0.1 Die Ableitungen und Stammfunktionen der trigonometrischen

0.1
Die Ableitungen und Stammfunktionen der trigonometrischen
Funktionen
Erinnerung:
Ist F die Fläche des Kreissektors ( D, 0, A) so ist der Winkel α definiert als:
α = 2·F
Daher gilt wegen der Flächenformel für Dreiecke:
1
1
1
sin(α) cos(α) + (1 − cos(α)) sin(α) < F < tan(α)
2
2
2
und daher
sin(α) < α < tan(α)
Bemerkung: Der Kosinus ist im Intervall [0, π2 ] streng monoton fallend, da ein Punkt, der
eine größere Fläche als den Kreissektor ( D, 0, A) einschließt, auf dem Einheitskreis links
(und oberhalb) des Punktes A liegen muß. Außerdem√ist das Bild des Kosinus das gesamte
Intervall [0, 1], da zu jedem x ∈ [0, 1] der Punkt ( x, 1 − x2 ) auf dem Einheitskreis liegt.
Insbesondere hat also der Kosinus auf [0, π2 ] keine Sprungstellen.
Erinnerung (Die Additionstheoreme):
sin( x + y) = sin( x ) cos(y) + cos( x ) sin(y)
cos( x + y) = cos( x ) cos(y) − sin( x ) sin(y)
Aus dem ersten Additionstheorem erhalten wir mit −y statt y:
sin( x − y) = sin( x ) cos(y) − cos( x ) sin(y)
Subtraktion der beiden Gleichungen liefert:
sin( x + y) − sin( x − y) = 2 cos( x ) sin(y)
Daraus ergibt sich mit a := x + y, b := x − y (also x = a+2 b , y = a−2 b ):
a+b
a−b
sin( a) − sin(b) = 2 cos
sin
2
2
Bemerkung: Auf analoge Weise erhält man
cos( a) + cos(b) = 2 cos
a+b
2
cos
a−b
2
Wählen wir nun x und y im Intervall [0, π2 ] mit x < y und h := y − x > 0, so ist
sin(y) − sin( x ) = sin( x + h) − sin( x ) =
2x + h
h
h
h
2 cos
sin
= 2 cos x +
sin
2
2
2
2
Da der Kosinus im Intervall [0, π2 ] streng monoton fallend ist , gilt cos x + 2h < cos( x ),
und die Abschätzung am Anfang des Kapitels ergibt sin 2h < 2h .
Insgesamt haben wir also:
sin( x + h) − sin( x ) < cos( x )(y − x )
Umgekehrt folgt aus x < tan( x ) =
sin( x )
cos( x )
wegen cos( x ) > 0 auf [0, π2 ):
x cos( x ) < sin( x )
und damit:
h
h
h
h
2 sin
> 2 · cos
= h · cos
2
2
2
2
Schließlich haben wir:
h
2 cos x +
2
h
h
h
sin
> h · cos
· cos x +
=
2
2
2
h·
h·
1
· [cos( x + h) + cos( x )] >
2
1
· [2 · cos( x + h)] = (y − x ) cos(y)
2
Dabei folgt die letzte Ungleichung aus der Monotonie des Kosinus: cos( x ) > cos( x + h).
Insgesamt haben wir also:
(y − x ) · cos(y) < sin(y) − sin( x ) < (y − x ) · cos( x )
Also ist sin( x ) die Flächenfunktion von cos( x ). Da, wie wir gesehen haben für stetige Funktionen Stammfunktionen und Flächenfunktionen identische Begriffe sind, gilt:
sin( x )0 = cos( x )
auf (0, π2 )
Hiermit erhalten wir aus der Beziehung
cos( x )2 + sin( x )2 = 1
mit Hilfe der Produktregel:
2 · cos( x ) · cos( x )0 + 2 · sin( x ) · cos( x ) = 0
und die Ableitung des Kosinus (für cos( x ) 6= 0, also x 6=
π
2)
als
cos( x )0 = − sin( x )
Bemerkung: Wegen
f
g
= f·
1
g
gilt die Quotientenregel
0
f
1
1
f 0 · g − f · g0
= f 0 · − f · 2 · g0 =
g
g
g
g2
und damit
0
cos( x )2 + sin( x )2
1
=
2
cos( x )
cos( x )2
Eine Stammfunktion von tan( x ) ist F ( x ) = ln cos1( x) = − ln(cos( x )) , dann ist F 0 ( x ) =
0
tan( x ) =
− cos1(x) · (− sin( x )) =
sin( x )
.
cos( x )
sin( x )
cos( x )
=