5 Funktionen

65
5
Funktionen
5.1
Hintereinanderausführung von Funktionen, Umkehrfunktion
Sind f : M → N und g : N → K Funktionen, so kann man diese hintereinander ausführen, d.h.
(i) zuerst für x ∈ M die Funktion f auswerten; das liefert f (x) ∈ N ;
(ii) dann für f (x) ∈ N die Funktion g auswerten; das liefert g(f (x)) ∈ K.
(iii) Dies liefert eine neue Funktion M → K (da jedem x ∈ M genau ein g(f (x)) ∈ K zugewiesen wird;
wir schreiben diese Funktion
g ◦ f (lies “g nach f ”)
mit
(g ◦ f )(x) := g(f (x)).
Definition 5.1.1 Für Funktionen f : M → N und g : N → K heißt
g◦f :M →K
mit
g ◦ f (x) := g f (x)
für alle x ∈ M
Komposition oder Hintereinanderausführung von f und g.
Bemerkungen 5.1.2
(1) Für
f : IR → IR
ist
mit f (x) := x + 5,
g ◦ f (x) = (x + 5)2 ,
g : IR → IR
mit g(x) := x2
f ◦ g (x) = x2 + 5.
Die Komposition zweier Funktionen ist also nicht kommutativ.
(2) Für
f : IR → IR
ist
mit f (x) := x + 5,
g : IR \ {0} → IR
mit g(x) :=
1
x
1
nicht definiert für x = −5,
x+5
1
f ◦ g (x) = + 5 nicht definiert für x = 0.
x
g ◦ f (x) =
(3) Man kann auch die Komposition beliebig endlich vieler Funktionen bilden. So ist z.B. die Funktion
r
2
2
f : {x ∈ IR; x ≤ − } → IR mit f (x) :=
+3
3
x
Komposition der Funktionen
f1 : IR\{0} → IR mit f1 (x) :=
2
,
x
f2 : IR → IR mit f2 (x) := x+3,
d.h. es gilt
f = f3 ◦ f2 ◦ f1 .
f3 : IR+
0 → IR mit f3 (x) :=
√
x,
5. Funktionen
66
(4) Ist f : M → N bijektiv, g : N → M die Umkehrfunktion von f und idM : M → M bzw.
idN : N → N die identischen Funktionen auf M bzw. N , d.h. mit id(x) = x für alle x, dann gilt
g ◦ f = idM ,
5.2
f ◦ g = idN .
Reelle Funktionen
Wir beschränken uns nun auf Funktionen mit reellen Definitionsbereichen und Werten. Weiter sei für
jede Funktion der maximal zulässige Definitionsbereich gewählt.
Üblicherweise stellt man solche Funktionen in einem (x, y)-Koordinatensystem durch ihren Graphen,
d.h. die Menge der Zuordnungspaare, dar. Bei auf Q
I definierten Funktionen ist ein solcher Graph wegen
der Nichtvollständigkeit von Q,
I d.h. den vielen Definitionslücken“ auf der x-Achse, keine durchgehende
”
Linie. Nur bei reellen Funktionen kann diese Linie durchgehend sein, muss aber nicht, wie die DirichletFunktion zeigt.
Aus der Zeichnung kann man sofort Eigenschaften der Funktion f : X → Y mit Definitionsgebiet X
und Wertebereich Y erkennen:
- f ist eine Funktion, d.h. die Zuordnung ist eindeutig. Für jedes x ∈ X schneidet daher die Parallele
zur y-Achse durch (x|0) den Graphen in genau einem Punkt.
- Schneidet für jedes y ∈ Y die Parallele zur x-Achse durch (0|y) den Graphen in höchstens einem
Punkt, dann ist die Zuordnung injektiv.
- Schneidet für jedes y ∈ Y die Parallele zur x-Achse durch (0|y) den Graphen in mindestens einem
Punkt, dann ist die Zuordnung surjektiv.
- Schneidet für jedes y ∈ Y die Parallele zur x-Achse durch (0|y) den Graphen in genau einem
Punkt, dann ist die Zuordnung bijektiv.
Liegt bei einer bijektiven Funktion die Funktionsvorschrift in Form einer Formel y = f (x) vor, dann
erhält man die Umkehrfunktion durch Auflösen der Gleichung nach x, und man erhält die Formel
x = f −1 (y). Die in den Graphen von f und f −1 dargestellten Paare sind gleich, d.h. f und f −1
haben denselben Graphen, nur die Bedeutung von x und y als unabhängiger bzw. abhängiger Variabler
unterscheiden sich.
Will man in der Formel der Umkehrfunktion, wie gewohnt, die unabhängige Variable wieder mit x
bezeichnen, dann entspricht das bei der zeichnerischen Darstellung der Umkehrfunktion einer Vertauschung der Koordinatenachsen bzw. einer Spiegelung des Graphen von f an der 1. Winkelhalbierenden
y = x.
Die folgende Zeichnung zeigt die Graphen der Funktion
f : IR+
0 → [−2; ∞)
mit
y = f (x) =
x2
−2
4
und ihrer Umkehrfunktion
in der Form x = f −1 (y) =
p
4y + 8
bzw.
y = f −1 (x) =
√
4x + 8.
5. Funktionen
67
Man kann aus der zeichnerischen Darstellung einer reellen Funktion durch ihren Graph weitere wichtige
Eigenschaften erkennen.
Durchläuft man z.B. die beiden Kurven der obigen Zeichnung von links nach rechts, d.h. mit wachsendem x, dann wird der zugehörige y-Wert immer größer. Ein solches Verhalten von Kurven ist z.B.
aussagekräftig bei Fieberkurven oder Kurven, die einen Aktienindex in Abhängigkeit von der Zeit darstellen.
Definition 5.2.1 Es sei I ein Intervall (oder ganz IR), f : I → IR eine Funktion. Gilt für alle x1 , x2 ∈ I
mit x1 < x2
(a) f (x1 ) ≤ f (x2 ), dann heißt f monoton wachsend,
(b) f (x1 ) ≥ f (x2 ), dann heißt f monoton fallend,
(c) f (x1 ) < f (x2 ), dann heißt f streng monoton wachsend,
(d) f (x1 ) > f (x2 ), dann heißt f streng monoton fallend.
Bemerkungen 5.2.2 (1) In der Literatur findet man findet auch steigend“ bzw. zunehmend“ statt
”
”
wachsend“ und abnehmend“ statt fallend“.
”
”
”
(2) Jede konstante Funktion ist sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend.
(3) Wenn nichts weiter angemerkt wird, gilt eine Monotonie-Aussage für den ganzen Definitionsbereich. Es ist aber auch sinnvoll, Monotonie auf Teilintervallen des Definitionsbereichs zu untersuchen.
Beispiele 5.2.3
(1) Die Funktion f : IR → IR mit f (x) := a · x ist
- konstant und damit sowohl monoton wachsend als auch monoton fallend für a = 0,
- streng monoton wachsend für a > 0,
- streng monoton fallend für a < 0.
5. Funktionen
68
(2) Die Funktion f : IR → IR mit f (x) := x2 ist
- streng monoton fallend im Intervall (−∞, 0],
- streng monoton wachsend im Intervall [0, ∞).
Monotonie und Injektivität sind keine voneinander unabhängige Eigenschaften:
Satz 5.2.4 Jede streng monotone Funktion f : I → IR (wachsend oder fallend) ist injektiv.
Bemerkungen 5.2.5 (1) Auf das Wort streng“ kann in der Voraussetzung nicht verzichtet werden.
”
Z.B. ist eine konstante Funktion monoton, aber nicht injektiv.
(2) Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch.Z.B. ist die Funktion


für x < −1
x
f : IR → IR
mit f (x) = −x für − 1 ≤ x ≤ 1


x
für x > 1
injektiv (sogar bijektiv), aber weder monoton steigend noch monoton fallend.
(3) Gelegentlich ist es hilfreich, das Vorzeichen der Differenz f (x2 ) − f (x1 ) für alle x1 , x2 ∈ I mit
x1 < x2 zu betrachten.
Z.B. gilt für die Funktion
f : [0, 5; ∞) → IR
f (x) := x2 − x − 6
mit
und beliebige x1 , x2 ∈ [0, 5; ∞) mit x1 < x2
f (x2 ) − f (x1 ) = (x22 − x2 − 6) − (x21 − x1 − 6)
= x22 − x2 − 6 − x21 + x1 + 6
= (x22 − x21 ) − (x2 − x1 )
= (x2 − x1 ) · [( x2 + x1 ) − 1]
| {z } |{z} |{z}
>0,5
>0
Also ist f streng monoton wachsend.
|
> 0.
≥0,5
{z
>0
}
in Naturwissenschaft und Technik, aber auch im normalen Leben, möchte man mit Hilfe von Funktionen
zukünftige Situationen auf Grund der derzeitigen Situation bestimmen, z.B. wie lang eine Tankfüllung
reicht oder wann ein Kredit abgezahlt ist. Allerdings sind die Größen, die als Grundwerte für die Berechnung des Funktionswertes dienen, meist keine exakten Werte, sondern Werte mit Meßungenauigkeiten
oder Schätzwerte. Man kann also auch keine genaue Voraussage erwarten.
