wenn x − x0 ∈ 2Z und y = y 0 . Mit der
Quotiententopologie ist Z ein Hausdorffraum, man findet leicht eine kompakte
Ausschöpfung von Z durch Bilder von [−n, n]×[−1+1/n, 1−1/n], n ∈ Z, unter
der Quotientenabbildung. Karten für Z erhält man durch Einschränkung der
Quotientenabbildung (28) auf offene Teilmengen von R × (−1, 1) die höchstens
einen Repräsentanten jeder Äquivalenzklasse enthalten (d.h. hinreichend kleine
Teilmengen). Wählt man den Atlas aus solchen Karten, so sind die Kartenwechsel übgrigens alle Einschränkungen von Translationen und insbesondere glatt
(und orientierungserhaltend).
Eine Variation auf dieses Beispiel liefert das Möbiusband: Man ersetzt die
Äquivalenzrelation ∼Z durch ∼M wobei
0
(x, y) ∼M (x0 , y 0 ) ⇔ x − x0 ∈ Z und y = (−1)x−x y 0 .
Wählt man als Karten nur Einschränkungen der Quotientenabbbildung R ×
(−1, 1) −→ M auf hinreichend kleine offene Teilmengen von R × (−1, 1) wie
oben, so sind die Kartenwechsel Einschränkungen von Translationen und Spiegelungen an der x-Achse (und Kompositionen davon), also wieder glatt.
Die folgende Abbildung ist wohldefiniert, stetig, glatt und jeder Punkt [(x, y)]M
in M hat genau zwei Urbilder (nämlich [(x, y)]Z und [(x + 1, −y)]Z ):
Z −→ M
[(x, y)]Z 7−→ [(x, y)]M .
Der Zylinder ist orientierbar, das Möbiusband dagegen nicht.
• Beispiel: Auf R2 kann man folgende Äquivalenzrelation betrachten:
(x, y) ∼T (x0 , y 0 ) ⇔ x − x0 ∈ 2Z und y − y 0 ∈ Z.
Der Quotient T 2 = R2 ∼T ist homöomorph zum Torus (sogar diffeomorph).
Insbes. ist T orientierbar. Letzteres folgt auch durch folgende Wahl eines Atlas
für T : Wir nehmen als Karten nur Einschränkungen der Quotientenabbildung
32
R2 −→ R2 / ∼T = T 2 auf offene Teilmengen die höchstens einen Repräsentanten
pro Äquivalenzklasse in T enthalten. Die Kartenwechsel sind Einschränkungen
von Translationen auf offene Teilmengen in R2 . Die Jacobi-Determinante einer
Translation ist ≡ 1 > 0.
Wir betrachten nun folgende Äquivalenzrelation ∼K auf R2 :
0
(x, y) ∼K (x0 , y 0 ) ⇔ x − x0 ∈ Z und y − (−1)x−x y 0 ∈ Z.
Wie in allen vorangehenden Fällen erhält man einen Atlas aus Karten, die Einschränkungen der Quotientenabbildung R2 −→ R2 / ∼K = K 2 auf hinreichend
kleine offene Mengen sind. Die resultierende Fläche ist die Kleinsche Flasche.
Das Bild der Einschränkung der Quotientenabbildung R2 −→ K 2 auf R ×
(−1/2, 1/2) ist ein Möbiusband, insbesondere ist K 2 nicht orientierbar. Die
Abbildung
T 2 −→ K 2
[(x, y)]T 7−→ [(x, y)]K
ist wohldefiniert, stetig, glatt und jeder Punkt [(x, y)]K in K 2 hat genau zwei
Urbilder (und zwar [(x, y)]T , [(x + 1, −y)]T ) in T 2 .
