10. ¨Ubung Informatik B WS 2010
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10. Übung Klaus Kriegel Aufgabe 1: Informatik B WS 2010 Abgabe: 30.06.2010, 10:00 Uhr Ternäre Bäume (3 + 3 Punkte) Ein ternärer Baum T ist in allgemeiner Form ein Baum mit Wurzel, in dem jeder innere Knoten höchstens drei Kinder hat. Er wird echt genannt, wenn jeder innere Knoten genau drei Kinder hat. Wir bezeichnen wieder mit i(T ) und b(T ) die Anzahlen der inneren Knoten und der Blätter von T. a) Stellen Sie fest, welcher Zusammenhang zwischen i(T ) und b(T ) in echten ternären Bäumen besteht und beweisen Sie diesen mit vollständiger Induktion. b) Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen i(T ) und b(T ) in allgemeinen ternären Bäumen durch Ungleichungen der Form f (i(T )) ≤ b(T ) ≤ g(i(T )), wobei f bzw. g Funktionen sind wie z.B. f (n) = n + 3 oder g(n) = 5n2 − 2. Beweisen Sie, dass diese Ungleichungen für alle allgemeinen ternären Bäume gültig sind und finden Sie für jede der beiden Ungleichungen und jeden Wert i(T ) ein Extremalbeispiel, dass diese schwache Ungleichung zur Gleichung macht. Aufgabe 2: Größe von Binärbäumen (5 Punkte) Sei h ≥ 2 eine gerade Zahl. Bestimmen Sie die minimale Anzahl von Blättern, die ein (echter!) Binärbaum T der Tiefe h haben muss, wenn jeder Knoten der Tiefe d ≤ h/2 die Höhe h − d hat. Beweisen Sie Ihre Behauptung und zeigen Sie wieder mit einem Extremalbeispiel, dass Ihre Schranke scharf ist. Aufgabe 3: Entscheidungsbäume (3 + 2 + 3 Punkte) a) Konstruieren Sie einen Entscheidungsbaum, mit dem die kleinste von vier Zahlen a, b, c, d durch Vergleichsoperationen bestimmt wird. Für die volle Punktzahl sollte der Baum nicht mehr als 7 innere Knoten haben. b) Zeigen Sie, dass jeder Entscheidungsbaum für a) mindestens 7 innere Knoten haben muss. Hinweis: Begründen Sie, dass jedes Blatt mindestens die Tiefe 3 haben muss. c) Konstruieren Sie einen Entscheidungsbaum, mit dem die zweit-kleinste von vier Zahlen a, b, c, d durch Vergleichsoperationen bestimmt wird. Gemeint ist hier die zweite Zahl aus der sortierten Folge (z.B. wird für die Eingabefolge 4, 3, 5, 3 die Antwort 3 erwartet und nicht die 4).