Die Berechnung ist aber nur dann sinnvoll, wenn die Voraussagen wenigstens im wesentlichen stimmen, also der auf Grund der nicht exakten Eingangswerte berechnete Funktionswert vom richtigen“
”
Funktionswert auch nur wenig abweicht. Zum Beispiel kann man für einen Regentropfen, der in einem
5. Funktionen
69
bestimmten Gebiet der Schwäbischen Alb (Wasserscheide) auf den Boden fällt, nicht voraussagen, ob
er in der Nordsee oder im Schwarzen Meer landet.
Um Funktionen zu beschreiben, die für diese Zwecke geeignet sind, müssen wir sowohl in der Definitionsmenge als auch in der Wertemenge einen Abstand“ zweier Elemente definieren. Bei reellen Funktionen
”
nimmt man den Betrag der Differenz |x − y| und bezeichnet ihn in der Definitionsmenge oft mit δ und
in der Wertemenge oft mit ǫ.
Definition 5.2.6 Seien X, Y j IR, f : X → Y eine Funktion. f heißt stetig im Punkt x0 ∈ X, wenn
gilt:
Zu jedem ǫ ∈ IR mit ǫ > 0 gibt es ein δ ∈ IR mit δ > 0, so dass für alle x mit |x − x0 | < δ gilt
|f (x) − f (x0 )| < ǫ.
Bemerkungen 5.2.7 (1) Obige Definition wird oft als Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit“ be”
zeichnet. Man kann natürlich auch für Funktionen, die nur auf rationalen Zahlen definiert sind,
untersuchen, ob sie stetig sind. Allerdings können diese Funktionen Eigenschaften haben, die unserer Anschauung sehr stark zuwiderlaufen.
(2) Ist X ′ j X und f in jedem x0 ∈ X ′ stetig, dann nennt man f stetig in X ′ .
(3) Bei stetigen Funktionen ist garantiert, dass man für die Funktionswerte eine vorgegebene Maximalabweichung bzw. Toleranz einhalten kann, wenn man bei den Urbildern um weniger als das
zugehörige δ abweicht.
Beispiele 5.2.8
(1) Jede konstante Funktion f : IR → IR mit f (x) := a für alle x ∈ IR ist stetig in IR.
(2) Jede lineare Funktion f : IR → IR mit f (x) := a · x für alle x ∈ IR ist stetig in IR.
(3) Die quadratische Funktion f : IR → IR mit f (x) = x2 für alle x ∈ IR ist stetig in IR.
1
ist nur für x0 6= 0 definiert. Sie ist in ihrem Definitionsgebiet stetig.
x
Legt man allerdings für x = 0 einen beliebigen Funktionswert fest (z.B. f (0) := 5), dann ist f in
x = 0 unstetig.
(4) Die Funktion f (x) :=
x
(5) Die Funktion f (x) :=
ist ebenfalls nur für x0 6= 0 definiert. Sie ist in ihrem Definitionsgebiet
x
stetig.
Legt man für x = 0 den Funktionswert geeignet fest mit f (0) := 1, dann ist f (mit erweiterter
Definitionsmenge) in IR stetig.
(6) Die Funktion
ist in x0 = 0 unstetig.


−1 für x < 0
f (x) := 0
für x = 0


1
für x > 0
(7) Die Dirichlet-Funktion ist für kein x0 ∈ IR stetig, denn für ǫ < 1 gibt es kein geeignetes δ > 0.
Dies liegt an der Dichtheit der rationalen Zahlen in IR: In jedem noch so kleinen Intervall reeller
Zahlen liegen auch rationale Zahlen.
5. Funktionen
70
Wir durchlaufen den Graphen einer Funktion f (x) von links nach rechts oder von rechts nach links
bis jeweils zu einem festen x0 . Wenn die Funktion stetig ist, dann sollten wir jeweils ohne abzusetzen
im Punkt (x0 |f (x0 )) ankommen. Um dieses Annähern zu beschreiben, betrachten wir eine Folge von
Momentaufnahmen“ (xn |f (xn )) mit n ∈ IN, wobei sich die Urbilder mit wachsendem Index immer
”
mehr dem Wert x0 nähern sollten.
Wir wollen dieses Vorgehen mathematisch exakt beschreiben:
Definition 5.2.9 Sei Y eine nichtleere Menge.
Eine Funktion f : IN → Y heißt Folge, eine Funktion f : IN → Y j IR reelle Zahlenfolge.
Der Funktionswert f (n) heißt n-tes Folgenglied und wird oft in der Indexschreibweise“ mit an be”
zeichnet.
Für die gesamte Folge sind die Schreibweisen
(a1 , a2 , a3 , . . .)
oder
(an )n∈IN
bzw. kurz
(an )
üblich. Dabei werden die Folgenglieder von runden Klammern eingeschlossen, um die Folge von der
Bildmenge
f (IN) = {a1 , a2 . . .}
zu unterscheiden.
Bemerkungen 5.2.10 (1) Im Unterschied zur Bildmenge ist bei der Folge die Reihenfolge der Folgenglieder wesentlich und es darf ein Element mehrfach auftreten. Zum Beispiel wird die konstante Folge
f : IN → IR mit f (n) := 1
mit
(1, 1, 1, . . .)
bezeichnet, und die Bildmenge ist f (IN) = {1}.
(2) Da die reellen Zahlen-Folgen als spezielle reellwertige Funktionen definiert sind, können wir Begriffe
wie monoton, beschränkt bzw. Infimum und Supremum übernehmen.
Eine reelle Zahlenfolge kann man sich anschaulich vorstellen, indem man die Folgenglieder nacheinander
auf der reellen Zahlengeraden einzeichnet. Eine zweite Möglichkeit ist, die Zahlenfolge als reellwertige
Funktion zu betrachten und ihren Graph zu zeichnen.
5. Funktionen
71
Beispiel 5.2.11 Um das mögliche Verhalten von Folgen zu beobachten, betrachten wir die Graphen
folgender reeller Zahlenfolgen für jeweils die ersten 100 Glieder:
(an ) =
1
n
,
(−1)n n (bn ) = (1 +
) ,
n
(cn ) = (−1)n n2 ,
dn+1 = q · dn · (1 − dn ) mit q = 2, 5;
3, 2;
3, 5;
4, 0.
Die Folge (an ) ist monoton fallend, die Folgen (an ), (bn ), und (dn ) sind beschränkt.
Die Folgenglieder können sich um genau einen Punkt häufen“ (wie bei Folge (an ) oder bei (dn ) für
”
q = 2, 5) oder an zwei oder mehr Punkten (wie bei den Folgen (bn ) und bei (dn ) für q = 3, 2 oder
q = 3, 5.
Ist eine Folge nicht nach oben beschränkt, dann sagt man, die Folgenglieder häufen sich um den Punkt
∞ (∞ ist keine Zahl!), und bei nach unten nicht beschränkten Folgen um −∞. Beides ist bei Folge (cn )
der Fall.
5. Funktionen
72
Eine Folge kann anscheinend sogar ein ganzes Intervall ausfüllen“, d.h. um jeden Punkt häufen sich
”
Folgenglieder, wie das Beispiel der Folge der rationalen Zahlen im Intervall [0, 1] zeigt, die das ganze
Intervall ausfüllt.
Das führt zu folgender
Definition 5.2.12 Sei (an ) eine beliebige reelle Zahlenfolge, a ∈ IR. Gibt es zu jedem beliebig vorgegebenen (kleinen) Abstand ǫ > 0 einen Index n0 , so daß alle Folgenglieder an mit größerem Index n > n0
zu a einen Abstand |an − a| kleiner als ǫ haben, dann heißt die Folge konvergent gegen a. a heißt
Grenzwert oder Limes der Folge.
Schreibweise: an → a für n → ∞ oder lim an = a.
n→∞
Eine nicht konvergente Zahlenfolge heißt divergent.
Bemerkung 5.2.13 Eine Folge (an )n∈IN ist also dann konvergent gegen a, wenn in jeder ǫ-Umgebung
von a alle Folgenglieder mit höchstens endlich vielen Ausnahmen liegen.
Stellt man die Folge als Funktion grafisch dar, und zeichnet (für ein beliebig gewähltes ǫ > 0) um y = a
symmetrisch einen Streifen parallel zur x–Achse mit Breite 2ǫ, dann müssen ab n0 alle Folgenglieder in
diesem Streifen liegen.
Mit Hilfe von Folgen ergibt sich als äquivalente Charakterisierung stetiger Funktionen:
Satz 5.2.14 Eine Funktion f : X → Y ist genau dann stetig in x0 , wenn für jede Folge xn , die gegen
x0 konvergiert, die Folge f (xn ) gegen f (x0 ) konvergiert.
Bemerkungen 5.2.15
(1) Kurz ausgedrückt gilt für eine stetige Funktion:
lim f (xn ) = f lim xn .
n→∞
n→∞
(2) Hat eine Funktion an der Stelle x0 eine Sprungstelle, dann ist sie dort sicher unstetig. Das sind
aber nicht die einzigen Arten von Unstetigkeitsstellen, wie folgendes Beispiel zeigt:
Wir betrachten die Funktion f : [−1; 1] → IR mit den Funktionswerten
f (0) := 0,
f ±
1 := 0
2n
für n ∈ IN,
f ±
1 1 := 1 und f ±
:= −1 für n ∈ IN0 ,
4n + 1
4n + 3
und zwischen
Punktenverlaufe die Funktion linear.
solchen
benachbarten
1
1
1
Die Folgen
,
und
haben den gemeinsamen Grenzwert x0 = 0, und
2n
4n + 1
4n − 1
andererseits erhält man für die Folgen der zugehörigen Funktionswerte von f
1 )
= (0, 0, 0, . . .)
