Dipolnäherung - IAP TU

Seminar: Quantenoptik und nichtlineare Optik
Quantisierung des elektromagnetischen
Strahlungsfeldes und die Dipolnäherung
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Inhalt
Motivation
Motivation
Maxwell Gleichungen
Maxwell-Gleichungen
Quantisierung des Strahlungsfeldes
Dipolnäherung
Dipolnäherung
Zusammenfassung
Zusammenfassung
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Motivation
 Maxwellgleichungen beschreiben alle elektromagnetischen Phänomene
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Warum Quantisierung?
 Strahlung eines schwarzen Körpers
 Wiensches Stahlungsgesetz nur
gültig für kleine Wellenlängen
 Rayleigh Jeanssches Strahlungsgesetz
füh t zu UV
führt
UV-Katastrophe
K t t h
 Plancksches Strahlungsgesetz
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Warum Quantisierung?
 Äußerer Photoeffekt
 Bisherige Meinung:
kinetische Energie der Elektronen
hängt von der Amplitude der elm.
Welle ab
 Einstein:
kinetische Energie der Elektronen hängt von der Frequenz der
elm Welle ab
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Maxwellgleichungen
 Gaußsches Gesetz
 Gaußsches Gesetz für Magnetfelder
 Induktionsgesetz
 Ampèresches Gesetz
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Gaußsches Gesetz
 Die Ladung ist die Quelle des elektrischen Feldes
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Gaußsches Gesetz für Magnetfelder
 Das magnetische Feld ist quellenfrei
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Induktionsgesetz
 Änderungen des magnetischen Felds führen zu einem elektrischen
Wirbelfeld
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Ampèresches Gesetz
 Elektrische Ströme führen zu einem magnetischen Wirbelfeld
 Rechte Hand Regel
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Maxwell-Gleichungen
 Maxwellgleichungen im Vakuum
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Maxwell-Gleichungen
Maxwell Gleichungen
 Maxwell-Gleichungen
Maxwell Gleichungen in Materie
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Quantisierung des Strahlungsfeldes
 Der reziproke Raum
 Vektorpotential und skalares Potential
 Longitudinale und Transversale Vektorfelder
 Normalvariablen
 Energie
E
i d
des elektromagnetischen
l kt
ti h F
Feldes
ld
 Quantisierung
 Warum Bosonen?
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Der reziproke Raum
 Fouriertransformation
F i t
f
ti der
d F
Felder
ld
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Maxwellgleichungen im reziproken Raum
 Hängen nur noch von k ab ,keine
keine partiellen DGL
DGL`s
s mehr
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Vektorpotential und skalares Potential
 A(r,t)
( , ) und U ((r,t)
, ) erfüllen Maxwell-Gleichungen
g
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Vektorpotential und skalares Potential
 Reduzierung von 4 auf 2 Gleichungen
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Vektorpotential und skalares Potential
 A und U nicht eindeutig festgelegt
 Eichfreiheit !
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Coulomb Eichung
 Longitudinaler Anteil des Vektorpotentials ist 0
 Wellen breiten sich in transversaler Richtung aus
 Skalares Potential entspricht Coulombpotential
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Helmholtz-Theorem
Helmholtz Theorem
 Ein Vektorfeld V läßt sich eindeutig als Summe eines wirbelwirbel und eines
quellenfreien Vektorfeldes darstellen
mit
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Longitudinale/Transversale Vektorfelder
 Longitudinale Vektorfelder
 Transversale Vektorfelder
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Longitudinale/Transversale Vektorfelder
 Angewandt auf die reziproken Maxwellgleichungen
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Normalvariablen
 Definition der Normalvariablen
 Analog gekoppeltes Federpendel
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Normalvariablen
 Es gilt aufgrund von
 Umstellen der Gleichungen der Normalvariablen ergibt:
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Harmonischer Oszillator
 Harmonischer Oszillator mit Potential
 Einführung der Normalvariablen
 Hamiltonfunktion mit Normalvariablen
 Kanonischer Impuls
 Bewegungsgleichung
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Normalvariablen
 Entwicklungsgleichung der Normalvariablen
 Äquivalent zum harmonischen Oszillator der Variable x + i (p / m w) mit
Eigenfrequenz w , getrieben von externer Quelle
 Falls
F ll
= 0 : Lö
Lösung iistt h
harmonische
i h O
Oszillation,
ill ti
welche
l h eine
i
normale Vibrationsmode des freien Feldes beschreibt.!
