Vorlesung 2 mit Laptop

Einführung in die Theoretische Informatik
Semester: IV
HTWM
Hochschule für Technik und
Wirtschaft Mittweida –
University of Applied Sciences
Technikumsplatz 17
0xxxx Mittweida
Fachbereich: MPI
Fachgruppe Informatik
Theoretische
Informatik
Seminargruppe: IF99P1
Mitschrift von: Isabel Drost
Massaneier Str.55
04736 Waldheim
[email protected]
http://www.isabel-drost.de
Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1
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Einführung in die Theoretische Informatik
Semester: IV
Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit.............................................................................................. 3
Satz6: REC ⊆ RE (RE=Menge aller aufzählbaren Mengen) .......................................................................... 3
Satz7 – Charakteriesierung der entscheidbaren Mengen: ................................................................................ 3
Satz8: RE={DB(f∈Pa)}={WB:f∈Pa} (Eine Fkt. ist aufzählbar, wenn sie Wertebereich und
Definitionsbereich einer partiell rekursiven Fkt. ist.) ...................................................................................... 4
Vorlesung 2 mit Laptop .............................................................................................................5
Bestandsaufnahme – Was ist nicht berechenbar?........................................................................... 5
Satz8: RE= {DB ϕ: ϕ ∈Pa}
RE= {WB ϕ: ϕ ∈Pa} ..................................................................................... 5
Satz9: Jedes unendliche M∈RE ist eineindeutig aufzählbar ........................................................................... 5
Satz10: Für unendliche A⊆N gilt: A∈REC A ist streng monoton aufzählbar ........................................... 5
Satz11: Jede unendliche rekursiv aufzählbare Menge besitzt einen unendliche entscheidbare Teilmenge. .... 6
Satz12: RE ist abgeschlossen gegenüber ∩ ∪................................................................................................. 6
Satz13 - Projektionssatz: ................................................................................................................................. 7
Beispiele: ......................................................................................................................................................... 7
Satz 14: K∉REC (Allgemeines Halteproblem) ............................................................................................... 8
Satz 15: REC ⊂ RE ......................................................................................................................................... 8
Darstellung von berechenbaren Funktionen ................................................................................... 9
1. Berechnungsvorschriften ......................................................................................................................... 9
2. Erzeugungsschema der Algebra a=[S,Ω]................................................................................................. 9
3. Nummer bezüglich einer festen Gödelisierung Phi von Pa ..................................................................... 9
4. Symolischer Bezeichner .......................................................................................................................... 9
Eigenschaften: ................................................................................................................................................. 9
Satz 17 (Satz von Rice) Für nichttriviale F⊆Pa ist NF nicht entscheidbar..................................................... 10
Anwendung von Methoden und Ergebnissen aus der Theoretischen Informatik in anderen
Bereichen........................................................................................................................................... 10
Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz .......................................................................................................... 10
Satz 18: Jede berechenbare Funktion ist arithmetisch repräsentierbar .......................................................... 11
Satz 19: WA ist nicht aufzählbar ................................................................................................................... 11
Wie ist die Beweisbarkeit von WA?.............................................................................................................. 11
Satz20 Gödelscher Unvollständigkeitssatz: Jedes Beweissystem (B,F) für WA die Menge der wahren
arithmet. Ausdrücke ist notwendigerweise unvollständig. ............................................................................ 11
Isomorphiesatz von Rogers: Haben wir zwei Gödelisierungen, so können wir von einer Gödelisierung in die
andere im Sinne einer Isomorphie (eineindeutige Inhaltsgleichung) umrechnen. ......................................... 12
Fixpunktsatz/ Rekursionstheorem: ................................................................................................................ 12
Überblick und Prüfungswichtung/ Musterklausur:...............................................................13
Was ist berechenbar?...............................................................................................................13
Was ist ein Alghorithmus? ......................................................................................................13
Was ist intuitiv berechenbar? ......................................................................................................... 13
Konstruktion von intuitiv berechenbaren Funktionen (Pr, R, Pa) ...................................... 13
Algorithmenmodelle......................................................................................................................... 13
REC, RE............................................................................................................................................ 13
Anwendung in anderen Theorien ...........................................................................................13
Wesentliche Schwerpunkte siehe obige Auflistung! ..............................................................13
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Einführung in die Theoretische Informatik
Semester: IV
VORLESUNG
Fragestellung: Was ist nicht berechenbar?