2n n∈IN
1
f(
) n∈IN = (1, 1, 1, . . .)
4n + 1
1
f(
) n∈IN = (−1, −1, −1, . . .)
4n − 1
f(
Die Funktion ist also nicht stetig in x0 = 0.
mit Grenzwert 0 = f (x0 ),
mit Grenzwert 1 6= f (x0 ),
mit Grenzwert − 1 6= f (x0 ).
5. Funktionen
73
Ein wichtiger Satz in der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz bzw. als wesentlicher Spezialfall der
Nullstellensatz:
Satz 5.2.16 Sei [a, b] ein reelles Intervall und f : [a, b] → IR stetig in [a, b].
(a) Gilt f (a) < 0 < f (b), dann gibt es mindestens ein x0 ∈ [a, b] mit f (x0 ) = 0.
(b) Für jedes y0 ∈ (a, b) gibt es ein x0 mit f (x0 ) = y0 .
(Nullstellensatz)
(Zwischenwertsatz)
Bemerkung 5.2.17 In einer rationalen Analysis ist diese Aussage nicht allgemein richtig, wie man am
Beispiel der stetigen Funktion
f : {x ∈ Q;
I 1 ≤ x ≤ 2} → Q
I
mit f (x) := x2 − 2
erkennt.
5.3
Proportionale, antiproportionale und quadratische Funktionen
Bemerkung 5.3.1 Die Diskussion der in den nächsten Abschnitten betrachteten sogenannten elementaren Funktionen werden wir nach dem (PAT)-Modell vornehmen:
(P) Die phänomenologische Ebene: Man erkennt, dass dieser Funktionstyp auftritt. Für bestimmte
Anwendungen dient diese Funktionenklasse als Standardmodell.
(A) Die algorithmische Ebene: Wie geht man technisch mit diesem Funktionstyp um und welche
nützlichen Formeln gibt es zur Handhabung dieser Funktionenklasse?
(T) Die theoretische Ebene: Was charakterisiert diesen Funktionstyp und wie könnte eine Definition
aussehen?
PAT ist ein Modell für das genetische Verstehen der elementaren Funktionen im Unterricht.
5.3.1
Proportionale Zuordnungen - lineare Funktionen
(P) Die phänomenologische Ebene
Aufgabe 5.3.2 Anneke kauft in einer Zoohandlung besonderes Vogelfutter, das dort abgepackt wird.
Der Preis ist 2, 80 e für 100 g. Wieviel kosten 300 g, 150 g, 600 g und 120 g dieses Futters?
Berechne die Preise im Kopf und lege eine Tabelle an, in der du mit Pfeilen verdeutlichst, wie du die
Preise berechnest.
Lösung:
Zur doppelten Futtermenge gehört der doppelte
Preis.
Zur dreifachen Futtermenge gehört der dreifache
Preis.
Zur vierfachen Futtermenge gehört der vierfache
Preis,. . .
Kauft man andererseits nur die Hälfte (ein Drittel, ein Viertel,. . . ), so bezahlt man auch nur
die Hälfte (ein Drittel, ein Viertel,. . . ) des Ausgangspreises.
5. Funktionen
Definition 5.3.3
74
(a) Eine Zuordnung heißt proportional, wenn die folgenden Regeln gelten:
(P 1) Verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ...) man eine Ausgangsgröße, so verdoppelt (verdreifacht, vervierfacht, ...) sich auch die zugeordnete Größe.
(P 2) Halbiert (drittelt, viertelt, ...) man eine Ausgangsgröße, so halbiert (drittelt, viertelt, ...) sich
auch die zugeordnete Größe.
(b) Seien X, Y j IR, f : X → Y ein Funktion. Gibt es Zahlen m, b ∈ IR mit f (x) := m · x + b für alle
x ∈ X, dann heißt f linear.
Bemerkungen 5.3.4
(1) Formelmäßig ergibt sich für die Zuordnung aus der Aufgabe 5.3.2
f (x) =
2, 80
·x=m·x
100
mit Proportionalitätsfaktor m =
2, 80
.
100
(2) Für ein proportionale Zuordnung gilt
f (k · x) = m(kx) = k(mx) = k · f (x).
Beispiele 5.3.5 Handelt es sich bei folgenden Zuordnungen um eine Je mehr-desto mehr“-Zuordnung?
”
Ist sie auch proportional?
(1) Wassermenge → Wassergeld:
Das Entgeld für das Leitungswasser wird folgendermaßen bestimmt: Monatlich 2 e Grundgebühr
plus 2, 55 e pro Kubikmeter Wasser.
(2) Anzahl der geleerten Weinflaschen a 0, 7 l
(3) Gewicht eines Pakets
→
→
Volumen des getrunkenen Weins.
notwendiges Porto.
(4) Kilometerzahl einer Dienstreise
gefahrenen Kilometer).
→
Erstattungsbetrag des Arbeitgebers (bei 30 ct für jeden
(5) Seitenlänge eines Quadrats
→
Flächeninhalt.
(6) Kantenlänge eines Würfels
→
Volumen.
(A) Die algorithmische Ebene
Bemerkungen 5.3.6 (1) Jede proportionale Funktion ist linear. Die lineare Funktion f mit
f (x) := m · x + b ist genau dann proportional, wenn b = 0.
(2) Proportionale Zuordnungen kann mit Hilfe des Dreisatzes berechnen.
Aufgabe 5.3.7
Dorit hat ihre Freundinnen zum Mittagessen eingeladen und
will ihr Lieblingsessen kochen. Wieviel Sechskorn muß sie für
7 Personen abwiegen?
Dorit überlegt: Das Rezept legt für jede Person die gleiche
Menge einer Zutat zugrunde und ist für 4 Personen ausgelegt. Also gehört z.B. zur doppelten Personenzahl die doppelte Menge der Zutaten.
Folglich ist die Zuordnung
Anzahl der Personen → Sechskorngewicht
proportional.
5. Funktionen
Dorit rechnet in 3 Schritten
(Proportionalität f (x) = mx: Dreisatz):
75
Darstellung in einer Tabelle:
• 4 Personen benötigen 140g
• 1 Person benötigt 140g : 4 = 35g
• 7 Personen benötigen 35g · 7 = 245g
Ergebnis: Für 7 Personen werden 245g Sechskorn benötigt.
(3) Bei einer linearen Funktion mit f (x) := m · x + b gehören zu gleichen Zuwächsen c im Argument
immer der gleiche Wachstumssummand d = mc:
Für alle
x, c
gilt
f (x + c) = m(x + c) + b = mx + b + mc = f (x) + d.
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
Die Funktionsvorschrift erhält man aus Steigung m und 1 Punkt (x1 |y1 ) mit Hilfe der PunktSteigungs-Form bzw. aus 2 Punkten (x1 |y1 ), (x2 |y2 ) mit Hilfe der Zwei-Punkte-Form.
Punkt-Steigungs-Form
y − y1
=m
x − x1
Zwei-Punkte-Form
y − y1
y2 − y1
=
x − x1
x2 − x1
5. Funktionen
76
(T) Die theoretische Ebene
Das Ziel ist, lineare Funktionen durch ihre Grundeigenschaften zu charakterisieren
Satz 5.3.8 Jede streng monoton wachsende Funktion f : IR → IR mit der Grundeigenschaft Zu gleichen
”
Zuwächsen im Argument gehört immer der gleiche Wachstumssummand“ ist notwendig von der Form
f (x) = mx + b
mit festen
m, b ∈ IR.
Bemerkung 5.3.9 Im Spezialfall b = 0 (Proportionalitäten) ist die charakterisierende Funktionalgleichung
f (x + y) = f (x) + f (y)
für alle x, y ∈ IR.
Bis auf f (x) = m · x erfüllt keine andere streng monotone Funktion f diese Funktionalgleichung.
Typische Fehler beim Rechnen mit Formeln ist die Anwendung dieser Funktionalgleichung auf andersartige Funktionen, z.B.
(x + y)2 ist nicht gleich x2 + y 2 ,
√
√
√
x + y ist nicht gleich x + y,
sin(x + y) ist nicht gleich sin x + sin y.
Satz 5.3.10 Sei f eine beliebige lineare Funktion mit Steigung m, d.h.
f (x) = m · x + b.
Dann gilt:
(a) f ist für alle x ∈ IR definiert.
(b) f ist monoton, und zwar
(i) streng monoton wachsend für m > 0,
(ii) konstant für m = 0 und
(iii) streng monoton fallend für m < 0.
(c) f : IR → IR ist für m 6= 0 bijektiv. f hat dann die Umkehrfunktion
f −1 : IR → IR
mit
f −1 (x) =
x
b
− .
m m
Diese ist ebenfalls linear. Ihr Graph ist das Spiegelbild des Graph von f an der 1. Winkelhalbierenden.
(d) f ist in IR stetig.
5. Funktionen
5.3.2
Quadratische Funktionen
(P) Die phänomenologische Ebene
Beispiele:
Brückenkonstruktion und Springbrunnen
Luftwiderstand
77
5. Funktionen
78
Bremsweg von Autos
Berechnung des Flächeninhalts eines Quadrats bzw. eines Kreises in Abhängigkeit von
Seitenlänge bzw. Radius:
f (x) = x2
Aufgabe 5.3.11
Um einen oben offenen Karton herzustellen,
werden aus einem quadratischen Stück Pappe
von 45 cm Seitenlänge vier Ecken“ herausge”
schnitten. Der Karton soll außen mit Klebefolie
beklebt werden.
