Facharbeit Die Turingmaschine

Städtisches Labenwolf-Gymnasium Nürnberg
Kollegstufe 2001/2003
Schuljahr 2002/2003
Facharbeit
aus dem Fach Mathematik
Thema:
Die Turingmaschine
Verfasser:
Stefan Thomas Schorsch
Kursleiter:
Hans Gaab
Abgabetermin:
3.Februrar 2003
Wertung:
Erzielte Punktzahl (einfache Wertung):
in Worten:
.......
...............................................................
...................................................................................................................................
Kursleiter Hans Gaab
1.
Einleitung
Seite 03
2.
2.1.
2.1.1.
2.1.2.
2.1.3.
2.2.
2.3.
Das Prinzip
Das Prinzip allgemein
Turingmaschine als Blackbox
Das Turingband
Der Lese- bzw. Schreibkopf
Möglicher mechanischer Aufbau
Mathematische Definition
Seite 04
Seite 04
Seite 04
Seite 05
Seite 05
Seite 05
Seite 06
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
Beispielanwendungen
Schreibweise für Turingprogramme
Addition unärer Zahlen
Verdopplung einer unären Zahl
Multiplikationsprogramm
Seite 07
Seite 07
Seite 10
Seite 13
Seite 16
4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.4.1.
4.4.2.
Theorie zur Turingmaschine
Mehrbändige Turingmaschinen
Größe des Bandalphabetes
Berechenbarkeitstheorie
Formale Bedeutung der Turingmaschine
Turingmaschine als Generator
Turingmaschine als Akzeptor
Seite 21
Seite 21
Seite 21
Seite 22
Seite 22
Seite 22
Seite 22
5.
Das Busy-Beaver-Problem
Seite 23
6.
6.1.
6.2.
6.3.
Turingsimulatoren
„Freeware-Turing-Maschine“
„Facharbeitsturingmaschine“
„Visual Turing“
Seite 25
Seite 25
Seite 25
Seite 26
7.
7.1.
7.2.
7.3.
Schluss und Quellenangabe
Bilder(Quellennachweis)
Sonstige Quellen
Abschlusserklärung
Seite 27
Seite 27
Seite 28
Seite 30
- Seite 3 -
1. Einleitung
Alan Mathison Turing ist einer der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts,
berühmt für seine Grundlagenarbeit auf dem Gebiet der Mathematik und Informatik. Zu
Lebzeiten genoss er kein hohes Ansehen und beendete sein Leben schließlich durch
Selbstmord; erst nach seinem Tod erkannte man das volle Ausmaß seiner Leistungen
und die Auswirkungen seiner Arbeiten.
Geboren am 23. Juni 1912 in Paddington (London), als
zweites Kind von Julius Mathison and Ethel Sara Turing,
ging vom Elternhaus zunächst wenig Interesse an
Forschungsarbeiten aus; einzig sein Onkel, der irische
Physiker George Johnstone Stoney (1826-1911), könnte
einen Einfluss auf ihn gehabt haben. Turings Kindheit
verlief in ruhigen Bahnen. Obwohl er zu diesem Zeitpunkt
in keiner Weise gefördert wurde, erwachte sein Interesse
an der Wissenschaft und äußerte sich schon in einigen
simplen Chemieversuchen. Er besuchte die "Sherborne
School“, deren Direktor folgenden Satz gesagt haben soll:
"If he is to be solely a Scientific Specialist, he is wasting
his time at a Public School“ (Der Schuldirektor der
Sherborne School über Alan Turing, gefunden auf Hodges,
Abbildung 1
Andrew „Alan Turing: a short biography“, Internetseite
http://www.truing.org.uk/bio/part1.html
von
1995,
aufgerufen am 30.12.2002) „Wenn er ausschließlich ein Wissenschaftsexperte werden
wird, verschwendet er seine Zeit an öffentlichen Schulen“. Damit lag der Schulleiter
erstaunlich nahe an der Zukunft.
Von 1931 an war Turing Student am „Kings College“ in Cambridge, wo sich ihm mehr
denkerische Freiheiten eröffneten. Hier arbeitete er erfolgreich an verschiedenen
Projekten und gewann sogar einige Preise, bis er sich entschied, eine andere Richtung
zu beschreiten.
Die damals aktuelle Diskussion über nicht beweisbare Axiome und besonders das vom
deutschen Mathematiker David Hilbert gestellte Entscheidungsproblem vereinnahmten
ihn: "Could there exist, at least in principle, a definite method or process by which it
could be decided whether any given mathematical assertion was provable?“ (Das
„Entscheidungsproblem“, gefunden auf Hodges, Andrew „Alan Turing: a short
biography“, Internetseite http://www.truing.org.uk/bio/part2.html von 1995, aufgerufen
am 30.12.2002); „Existiert, zumindest im Prinzip, eine sichere Methode oder ein
sicheres Verfahren, durch welches man entscheiden könnte, ob ein beliebiger
mathematischer Ausdruck beweisbar wäre?“.
