16 1 Zahlen und Vektoren Zusammenhang mit x × y im R3: Satz 1.3

16
1 Zahlen und Vektoren
Zusammenhang mit ~x × ~y im R3 :
Satz 1.3.6 Die Vektoren ~x ∈ R3 und ~y ∈ R3 sind linear abhängig genau dann, wenn ~x × ~y = ~0 gilt.
Beweis :
Beweisstruktur:
~x, ~y ∈ R3 linear abhängig
|
{z
~x × ~y = ~0,
}
=⇒
~x × ~y = ~0
|
~x, ~y ∈ R3 linear abhängig
{z
}
=⇒
1. Schritt
2. Schritt
1. Schritt: seien ~x, ~y ∈ R3 linear abhängig
=⇒
Satz 1.3.6(ii)
~x = ~0 ∨ ∃ γ ∈ R : ~y = γ~x
• falls ~x = ~0 y ~x × ~y = ~0
• falls ~y = γ~x für ein γ ∈ R
=⇒
Satz 1.3.2(i),(iv)
~x × ~y = (γ~y ) ×~y = γ (~y × ~y ) = ~0
|{z}
| {z }
~
x
~
0
2. Schritt: sei ~x × ~y = ~0
• falls ~x = ~0 oder ~y = ~0
• falls ~x 6= ~0 und ~y 6= ~0
=⇒
Satz 1.3.6
~x, ~y linear abhängig
=⇒
Satz 1.2.6(i)
=⇒
Folg. 1.3.3(ii)
|~x| > 0, |~y | > 0, |~x × ~y | = 0
0 = |~x × ~y | = |~x| |~y | sin ∠(~x, ~y )
|{z} |{z}
>0
∠(~x, ~y ) = 0 ∨ ∠(~x, ~y ) = π
=⇒
~x, ~y linear abhängig
Satz 1.3.5
sin ∠(~x, ~y ) = 0
>0
=⇒
∠(~
x, ~
y ) ∈ [0, π]
=⇒
=⇒
Satz 1.2.11(iv)
∃ λ ∈ R : ~y = λ~x
Definition 1.3.7 Das Spatprodukt [~x, ~y , ~z ] der Vektoren ~x, ~y , ~z ∈ R3 ist definiert als
[~x, ~y , ~z] = ~x · (~y × ~z) .
~x = (x1 , x2 , x3 ), ~y = (y1 , y2 , y3 ), ~z = (z1 , z2 , z3 ) y
[~x, ~y , ~z] = ~x · (~y × ~z) = (x1 , x2 , x3 ) · (y2 z3 − y3 z2 , y3 z1 − y1 z3 , y1 z2 − y2 z1 )
= x1 (y2 z3 − y3 z2 ) + x2 (y3 z1 − y1 z3 ) + x3 (y1 z2 − y2 z1 )
Bemerkung :
= x1 y2 z3 − x1 y3 z2 + x2 y3 z1 − x2 y1 z3 + x3 y1 z2 − x3 y2 z1
¯
¯
¯
¯x 1 y 1 z 1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯y2 z2 ¯
¯
¯y1 z1 ¯
¯y1 z1 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
• später: ¯x2 y2 z2 ¯ = x1 ¯
−x2 ¯
+x3 ¯
y3 z3 ¯
y3 z3 ¯
y2 z2 ¯
¯x 3 y 3 z 3 ¯
| {z }
| {z }
| {z }
{z
}
|
y2 z3 −y3 z2
y3 z1 −y1 z3
y1 z2 −y2 z1
[~
x,~
y ,~
z ]
• jetzt nur als “Merkregel”
+
x1
x2
x3
−
+
y1
y2
y3
−
+
z1
z2
z3
−
x1
x2
x3
y1
y2
y3
1.4 Geraden und Ebenen
17
geometrische Interpretation: betrachten das von ~x, ~y , ~z aufgespannte Parallelepiped (Spat)
Folg. 1.3.3 y Grundfläche A = |~y × ~z|, Höhe h = |~x~y×~z |
y V = |~y × ~z| |~x~y×~z |
| {z } | {z }
A
=
Def. 1.2.13
h
|~x · (~y × ~z)|
|~y × ~z|
|~y × ~z|
|
{z
}
1.4
~x
~x~y×~z
|~
xy
~×~
z|
¯
¯
¯
¯
= |~x · (~y × ~z)| = ¯ [~x, ~y , ~z ] ¯
~y × ~z
~z
|~y × ~z|
~y
Geraden und Ebenen
Vorgehen: Geraden im R2 , dann Ebenen und Geraden im R3
Definition 1.4.1 (Geraden im R2 )
(i) Eine Teilmenge L ⊂ R2 heißt Gerade (in Koordinatendarstellung), wenn es Zahlen a1 , a2 , b ∈ R mit
(a1 , a2 ) 6= ~0 gibt, so dass gilt
©
ª
L = ~x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : a1 x1 + a2 x2 = b .