Gib eine möglichst einfache Vorschrift an, mit
der du die zu beklebende Fläche (in cm2 ) in
Abhängigkeit von x (in cm) berechnen kannst.
Lösung: f (x) = 452 − 4x2 .
f (x) = πr 2
5. Funktionen
79
(A) Die algorithmische Ebene
Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel. Je nach Vorzeichen des Koeffizienten
von x2 ist sie nach oben“ oder nach unten“ geöffnet. Sie ist symmetrisch zu einer Parallelen zur
”
”
y-Achse und hat einen Scheitelpunkt, d.h. einen Punkt, der Maximum bzw. Minimum darstellt.
Im Prinzip ist der Graph einer beliebigen quadratischen Funktion g(x) eine Abwandlung (eine affine
”
Transformation“) der Normalparabel, dem Graphen der Funktion f (x) = x2 . Dabei entspricht
g(x) = f (x − b) = (x − b)2
einer horizontalen Verschiebung um b nach rechts (für b > 0) oder nach
links (für b < 0),
g(x) = f (x) + c = x2 + c
einer vertikalen Verschiebung um c nach oben (für c > 0) oder nach
unten (für c < 0),
g(x) = a · f (x) = a · x2
einerStreckung (für a > 1), einer Stauchung (für 0 < a < 1) bzw. einer
Spiegelung an der x-Achse (für a < 0).
Je nach Anwendung ist es sinnvoll, eine der folgenden verschiedene Darstellungsmöglichkeiten zu wählen:
(1) Die allgemeine Form
(2) die Scheitelpunktform
f (x) = ax2 + bx + c,
f (x) = a(x − x0 )2 + y0 mit dem Scheitelpunkt (x0 |y0 ) oder,
(3) wenn möglich, die faktorisierte Form
f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ).
5. Funktionen
80
Beispiele 5.3.12 (1) Lösung quadratischer Gleichungen:
Die Lösung einer quadratischen Gleichung
ax2 + bx + c = 0
ist gleichbedeutend mit der Bestimmung der Nullstellen der Funktion
f (x) = ax2 + bx + c.
Wie man an den Beispielen erkennt, muss eine quadratische Funktion keine Nullstelle haben, sie
kann eine Nullstelle oder zwei Nullstellen haben, aber nicht mehr.
Liegt die Funktion in faktorisierter Form vor, dann sind (die möglicherweise gleichen) Werte x1 , x2
gerade die Nullstellen.
Eine quadratische Funktion in allgemeiner Form, z.B. die Funktion
f (x) = −0, 5x2 − 2x + 4
formt man mit Hilfe der quadratischen Ergänzung in Scheitelpunktform um:
f (x) = −0, 5x2 − 2x + 4 = −0, 5(x2 + 4x) + 4 = −0, 5(x2 + 4x + 4 − 4) + 4
2
= −0, 5(x2 + 4x + 4) + 6 = −0, 5 x − (−2) + 6.
Die Parabel ist also nach unten geöffnet mit Scheitelpunkt (−2|6), also um 2 nach links und um
6 nach oben verschoben.
Die Nullstellen erhält man, indem die Scheitelpunktsform gleich Null setzt und nach x auflöst:
√
2
2
−0, 5 x − (−2) + 6 = 0
⇔
x − (−2) = 12
⇔
x1,2 = −2 ± 12.
Führt man diese Rechnung für die Funktion
f (x) = ax2 + bx + c
durch, dann erhält man die Nullstellen (wenn sie existieren) durch die p-q-Formel“:
”
r
p2
b
1 p 2
p
b
c
x1,2 = − ±
b − 4ac = − ±
−q
mit p = , q = .
2a
2a
2
4
a
a
Der Ausdruck unter der Wurzel D :=
p2
− q heißt Diskriminante der Gleichung
4
x2 + px + c = 0
und ihr Vorzeichen gibt Auskunft darüber, wie viele (reelle) Lösungen es gibt. Für
D<0
D=0
D>0
hat die Gleichung keine Lösung,
p
hat die Gleichung genau eine Lösung, nämlich x1 = − ,
2
r
p
p2
hat die Gleichung zwei Lösungen x1,2 = − ±
− q.
2
4
5. Funktionen
81
Addiert man die Nullstellen, dann erhält man immer −p und durch Multiplikation immer q, d.h.
die Nullstellen einer quadratischen Gleichung der Form
x2 + px + q = 0
sind die beiden (möglicherweise gleichen) Zahlen, deren negative Summe p und deren Produkt q
ergibt (Satz von Vieta).
In Spezialfällen (z.B. wenn die Nullstellen ganzzahlig sind) kann man daher die Nullstellen auch
erraten.
(2) Lösung quadratischer Ungleichungen:
Die Lösung einer quadratischen Ungleichung
ax2 + bx + c < 0
ist gleichbedeutend mit der Bestimmung der x-Werte, für die die zugehörigen Werte der Funktion
f (x) = ax2 + bx + c
negativ sind.
Bei der Ungleichung
x2 + 2x − 3 < 0
sind das die Werte zwischen den beiden Nullstellen x1 = −3 und x2 = 1 der Funktion
f (x) = x2 + 2x − 3,
also alle x-Werte aus dem (offenen) Intervall zwischen −3 und 1.
Bei der Ungleichung
−x2 + x + 6 < 0
sind das die Werte links von der Nullstelle x1 = −2 sowie rechts von der Nullstelle x2 = 3 der
Funktion
f (x) = −x2 + x + 6,
also alle reellen Zahlen außer den Werten aus dem (abgeschlossenen) Intervall zwischen −2 und 3.
(3) Für Extremwertprobleme ist die Scheitelpunktform die am besten geeignete.
Aufgabe 5.3.13 Mit 120 m Zaun soll ein rechteckiger Auslauf für Hühner abgegrenzt werden.
Wie erhält man eine möglichst große Fläche, wenn der Auslauf
(a) auf offenem Gelände
(b) an einer Hauswand
angelegt werden soll?
5. Funktionen
82
Lösung:
Die zu maximierende Fläche ist
A = a · b,
der vorgegebene Umfang, der durch den Zaun abgedeckt wird,
120 = U1 = 2a + 2b
bzw.
120 = U2 = 2a + b.
Löst man die Formel für U nach b auf und setzt dies in die Flächenformel ein erhält man A als
quadratische Funktion von a, nämlich
A = f1 (a) = a(60 − a) = 60a − a2 = −(a − 30)2 + 900
bzw.
A = f2 (a) = a(120 − 2a) = 120a − 2a2 = −2(a − 60)2 + 1800.
Die Scheitelpunkte der zugehörigen Parabeln sind (30|900) bzw. (30|1800), der gesuchte maximale
Flächeninhalt ergibt sich also im ersten Fall bei a = b = 30, d.h. wenn die Fläche ein Quadrat ist,
und beträgt 900. Im zweiten Fall ergibt sich a = 30, b = 60, also als Fläche ein halbes Quadrat,
und der maximale Flächeninhalt ist 1800.
(T) Die theoretische Ebene
Parabeln lassen sich (außer als Graph einer quadratischen Funktion) als Schnitte eines (unendlich ausgedehnten) geraden Kreis(doppel)kegels mit einer geeigneten Ebene, d.h. als Kegelschnitt, charakterisieren.
Eine andere Charakterisierung ist als geometrischer Ort:
Wir betrachten den Punkt F = (0|b) und die Gerade g parallel zur x-Achse durch (0| − b) und suchen
die Menge M aller Punkte (x|y), die von F und g denselben Abstand haben.
p
Der Abstand zu g ist y + b, der Abstand zu F ist x2 + (y − b)2 .
Gleichsetzen ergibt als Gleichung für die Punkte von M
1 2
y=
x ,
4b
sie liegen also auf einer Parabel.
5. Funktionen
83
Satz 5.3.14 Sei F ein fester Punkt, g eine Gerade in der Ebene mit f 6∈ g. Dann bilden alle Punkte der
Ebene, die von F und g gleichen Abstand haben, eine Parabel. F heißt Brennpunkt und g Leitgerade
der Parabel.
Bemerkungen 5.3.15
(1) Umgekehrt hat jede Parabel einen Brennpunkt und eine Leitlinie.
(2) Man nutzt diese Eigenschaft bei Parabolspiegeln aus. Zum Beispiel werden bei Satellitenschüsseln
die praktisch parallelen Satellitensignale auf den LNB im Brennpunkt gebündelt.
Satz 5.3.16 Sei f (x) = ax2 + bx + c eine beliebige quadratische Funktion mit a > 0 und Scheitelpunkt
(x0 |y0 ). Dann gilt:
(a) f ist für alle x ∈ IR definiert.
(b) f ist in Teilintervallen monoton, und zwar
(i) streng monoton fallend für −∞ < x ≤ x0 ,
(ii) streng monoton wachsend für x0 ≤ x < ∞.
(c) f : [x0 , ∞) → [y0 , ∞) ist bijektiv. f hat dann die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion
r
x − y0
−1
−1
f : [y0 , ∞) → [x0 , ∞)
+ x0 .
mit f (x) =
a
Ihr Graph ist das Spiegelbild des Graph von f an der 1. Winkelhalbierenden.
(d) f ist in IR stetig.
Bemerkung 5.3.17 Für a < 0 ist die Funktion zuerst streng monoton wachsend und dann streng
monoton fallend.