Entscheidbarkeit und Aufzählbarkeit
M={[a0... an ]: n∈N, ai∈Z,Summe von i=8 bis n (aiXi = 0 besitzt ganzzahlige Lösungen}
H10 ist eine Codierung der Menge M über den natürlichen Zahlen.
Liegt das 10 hilbertsche Problem innerhalb REC? (von 1900)
1972 wurde nachgewiesen, das dies nicht der Fall ist, somit liegt H10 auch nicht innerhalb von PA!
Ziel: möglichst umfassende Charakterisierung der nichtentscheidbaren Mengen. (in VO wird nur ein Teil
betrachtet werden.
Definition: M⊆Ν heißt aufzählbar (rekursiv aufzählbar)=
M=∅ oder: es gibt eine allgemein rekursive Funktion f, mit Wf=M.
f(0), f(1),...,f(i),.. ∈ M
Für x∈M gibt es j∈Ν mit f(j)=x.
Satz6: REC ⊆ RE (RE=Menge aller aufzählbaren Mengen)
Beweis Satz6: Vorgehensweise –
Es sei M∈REC so folge daraus: M∈RE.
Es sei M∈REC so folgt daraus: cM∈R.
Fall 1: M= ∅
Fall 2: M<> ∅ =>es gilt: a ∈ M
a falls cM(x)=0
f(x)={
x sonst
f ∈R, da cM(x)=0 für beliebige x berechenbares Prädikat und f überall definiert.
Wf=M
qed.
Ist auch jede aufzählbare Menge entscheidbar (RE Teilmenge von REC)?
Satz7 – Charakteriesierung der entscheidbaren Mengen:
M ∈REC M ∈RE und ϑ (Komplement) ∈RE
Beweis: 1. „=>“
M∈REC => M∈RE (Jede entscheidbare Menge ist auch aufzählbar, nach Satz6)
Wenn M entscheidbar ist, so ist auch dessen Komplement entscheidbar, nach Satz5.
Auch das Komplement von M liegt in RE – Ist auch das Komplement entscheidbar, so ist es auch
aufzählbar (Satz 6).
2. „<=“
M∈RE und Komplement(M) ∈RE
Es sei, Wf=M, Wg=Komplement(M), f, g∈R.
Auch wenn M oder deren Komplement die leere Menge ist, sind beide entscheidbar (Leere Menge –
Komplement=Natürliche Zahlen)
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Semester: IV
Entscheidungsverfahren: x∈M?
Berechne simultan f(0) und g(0); f(1), g(1); ... ;f(n), g(n)
x kommt entweder in der oberen (f) oder der unteren (g) Berechnung vor. Kommt x in der Aufzählung f
vor, gehört x zu M. Kommt es in g vor, gehört es nicht zu M.
Satz8: RE={DB(f∈Pa)}={WB:f∈Pa} (Eine Fkt. ist aufzählbar, wenn sie Wertebereich
und Definitionsbereich einer partiell rekursiven Fkt. ist.)
RE<={DB:f∈Pa }
RE>={DB:f∈Pa }
Beweis erstens:
M∈RE, WB=M
1 falls x∈M
XMCx=DB
n.d. sonst
Berechne nacheinander f(0), f(1),... bis f(i)=x In diesem Fall ist x∈M und es muß XM=1 gesetzt werden. Gibt es
kein i mit f(i)=x (x!∈M) bricht der Berechnungsprozess nicht für XM(x) nicht ab.
XM∈Pa
1)
2) DXm=M
Beweis zweitens:
zu zeigen ist, Jeder Definitionsbereich einer partiell rek. Funktion f ist aufzählbar (semi entscheidbar)
Konstruieren einer Aufzählung f von DB mit Hilfe des dove-tailing (Schwalbenschwanz) Verfahrens:
1)
2)
3)
4)
5)
Schritte berechne ϕ (0) 1 Takt
Schritte berechne ϕ (0) 2 Takte
Schritte berechne ϕ (1) 1 Takt
Schritte berechne ϕ (0) 3 Takte
Bei jedem Schritt wird getestet, ob die entsprechende Berechnung abbricht. Bricht die Berechnung ab,
gehört der Zeilenindex (das Argument von ϕ) zum Definitionsbereich von ϕ.