Diese Fragestellung führte schließlich zur Turingmaschine: Turing analysierte den
Denkprozess eines Menschen und versuchte ihn derart zu vereinfachen, dass eine
theoretisch physikalisch konstruierbare Maschine den Denkprozess nachvollziehen
könnte. Der Erfinder konnte ebenfalls beweisen, dass diese Maschine alles berechnen
konnte, was in der Mathematik fortan als „bestimmter Algorithmus“ definiert war.
Damit ließ sich nun auch Hilberts Fragestellung sehr schnell mit „nein“ beantworten:
eine solche Methode kann nicht existieren. Mit dieser Turingmaschine beschäftigt sich
nun die Facharbeit.
- Seite 4 Natürlich war dies nicht die letzte Arbeit von Alan Turing: von großer Bedeutung
waren noch seine Arbeiten zur Entschlüsselung der deutschen EngimaVerschlüsselungsmaschine und zu den Themen neuronale Netze und künstliche
Intelligenz.
Später erhielt er unter anderem einen Posten an der Universität von Manchester, wo er
für die Elektronikentwicklung der britischen Atombombe eingesetzt wurde. Es folgten
einige nicht weniger bedeutsame Werke, auf die jedoch nicht näher eingegangen
werden soll.
Im weiteren Verlauf wurde Turing vom Glück verlassen. In der damalig
vorherrschenden Zeitströmung, bedingt durch den Kalten Krieg und den
amerikanischen Einfluss, verlor Turing nicht nur seine Sicherheitsfreigaben der
britischen Regierung, sondern sollte sogar für seine homosexuellen Neigungen
eingesperrt werden. Dies alles führte vermutlich am 7. Juni 1954 zu seinem durch
Zyanid herbeigeführten Selbstmord.
Erst Jahre nach seinem Tod erhielten seine Arbeiten die Anerkennung, die ihm
ungerechterweise zu Lebzeiten verwehrt blieb.
Auch heute, mehr als 60 Jahre nach der Erfindung der Turingmaschine, ist sie noch
Lehrstoff der meisten Informatikstudiengänge. Es existiert bis dato kein besseres
Modell, um mit der Berechenbarkeitstheorie zu arbeiten.
Was ist also eigentlich eine Turingmaschine?
2. Das Prinzip der Turingmaschine
Zunächst ist es wichtig, hervorzuheben, dass eine Turingmaschine keinesfalls mit
einem heute gebräuchlichen PC vergleichbar ist, sondern vielmehr ein Gedankenmodell
bzw. die Konkretisierung eines solchen darstellt. Darüber hinaus muss auch sorgfältig
zwischen Hard- und Software unterschieden werden. Ein möglicher mechanischer
Aufbau wird in Kapitel 2.2 vorgestellt. Hier zunächst eine allgemeine Einführung in die
Turingmaschine.
2.1. Das Prinzip allgemein
Eine Turingmaschine besteht stets aus den gleichen elementaren Bestandteilen:
-
Ein Steuermechanismus (Kapitel 2.1.1.)
Das Turingband (Kapitel 2.1.2.)
Der Lese- und Schreibkopf (Kapitel 2.1.3.)
2.1.1. Turingmaschine als Blackbox
Der Steuermechanismus der Turingmaschine kann auch als Blackbox verstanden
werden. Es ist für den Anwender nicht wesentlich, wie die Turingmaschine ihre
Berechnungen intern durchführt, er muss nur wissen, welche Eingaben möglich, und
welche Ausgaben zu erwarten sind (= Blackboxprinzip). Insofern hat der mechanische
innere Aufbau auch keine große Bedeutung. Der Steuermechanismus muss lediglich
dazu in der Lage sein, die Eingabe aufzunehmen und entsprechend darauf einen Befehl
- Seite 5 für die Ausgabe (in Form des zu schreibenden Symbols und der Bewegungsrichtung
des Bandes) abzusetzen.
Darüber hinaus muss in dieser Blackbox auch noch festgelegt sein, wie die
Turingmaschine auf bestimmte Eingaben reagieren soll (im Normalfall gespeichert in
sogenannten Registern).
2.1.2. Das Turingband
Das sog. Turingband ist der Speicherort der Turingmaschine. Das Band ist in einzelne
Zellen eingeteilt, die jeweils ein Zeichen aufnehmen und speichern können.