5.4
Exponential- und Logarithmusfunktion
5.4.1
Exponentialfunktion
Menschen zählen zeitlebens wie ABC-Schützen: 400, 402, 403, ..., viele.
Die Natur zählt anders, z.B. bei Zellteilungen, : 400, 800, 1600, 3200, ..., sehr viele. Der zugehörige
Funktionsterm ist dafür
N (t) = 400 · 2t , t ≥ 0.
(P) Die phänomenologische Ebene
Angenommen, einer Ihrer Vorfahren hätte vor genau 300 Jahren 1 e mit 8% pro Jahr festverzinslich
angelegt.
Seine Weitsicht hätte sich bezahlt gemacht! Jahr für Jahr wäre die Einlage um den Faktor 1,08 gewachsen:
1 · 1, 08 · 1, 08 · . . . · 1, 08 = 1, 08300 ≈ 10, 6 Milliarden.
Hinter dem erstaunlichen Anwachsen der bescheidenen Einlage steht die Exponentialfunktion
f (x) = 1, 08x .
Sie genügt, wie wir aus der Potenzrechnung wissen, der Funktionalgleichung
f (x + y) = f (x) · f (y).
5. Funktionen
84
Diese Gleichung besagt insbesondere, daß immer dann, wenn das Argument um den gleichen Wert (+y)
vergrößert wird, der Funktionswert um den gleichen Faktor (·f (y)) zunimmt.
Und genau dies bewirkt, daß exponentielles Wachstum so unerwartet explodiert.
Aufgabe 5.4.1 lineares und exponentielles Wachstum
In einer Flußniederung wird Kies ausgebaggert. Ein anfangs 500 m2 großer Teich vergrößert sich durch
die Baggerarbeiten jede Woche um 200 m2 .
Da der See später als Wassersportfläche genutzt werden soll, wird die Wasserqualität regelmäßig untersucht. Besonders genau wird eine Algenart beobachtet, die sich sehr schnell vermehrt.
Die von den grünen Algen bedeckte Fläche ist zu Beginn der Baggerarbeiten 10 m2 groß, sie verdoppelt
sich jede Woche.
5. Funktionen
85
(a) Setze die Wertetabellen bis zu 8 Wochen fort. Ermittle auch die zugehörigen Funktionsterme f1 (x)
und f2 (x).
(b) Zeichne die Graphen der Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem.
(c) Wann ungefähr ist der ganze See mit Algen bedeckt?
Lösung: Als Funktionsterme ergeben sich
f1 (x) = 500 + 200x
und
f2 (x) = 10 · 2x .
Wie sich aus den Funktionsgraphen ergibt, ist nach ungefähr 7 12 Wochen die ganze Seefläche mit Algen
bedeckt.
Aufgabe 5.4.2 Angenommen, die jährliche Inflationsrate eines Landes liegt über 10 Jahre hinweg bei
6%. Wieviel Prozent beträgt nach dieser Zeit die Kaufkraft?
Die Kaufkraft eines Euro nach 1 Jahr beträgt 0, 94 Euro. Entsprechend gilt
Kaufkraft nach x Jahren = 0, 94x ,
also
Kaufkraft nach 10 Jahren = 0, 9410 ≈ 0, 54.
Der Geldwert verfällt um 46%, das Geld ist nur noch gut die Hälfte wert.
5. Funktionen
86
(A) Die algorithmische Ebene
Gegenüberstellung des Verhaltens linearer und exponentieller Funktionen:
Für
f (x) = b · ax
mit b ∈ IR,
a > 0,
und c ∈ IR beliebig gilt
f (x + c) = b · ax+c = b · ax · ac = f (x) · ac
bzw.
f (x + c)
= ac = const.,
f (x)
d.h. bei gleichem Zuwachs c im Argument ist der relative Zuwachs konstant. Anders ausgedrückt:
Zu gleichen Zuwächsen im Argument gehört (unabhängig von x) immer der gleiche Wachstumsfaktor.
Für verschiedene Werte von a > 0 ergeben sich folgende Graphen:
Spiegelt man den Graph von
ax
x
1
an der y-Achse, dann erhält man den Graph von
.
a
5. Funktionen
87
Eigenschaften von f (x) = ax
Fall
a>1
0<a<1
Monotonie
streng wachsend
streng fallend
Definitionsmenge
IR
IR
Wertemenge
IR+
IR+
Asymptote
negative x-Achse
positive x-Achse
f (0) =
1
1
Exponentielle(s/r)
Wachstum
Zerfall
(T) Die theoretische Ebene
Ziele:
(1) Konstruktive Definition der Exponentialfunktion ax mit Hilfe der Potenzrechnung (10. Klasse) für
x ∈Q
I und Erweiterung auf x ∈ IR.
(2) Charakterisierung von ax durch die Grundeigenschaft exponentiellen Wachstums bzw. axiomatische Kennzeichnung durch die zugehörige Funktionalgleichung.
(1) Konstruktive Definition der Exponentialfunktion
IN ⊂ ZZ ⊂ Q
I ⊂ IR.
Wir folgen dem Aufbau des Zahlensystems
1. Schritt x ∈ IN:
ax := a
| · a ·{z. . . · a}.
(induktiv)
x-mal
2. Schritt x ∈ Z :
a0 := 1,
3. Schritt x ∈ Q
I+
0:
Wegen
a−n :=
1
.
an
1
setze
Allgemein für m, n ∈ IN:
4. Schritt x ∈ IR:
(Permanenzprinzip!)
1
1
1
1
1
a = a1 = a 3 + 3 + 3 = a 3 · a 3 · a 3
√
1
a 3 := 3 a.
1 m
√
1
m
a n := n a,
a n := a n .
(Permanenzprinzip!)
5. Funktionen
88
Sei x ∈ IR \ Q.
I Dann gibt es Folgen rationaler Zahlen (rn ), (sn ) mit x ∈ [rn , sn ] für alle n ∈ IN und
lim (sn − rn ) = 0. Weiter gilt lim asn − arn = 0. Wir definieren
n→∞
n→∞
ax := lim arn .
n→∞
Satz 5.4.3 Sei a > 0, f (x) = ax die zugehörige Exponentialfunktion. Dann gilt:
(a) f ist für alle x ∈ IR definiert.
(b) f ist in IR monoton, und zwar
(i) streng monoton fallend für 0 < a < 1,
(ii) konstant = 1 für a = 1,
(iii) streng monoton wachsend für a > 1.
(c) f : IR → (0, ∞) ist bijektiv und hat eine Umkehrfunktion f −1 : (0, ∞) → IR.
(d) f ist in IR stetig.
(e) f genügt der Funktionalgleichung
f (x + y) = f (x) · f (y).
(2) Charakterisierung von ax durch die Funktionalgleichung
Satz 5.4.4 Eine streng monoton wachsende (bzw. fallende) Funktion
f : IR → IR+ ,
bei der zu gleichen Zuwächsen im Argument stets der gleiche Wachstumsfaktor gehört“, d.h. für die
”
die Funktionalgleichung
f (x + y) = f (x) · f (y)
für alle x, y ∈ IR
gilt, ist (bis auf einen konstanten Faktor) notwendig von der Form
f (x) = ax
5.4.2
mit a > 1
bzw. 0 < a < 1.
Logarithmusfunktion
Wir untersuchen in diesem Abschnitt die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen.
Definition 5.4.5 Sei a > 0, a 6= 1. Die Umkehrfunktion f −1 der Exponentialfunktion f (x) = ax heißt
Logarithmusfunktion.
Schreibweise f −1 (x) = loga .
Bemerkungen 5.4.6 (1) Bei der Bestimmung von r = loga p (mit a, p > 0)wird danach gefragt, mit
welcher Zahl r man a potenzieren muss, um p zu erhalten.
(2) Die Logarithmusfunktion ist nur für positive x definiert.
(3) Da die Logarithmusfunktion loga y und die Exponentialfunktion ax Umkehrfunktionen jeweils
Umkehrfunktionen der anderen sind, gilt
aloga (x) = x
und
loga (ax ) = x.
5. Funktionen
89
(4) Die Graphen der Exponentialfunktion ax und der zugehörigen Logarithmusfunktion loga sind
symmetrisch zur 1. Winkelhalbierenden.
(5) Die Logarithmusfunktion loga zur Basis a ist
• streng monoton wachsend für a > 1,
• streng monoton fallend für 0 < a < 1.
(6) Aus den Rechenregeln für die Exponentialfunktion ergeben sich Rechenregeln für Logarithmusfunktion:
Für a, r, s ∈ IR+ , a 6= 1, gilt:
• loga (r · s) = loga (r) + loga (s)
r
• loga
= loga (r) − loga (s)
s
• loga (r s ) = s · loga (r)
(7) Für verschiedene Werte der Basis a erhält man folgende Graphen:
5. Funktionen
90
Taschenrechner beherrschen häufig nur den Logarithmus zur Basis 10
lg(x) := log10 (x)
und den natürlichen Logarithmus“ zur Basis e (der eulerschen Zahl“)
”
”
ln(x) = loge (x).