Definieren einer Aufzählung f von Dϕ:
1. Fall: Dϕ=0 => Dϕ aufzählbar nach Definition
2. Fall: Dϕ!=0=> Es gibt x ∈Dϕ
x0 fall im x-ten Schritt des d.t. die Berechnung nicht abbricht
f(x)=
t falls im x-ten Schritt des d.t. die Berechnun von Dϕ (t) abbricht
Es ist f∈R und es gibt WB=DBϕ
Das dovetailin Verfahren – Ergänzungen zum Beweis von Satzx :
RE={Dϕ:ϕ∈Pa}<
RE⊆{Wϕ:ϕ∈ Pa }<
und zu zeigen: RE ≥ {f∈Pa}
Es sei M=Wf(f∈Pa)
Konstruieren einer Aufzählung f für M mit dovetailing:
1. Fall: Wϕ=0, M∈RE (Definition)
2. Fall: Wϕ!=0=> es gibt a∈Wϕ
a falls im x-ten Schritt von d.t. die Berechnung nicht abbricht
f(x)=
ϕ (i) Fall Berechnung von ϕ (t) abbricht
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Semester: IV
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Bestandsaufnahme – Was ist nicht berechenbar?
M⊆N
M ist entscheidbar, wenn CM (charakterist. Funktion) berechenbar ist und umgekehrt
M ist nicht entscheidbar, wenn CM nicht berechenbar ist
M ist aufzählbar M=∅ oder M berechenbar nummerierbar (M=WBf, f∈R (f überall definiert))
M ist nicht aufzählbar jede Nummerierung von M ist nicht berechenbar
REC ⊆ RE (Definition der Entscheidbarkeit ist strenger/ restriktiver als die Aufzählbarkeit)
Wegen der Gödelisierbarkeit von Pa gibt es abzählbar viele berechenbare Funktionen. Es gibt aber überabzählbar viele Teilmengen M ⊆ N Daher gibt es auch nur abzählbar viele entscheidbare und abzählbar viele
aufzählbare Mengen. Es gibt demzufolge überabzählbar viele nicht entscheidbare und überabzählbar viele
nicht aufzählbare Mengen.
Satz8: RE= {DB ϕ: ϕ ∈Pa} RE= {WB ϕ: ϕ ∈Pa}
M ist bereits dann aufzählbar, wenn sie der WErtebereich einer partiell rekursiven Funktion ist
Eigenschaft: M aufzählbar M semientscheidbar (XM berechenbar)
Satz9: Jedes unendliche M∈RE ist eineindeutig aufzählbar
Beweis: Es sei M∈RE, d.h. Wf=M.
g(0)=f(0)
g(n+1)=f(t), t=µy(f(y)∉{g(0), ..., g(n)})
g ist a) berechenbar
b) überall definiert
Der Wertebereich von g ist M (g über f definiert, WB(f) ist M und alle Elemente aus f kommen vor)
Wf=M, f∈R und es ist g eineindeutig.
qed.
Satz10: Für unendliche A⊆N gilt: A∈REC A ist streng monoton aufzählbar
Beweis: 1. „=>“
Es sei A∈REC. Konstruieren einer streng monotonen Aufzählung f von A. (f muß streng monoton
steigend sein, da wir bei fallend bei unendlich vielen Elementen nicht wüßten, wo genau wir anfangen
sollen...)
f(0)= µx(x∈A) (berechenbare Funktion, das kleinste Element existiert, da A ja als unendlich groß
definiert wurde)
f(n+1)= µx(x∈A und x>f(n))
WBf=A, f streng monoton wachsend und f∈R
2. „<=“
Es sei f überall definierte, streng monotone Aufzählung von A. Konstruiere eine Entscheidung: x∈A!
Prinzipielle Vorgehensweise: suche solange, bis das Ergebnis f(x) gleich y0 ist, oder das Ergebnis
größer als dieses ist – in jedem Fall abrechende Funktion. (f ist ja streng monoton steigend und
unendlich)
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Einführung in die Theoretische Informatik
Semester: IV
Berechne formal: f(0), f(1),...,f(i) mit f(i) ≥x
Ist f(i)=x, so gehört x zu A dazu, sonst nicht. (A ist entscheidbar, nicht nur semientscheidbar.)
qed.
Übungsaufgabe: Dieser Satz kann auch ohne die Eigenschaft der Unendlichkeit, und ohne die der strengen
Entscheidbarkeit formuliert werden. Beweise folgende Aussage: eine Menge A ist entscheidbar, wenn sie
monoton aufzählbar ist und umgekehrt.