• Definition: Sei Σ eine Fläche mit Atlas A und f : Σ −→ R stetig. f ist glatt
auf einer Umgebung von p, wenn für eine Karte ϕ : U −→ ϕ(U ) ⊂ Σ aus A
mit p ∈ ϕ(U ) die Abbildung f ◦ ϕ glatt auf einer Umgebung von ϕ−1 (p) ist.
• Bemerkung: Dies ist unabhängig von der Wahl von ϕ.
b Flächen und f : Σ −→ Σ
b stetig. f ist glatt auf einer
• Definition: Seien Σ, Σ
Umgebung von p wenn es Karten
ϕ : U −→ ϕ(U ) ⊂ Σ
b −→ ϕ(
b) ⊂ Σ
b
ϕ
b:U
bU
b ), so dass
gibt (aus fixierten Atlanten) mit p ∈ ϕ(U ) und f (p) ∈ ϕ(
bU
ϕ
b−1 ◦ f ◦ ϕ
glatt auf einer Umgebung von ϕ−1 (p) ist.
• Bemerkung: Dies ist unabhängig von der Wahl von ϕ und ϕ.
b
• Definition: Sei Σ eine Fläche, p ∈ Σ und γ0 , γ1 : (−ε, ε) −→ Σ stetig mit
γ(0) = p und ε > 0 beliebig klein. Dann ist γ0 , γ1 glatt, wenn es eine Karte
ϕ : U −→ ϕ(U ) 3 p (aus einem fixierten Atlas) gibt, so dass ϕ−1 ◦ γ0 , ϕ−1 ◦ γ1
glatt ist.
Zwei glatte Kurven γ0 , γ1 wie oben sind äquivalent, wenn
d d −1
ϕ ◦ γ0 (t) = ϕ−1 ◦ γ1 (t).
dt t=0
dt t=0
Der Tangentialraum Tp Σ an Σ in p ist die Menge der Äquivalenzklassen [γ]
glatter Kurven mit γ(0) = p.
• Definition/Lemma: Tp Σ wird zu einem R-Vektorraum durch
a · [γ] = [t 7−→ γ(at)]
[γ] + [η] = t 7−→ ϕ ϕ−1 (γ(t)) + ϕ−1 (η(t)) − ϕ−1 (p) .
33
b Flächen und F : Σ −→ Σ
b glatt sowie p ∈ Σ. Das
• Definition: Seien Σ, Σ
Differential DFp von F in p ist
b
DFp : Tp Σ −→ TF (p) Σ
[γ] −→ [F ◦ γ].
Diese Abbildung ist wohldefiniert und linear.
• Bemerkung: Die Kettenregel D(F ◦ G)p = DFG(p) ◦ DGp ist offensichtlich.
28. Vorlesung am 15.7.
• Definition: Eine Riemannsche Metrik auf einer Fläche Σ ist eine Abbildung
g : Σ −→ ∪p∈Σ (Bilinearformen auf Tp Σ)
p 7−→ gp : Tp Σ × Tp Σ −→ R ist ein Skalarprodukt
so dass für alle p eine Karte ϕ : U −→ ϕ(U ) ⊂ Σ mit p ∈ ϕ(U ) existiert, so
dass die drei Funktionen
E(u, v) = gϕ(u,v) (Xu , Xu )
•
•
•
(29)
F (u, v) = gϕ(u,v) (Xv , Xu )
auf U glatt sind. (Hier ist Xu (ϕ(u, v)) der Tangentialvektor, der von t 7−→
ϕ((u + t, v)) repräsentiert wird, Xv ist analog definiert.)
Bemerkung: Alle Begriffe, die nur von der 1. Fundamentalform abhängen
(Christoffelsymbole, kovariante Ableitung von Vektorfeldern entlang Kurven,
Krümmung, Geodäten) sind auf Flächen mit einer Riemannscher Metrik definiert durch die Formeln, die wir bei der Betrachtung orientierter regulärer
Flächen in R3 gefunden haben.
Bemerkung: Der Satz von Gauß-Bonnet und sein Beweis gilt ohne Änderung
auch für Flächen mit Riemannscher Metrik.