Für die Berechenbarkeitstheorie relevant ist die Tatsache, dass dieses Band per
Definition unendlich lang sein muss (um eine Funktion nicht einfach aufgrund
mangelnder Speicherkapazität nicht berechnen zu können). Praktisch lässt sich ein
unendlich langes Band natürlich mit keinem bisher bekannten Verfahren simulieren.
Das Band lässt sich sowohl nach links als auch nach rechts bewegen, so dass eine
entsprechende Lesevorrichtung jedes Bandfeld erfassen bzw. beschreiben kann.
2.1.3. Der Lese- bzw. Schreibkopf
Der Lese-/Schreibkopf ist das Datenerfassungs- und Ausgabeelement der
Turingmaschine. Er kann ein Zeichen vom Turingband einlesen, es an den
Steuerungsmechanismus weiterleiten. Dieser verarbeitet das gesendete Symbol und gibt
an den Schreibkopf die Anweisung für das neu in die gleiche Zelle zu schreibende
Zeichen. Darüber hinaus erhält er die Anweisung, in welche Richtung das Turingband
nun zu bewegen ist.
2.2. Möglicher mechanischer Aufbau
Wie bereits erwähnt, ist die Turingmaschine nicht dafür prädestiniert, real nachgebaut
zu werden; ihre Leistung und Benutzerfreundlichkeit würden keinen gebräuchlichen
Standards entsprechen. Trotzdem ist es sehr viel anschaulicher und nachvollziehbarer,
wenn man ein mögliches physisches Abbild betrachtet:
Abbildung 2
- Seite 6 Deutlich erkennbar ist das Turingband. Der Doppelpfeil deutet an, dass das Band
sowohl nach links als auch nach rechts verschoben werden kann. Der Lese/Schreibkopf sitzt über dem Band und empfängt/übermittelt die Informationen aus der
Blackbox. Diese kann entweder gestartet oder zurückgesetzt werden. Ein Eingriff in
eine laufende Berechnung ist also nicht möglich. Softwareseitige Simulationen sind in
Kapitel 6 aufgelistet.
2.3. Mathematische Definition
Um der Tatsache gerecht zu werden, ein mathematisches Denkmodell darzustellen,
muss die Turingmaschine auch mathematisch definiert sein.
Zunächst sollten einige grundsätzliche Begrifflichkeiten geklärt werden:
-
Der Buchstabe M steht stellvertretend für die Turingmaschine
M hat einen fest definierten Startzustand
S ist das Bandalphabet
x ist die Zeichenkette auf dem Band vor der Berechnung und kann als Eingabe angesehen werden
y ist die Zeichenkette auf dem Band nach der Berechung und kann als Ausgabe angesehen werden
Der Lese-/Schreibkopf ist vor der Berechung über das linke äußere Ende von x
zu bewegen
S* stellt die Menge aller Zeichenketten über S dar
Das Bandalphabet Σ kann dabei aus jeder erdenklichen Zusammenstellung von Zeichen
bestehen.
M muss nicht bei jeder möglichen Zeichenkette x auch anhalten, daher berechnet x
korrekterweise nur eine Teilfunktion.
Da für eine Turingmaschine ihr mechanischer Aufbau kaum eine Bedeutung spielt, ist
sie im wesentlichen dasselbe wie Ihr Programm. Damit steht M also nicht nur für die
Turingmaschine, sondern auch für das Turingprogramm. Dieses ist formal eine Menge
von Quintupeln der Form
(q, s, q’, s’, d)
Mit folgenden Bedeutungen:
-
q ist der aktuelle Zustand
s das vom Lesekopf gelesene Zeichen
q’ der auf den Berechnungsschritt folgende neue einzunehmende Zustand
s’ das an die Stelle von s zu schreibende Zeichen
d die Bewegungsrichtung des Lese-/Schreibkopfes, in die das Band nach dem
Berechnungsschritt zu bewegen ist
Wobei sowohl q und q’, als auch s und s’ nicht unterschiedlich sein müssen. Die Inhalte
setzen sich so zusammen:
- Seite 7 -
die Zustände kommen aus einer endlichen Menge von Zuständen Q, die
zusammen M ergeben
s bzw. s’, also die Zeichen, kommen aus dem Bandalphabet S
d kann nur ein Element aus D = {links, rechts, halt}sein
Diese Definition macht zwei besondere Zustände q ∈ Q nötig:
Einen Anfangszustand q0, der immer der erste Zustand zu Beginn einer Berechnung ist,
in dem sich M befindet.