Satz11: Jede unendliche rekursiv aufzählbare Menge besitzt einen unendliche
entscheidbare Teilmenge.
Beweis: Folgerung aus beiden vorhergehenden Sätzen.
Satz11 sagt nichts über die Relation der Mengen RE und REC aus:
RE
REC
Aber er zeigt etwas über das Verhältnis von aufzählbaren zu entscheidbaren Mengen.
Satz12: RE ist abgeschlossen gegenüber ∩ ∪
Beweis: Es seinen A, B∈RE
a) zeige: A∪B∈RE
Wf=A; Wg=B; f,g∈R
Konstruiere Aufzählung h für A∪B:
f(nDIV2) falls n gerade
h(n)=Df{
}
g(nDIV2) falls n ungerade
b)
A,B∈RE XA,XB∈Pa
zeige: XA∩B∈Pa
[XA∩B(x) = XA(x) * XB(x)]∈Pa (gehört x nicht zu A oder B oder zu gar keinem von beiden, so ist
auch der Duchschnitt nicht definiert)
qed.
Ist RE auch bezüglich ϕ (der Komplementbildung) abgeschlossen?
Wäre RE Komplementabgeschlossen, so hätten wir mit A∈RE => ϕ(A)∈RE } A∈REC
Somit wäre RE⊆REC, wir haben bereits: REC ⊆ RE, somit wären Aufzählbarkeit und Entscheidbarkeit das
Gleiche.
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Einführung in die Theoretische Informatik
Semester: IV
Satz13 - Projektionssatz:
Eine Menge ist aufzählbar, genau dann, wenn sie
die Projektion einer entscheidbaren Menge ist.
M∈RE genau dann wenn, es gibt B∈REC und M
ist Projektion von B.
Num m er ier bare Menge
(
)
N
n)
P(
RE (aufzählbare
REC
Mengen)
Formal: M ist aufzählbar M ist Projektion einer
geeigneten entscheidbaren Menge B.
A⊆N ist Projektion von B⊆N2=Df x∈AEs gibt y mit [x,y] ∈Β
Beweis: 1. „=>“
Es sei M aufzählbar, d.h. M=WBf, f∈R
Gf={[x,y]:x∈N, y=f(x)} (Graph von f)
Gf entscheidbar? => stimmt, wenn man für ein beliebiges Paar Zahlen [a,b] feststellen kann, ob es
zu Gf gehört oder nicht. Vorgehensweise: setze a ein und prüfe, ob b herauskommt, kommt b heraus,
gehört [a,b] dazu, sonst nicht.
Ist M Projektion von Gf? => stimmt, wenn y∈Μ Es gibt eine Nummer x mit f(x)=y
2. „<=“
zu zeigen: alle Projektionen von B sind aufzählbar
ohne Beschränkung der Allgemeinheit: B⊆NxN (N kreuz N)
P1=∅
P2: Projektion auf erste Komponente
P3: Projektion auf zweite Komponente
Zeige, dass P1, P2, P3 aufzählbar sind.
Zu P1: Leere Menge ist aufzählbar, nach Definition. (Menge is aufzählbar, wenn sie leer ist, oder eine
bestimmte Eigenschaft besitzt)
1 2 3
j
4
1
2
3
4
Zu P2(P3): Konstruieren einer Aufzählung ϕ2(3)
von P2(3):
i(j) falls im x-ten Schritt des dovetail. felstgestellt wird, dass [i,j] zu B
gehört
}
ϕ2(3)(x)={
a sonst
a∈P2(P3)
Es sind ϕ2(3) ∈ R und es gilt Wϕ2=P2, Wϕ3=P3
i
[i,j] im x-ten Schritt
von dove-tailing
Projektionssatz und dovetailing hängen eng
zusammen:
Der Beweis der Aufzählbarkeit einer Menge gelingt mit dovetailing genau dann, wenn der Nachweis mit dem
Projektionssatz geführt werden kann.
Beispiele:
1) K={i:i∈Di}
ϕ ist Gödelisierung von Pa(TMaschine)
ϕi´ist die i-te Funktion (Maschine)
Di=Dϕi
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Einführung in die Theoretische Informatik
Semester: IV
K ist das spezielle Halteproblem für Turingmaschinen, i gehört zu K genau dann, wenn die i-te
Turingmaschine auf i angesetzt anhält.
