P(X > 1:5)

SS 2009
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Übungsblatt 8
1. ([1] Ex.5.4.2) Die Zahl der Unfälle pro Wochenende an einer bestimmten Straÿenkreuzung sei poissonverteilt mit Mittelwert 0:7. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit,
dass an dieser Kreuzung am kommenden Wochenende mindestens 3 Unfälle passieren?
Lösung P (mindestens 3 Unfälle) = 1
P (höchstens 2 Unfälle) = 1
0:9659 = 0:0341.
2. ([1] Ex.5.4.4) Angenommen, in einem Buch ndet man durchschnittlich Druckfehler pro Seite. Die Druckfehler seien poissonverteilt. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Seite keinen Druckfehler enthält?
0
Lösung P (kein Druckfehler) = 00! e = e .
3. ([1] Ex.5.4.5) Angenommen, in einem Buch mit n Seiten ndet man durchschnittlich Druckfehler pro Seite. Die Druckfehler seien poissonverteilt. Wie groÿ ist die
Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens m Seiten im Buch gibt, auf denen mehr als
k Druckfehler sind?
Lösung Sei pk = P (höchstens k Druckfehler auf einer Seite). Es ist pk =
P (mehr als k Druckfehler auf einer Seite) = 1
P
i 0ik i! e .
pk .
n
m n m.
m (1 pk ) pk
P
Druckfehlern) = mj n nj (1
P (genau m Seiten mit mehr als k Druckfehlern) =
P (mindestens m Seiten mit mehr als k
4. ([1] Ex.5.4.8) Seien X1 ; X2 unabhängige Zufallsvariablen, Xi
Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit P (X1 = l j X1 + X2 = k).
pk )j pnk j .
P (i). Berechnen
P (X1 = l; X1 + X2 = k) P (X1 = l; X2 = k l)
=
=
P (X1 + X2 = k)
P (X1 + X2 = k)
,
l1 1 k2 l
(1 + 2 )k (1 +2 ) k l1 k2 l
e
e 1
e
= l
.
l!
(k l)!
k!
(1 + 2 )k
Lösung P (X1 = l j X1 + X2 = k) =
5. ([1], Ex. 5.6.2) Sei
X normalverteilt mit Mittelwert 1 und Varianz 4.
Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
(a)
P (X 3),
(b)
P (X > 1:5),
(c)
P (X = 1),
(d)
P (2 < X < 5),
(e)
P (X 0),
(f)
P ( 1 < X < 0:5),
(g)
P (jX j 2),
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(h)
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Übungsblatt 8
P (1 2X + 3 8).
Lösung
(a)
P (X 3) = P (X
1 2) = P ( X2 1
1 > 0:5) = P ( X2 1 > 0:25) = 1 P ( X2 1
(b)
P (X > 1:5) = P (X
0:4013,
(c)
P (X = 1) = 0,
(d)
P (2 < X < 5) = P (1 < X
(e)
(f)
(g)
(h)
P (X 0) = P (X
0:6915,
1) = 0:8413,
1 < 4) = P ( 12 <
1 1) = P ( X2 1
P ( 1 < X < 0:5) = P ( 2 < X
0:1587 = 0:2426,
P (jX j 2) = P ( 2 X
0:6915 0:0668 = 0:6247,
X 1 < 2) = 0:9772
2
1) = 1 P(X 1 <
2
2
1 < 0:5) = P ( 1 <
2) = P (
3
X
1
X 1
2
1) = P (
P (1 2X + 3 8) = P ( 2 2X 5) = P ( 2:5 X
0) = P ( 1:75 X2 1 0) = 0:5000 0:0401 = 0:4599.
6. ([1], Ex. 5.6.5)
0:25) = 1
0:5987 =
0:6915 = 0:2857,
1)
2
=1
0:3085 =
< 0:25) = 0:4013
1:5
1) = P (
X 1
2
0:5) =
3:5 X
1
Seien X1 ; X2 ; X3 unabhängige Lebensdauern von Speicherchips. Sie
seien normalverteilt mit Mittelwert
300 Stunden und Standardabweichung 10 Stun-
den.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass wenigstens einer der drei Chips mindestens 290 Stunden hält.
Lösung
P (X1 290 oder X2 290 oder X3 290) = 1
P (X1 < 290 und X2 < 290 und X3 < 290)
= 1 P (X1 < 290)P (X2 < 290)P (X3 < 290)
= 1 0:15873
= 0:9960
7. ([1], Ex. 5.6.6)
2
eu (
Die momenterzeugende Funktion einer Zufallsvariablen X sei '(u) =
1 < u < 1).
Welche Verteilung hat
Lösung
X?
Besprechung in der Übung.
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Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
Übungsblatt 8
Literatur
[1] Morris H. DeGroot and Mark J. Schervish. Probability and Statistics. Addison
Wesley, third edition, 2002.
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