(ii) Seien ~u, ~v ∈ R2 mit ~v 6= ~0. Dann heißt die Menge
©
ª
L = ~u + R~v := ~x ∈ R2 : ~x = ~u + λ~v , λ ∈ R
Gerade (in Parameterdarstellung). Der Vektor ~u heißt Ortsvektor, der Vektor ~v Richtungsvektor der
Geraden L.
Bemerkung∗ : (i) ∼ L = {~x ∈ R2 : ~a · ~x = b},
~a 6= ~0, ~a ∈ R2 , b ∈ R
L
a2
~a
L
a1
0
~u
~v
b
a1
0
b
a2
Beispiel für (ii)
Beispiel für (i) mit b < 0, a1 6= 0, a2 6= 0
Umrechnung der Darstellungen ineinander
sei L = ~u + R~v , ~v 6= ~0
(
µ ¶ µ
¶
λ=
x1
u1 + λv1
~x ∈ L ⇐⇒ ∃ λ ∈ R :
=
y
x2
u2 + λv2
λ=
(ii) ; (i)
y
x1 −u1
v1 ,
x2 −u2
v2 ,
v1 =
6 0
v2 =
6 0
y (x2 − u2 )v1 = (x1 − u1 )v2
©
ª
v2 x1 + (−v1 ) x2 = u1 v2 − u2 v1 y L = ~u + R~v = ~x ∈ R2 : v2 x1 − v1 x2 = u1 v2 − u2 v1
{z
}
|{z}
|
| {z }
a1
(i) ; (ii)
a2
b
©
ª
sei L = ~x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : a1 x1 + a2 x2 = b , (a1 , a2 ) 6= ~0; sei z.B: a2 6= 0 (analog: a1 6= 0)
18
1 Zahlen und Vektoren
b
a1
− x1
a2
a2
¶ µ
¶
¶
µ
µ
b
a1
b
a1
y (x1 , x2 ) = x1 ,
− x1 = 0,
+x1 1, −
a2
a2
a2
a2
| {z }
| {z }
y x2 =
~
u
~a
~v
~
v
©
ª
y L = ~x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : a1 x1 + a2 x2 = b
´
³
´
³
 ab , 0 + R − aa2 , 1 , a1 6= 0
1
´
³ 1 ´
= ³
 0, b + R 1, − a1 , a 6= 0
2
a2
a2
jetzt: R3 , dann definiert
a2
L
~u
a1
0 ~u
~v
b
a1
b
a2
~a 6= ~0, eine Ebene
~a · ~x = a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b,
Definition 1.4.2 (Ebenen im R3 )
(i) Eine Teilmenge E ⊂ R3 heißt Ebene (in Koordinatendarstellung), wenn es Zahlen a1 , a2 , a3 , b ∈ R
mit (a1 , a2 , a3 ) 6= ~0 gibt, so dass gilt
©
ª
E = ~x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b .
(ii) Seien ~u, ~v , w
~ ∈ R3 mit ~v , w
~ linear unabhängig. Dann heißt die Menge
©
ª
E = ~u + R~v + Rw
~ := ~x ∈ R3 : ~x = ~u + λ~v + µw,
~ λ, µ ∈ R
Ebene (in Parameterdarstellung). Der Vektor ~u heißt Ortsvektor, die Vektoren ~v und w
~ Richtungsvektoren der Ebene E.
Bemerkung∗ : (i) ∼ E = {~x ∈ R3 : ~a · ~x = b},
x3
~a 6= ~0, ~a ∈ R3 , b ∈ R
x3
x2
x2
b
a2
E
E
b
a3
w
~
~u
b
a1
x1
~v
Umrechnung der Darstellungen ineinander
©
ª
(i) ; (ii) sei ~x ∈ E = ~x ∈ R3 : a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b , ~a 6= ~0; sei z.B. a3 6= 0
   




0
0
1
x1
a1
a2
b
y x3 = −
x1 −
x2 +
y ~x = x2  =  0  +x1  0  +x2  1 
a3
a3
a3
b
− aa2
− aa1
x3
a
| {z3 }
| {z3 }
| {z3 }
w
~
~
u
 a1  ~v
wobei ~v , w
~ linear unabhängig
a3
⇐⇒ ~v × w
~ 6= ~0 ⇐⇒  aa23  =
Satz 1.3.6
1
1
a
a3 ~
6= ~0
x1
1.4 Geraden und Ebenen
(ii) ; (i)
19
sei E = ~u + R~v + Rw,
~ ~v × w
~ 6= ~0
~x ∈ E ⇐⇒ ∃ λ, µ ∈ R : ~x = ~u + λ~v + µw,
~ setzen ~a = ~v × w
~ 6= ~0
~
a
~
a
z }| {
z }| {
y ~a · ~x = ~a · (~u + λ~v + µw)
~ = ~a · ~u + λ (~v × w)
~ ·~v +µ (~v × w)
~ ·w
~ = ~|{z}
a · ~u
| {z }
| {z }
=0, Satz 1.3.2(ii)
y
©
ª
E = ~x ∈ R3 : a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = ~a · ~u ,
b
=0, Satz 1.3.2(ii)
~a = ~v × w
~ 6= ~0
Definition 1.4.3 (Normalenvektor im R3 )
Sei E = ~u + R~v + Rw
~ eine Ebene mit ~u, ~v , w
~ ∈ R3 und ~v × w
~ 6= ~0. Dann heißt ein Vektor ~n ∈ R3 mit
|~n| = 1
und
~n ⊥ (~x − ~u) für alle ~x ∈ E
(Einheits)Normalenvektor von E.