Zeige: K ist aufzählbar, K∈RE.
true Turingmaschine i hält bei Eingabe von x nach t Takten mit Ausgabe y an
Turingprädikat: T(x,i,t,y)=Df{
}
false sonst
Gib x ein und lasse die Maschine i (Arbeitsmechanismus der Maschine ist also i) t Takte laufen, steht
danach die Maschine auf anhalten und gibt sie y aus, so gib Du als Beobachter true aus.
T(5,7,3,6)=> nimm die 7. Turingmaschine aus all Deinen gödilisierten Turingmaschinen, gib 5 ein und lasse
die Maschine 3 Takte laufen, steht sie nach 3 Takten auf dem Endzustand und gibt 6 aus, gibst Du true aus.
BT sei die Menge aller der Quadtrupel, für die T wahr ergibt. Kann ich in obigem Bsp. wahr ausgeben,
gehört die Fkt zu BT dazu. Ob eine Maschine dazugehört, läßt sich ganz einfach, via ausprobieren,
herausfinden. Das heißt, die Menge BT ist entscheidbar.
BT{[x1,x2,x3,x4]:T(x1,x2,x3,x4)} ∈REC
K ist Projektion von BT :
z∈K Es gibt einen Takt t und (eine Ausgabe ) y mit (z, z, t,y) ∈BT
(Projetziere auf die erste Komponente und identifiziere mit der zweiten Komponente – Turingmaschine z
hält bei Eingabe von z an) Somit ist K aufzählbar, da es Projektion einer entscheidbaren Menge ist. (K∈RE)
2) A={i:Di≠∅}
Behauptung: A ist aufzählbar (∈RE)
i∈A Es gibt x, es gibt t und es gibt y mit T(x,i,t,y)
d.h. A ist Projektion von BT, somit ist A aufzählbar.
Weitere Untersuchung von K
Satz 14: K∉REC (Allgemeines Halteproblem)
Definition von K: K={i:i∈Di}; i∈Ki∈Di
(i ist eine bestimmte Turingmaschine, dieses i gehört zu K, wenn i bei Eingabe von i anhält, sprich, wenn das i
zum Definitionsbereich von der i-ten Turingmaschine gehört.
Können wir dies angeben, so wissen wir dass ck (charakterist. Fkt. von K) nicht berechenbar ist.
Beweis:
Annahme: K sei Element von REC, somit müssten sowohl K als auch dessen Komplement ϕ(K)∈RE
(aufzählbar) sein (Satz 7); somit müsste nach Satz 6 ϕ(Κ) den Definitionsbereich eines m sein.
Gehört m zum Definitionsbereich von m, so gehört m auch zum Komplement von K, so gehört m nicht zu K, so
gehört m nicht zum Definitionsbereich von m (Definition von K: m gehört zu K, wenn m zum Definitionsbereich
der m-ten Turingmaschine Dm gehört.)
m∈Dmm∈ϕ(K)m∉Km∉Dm
Dies ist ein Widerspruch. Somit ist die Annahme verkehrt und K ist kein Element von REC. Somit ist K nicht
entscheidbar und somit CK (charakterist.Funktion) nicht berechenbar. (Erster Formaler Beweis einer nicht
berechenbaren Funktion.)
Satz 15: REC ⊂ RE
Nu
N) (
(
P
m m er ier bar e Men
gen
)
RE (aufzählbare
REC
Mengen)
K
Komplement von
Mitschrift von: Drost, Isabel; If99wp1 K nicht aufzählbar
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Einführung in die Theoretische Informatik
Semester: IV
Darstellung von berechenbaren Funktionen
1. Berechnungsvorschriften
• Pascalprogramme
• Turingprogramme
• Markov-Befehle ...
Bsp:
(y=0; (x0,...,xn),y) berechnet die Funktion f mit den Eingaben x0 bis xn Ergebnis ist die Null
2. Erzeugungsschema der Algebra a=[S,Ω]
• S={0,s}∪{Ik(n):n∈Ν, k<=n}
• Ω={SUB(n):n∈N}∪{PR,MIN}
Bsp:
PR(I(1)1,SUB(s,I3(3))) berechnet die Funktion f(x,y)=x+y
3. Nummer bezüglich einer festen Gödelisierung Phi von Pa
n bezeichnet die Funtkion ϕn
4. Symolischer Bezeichner
DIV(x,y), add(x,y), s(x)
Eigenschaften:
1.