Die Umrechnung auf Werte der Logarithmusfunktion mit Basis a zur Logarithmusfunktion mit
Basis b erfolgt mit folgender Formel:
loga (x) =
logb (x)
.
logb (a)
Zum Schluss ein Vergleich von Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion:
Exponentialfunktion ax
IR → IR+
a0 = 1
Der Punkt (0 | 1) ist Element des Graphen jeder
Exponentialfunktion
Die x-Achse ist waagerechte Asymptote an den
Graphen von ax
Logarithmusfunktion loga (x)
IR+ → IR
loga (1) = loga (a0 ) = 0
Der Punkt (1 | 0) ist Element des Graphen jeder
Logarithmusfunktion
Die y-Achse ist senkrechte Asymptote an den
Graphen von loga
Anwendungen der Logarithmusfunktion
1. Rechenschieber
Den Rechenschieber haben wir bei Einführung der natürlichen Zahlen als Hilfsmittel zur Addition
kennengelernt. Schreibt man als Skalenwerte statt der Abstände x vom Nullpunkt jeweils z.B. die Werte
10x , dann erhält man wegen der Rechenregeln
loga (r · s) = loga (r) + loga (s)
und
r
loga ( ) = loga (r) − loga (s)
s
ein Hilfsmittel zur Multiplikation von reellen Zahlen, das vor der Einführung der digitalen Taschenrechner für technische Berechnungen sehr oft benutzt wurde.
5. Funktionen
91
Beispielrechnungen:
(1)
2 · 3 =?
(2)
1, 7 · 2, 5 =?
(3)
12 : 3 =?
bzw.
log10 (2 · 3) = log10 (2) + log10 (3) = log10 (6)
bzw.
bzw.
log10 (1, 7 · 2, 5) = log10 (1, 7) + log10 (2, 5) = log10 (4, 25)
log10 (12 : 3) = log10 (12) − log10 (3) = log10 (4)
2. Zinseszins
Ein Kapital K0 wird zu einem Zinssatz p% pro Jahr angelegt. Die anfallenden Zinsen werden am Ende
des Jahres ebenfalls dem Sparkonto gutgeschrieben. Wie viele Jahre muss man sparen, bis sich das
Kapital ver-m-facht hat?
Lösung
Gesucht ist die Anzahl der Jahre n mit
p n
K(n) = K0 · 1 +
= m · K0 .
100
p n
p Aus m = 1 +
, d.h. ln(m) = n · ln 1 +
ergibt sich
100
100
n=
ln(m)
p .
ln 1 + 100
Wird z.B. gefragt, wann sich ein mit 4% verzinstes Kapital verdreifacht hat, ergibt sich mit m = 3 und
p=4
ln(3)
ln(3)
1, 098612289
=
n=
4
26 ≈ 0, 039220713 ≈ 28, 011022875.
ln 1 + 100
ln 25
5.5
Antiproportionale Zuordnungen
(P) Die phänomenologische Ebene
Beispiele 5.5.1 (1) Ein Lottogewinn von 300.000 e soll unter einer Tippgemeinschaft aufgeteilt werden. Wieviel bekommt jeder Mitspieler, wenn die Tippgemeinschaft aus 3, 5, 6, 10 bzw. 30 Personen
besteht?
Personenzahl
Gewinn pro Person in e
3
100.000
5
60.000
6
50.000
10
30.000
30
10.000
(2) Ein Schiffskoch hat 300 kg Kartoffeln eingekauft. Wie lang reicht der Vorrat, wenn jedes Besatzungsmitglied am Tag 250 g Kartoffeln benötigt und die Besatzung aus 10, 12, 16, 24 bzw. 30
Personen besteht?
Personenzahl
Tage
10
120
12
100
16
75
24
50
30
40
5. Funktionen
92
Wie rechnet man das?
Im ersten Beispiel rechnet man jeweils Gesamtgewinn K durch Anzahl der Personen x:
g(x) =
K
.
x
Im zweiten Beispiel rechnet man am besten zunächst die 300 kg in Mann-Tagesrationen“ um (Dreisatz):
”
⇒
0, 25 kg = 1 Ration
300 kg = 1200 Rationen.
Dann rechnet man die Anzahl 1200 der Tagesrationen durch die Anzahl der Personen x:
t(x) =
1200
.
x
In beiden Fällen gilt:
Das Produkt aus Argument und Funktionswert ist konstant. (Produktgleichheit)
In einem solchen Fall spricht man von einer antiproportionalen Zuordnung.
(Ungenauer formuliert: je größer x, desto kleiner f (x)“ - aber nicht jede streng monoton fallende
”
Funktion ist eine antiproportionale Zuordnung.)
Graphen antiproportionaler Zuordnungen:
Das Bild zeigt die Lösungsmenge der Gleichung
y=
a2
,
2x
- eine (gleichseitige) Hyperbel. (Für a =
übliche Kehrwertfunktion.)
√
2 ergibt sich die
Die Fläche des Rechtecks aus x- und y-Koordinate der Punkte der Hyperbel ist konstant (Produktgleichheit!).
Der Graph hat sowohl x-Achse als auch y-Achse als Asymptoten.
Gegenüberstellung proportionaler und antiproportionaler Zuordnungen:
Proportionale Zuordnung
f (x) = ax mit (a > 0)
Quotientengleichheit
f (x)
= a für alle x)
(d.h.
x
je größer x, desto größer f (x)“
”
Graph: Gerade
antiproportionale Zuordnung
a
f (x) = mit (a > 0)
x
Produktgleichheit
(d.h. f (x) · x = a für alle x)
je größer x, desto kleiner f (x)“
”
Graph: Hyperbel
5. Funktionen
93
(T) Die theoretische Ebene
Hyperbeln treten wie Parabeln und Ellipsen als Schnitt eines geraden Kreisdoppelkegels mit einer Ebene
auf - sie sind Kegelschnitte.
Eine weitere geometrische Charakterisierung ist
als Menge aller Punkte, für die die Differenz der
Abstände von zwei gegebenen (Brenn-)Punkten
F1 , F2 konstant ist. Nach geeigneter Koordinatentransformation erhält man die Hyperbel als
Menge aller Punkte (x|y), deren Koordinaten
die quadratische Gleichung
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
erfüllen.
Der Graph ist punktsymmetrisch und hat zwei Asymptoten, die sich im Symmetriezentrum schneiden;
sie bilden die Diagonalen eines Rechtecks mit Seitenlängen 2a und 2b, wobei 2a die konstante Differenz
ist. Gilt a = b (gleichseitige Hyperbel), dann stehen die Asymptoten senkrecht aufeinander.
5.6
Trigonometrische Funktionen
5.6.1
Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck
Man kann die Winkelfunktionen (Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens) auf verschiedene Weisen einführen:
• Über Längenverhältnisse der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks,
• als spezielle Potenzreihen im Zusammenhang mit der Exponentialfunktion oder
• als Umkehrfunktion von speziellen Kurvenintegralfunktionen.
Nachteil der beiden letzteren Methoden ist, dass sie unanschaulich sind und viel mehr Mathematik
voraussetzen als in der Schule zur Verfügung steht. Nachteil der ersten Methode ist die Schwierigkeit,
den Winkelbegriff exakt zu definieren.
Wir wählen die erste Methode. Dazu betrachten wir ein
rechtwinkliges Dreieck mit den Ecken A, B und C, den Winkeln α, β und γ bei A, B bzw. C, und setzen voraus, dass der
rechte Winkel bei C liegt. Die Seite c = AB heißt dann Hypothenuse, die anderen beiden Seiten Katheten des Dreiecks, speziell a = BC Gegenkathete von α und b = AC
Ankathete von α.
5. Funktionen
94
Da die Winkelsumme eines Dreiecks in der euklidischen Ebene 180◦ beträgt, sind die Größen aller
Winkel durch Vorgabe z.B. des Winkels α festgelegt. Und da Dreiecke, deren entsprechende Winkel
gleich groß sind, zueinander ähnlich sind, sind die
Längenverhältnisse entsprechender Seiten bei allen
diesen ähnlichen Dreiecken gleich.
Daher wird folgende Definition sinnvoll:
Definition 5.6.1 Gegeben sei das Dreieck ABC mit γ = 90◦ . Die Funktion
f (α) :=
Gegenkathete
a
= heißt Sinusfunktion,
Hypothenuse
c
f (α) :=
Ankathete
b
= heißt Kosinusfunktion,
Hypothenuse
c
(c) f : (0, 90◦ ) → IR mit
f (α) :=
a
Gegenkathete
= heißt Tangensfunktion,
Ankathete
b
(d) f : (0, 90◦ ) → IR mit
f (α) :=
Ankathete
b
= heißt Kotangensfunktion,
Gegenkathete
a
(a) f : (0, 90◦ ) → IR mit
(Schreibweise: sin α),
(b) f : (0, 90◦ ) → IR mit
(Schreibweise: cos α),
(Schreibweise: tan α),
(Schreibweise: cot α).
Bemerkungen 5.6.2 (1) Hypothenuse, Ankathete und Gegenkathete sind Strecken und von diesen
kann man natürlich keine Quotienten bilden. Gemeint sind in der vorigen Definition natürlich die
Längen der entsprechenden Strecken.
(2) Aus der Definition, β = 90◦ − α und dem Satz von Pythagoras folgt
(i) sin β = cos α,
sin α
(ii) tan α =
,
cos α
cos β = sin α,
cos α
cot α =
,
sin α
(iii) sin2 α + cos2 α = 1,
5.6.2
1 + tan2 α =
tan β = cot α,
1
,
cos2 α
cot β = tan α,
1 + cot2 α =
1
.
sin2 α
Erweiterung des Definitionsbereichs
Die Winkelfunktionen sind bisher nur für α ∈ (0◦ , 90◦ ) definiert.