Bemerkung∗ : Satz 1.3.2(ii) y (~v × w)
~ ⊥ (~x − ~u), ~x ∈ E
y ~n =
x3
x2
~n
~v × w
~
|~v × w|
~
E
w
~
~u
ist ein (Einheits)Normalenvektor von E
x1
~v
Definition 1.4.4 (Geraden im R3 )
Seien ~u, ~v ∈ R3 mit ~v 6= ~0. Dann heißt die Menge
©
ª
L = ~u + R~v := ~x ∈ R3 : ~x = ~u + λ~v , λ ∈ R
Gerade (in Parameterdarstellung). Der Vektor ~u heißt Ortsvektor, der Vektor ~v Richtungsvektor der Geraden
L.
Bemerkung∗ : Gerade im R3 ist Schnitt zweier (nicht-paralleler)
Ebenen y L in Koordinatenform nur mit
zwei Gleichungen (Ebenen) darstellbar
x3
L
x2
~v
~u
d(x~0 , L)
x~0
x1
Definition 1.4.5 (Abstand eines Punktes)
(i) Sei L = ~u + R~v eine Gerade im R3 mit ~u, ~v ∈ R3 und ~v 6= ~0. Der Abstand des Punktes x~0 ∈ R3 von
L ist definiert durch
d(x~0 , L) = min d(~x, x~0 ).
~
x∈L
(ii) Sei E = ~u + R~v + Rw
~ eine Ebene im R3 mit ~u, ~v , w
~ ∈ R3 und ~v × w
~ 6= ~0. Der Abstand des Punktes
3
x~0 ∈ R von E ist definiert durch
d(x~0 , E) = min d(~x, x~0 ).
~
x∈E
20
1 Zahlen und Vektoren
(i) Seien L = ~u + R~v , ~u, ~v ∈ R3 und ~v 6= ~0. Dann gilt
Satz 1.4.6
d(x~0 , L) =
| (~u − x~0 ) × ~v |
,
|~v |
x~0 ∈ R3 .
(ii) Seien E = ~u + R~v + Rw,
~ ~u, ~v , w
~ ∈ R3 und ~v × w
~ 6= ~0, und ~n ein Einheitsnormalenvektor von E. Dann
gilt
d(x~0 , E) = | (~u − x~0 ) · ~n|, x~0 ∈ R3 .
Falls ∠(~u, ~n) ∈ [0, π2 ], so gilt für x~0 = ~0,
d = d(~0, E) = ~u · ~n.
Bemerkung :
• Gleichung in (ii) 99K Hesse6 sche Normalform der Ebenengleichung
©
ª
E = ~x ∈ R3 : ~x · ~n = d
denn: x~0 ∈ E ⇐⇒ d(x~0 , E) = 0 ⇐⇒ (~u − x~0 ) · ~n = 0 ⇐⇒ ~u
· ~n = x~0 · ~n
|{z}
d
• Herleitungen und weitere geometrische Begriffe (z.B. Abstand zweier Gerade, Ebenen,
Winkel etc.) 99K siehe z.B. [Pap07a, Kap. II.4]
1.5
Komplexe Zahlen
Idee : Zahlbereichserweiterung, um z.B. x2 + 1 = 0 lösen zu können
Definition 1.5.1 Seien a, b, c, d reelle Zahlen. Wir betrachten die geordneten Zahlenpaare (a, b) und
(c, d) mit folgenden Rechenoperationen :
(a, b) + (c, d) =
(a, b) · (c, d) =
(a + c, b + d)
(ac − bd, ad + bc)
z = (a, b) und w = (c, d) heißen komplexe Zahlen, die Menge aller komplexen Zahlen ist C.
Beispiele
:
• (2, 0) + (−3, 5) = (−1, 5)
• (3, 0) + (π, 0) = (3 + π, 0)
√
√
• (0, 2) + (0, − 32 ) = (0, 2 − 32 )
• (3, 0) · (π, 0) = (3π, 0)
• (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0)
6 Ludwig
Otto Hesse (∗ 22.4.1811 Königsberg
†
4.8.1874 München)