Die Darstellungen 1 bis 3 sind universell. Jede berechenbare Funktion ist in dieser Weise darstellbar
2. Für die Darstellungen von 1 bis 3 gibt es für jede berechenbare Funktion beliebieg viele Darstellungen
3. Die Darstellungen gemäß 1 bis 3 sind in eine beliebige Darstellung aus 1 bis 3 umrechenbar.
Die Darstellungen 1 bis 3 sind algorithmisch gleichwertig. Daher ist eine Konzentration auf eine Darstellung
möglich. Wir konzentrieren uns auf die Gödelnummern.
Haben wir eine bestimmte Funktion, so hat diese unendlich viele Gödelnummern und unter Umständen die
Eigenschaften Unterscheidbarkeit, Aufzählbarkeit.
F⊆Pa
F={f:f∈Pa und f besitzt eine Eigenschaft ξ}
NF={i:ϕi∈F} ist die Menge aller Gödelnummern (Programme, Erzeugungschemata) von Funktionen aus F.
F heißt trivial, falls F=∅ oder F=Pa
NF=∅ (falls F=∅) oder N (Menge aller Nummern falls F=Pa)
Für triviale F ist die Menge NF entscheidbar.
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Einführung in die Theoretische Informatik
Semester: IV
Satz 17 (Satz von Rice) Für nichttriviale F⊆Pa ist NF nicht entscheidbar.
Nichttriviale Eigenschaften von berechenbaren Funktionen/ Computerprogrammen/ Gödelnnummern sind nicht
entscheidbar.
Beispiele:
• F={f:f∈Pa und f monoton}
Die zweite Eigenschaft ist nicht trivial. Das bedeutet, mit einem
vorgegebenen Algorithmus läßt sich nicht entscheiden, ob eine Funktion/ ein Programm monoton ist,
oder nicht.
F ist ebenfalls nicht aufzählbar, allerdings kann man feststellen, ob eine Funktion nicht monoton ist.
Somit ist das Komplement dieser Menge positiv semientscheidbar.
• NF={i:i∈N und ϕi=ϕk}
(Aquivalenzproblem, Es ist algorithmisch nicht entscheidbar, ob zwei beliebige Programme bei allen
Eingaben das gleiche leisten oder nicht – Massenproblem, universelles Problem.
• NF={i:Di=N}
(Finde heraus, ob der Definitionsbereich von beliebig vorgegebenen Funktionen gleich N ist! Dies ist
trivialerweise nicht entscheidbar. Es ist also algorithmisch nicht entscheidbar, ob ein vorgegebenes
Programm eine allgemein rekursive Funktion berechnet oder nicht.)
Somit ist keine algorithmische Eigenschaft eines Programms nicht entscheidbar. Mithin ist der Satz von Rice
recht restriktiv.
Anwendung von Methoden und Ergebnissen aus der Theoretischen Informatik
in anderen Bereichen
Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz
Formeln (Aussagen) der Zahlentheorie sind ZK über einem bestimmten Alphabet, bestehend aus Variablen und
Konstantensymbolen, den Zeichen +,*,=,∧,∨,¬, ∃,∀ und (,).
Beispiel: ∀x∃y((x+y)=x*(x+1)) (In Deutsch: „Für jedes x gibt es ein y mit der Eigenschaft x+y=x*(x+1)“)
Formeln werden mit Interpretationen Bedeutungen (Semantik) zugewiesen. Dabei wird zwischen Termen
(Ausdrücken, denen mittels Interpretation eine natürliche Zahl (ein Wort aus N) zugewiesen wird) und Formeln,
denen ein Wahrheitsgehalt zugewiesen wird, unterschieden.
Beispiel: φ(x)=5, φ(y)=7
t1, t2 sind Terme, F1, F2 sind Formeln
φ(x*(1+y))=40 (Dies ist ein Term!)