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Polarisationsvektoren
 Darstellen von a in einer Orthonormalbasis (
orthogonal zu k sind
 Es
E gilt
ilt
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),
) welche in einer Ebene
Normalvariablen
 Daraus folgt :
N
Neue E
Entwicklungsgleichung:
t i kl
l i h
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Energie des elektromagnetischen Feldes
 Energie des elektromagnetischen Feldes:
 Verwendung der Parseval-Plancherel-Gleichung
 Ergibt für das elektrische Feld
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Energie des elektromagnetischen Feldes
 Es gilt
und
 Die Energie des transversalen elektrischen Feldes + der magnetischen
Energie
g ergibt
g somit:
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Energie des elektromagnetischen Feldes
 Unter Verwendung der Gleichungen
und
Ergibt sich die Energie des transversalen elektromagnetischen Feldes zu :
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Energie des elektromagnetischen Feldes
 Durch Normierung ergibt sich für
 Unter Verwendung der Orthonormalbasis
und durch vertauschen von k
durch –k im 2. Term des Integrals ergibt sich
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Periodische Randbedingungen
 Angenommen das Feld befindet sich in einem Würfel der Kantenlänge L
 Ersetzen der Variablen durch diskrete Variablen
 Änderung
Ä d
der
d Notation
N t ti
 Ersetzen des Integrals durch eine Summe
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Quantisierung
 Der Ausdruck für die Energie ergibt sich damit zu
 Die Normalvariablen werden durch Operatoren ersetzt:
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Warum Bosonen?
 Spin Statistik Theorem
 Photonen sind Bosonen
 Anwendungen: z.B. Laser
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Dipolnäherung
 Anschauliche Erklärung
 Hamiltonian des gesamten System
 Dipolnäherung
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Dipolnäherung
11m) << Wellenlänge (l = 10-6
6m)
 Atomradius (a0 = 5,3
5 3 10-11
L
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Beschreibung der Atome
 Nicht relativistisch !
 Beschreibung durch konjugierte Variablen
 Kommutatorrelation
 „minimal coupling“
 Teilchen trägt Ladung
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und
Hamiltonian des gesamten Systems
 Hamiltonian des gesamten Systems
 Aufteilung des Hamiltonian in 3Teile
 Ungestörter Hamiltonian / Wechselwirkungshamiltonian
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Hamiltonian des gesamten Systems
 Hamiltonian des Teilchen
 Hamiltonian
H ilt i des
d ttransversalen
l St
Strahlungsfelds
hl
f ld
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Hamiltonian des gesamten Systems
 Wechselwirkungshamiltonian
 Linearer Term
 Quadratischer Term
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Hamiltonian des gesamten Systems
 Vernachlässigung des Wechselwirkungshamiltonian
 Für schwache Wechselwirkung (z.B. kleine Laserintensitäten)gilt :
HI1/HP << 1 ï HI2/HI1 << 1
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Dipolnäherung
 Dipolmoment:
d
 Ausgangshamiltonian
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Dipolnäherung
 Räumliche Ausdehnung von A(r,t)
A(r t) vernachlässigbar
 A^(r,t) duch A^(R,t) ersetzen (R = Schwerpunkt des Atoms = 0)
r2
r3
ï
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r1
Göppert Mayer Transformation
 Göppert-Mayer
Göppert Mayer Transformation:
 mit
 Transformation
T
f
ti auff Operatoren
O
t
angewendet
d t
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Unitäre Transformationen
 Schrödinger Gleichung
 Transformierter Zustand
 Neuer Hamiltonoperator
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Dipolnäherung
 ergibt neuen Hamiltonoperator
mit Dipoleigenenergie des Systems
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Dipolnäherung
 Transformation des transversalen elektrischen Feldes
 Wiederholung: Definition des Verschiebungsfeldes
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Dipolnäherung
 Anwendung der Göppert Mayer Transformation auf D ergibt:
 Vergleich des letzten Terms des neuen Hamiltonoperators ergibt:
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Dipolnäherung
 Hamiltonian in Dipolnäherung
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Zusammenfassung
Maxwellgleichungen
Maxwellgleichungen
Quantisierung des Strahlungsfelds
Dipolnäherung
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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit !
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Quellen
 [1] Cohen-Tannoudji,
Cohen Tannoudji C.,
C Photons and Atoms: Introduction to Quantum
Electrodynamics (1. Auflage), Wiley (1997)
 [2] Cohen-Tannoudji, C., Atom-Photon Interactions: Basic Processes and
Applications (1.
(1 Auflage)
Auflage), Wiley (1998)
 [3] Jackson, J., Klassische Elektrodynamik (4. Auflage), de Gruyter (2006)
 [4] Mandel, L. and Wolf ,E., Optical coherence and quantum optics
(1 A fl
(1.Auflage),
) C
Cambridge
b id U
University
i
it P
Press (1995)
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