Betrachtet man nur rechtwinklige Dreiecke mit Hypothenusenlänge 1, dann ist sin α gleich der Länge
der Gegenkathete und cos α gleich der Länge der Ankathete.
Wir betrachten nun in einem Koordinatensystem den Kreis um den Ursprung mit Radius 1 (Einheitskreis) und definieren Sinus und Kosinus durch mit Vorzeichen versehene Streckenlängen:
5. Funktionen
y
F ❞
95
✻
B
❞
D ❞ ❞P
☛
α
❞ ❞
E C
O
❞
A
✲ x
−→
P ist ein beliebiger Punkt des Einheitskreises und α der Winkel zwischen der positiven x-Achse (OA)
−−
→
und dem Ortsvektor OP zu P .
Da der Winkel α und die Länge AP des zugehörigen Kreisbogens proportional sind, misst man den
Winkel oft im Bogenmaß.
Es entsprechen also
• 90◦ dem Bogenmaß
π
,
2
• 180◦ dem Bogenmaß π und allgemein
• α in Grad dem Bogenmaß α ·
π
.
180◦
Wir definieren sin α und cos α als y- bzw. y-Koordinate von P .
π
3π
D hat die y-Koordinate tan α (für α 6= , α 6=
), F hat die x-Koordinate cot α (für α 6= 0, α 6= π).
2
2
Wir erweitern damit den Definitionsbereich der Funktionen auf das Intervall [0|2π) und setzen
Definition 5.6.3
(a)
sin 0 := sin π := tan 0 := cos
sin
(b) Für
π
< x < π sei
2
sin x = sin(π − x),
(c) Für π < x <
cos x = − cos(π − x),
tan x = − tan(π − x),
cot x = − cot(π − x).
3π
sei
2
sin x = − sin(x − π),
(d) Für
π
:= cos 0 := 1,
2
π
3π
π
:= cos
:= cot := 0,
2
2
2
3π
sin
:= cos π := −1.
2
cos x = − cos(x − π),
tan x = tan(x − π),
cot x = cot(x − π).
3π
< x < 2π sei
2
sin x = − sin(2π−x),
cos x = cos(2π−x),
tan x = − tan(2π−x),
cot x = − cot(2π−x).
5. Funktionen
96
Für die Vorzeichen der Winkelfunktionen ergibt sich
1. Quadrant 2. Quadrant 3. Quadrant 4. Quadrant
α ∈ 0, π2
α ∈ π2 , π
α ∈ π, 32 π α ∈ 32 π, 2π
sin α
+
+
−
−
cos α
+
−
−
+
tan α
+
−
+
−
cot α
+
−
+
−
Für spezielle Winkel ergeben sich aus der Betrachtung des halben gleichseitigen Dreiecks und des gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks folgende Funktionswerte:
α
0
sin α
0
cos α
1
tan α
0
cot α
π
6
1
2
π
4
1
2
1
2
√
1
3
2
√
1
3
3
√
3
nicht definiert
√
√
π
3
2
2
1
2
π
2
√
3
1
1
2
0
1
√
1
1
3
3
√
3
nicht definiert
0
Es fehlt die Erweiterung des Definitionsgebietes der Funktionen auf IR:
Definition 5.6.4 Sei x ∈ IR beliebig.
(a) Für k ∈ ZZ, x∗ ∈ [0|2π) mit x = x∗ + 2kπ setzen wir
sin x = sin(x∗ + 2kπ) := sin x∗ ,
(b) Für k ∈ ZZ, x∗ ∈ [0|π) mit x = x∗ + kπ, x∗ 6=
cos x = cos(x∗ + 2kπ) := cos x∗ .
π
setzen wir
2
tan x = tan(x∗ + kπ) := tan x∗ .
(c) Für k ∈ ZZ, x∗ ∈ [0|π) mit x = x∗ + kπ, x∗ 6= π setzen wir
cot x = cot(x∗ + kπ) := cot x∗ .
Bemerkung 5.6.5 Damit ergibt sich für alle x im Definitionsbereich der entsprechenden Funktionen
(1) sin(π − x) = sin x,
cos(π − x) = − cos x,
tan(π − x) = − tan x,
cot(π − x) = − cot x,
(2) sin(x + π2 ) = cos x,
cos(x + π2 ) = − sin x,
tan(x + π2 ) = − cot x,
cot(x + π2 ) = − tan x,
(3) sin(x + π) = − sin x,
(4) sin(−x) = − sin x,
cos(x + π) = − cos x,
cos(−x) = cos x,
tan(x + π) = tan x,
tan(−x) = − tan x,
cot(x + π) = cot x,
cot(−x) = − cot x.
5. Funktionen
5.6.3
97
Graphen und Eigenschaften von sin, cos und tan
y
1
x
sin : IR → [−1, 1]:
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
y
1
x
cos : IR → [−1, 1]:
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
3
y
2
1
π
tan : IR \ {(2k + 1) ; k ∈ ZZ} → IR:
2
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
Bemerkungen 5.6.6
(1) Wegen
sin2 x + cos2 x = 1
für alle x ∈ IR liegen die Funktionswerte sowohl von sin als auch von cos im Intervall [−1|1].
(2) Sinus- und Kosinusfunktionen sind (2π)-periodisch, Tangens- und Kotangensfunktion π-periodisch,
d.h. es gilt für alle x aus dem Definitionsbereich und alle k ∈ ZZ
sin(x+k·2π) = sin(x),
cos(x+k·2π) = cos(x),
tan(x+k·π) = tan(x),
cot(x+k·π) = cot(x).
Insbesondere gilt für alle k ∈ ZZ:
π
3π
sin(kπ) = 0, sin
+ k · 2π = 1, sin
+ k · 2π = −1
2
2
.
π
cos
+ kπ = 0, cos(k · 2π) = 1, cos(π + k · 2π) = −1
2
sin und cos sind für die x maximal bzw. minimal, für die f (x) = 1 bzw. f (x) = −1 gilt.
(3) sin, tan und cot sind punktsymmetrisch zum Ursprung - sie sind ungerade. Die Funktion cos
ist achsensymmetrisch zur y-Achse, d.h. gerade. Es gilt also
sin(−x) = − sin(x),
cos(−x) = cos(x),
tan(−x) = − tan x,
cot(−x) = − cot x.
5. Funktionen
98
π
nach links geht sin in cos über:
2
π
sin x +
= cos(x).
2
π
Entsprechend geht durch eine (Phasen-) Verschiebung um nach rechts cos in sin über:
2
π
cos x −
= sin(x).
2
(4) Durch eine (Phasen-) Verschiebung um
(5) Die Auswirkungen von Faktoren bzw. Summanden bei Argument von Funktionswert erkennt man
an folgender Zeichnung, in der Graphen verschiedener Abwandlungen der Sinusfunktion dargestellt
sind:
• Ein Vorfaktor a vor dem Funktionswert (hier: a = 2 bei g(x) = 2 sin x) führt zur Ver-afachung der Amplitude (Maximalabstand zwischen zwei verschiedenen Funktionswerten).
• Ein Vorfaktor a vor dem Argument (hier: a = 2 bei h(x) = sin 2x) führt zur Ver-a-fachung
der Frequenz (dem Kehrwert der Periode).
• Summanden im Argument (hier +1 bei i(x) = sin(x + 1) + 1, 5) führen zu waagerechten,
Summanden am Funktionswert (hier +1, 5 bei i(x) = sin(x + 1) + 1, 5) führen zu senkrechten
Verschiebungen.
(6) Die Tangensfunktion hat Polstellen in x = (2k + 1) π2 , k ∈ ZZ. Die Parallelen zur y-Achse durch
diese Punkte sind Asymptoten.
Die trigonometrischen Funktionen sind weder linear noch multiplikativ. Entsprechende Funktionalgleichungen sind die Additionstheoreme:
Satz 5.6.7 Für alle x, y ∈ IR gilt
(1) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,
speziell
sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y,
sin(2x) = 2 sin x cos y,
5. Funktionen
(2) cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y,
speziell
cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y,
cos(2x) = cos2 y − sin2 x,
x+y
x−y
cos
,
2
2
x+y
x−y
(4) cos x + cos y = 2 cos
cos
,
2
2
(3) sin x + sin y = 2 sin
(5) Für alle geeigneten x, y ∈ IR gilt
5.6.4
99
x+y
x−y
sin
,
2
2
x+y
x−y
cos x + cos y = −2 sin
sin
.
2
2
sin x − sin y = 2 cos
tan(x + y) =
tan x + tan y
.
1 − tan x tan y
Monotonieintervalle und Umkehrfunktionen
Man entnimmt den Graphen, dass
h π πi
• sin im Intervall − ,
streng monoton wachsend ist;
2 2
• cos im Intervall [0, π] streng monoton fallend ist;
π π
• tan im Intervall − ,
streng monoton wachsend ist.
2 2
Da die Funktionen auf diesen Intervallen jeweils auch surjektiv als Funktionen nach [−1, 1] bzw. nach
IR (tan) sind, besitzen sie Umkehrfunktionen
y
1
h π πi
arcsin : [−1, 1] → − , :
2 2
x
−2
−1
1
2
−1
y
3
2
arccos : [−1, 1] → [0, π]:
1
x
−1
1
5. Funktionen
100
y
1
arctan : IR →
π π
]:
− ,
2 2
x
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
5.6.5
Winkelfunktionen im nichtrechtwinkligen Dreieck
Man kann auch mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen Beziehungen zwischen den Winkrln eines
nicht rechtwinkligen Dreiecks beschreiben.