(t1=t2) ist wahr = Für jede Interpretation φ ist φ (t1)= φ (t2)
¬F1 wahr F1 ist falsch
F1∧ F2 wahr F1 wahr und F2 wahr
F1 ∨ F2 wahr F1 wahr oder F2 wahr
∃x F1 wahr Es gibt n ∈ N mit F1(x|n) ist wahr
F1(x|n): jede nichtgebundene Variable x in F1 wird
durch n ersetzt
∀x F1 wahr F(x|n) ist wahr für alle n ∈ N
WA=Df{F:Fist wahre Formel} (elementare Zahlentheorie/ Arithmetik)
Eine Funktion f:Nk=>N heißt arithmetisch repräsentierbar, wenn es eine Formel F gibt, mit
f(x1,...xk)=yF(x1,...,xk,y) ist wahr für beliebige x und y gibt. (F liefert wahr, wenn beide Seiten links
gleich sind, sonst falsch .
Beispiele:
• f(x1,x2)=x1+x2 ist durch x1+x2=y arithmetisch repräsentierbar.
• DIV(x1,x2) ist arithmetisch repräsentierbar durch F(x1,x2,y)=∃r((r<x2)
(r sei der Rest, der bei der DIV-Division übrigbleibt.)
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∧x1=y*x2+r))
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Einführung in die Theoretische Informatik
Semester: IV
Satz 18: Jede berechenbare Funktion ist arithmetisch repräsentierbar
Satz 19: WA ist nicht aufzählbar
WA=Df{F:Fist wahre Formel} (elementare Zahlentheorie/ Arithmetik)
Beweis:
Annahme: WA ist aufzählbar.
Für beliebige F gilt F ∈WA oder ¬F∈WA
Zeige: WA ist entscheidbar
F ∈ WA: Zähle WA auf, bis entweder F oder ¬F erscheint. Im ersten Fall gehört F dazu, im zweiten
nicht. Somit ist bei der Annahme, dass WA aufzählbar, WA automatisch entscheidbar.
Es sei A eine aufzählbare aber nicht entscheidbare Menge. XA ist berechenbar und wegen Satz18 ist XA
arithmetisch repräsentierbar (F).
N∈A
XA(n)=1;
F(n,1) ist wahr.
F(n,1) ∈WA, dies ist entscheidbar laut Annahme, somit müßte auch A entscheidbar sein,
dies stimmt aber nicht.
Wiederspruch: Die Annahme WA ist aufzählbar ist falsch. qed.
Wie ist die Beweisbarkeit von WA?
Es sei b∈Σ* ein Beweis, B die Menge aller Beweise.
Minimalanforderungen an B:
1. B∈REC
2. Es gibt F∈R (einen Algorithmus/ eine Interpretationsfunktion) mit F(b) ist die vom Beweis b bewiesene
Aussage.
Allgemein:
b=(p1,...pn) –
Im Beweis haben wir eine Folge von Beweisschritten (elemtaren Axiomen, bewiesenen
Schritten oder sie wurden mithilfe von festen Beweisregeln aus dem vorhergehenden Aussagen
erzeugt)
Mit dem Beweis wird häufig das bewiesen, was als letztes Element darstellt. Somit ist das zu
Beweisende ( F(b) ) eine Projektion auf das letzte Element der Beweiskette pn.
(B,F) heißt Beweissystem für A=DF
1) B∈REC
2) F:B->A, F∈R
Bew(B,F)=DF F(B) (Wertebereich von F) = {p: Es gibt b∈B und F(b)=p }
(Menge aller der Aussagen, die ich mittels B und F (B,F) beweisen kann. Im allgemeinen gilt: Bew(B,F) </= A)
(B,F) heißt für A vollständig =DF Bew(B,F)=A
Satz20 Gödelscher Unvollständigkeitssatz: Jedes Beweissystem (B,F) für WA die
Menge der wahren arithmet. Ausdrücke ist notwendigerweise unvollständig.
Wenn ich z.B. einen Satz aus der elmentaren Zahlentheorie nicht beweisen kann, so hat das verschiedene
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Einführung in die Theoretische Informatik
Semester: IV
Ursachen:
• Aussage falsch
• Aussage mit meinem Beweissystem nicht
nachweisbar
• Beweis nur noch nicht gefunden
Aussage, die ich
beweisen will
.
WA
Beweis(B,F)
Beweis von Satz20:
Annahme: (B,F) ist vollständig für WA.
Da B entscheidbar (laut
Vorraussetzung) => B ist aufzählbar (REC ⊆ RE)
Aufzählung von B sei ϕ (ϕ (n) sei Element von B)
F(ϕ (n)) ist Aufzählung von WA, Widerspruch mit Satz 19. qed.
