2. Lagrange-Gleichungen - Ing. Johannes Wandinger

2. Lagrange-Gleichungen
●
●
●
Mit dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die
Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach
aufstellen.
Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die
Lagrange-Gleichungen herleiten, mit denen sich das Aufstellen der Bewegungsgleichungen weiter vereinfacht.
Besonders einfach werden die Lagrange-Gleichungen für
Systeme, bei denen alle eingeprägten Kräfte konservativ
sind.
Prof. Dr. Wandinger
4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-1
2. Lagrange-Gleichungen
2.1 Allgemeine Systeme
2.2 Konservative Systeme
2.3 Beispiel: Federpendel
Prof. Dr. Wandinger
4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-2
2.1 Allgemeine Systeme
●
Verallgemeinerte Koordinaten:
–
Bei einem System von n Massenpunkten wird die Lage der
Massenpunkte durch n Ortsvektoren ri beschrieben.
–
Wenn das System f Freiheitsgrade hat, dann sind die n
Ortsvektoren Funktionen von f unabhängigen verallgemeinerten Koordinaten qj : r i =r i q 1 , , q f  , i=1, , n
–
Für die virtuellen Geschwindigkeiten gelten die Beziehungen
∂ ri
∂ri
∂ ri
 ṙ i =
 q̇ 1
 q̇ f =∑
 q̇ j , i=1, , n
∂ q1
∂q f
j ∂qj
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-3
2.1 Allgemeine Systeme
●
Virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte:
–
Für die virtuelle Leistung der eingeprägten Kräfte gilt:
∂ri
e  ∂ r i
 P=∑ F ⋅ ṙ i =∑ F ⋅∑
 q̇ j =∑ ∑ F i ⋅
 q̇ j
∂qj
i
i
j ∂q j
i
j
e
i
–
–
e 
i
Die Reihenfolge der Summation darf vertauscht werden:
e  ∂ r i
 P=∑ ∑ F i ⋅
 q̇ j
∂qj
j
i
e  ∂ r i
Mit den verallgemeinerten Kräften Q j =∑ F i ⋅
∂qj
i
folgt:
 P=∑ Q j  q̇ j
j
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-4
2.1 Allgemeine Systeme
–
Beispiel: Pendel
x
r =R  sin  e x cos  e z 
φ
∂r
= R  cos  e x −sin  e z 
∂
R
mg
e 
F =mg e z
z
∂r
Q  = F e ⋅ =mg e z⋅R  cos e x −sin  e z  =−mg R sin 
∂
 P=Q   ̇=−mg R sin  ̇
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-5
2.1 Allgemeine Systeme
●
Virtuelle Leistung der Trägheitskräfte:
–
–
Für die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte gilt:
∂ ri
 P T =−∑ mi r̈ i⋅ ṙ i =−∑ m i r̈ i⋅∑
 q̇ j
i
i
j ∂qj
∂ ri
∂ ri
=−∑ ∑ m i r̈ i⋅
 q̇ j =−∑ ∑ m i r̈ i⋅
 q̇ j
∂qj
∂qj
i
j
j
i


∂ ri
∂ri
∂ ṙ i
d
ṙ i⋅
= r̈ i⋅
 ṙ i⋅
Wegen
dt
∂qj
∂qj
∂qj
gilt:
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

∂ ri
∂ri
∂ ṙ i
d
m i r̈ i⋅
=m i
ṙ i⋅
−m i r˙i⋅
∂qj
dt
∂qj
∂qj
4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-6
2.1 Allgemeine Systeme
–
Aus
r i =r i q 1 , , q f  , i=1, , n
folgt:
∂ ri
∂ ri
∂ ri
ṙ i =
q̇ 1
q̇ f =∑
q̇ j
∂ q1
∂qf
j ∂qj
–
Ableiten nach q̇ j führt auf
–
Damit gilt:

∂ ṙ i ∂ r i
=
∂ q̇ j ∂ q j



∂ ri
∂ri
∂ ṙ i d
∂ ṙ i
∂ ṙ i
d
m i r̈ i⋅
=m i
ṙ i⋅
−m i r˙ i⋅
=
m i ṙ i⋅
−mi ṙ i⋅
∂qj
dt
∂qj
∂ q j dt
∂ q̇ j
∂qj
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-7
2.1 Allgemeine Systeme
–
Wegen
∂ m ṙ ⋅ṙ =m ∂ ṙ i ⋅ṙ m ṙ ⋅ ∂ ṙ i =2 m ṙ ⋅ ∂ ṙ i

 i ∂ q̇ i i i ∂ q̇
i i
∂ q̇ j i i i
∂ q̇ j
j
j
∂ m ṙ ⋅ṙ =m ∂ ṙ i ⋅ṙ m ṙ ⋅ ∂ ṙ i =2 m ṙ ⋅ ∂ ṙ i

i i
i
i
i i
i i
∂q j
∂qj i
∂qj
∂qj
gilt:
–
[  ] 
∂ ri d ∂ 1
1
2
2
m i r̈ i⋅
=
m i ṙ i − ∂
mi r˙ i
∂ q j dt ∂ q̇ j 2
∂qj 2

Die kinetische Energie eines Massenpunktes ist
1
1
T i = m i v 2i = m i ṙ 2i
2
2
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-8
2.1 Allgemeine Systeme
–
Damit gilt für die virtuelle Leistung der Trägheitskräfte:


∂ ri
d ∂T i ∂T i
 P T =−∑ ∑ m i r̈ i⋅
 q̇ j =−∑ ∑
−
 q̇ j
∂qj
dt ∂ q̇ j ∂ q j
j
i
j
i
–
Mit der kinetischen Energie T =∑ T i des Gesamtsystems
i
folgt:
 P T =−∑
j
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[   ]
d ∂T
∂T
−
 q̇ j
dt ∂ q̇ j ∂ q j
4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-9
2.1 Allgemeine Systeme
●
Prinzip der virtuellen Leistung:
–
Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung folgt damit:
 P P T =0 :
–
∑j
[
Q j−
  ]
d ∂T
∂T

 q̇ j =0
dt ∂ q̇ j ∂ q j
Da die virtuellen Geschwindigkeiten unabhängig voneinander sind und das Prinzip der virtuellen Leistung für beliebige
virtuelle Geschwindigkeiten gilt, muss jeder Summand für
sich verschwinden.
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-10
2.1 Allgemeine Systeme
●
Lagrange-Gleichungen 2. Art:
 
