Bayes` Regel - Die Revidierung von Überzeugungen im Lichte

TU Dresden
Philosophische Fakultät
Institut für Philosophie
Seminar: Philosophie der Wahrscheinlichkeit
Dozent: Prof. Dr. Holm Bräuer
Referent: Felix Fröhlich
06.12.2016
Bayes' Regel - Die Revidierung von Überzeugungen im Lichte neuer Erfahrungen
Der Satz von Bayes und die bedingte Wahrscheinlichkeit:
Sind A und B zwei Ereignisse und P(B) > 0 , dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von A
unter der Bedingung von B definiert durch
P(A∩B)
P(A) ∙ P(B/A)
P(A) ∙ P(B/A)
P(A/B) = ------------ = -------------------- = -----------------------------------------P(B)
P(B)
P(A) ∙ P(B/A) + P(~A) ∙ P(B/~A)
Hypothesen und neue Evidenzen:
•
viele Entscheidungen basieren auf dem Vergleich verschiedener Hypothesen
H1, H2, … , Hn
•
je klarer die Hypothesen, umso besser kann deren individuelle Wahrscheinlichkeit
benannt werden, welche auf Erfahrungen, Hintergrundwissen, Vorurteilen basiert
•
da wir jedoch ständig neue Sachen lernen, beeinflussen und verändern neu
hinzukommende Evidenzen (Gewissheit, Klarheit, unumstößliche Tatsache) die von
uns gesetzte individuellen Wahrscheinlichkeit für die jeweilige Hypothese
Der Satz von Bayes am Beispiel:
✗
Bayes Regel befasst sich mit einer Menge sich gegenseitig ausschließender
Hypothesen (auch Partition genannt)
Hj = Anfangswahrscheinlichkeit
P(Hj) ∙ P(E/Hj)
P(Hj/E) = -------------------------∑ [P(Hi)∙ P(E/Hi)]
→ A-Priori-Wahrscheinlichkeit
E = Evidenz (neue Erfahrung)
P(Hj/E) = individuelle Wahrscheinlichkeit im
Lichte der neuen Erfahrung (E)
→ A-Posteriori-Wahrscheinlichkeit
✗
Sie hilft dabei, im Lichte neuer Erkenntnisse
und Erfahrungen, Dinge zu überdenken.
P(Hj/E) > P(Hj), d.h. E bestätigt Hj
(Glaubensgrad für Hj steigt)
P(Hj/E) = P(Hj), d.h. E ist bzgl. Hj neutral
P(Hj/E) < P(Hj), d.h. E schwächt Hj
(Glaubensgrad für Hj sinkt)
Aufgabe:
Stell dir vor, du hast deine Aufzeichnungen für das Seminar „Philosophie
der Wahrscheinlichkeit“ verloren. Nun hast du zwei Hypothesen und bist
dir unsicher, welche wahr ist.
S: Du hast die Aufzeichnungen in der SLUB vergessen.
R: Du hast die Aufzeichnungen im Raum BZW A/418 liegen lassen.
A-priori-Wahrscheinlichkeit für:
P(S) =
P(R) =
Evidenz E: Eine Kommilitonin sah Aufzeichnungen in dem Bereich der SLUB liegen, in
dem du zuvor gearbeitet hast, ist sich aber unsicher, ob es deine sind.
Likelihood für S und R im Lichte der neuen Evidenz E:
P(E/S) =
P(E/R) =
Was ist nun deine A-Posteriori-Wahrscheinlichkeit für S und R im Lichte von E?
P(S/E) =
P(S) ∙ P(E/S)
------------------------------------P(E)
=
P(S/E) =
-------------------------------------
=
Evidenz F:
-----------------------------------------------
P(R/E) =
Ein anderer Freund sagt, dass, als er den Seminarraum als Letzter verließ,
etwas dort liegen sehen hat, das mit deinem Namen beschriftet war.
Likelihood für S&E und R&E im Lichte der neuen Evidenz F:
P(F/S∩E) =
P(F/R∩E) =
Was ist nun deine A-Posteriori-Wahrscheinlichkeit für R und S im Lichte von E & F?
P(R/E∩F) =
P(R/E) ∙ P(F/R∩E)
------------------------------P(F)
P(R/E∩F) =
---------------------------------------------
=
---------------------------------------------------
=
P(S/E∩F) =
Quelle: Hacking, Ian (2013): An introduction of Probability and Inductive Logic. Kinds of Probability, Kapitel 15:
Learning from Experience,S. 171-188.