Beweissystem,
dass ich nutze
Isomorphiesatz von Rogers: Haben wir zwei Gödelisierungen, so können wir von
einer Gödelisierung in die andere im Sinne einer Isomorphie (eineindeutige
Inhaltsgleichung) umrechnen.
Sind ϕ und ψ Gödelisierungung von Pa (Pr), dann gibt es einen Übersetzungsisomorphismus h∈R mit ϕi=ψh(i)
(Es gibt einen eineindeutige Umrechnungen h von Gödelisierungung ineinander. Es genügt also, sich auf eine
Gödelisierung zu beschränken.)
S – m – n – Theorem: Für beliebige k
k=m+n; gibt es eine Übersetzungsfunktion s mit ϕi=(x1,...,xk)= ϕi(x1,...,xm,y1,...,yn) = ϕs(i,x1,...,xm)(y1,...,yn)
(Ich kann also eine k-stellige Funktion in eine n-stellige Fkt. überleiten und die restlichen Stellen m als konstant
annehmen.)
Konsequenz: Für jede kstellige berechenbare Funktion gibt es eine Übersetzungsfunktion, die es erlaubt, die
ersten Parameter als konstant zu betrachten. Bei der Untersuchung von berechenbaren Funktionen kann man sich
auf einstellige Funktionen beschränken.
Fixpunktsatz/ Rekursionstheorem:
Für jede Gödelisierung ϕ und jede Übersetzungsfunktion k∈R
gibt es ein n∈N (nat. Zahlen) mit ϕn = ϕk(n) (n ist der Fixpunkt
bezüglich k). Es gibt keine universelle Störfunktion. Es gilt
darüberhinaus, dass es unendlich viele solche Fixpunkte gibt.
j
i
ϕi
a
Konsequenz: Es gibt keine universelle Störfunktion.
ϕi != ϕj
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Einführung in die Theoretische Informatik
Semester: IV
Überblick und Prüfungswichtung/ Musterklausur:
Was ist berechenbar?
Was ist ein Alghorithmus?
Was ist intuitiv berechenbar?
Konstruktion von intuitiv berechenbaren Funktionen (Pr, R, Pa)
s, o, Im(n) ... Pr
Pr, SUB ... R
MIN
R, Pa
Hauptsatz der Algorithmentheorie:
alle Modelle berechnen das Gleiche,
sie berechnen die
Fkt. aus Pa
...R/Pa
Algorithmenmodelle
Pascalfraqument
RAM
Turing
Markov
These von
Church
Gibt es algorithmisch unlösbare Probleme?
REC, RE
Definition, Eigenschaften, Zusammenhänge zwischen den Mengen
RE
REC
•
•
•
•
•
•
•
•
K (spezielles Halteproblem)
dovetailing
Reduktion ≤m
A≤mB und A∉REC (RE) => B∉REC (B∉RE)
H10, PKP (Postsches Korrespondenzproblem)
Eigenschaften
Gödelisierungen (Definition, Eigenschaften, Aussagen)
T (Turingprädikat)
Projektionsatz (Aussage über die Aufzählbarkeit und über den Satz von Rice indirekt über
die nichtaufzählbarkeit)
Satz von Rice
Anwendung in anderen Theorien
•
Gödelscher Unvollständigkeitssatz
Wesentliche Schwerpunkte siehe obige Auflistung!
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Einführung in die Theoretische Informatik
Semester: IV
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Verwendung der Rekursion
Erstellung eines Turingprogrammes
-++;+++;---;?++;--+;---;--+
(ist die charakterist. Fkt. einer Menge berechenbar, so ist diese Menge entscheidbar)
(ist die spezielle charakterist. Fkt. einer Menge berechenbar, so ist die Menge aufzählbar)
Komplement monoton aufzählbar => Komplement auch entscheidbar (Satz10')
Komplement entscheidbar => M entscheidbar (Satz5)
P auf M reduzierbar, M entscheidbar => P entscheidbar
Def. Turingprädikat
Verwendung für den Beweis der Aufzählbarkeit mithilfe des Projektionssatzes
nein – Satz von Rice
ja – nur Semientscheidbarkeit gefragt/ Aufzählbarkeit (Dovetailing, Projektionsatz) Man muß zwei
Elemente x1 und x2 finden, so, das die Funktionswerte verschieden sind. i ∉M Es gibt x1, x2, t1, t2, y1,
y2 mit T(i, xi, t1, y1) und T(i, x2, t2, y2) und y1≠y2
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