Es gilt nämlich
Satz 5.6.8 Gegeben sei ein (im allgemeinen) nicht rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c
und den Winkeln α, β und γ.
(a)
(b)
sin α
sin β
sin γ
=
=
a
b
c
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α .
(Sinussatz)
(Kosinussatz)
Bemerkung 5.6.9 Der Kosinussatz ist die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras für nichtrechtwinklige Dreiecke.
101
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen
1.1 Der Mengenbegriff, Schreibweisen, Spezielle Mengen
1.2 Entwicklung des Zahlbegriffs . . . . . . . . . . . . .
1.3 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
4
5
7
2 Natürliche Zahlen
2.1 Die natürlichen Zahlen als Ordinalzahlen .
2.2 Die natürlichen Zahlen als Kardinalzahlen
2.3 Darstellung natürlicher Zahlen . . . . . .
2.4 Rechnen im Stellenwertsystem . . . . . . .
2.5 Teilbarkeitsregeln . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10
10
16
20
24
25
27
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32
32
34
38
41
48
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50
50
50
51
52
52
55
56
57
61
63
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65
65
66
73
73
77
83
83
88
91
93
93
94
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3 Brüche, Rationale Zahlen
3.1 Brüche und Bruchzahlen . . . . . . . . . . . .
3.2 Rechnen mit Bruchzahlen . . . . . . . . . . .
3.3 Dezimalbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Negative ganze und rationale Zahlen . . . . .
3.5 Ein alternatives Modell zur Einführung von ZZ
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und Q
I
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4 Reelle Zahlen
4.1 Unvollständigkeit der Menge der rationalen Zahlen . . . . . . .
4.1.1 Die Zahlengerade, Inkommensurabilität . . . . . . . . .
4.1.2 Lösung von Polynom-Gleichungen . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Eigenschaften stetiger und differenzierbaren Funktionen
4.2 Einführung der reellen Zahlen durch Intervallschachtelung . . .
4.3 Vollständigkeit von IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Anordnung und Rechenoperationen in IR . . . . . . . . . . . . .
4.5 Wurzeln als spezielle irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Kettenbrüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Mächtigkeit von Q
I und IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Funktionen
5.1 Hintereinanderausführung von Funktionen, Umkehrfunktion .
5.2 Reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Proportionale, antiproportionale und quadratische Funktionen
5.3.1 Proportionale Zuordnungen - lineare Funktionen . . .
5.3.2 Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Exponential- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Antiproportionale Zuordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck . . . . .
5.6.2 Erweiterung des Definitionsbereichs . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS 102
5.6.3
5.6.4
5.6.5
Graphen und Eigenschaften von sin, cos und tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Monotonieintervalle und Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Winkelfunktionen im nichtrechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Index
ℵ0 , 63
∈, 1
6∈, 1
∅, 1
6j, 2
j, 2
$, 2
P(M ), 2
∪, 2
∩, 2
\, 2
×, 2
M, 3
∼, 7
<, 8, 14, 19
≤, 8, 14
>, 14
≥, 14
|, 25
IN, 4, 11
IN0 , 4
ZZ, 4, 43
ZZ− , 43
Q,
I 4, 43
Q
I + , 4, 33
Q
I+
0 , 43
Q
I − , 43
IR, 5, 54
C,
I 5
cos, 94–96
cot, 94–96
sin, 94–96
tan, 94–96
a−1 , 46
e, 55
ggT, 30
kgV, 30
abzählbar, 18, 63
Addition, 36
Additionstheoreme, 98
Äquivalenzklasse, 9
Äquivalenzrelation, 9
alternierende Quersummenregel, 27
Anfangsstück, 63
Ankathete, 93
antisymmetrisch, 8
Archimedisches Axiom, 54
arithmetisches Mittel, 58
Assoziativgesetz, 14
Aussageform, 12
Axiomensystem
Peanosches, 11
Bündelungsprinzip, 20
Basis, 21
Baumdiagramm, 29
beschränkt, 37
bijektiv, 7
Binärsystem, 23
Bogenmaß, 95
Brennpunkt, 83
Bruch, 32
äquivalent, 33
erweitern, 34
gleichnamig, 34
kürzen, 34
vollständig gekürzt, 34
Bruchzahl, 33
Cantorsches Diagonalverfahren, 63
Definitionsmenge, 5
Dezimalbruch, 39
abbrechender, 39
endlicher, 39
periodischer, 40
unendlicher, 39
Dezimalsystem, 23
dicht, 37
Differenz, 18, 44
Dirichlet-Funktion, 6
Dirichletsches Schubfachprinzip, 16
disjunkt, 3
diskret, 37
Diskriminante, 80
Distributivgesetz, 14
Division mit Rest, 20
Dreisatz, 74
Durchschnitt, 2
e, 55
Ein-Ausschließungsprinzip, 19
103
INDEX
Einheit, 27
Einselement, 46
Element, 1
Elementzahl, 63
endlich, 17, 63
Endstellenregel, 27
Eratosthenes
Sieb des, 27
erweitern, 34
Euklid, 28
euklidischer Algorithmus, 30
Eulersche Zahl, 55
Eulersche Zahl e, 55
Folge, 70
divergente, 72
konvergente, 72
Funktion, 5
bijektiv, 7
injektiv, 6
Kosinus-, 94
Kotangens-, 94
linear, 74
Sinus-, 94
stetig, 69
surjektiv, 6
Tangens-, 94
Winkel-, 94
Funktionswert, 5
Gegenkathete, 93
gemischtperiodisch, 40
geometrisches Mittel, 58
gleichmächtig, 18, 63
gleichnamig, 34
Goldener Schnitt, 51
Grenzwert
einer Folge, 72
Gruppe, 45
kommutative, 45
Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, 29
Hexadezimalsystem, 23
Hintereinanderausführung, 65
Hypothenuse, 93
Induktionsaxiom, 12
injektiv, 6
inkommensurabel, 50
Intervallschachtelung, 53
Intervallschachtelungs-Axiom, 53
irrational, 53
Körper, 46
angeordneter, 48
kürzen, 34
Kardinalzahl, 10, 17, 63
Differenz, 18
Kleiner-Relation, 19
Produkt, 18
Subtraktion, 18
Summe, 18
kartesisches Produkt, 2
Kathete, 93
Kernbruch, 34
Kettenbruch, 61
Kettenprinzip, 16
kleiner, 14
Kleiner-Relation, 15, 19
kommensurabel, 50
Kommutativgesetz, 14
Komplement, 3
Komplementärteiler, 25
Komposition, 65
Kosinus, 94–96
Kosinussatz, 100
Kotangens, 94–96
Leitgerade, 83
linear, 74
Linkseindeutigkeit, 15
Mächtigkeit, 18
Menge, 1
endliche, 63
leere, 1
unendliche, 63
vollständig geordnet, 8
Mengendifferenz, 2
Monotoniegesetz, 15
Monotoniekriterium, 52
Multiplikation, 35
Nenner, 32
neutrales Element, 14, 45
Normalparabel, 79
Nullelement, 46
Obermenge, 2
Ordinalzahl, 10
104
INDEX
Ordnungsrelation, 8, 14
nicht strenge, 8
nicht strenge Halbordnung, 8
strenge, 8
vollständig, 8
p-q-Formel, 80
Parabel, 79
Öffnung, 79
allgemeine Form, 79
faktorisierte Form, 79
Normal-, 79
Scheitelpunkt, 79
Scheitelpunktform, 79
Peanosches Axiomensystem, 11
Pentagramm, 51
periodisch, 40
Potenzmenge, 2
prim, 27
Primfaktorzerlegung, 28
Primzahl, 27
Primzahlzwillinge, 28
Prinzip des kleinsten Elements, 16
Produkt, 14, 18, 35
proportional, 74
Punkt-Steigungs-Form, 75
Pythagoräer, 51
quadratische Ergänzung, 80
Quersumme, 27
alternierende, 27
Quersummenregel, 27
Quotient, 46
Rechtseindeutigkeit, 15
reflexiv, 8
reinperiodisch, 40
Relation, 7
antisymmetrisch, 8
reflexiv, 8
symmetrisch, 9
transitiv, 8
Trichotomie, 8
Schranke, 37
Sinus, 94–96
Sinussatz, 100
Stellenwertsystem, 21
Basis, 21
stetig
in X ′ , 69
in x0 , 69
Subtraktion, 18, 44
Summe, 14, 18, 36
Supremum, 55
surjektiv, 6
symmetrisch, 9
Tangens, 94–96
Teilbarkeitsrelation, 26
Teiler, 20, 25
größter gemeinsamer, 30
trivialer, 27
Teilmenge, 2
transitiv, 8
Trichotomie, 8, 15
überabzählbar, 18
Umgebung, 72
Umkehrfunktion, 7
unendlich, 17, 63
Urbild, 5
Venn-Diagramm, 3
Vereinigung, 2
Vielfaches, 20, 25
kleinstes gemeinsames, 30
Vieta
Satz von, 81
vollständig, 8
vollständig geordnet, 8
vollständige Induktion, 12
Vollständigkeitsaxiom, 56
Wertebereich, 5
Zähler, 32
Zählreihe, 10
Zahl
ganze, 43
irrationale, 53
natürliche, 10
negative, 43
rationale, 43
reelle, 54
Zahlengeraden, 42
zusammengesetzt, 27
Zwei-Punkte-Form, 75
105