d ∂T
∂T
−
=Q j , j=1, , f
dt ∂ q̇ j ∂ q j
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-11
2.1 Allgemeine Systeme
●
Beispiel: Pendel
1
T = m  ẋ 2 ż 2 
2
–
Kinetische Energie:
–
Mit der verallgemeinerten Koordinate φ gilt:
1
ẋ =R ̇ cos  , ż=−R ̇ sin   T = m R 2 ̇2
2
Ableitungen der kinetischen Energie:
–
∂T
d ∂T
∂T
=m R 2 ̇ ,
=m R 2 ̈ ,
=0
∂ ̇
dt ∂ ̇
∂
–
Bewegungsgleichung:
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m R 2 ̈=Q =−mg R sin 
4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-12
2.2 Konservative Systeme
●
Konservative Systeme:
–
Eine Kraft heißt konservativ, wenn die Arbeit, die sie an einem Massenpunkt verrichtet, nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bahn abhängt, die der Massenpunkt beschreibt,
aber unabhängig von der Bahnkurve ist.
C2
W 12 =∫ F⋅d r=∫ F⋅d r
C1
P2
C1
C2
P1
–
Ein System heißt konservativ, wenn alle eingeprägten Kräfte konservativ sind.
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-13
2.2 Konservative Systeme
–
Die Gewichtskraft ist eine
konservative Kraft:
z
–
Die Kraft einer linear elastischen Feder ist eine
konservative Kraft:
P2
C2
r
C1
y
P1
s1
s2
G
F
x
G
W =−mg  z 2− z 1 
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4. Prinzipien der Mechanik
1
2
2
W =− c  s2 −s 1 
2
F
Starrkörperdynamik
4.2-14
2.2 Konservative Systeme
●
Potenzial:
–
Der Wert des Potenzials einer konservativen Kraft an einem
Ort P ist gleich dem Wert der Arbeit, den die Kraft an einem
Massenpunkt verrichtet, wenn er vom Ort P an einen festen
Bezugspunkt P0 verschoben wird:
P0
P
P
V  P=W 0 =∫ F⋅d r=−∫ F⋅d r
P
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P0
4. Prinzipien der Mechanik
P0
C0
Starrkörperdynamik
4.2-15
2.2 Konservative Systeme
–
Potenzial der Gewichtskraft:
●
–
Wird der Bezugspunkt bei z = 0 gewählt, dann gilt für
das Potenzial der Gewichtskraft in der Nähe der Erdoberfläche:
V G  x , y , z=mg z
Potenzial der Federkraft:
●
Wird als Bezugspunkt der unverformte Zustand gewählt, dann
gilt für das Potenzial der Federkraft:
1 2
F
V  s= c s
2
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-16
2.2 Konservative Systeme
●
Zusammenhang zwischen Kraft und Potenzial:
–
Sei P' ein Punkt, der sehr nahe bei Punkt P liegt.
–
Dann gilt für das Potenzial im Punkt P':
V  P ' =V  P  V =V  P 
∂V
∂V
∂V
 x
 y
z
∂x
∂y
∂z
–
Dabei sind Δx, Δy und Δz die kleinen Differenzen zwischen
den Koordinaten von Punkt P' und von Punkt P.
–
Aus der Definition des Potenzials folgt:
P'
P
P'
V  P ' =−∫ F⋅d r =−∫ F⋅d r −∫ F⋅d r
P0
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P0
P
4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-17
2.2 Konservative Systeme
–
Das erste Integral auf der rechten Seite ist gleich V(P).
–
Da P' nahe bei P liegt, gilt für das zweite Integral:
P'
∫ F⋅d r = F⋅ r =F x  xF y  y F z  z
P
–
Damit ist gezeigt:
F x =−
–
∂V
∂V
∂V
∂V
, F y =−
, F z =−
 F =−
∂x
∂y
∂z
∂r
Die Kraft ist gleich dem negativen Gradienten des Potenzials.
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-18
2.2 Konservative Systeme
●
–
Schwerkraft:
–
Federkraft:
∂V G
V  x , y , z =mg z  G z =−
=−mg
∂z
1 2
∂V F
F
V s= c s  F s =−
=−c s
2
∂s
G
Systeme von Massenpunkten:
–
Bei einem System von Massenpunkten hängt die potenzielle Energie von den Koordinaten aller Massenpunkte ab:
V =V  r 1 , , r n 
–
Wird nur ein Massenpunkt um Δri verschoben, dann verrichten nur die an diesem Massenpunkt angreifenden Kräfte
Arbeit.
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-19
2.2 Konservative Systeme
–
Für die Änderung des Potenzials gilt:
∂V
e 
V=
⋅ r i =−F i ⋅ r i
∂ ri
–
e 
F
Für die Kraft auf einen Massenpunkt gilt also:
i =−
∂V
∂ ri
–
Damit berechnen sich die verallgemeinerten Kräfte zu
∂V ∂ ri
∂V
e  ∂ r i
Q j =∑ F i ⋅
=−∑
⋅
=−
∂qj
∂qj
i
i ∂ ri ∂q j
–
Dabei ist V q 1 , ,q f =V  r 1 q 1 , , q f  , , r n q 1 , ,q f  
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-20
2.2 Konservative Systeme
●
Lagrange-Gleichungen 2. Art für konservative Systeme:
–
Wenn alle eingeprägten Kräfte konservative Kräfte sind, lauten die Lagrange-Gleichungen:
 
 
d ∂T
∂T
∂V
d ∂T
−
=−

− ∂  T −V  =0
dt ∂ q̇ j ∂ q j
∂qj
dt ∂ q̇ j ∂ q j
–
Die Funktion
L=T −V
wird als Lagrange-Funktion bezeichnet.
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-21
2.2 Konservative Systeme
–
Da die potenzielle Energie nicht von den Geschwindigkeiten
abhängt, erfüllt die Lagrange-Funktion die Gleichungen
 
d ∂L
∂L
−
=0, j =1, , f
dt ∂ q̇ j ∂ q j
–
Zur Ermittlung der Bewegungsgleichungen muss nur die kinetische und die potenzielle Energie berechnet werden.
–
Die Bewegungsgleichungen folgen durch Differenzieren
nach den verallgemeinerten Koordinaten.
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-22
2.2 Konservative Systeme
●
Beispiel: Pendel
x
x =R sin  , z= R cos 
φ
V =−mg z=−mg R cos 
1
L=T −V = m R 2 ̇2 mg R cos 
2
∂L
d ∂L
2
2
=m R ̇ ,
=m R ̈
∂ ̇
dt ∂ ̇
 