Korollar: Sei Σ eine geschlossene Fläche (kompakt, ohne Rand) mit Riemannscher Metrik. Dann gilt
Z
KdA = 2πχ(Σ).
Σ
•
•
•
•
G(u, v) = gϕ(u,v) (Xv , Xv )
√
(dA = EG − F 2 du dv in lokalen, orientierten Koordinaten)
Frage: Jede geschlossene reguläre Fläche in R3 hat einen Punkt an dem die
Gauß-Krümmung positiv ist. Welche Flächen haben Metriken mit überall positiver, negativer oder verschwindender Krümmung.
Beispiel: Weil χ(S 2 ) = 2 hat S 2 keine Riemmannsche Metrik mit K ≤ 0 überall. Weil χ(T 2 ) = 0 gibt es auf T 2 keine Riemannsche Metrik deren Krümmung
überall positiv oder überall negativ ist.
Beispiel: Sei v, w ∈ T[p] RP2 . Dann gibt es Vektoren vb, w
b ∈ Tp S 2 weil π : S 2 −→
RP2 ein lokaler Diffeomorphismus ist. Wir definieren g[p] (v, w) = hb
v , wi.
b Dies ist
2
2
wohldefiniert, denn die Abbildung ∆ : S −→ S mit ∆(x, y, z) = (−x, −y, −z)
ist eine Isometrie. Es folgt, dass auf RP2 eine Riemannsche Metrik existiert, für
die K ≡ +1 gilt.
Fakt: Für jede nichtorientierbare Fläche Σ existiert eine orientierbare Fläche
b und eine Abbildung π : Σ
b −→ Σ so dass
Σ
– π ist glatt und ein lokaler Diffeomorphismus,
– für alle p in Σ hat π −1 (p) genau zwei Elemente,
b ist kompakt/geschlossen wenn Σ es ist.
– Σ
34
– Die Abbildung ∆, die für alle p ∈ Σ die beiden Urbildpunkte vertauscht
ist glatt.
b ist bis auf Diffeomorphie eindeutig bestimmet, π ist bis auf KonjuDie Fläche Σ
gation eindeutig. Beispiele für diese Situation sind die Abbildungen S 2 −→ RP2
und T 2 −→ K 2 die oben besprochen wurden.
• Bemerkung: Wenn auf Σ Riemannsche Metrik g gegeben ist, so erhält man
b auch eine Riemannsche Metrik gb: Seien vb, w
b gegeben. Man definiert
auf Σ
b ∈ Tp Σ
gbp (b
v , w)
b = gπ(p) (Dπ(b
v ), Dπ(w)).
b
•
•
•
•
Mit dieser Definition ist π eine lokale Isometrie. Insbesondere hat gb positive
Krümmung wenn dies für g gilt. Also existiert auf RP2 keine Metrik mit K ≤ 0
überall und auf K 2 hat die Krümmung jeder Metrik eine Nullstelle.
Satz: Seien Σ0 , Σ1 geschlossene Flächen. Folgende Aussagen sind äquivalent:
(i) Σ0 und Σ1 sind diffeomorph.
(ii) χ(Σ0 ) = χ(Σ1 ) und Σ0 ist genau dann orientierbar, wenn Σ1 orientierbar
ist.
Lemma: Wenn Σ eine orientierte geschlossene Fläche ist, so gilt χ(Σ) ≤ 2,
wenn Σ orientierbar ist, so ist χ(Σ) gerade.
Konstruktion: Auf geschlossenen Flächen Σ mit χ(Σ) < 0 existieren Riemannsche Metriken mit K ≡ −1.
Bemerkung: Es gäbe noch viel zu sagen, aber nicht mehr in diesem Semester.
Ich wünsche Ihnen allen viel Erfolg bei der Klausur.
Schöne Semesterferien.
Literatur
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