∂L
=−mg R sin 
∂
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R
z
 m R 2 ̈m g R sin =0
4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-23
2.2 Konservative Systeme
●
Beispiel: Seiltrommel
–
Für das dargestellte System, bestehend aus einer Seiltrommel und einem Klotz, ist die Bewegungsgleichung aufzustellen.
m2 , J2
ri
ra
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4. Prinzipien der Mechanik
m1
Starrkörperdynamik
4.2-24
2.2 Konservative Systeme
–
Als verallgemeinerte Koordinate wird der Winkel φ gewählt,
der die Lage der Trommel beschreibt: q = φ
–
Dann gilt:
x q = r a q
y q =  r a r i  q
q  = q
φ
S
x
P
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4. Prinzipien der Mechanik
y
Starrkörperdynamik
4.2-25
2.2 Konservative Systeme
–
Kinetische Energie:
1
1
1
T  ẋ , ẏ , ̇= m1 ẏ 2 m 2 ẋ 2 J 2 ̇2
2
2
2
2 2
1
1
1
2 2
T  q̇= m 1  r a r i  q̇  m 2 r a q̇  J 2 q̇ 2
2
2
2
–
Potenzielle Energie:
V  x , y ,=−m 1 g y
V q=−m 1 g  r a r i  q
–
Lagrange-Funktion:
L q , q̇=
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L=T −V
2
1
m 1  r a r i  m 2 r 2a  J 2 q̇ 2m 1 g  r a r i  q
2
[
4. Prinzipien der Mechanik
]
Starrkörperdynamik
4.2-26
2.2 Konservative Systeme
–
Ableitungen der Lagrange-Funktion:
2
∂L
∂L
2
= m1  r a r i  m 2 r a  J 2 q̇ ,
=m 1 g  r a r i 
∂ q̇
∂q
[
 
]
2
d ∂L
= m 1  r a r i  m 2 r 2a  J 2 q̈
dt ∂ q̇
–
[
]
Lagrange-Gleichungen:
[
2
 
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂ q̇
∂q
]
m 1  r a r i  m 2 r 2a  J 2 q̈−m 1 g  r a r i =0
 q̈=
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m 1  r a r i 
2
2
2 a
m 1  r a r i  m r J 2
4. Prinzipien der Mechanik
g
Starrkörperdynamik
4.2-27
2.2 Konservative Systeme
●
Systeme mit konservativen und dissipativen Kräfte:
–
Wirken auf ein System konservative und dissipative Kräfte,
dann können die konservativen Kräfte in der LagrangeFunktion berücksichtigt werden.
–
Die Lagrange-Gleichungen enthalten zusätzlich die verallgemeinerten dissipativen Kräfte:
 
d ∂L
∂L
−
=Q dj  , j =1, , f
dt ∂ q̇ j ∂ q j
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-28
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Aufgabenstellung:
–
Der abgebildete Schwinger besteht aus
einem Massenpunkt der Masse m und
einer Feder mit der Federkonstanten c.
–
Die augenblickliche Länge der Feder ist
R.
–
Die Länge der Feder im entspannten
Zustand ist R0.
–
Gesucht sind die Bewegungsgleichungen, wenn vorausgesetzt wird, dass der
Schwinger sich nur in der Ebene bewegt.
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4. Prinzipien der Mechanik
P
c
R
m
Starrkörperdynamik
4.2-29
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Verallgemeinerte Koordinaten:
–
–
P
Die Lage des Massenpunktes liegt
eindeutig fest, wenn die aktuelle Länge
R der Feder und der Winkel φ gegeben
sind.
Als verallgemeinerte Koordinaten werden gewählt:
R
q 1= , q 2 =
R0
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4. Prinzipien der Mechanik
x
φ
z
R
m
Starrkörperdynamik
4.2-30
2.3 Beispiel: Federpendel
–
Zwischen den verallgemeinerten und den kartesischen Koordinaten besteht der Zusammenhang
x =R sin = R 0 q 1 sin q 2  , z= R cos = R 0 q 1 cos q 2 
–
Daraus folgt für die Geschwindigkeit:
v x = ẋ= R 0  q̇ 1 sin q 2 q 1 q̇ 2 cos q 2  
v z = ż= R 0  q̇ 1 cos q 2 −q 1 q̇ 2 sin q 2  
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-31
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Kinetische Energie:
–
Für die kinetische Energie des Massenpunkts gilt:
1
T q 1 , q 2 , q̇ 1 , q̇ 2 = m  v 2x v 2z 
2
2
2
1
2
= m R 0  q̇ 1 sin q 2 q 1 q̇ 2 cos q 2     q̇ 1 cos q 2 −q 1 q̇ 2 sin q 2  
2
1
2
2
2 2
= m R 0  q̇ 1q 1 q̇ 2 
2
[
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4. Prinzipien der Mechanik
]
Starrkörperdynamik
4.2-32
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Potenzielle Energie:
–
Die potenzielle Energie setzt sich zusammen aus der potenziellen Energie der Federkraft und der potenziellen
Energie der Gewichtskraft.
–
Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Federkraft
wird die entspannte Feder gewählt.
–
Dann gilt für die potenzielle Energie der Federkraft:
2
2
1
1
2
V q 1 , q 2 = c  R− R0  = c R0  q 1−1 
2
2
F
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-33
2.3 Beispiel: Federpendel
–
Als Bezugspunkt für die potenzielle Energie der Gewichtskraft wird Punkt P gewählt.
–
Dann gilt für die potenzielle Energie der Gewichtskraft:
V G q 1 , q 2 =−mg z=−mg R0 q 1 cos q 2 
●
Lagrange-Funktion:
–
F
G
Mit L=T −V −V folgt:
2
1
1
L q 1 , q 2 , q̇ 1 , q̇ 2 = m R 20  q̇ 21 q 21 q̇ 22 − c R 20  q 1−1 
2
2
mg R 0 q 1 cos q 2 
Prof. Dr. Wandinger
4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-34
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Ableitungen der Lagrange-Funktion:
 
 
∂L
d ∂L
2
=m R 0 q̇ 1 
=m R 20 q̈ 1
∂ q̇ 1
dt ∂ q̇ 1
∂L
d ∂L
=m R 20 q 12 q̇ 2 
=m R 20  2 q 1 q̇ 1 q̇ 2q 12 q̈ 2 
∂ q̇ 2
dt ∂ q̇ 2
∂L
=m R 20 q 1 q̇ 22−c R 20  q 1−1  mg R 0 cos q 2 
∂ q1
∂L
=−mg R 0 q 1 sin q 2 
∂ q2
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4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-35
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Lagrange-Gleichungen:
 
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ q̇ 1 ∂ q 1
 m R 20 q̈ 1 −m R 20 q 1 q̇ 22c R 20  q 1−1  −mg R 0 cos q 2 =0
 
d ∂L
∂L
−
=0
dt ∂ q̇ 2 ∂ q 2
 m R 20  2 q 1 q̇ 1 q̇ 2 q 21 q̈ 2 mg R 0 q 1 sin q 2 =0
Prof. Dr. Wandinger
4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-36
2.3 Beispiel: Federpendel
–
Bewegungsgleichungen:
c
g
q̈ 1−q 1 q̇   q 1−1  − cos q 2 =0
m
R0
g
q 1 q̈ 22 q̇ 1 q̇ 2 sin q 2 =0
R0
2
2
R=R 0 q 1 , =q 2
Prof. Dr. Wandinger
4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-37
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Spezialfall: Geradlinige Bewegung
–
Für die Anfangsbedingungen q 2 0=0, q̇ 2 0=0 ist
q 2 t =0
eine Lösung der zweiten Bewegungsgleichung.
–
Die erste Bewegungsgleichung lautet dann
q̈ 1
–
c
g
c
c
g
q
−1
−
=0

q̈

q
=


 R
1
1
m 1
m
m R0
0
Die statische Lösung dieser Gleichung ist
mg
mg
q 1 s =1
 R s =R 0 
c R0
c
Prof. Dr. Wandinger
4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-38
2.3 Beispiel: Federpendel
–
–
–
Rs ist die Länge, die die Feder infolge der Gewichtskraft in
der Ruhelage hat.
c
c g
ẍ

q

x
=

Mit q 1=q 1 s  x folgt:


1s
m
m R0
c
Daraus folgt: ẍ  x=0
m
–
Die Variable x misst die Auslenkung gegenüber der statischen Ruhelage.
–
Sie erfüllt die Schwingungsgleichung eines Einmassenschwingers.
Prof. Dr. Wandinger
4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-39
2.3 Beispiel: Federpendel
●
Grenzfall: Sehr steife Feder
–
Für c /m  ∞ folgt aus der ersten Gleichung: q 1  1
–
g
Damit lautet die zweite Gleichung: q̈ 2  sin q 2 =0
R0
–
Das ist die Schwingungsgleichung des mathematischen
Pendels.
Prof. Dr. Wandinger
4. Prinzipien der Mechanik
Starrkörperdynamik
4.2-40