Der zweite benötigte Zustand ist ein Haltezustand:
Falls d = „halt“ erreicht wird, muss M in einen Haltezustand übergehen:
−>q '
f : x q
→ y
Dieses spezielle „ q’ “ darf dabei natürlich nie der Anfangszustand q0 sein, da in diesem
Fall keine Berechnung erfolgen würde. Die zu dem Zeitpunkt des Erreichens eines
Haltezustandes auf dem Band befindliche Zeichenkette wird demnach als Ausgabe y
von M angesehen.
3. Beispielanwendungen
Um die Funktionsweise einer Tuningmaschine besser verstehen zu können, empfiehlt
es sich, einige simple Beispiele näher zu betrachten. Bevor dies geschehen kann, muss
aber noch die Notation noch definiert werden.
3.1. Schreibweisen für Turingprogramme
Aus der mathematischen Definition in Kapitel 2 ging hervor, dass ein Turingprogramm
einer einbändigen Turingmaschine aus einer Menge von Quintupeln der Form
(q, s, q’, s’, d)
besteht. Um bei längeren Programmen den Programminhalt übersichtlich verstehen zu
können, soll nun folgende Form für diese Ausdrucksweise (fortan als
Registerschreibweise bezeichnet) verwendet werden:
q
s s’ d q’
Abbildung 3
Und konkret an einem Beispiel:
1.
1 1R 1
+ 1R 2
Abbildung 4
Die linke „1“ ist also der aktuelle Zustand, dann wird unterschieden: die obere Zeile
tritt in Kraft, wenn eine „1“ auf dem Band gelesen wurde; die untere Zeile, wenn ein
„+“ erfasst wurde.
- Seite 8 In beiden Fällen soll wieder eine „1“ auf das Band geschrieben und der Lese- bzw.
Schreibkopf nach rechts bewegt werden. In der ersten Zeile soll der Zustand 1
beibehalten werden, in der zweiten Zeile soll ein Übergang in den Zustand 2 erfolgen.
Für d gibt es in dieser Notationsform drei mögliche Zeichen:
- R steht für eine Bewegung nach rechts
- L steht für eine Bewegung nach links
- S steht für Stop, also das Anhalten des Vorgangs als Symbol der abgeschlosse nen Berechnung (Haltezustand)
Der Startzustand in dieser Schreibform ist per Definition immer der Zustand mit der
Zahl „1“
Bei einem längeren Bandalphabet entstehen häufig Situationen, bei denen, korrekte
Bandbeschriftung zu Beginn vorausgesetzt, viele Zeichen für bestimmte Zustände gar
nicht vorkommen können. Als Beispiel eignet sich hier etwa ein
Multiplikationsprogramm (siehe 3.4.). Falls das Zeichen, welches das Ende der
Zeichenkette und das Startfeld für das Notieren des Ergebnisses repräsentieren soll,
schon vor dem Trennzeichen zwischen den beiden zu multiplizierenden unären Zahlen
eingelesen wird, kann die Bandbeschriftung nicht korrekt sein. In diesem Fall müsste
das Programm derart gestaltet sein, dass es automatisch in den Haltezustand übergeht,
ohne aber die Berechung abgeschlossen zu haben. Dies soll verhindern, dass die
Turingmaschine in einer Schleife niemals in einen Haltezustand übergeht. Um sich die
unnötige Schreibarbeit zu sparen, können diese Zustände, die eine vorzeitige
Stopanweisung für den Fall einer inkorrekten Eingabe enthalten, auch einfach
weggelassen werden.
Die Summe aller einzelnen Register wird auch Übergangsdiagramm genannt.
Vor allem bei längeren Programmen kann es trotz dieser Simplifizierungen passieren,
dass die eigentliche Funktion bzw. der Zweck der Berechnung nicht mehr klar
ersichtlich sind. Um diesem Problem entgegen zu wirken, existiert auch eine Definition
für eine visuelle Darstellung (natürlich sind die Symbole und Formen frei definierbar;
um die Arbeit mit dem PC-Programm „Visual Turing“ zu erleichtern, soll hier aber
dessen Symbolik verwendet werden. Mehr zu Visual Turing siehe Kapitel 6).
Diese Darstellung unterscheidet sich teilweise wesentlich von der Registerschreibweise
und lässt sich auch schwerer auf die mathematische Definition anwenden, bietet dafür
aber einen besseren Überblick.
- Seite 9 -
Bewege den Lese-/Schreibkopf nach links
Bewege den Lese-/Schreibkopf nach rechts
Schreibe ein „#“ auf das Band
Schreibe ein „e“ auf das Band, analog für jedes andere Zeichen des
Bandalphabets
Zeichen für eine Haltezustand (= Breakpoint)
Der Pfeil definiert diesen Befehl als den Startbefehl
Abbildung 5 (Anweisungssymbole)
- Seite 10 -
Bewege den Lese-/Schreibkopf so lange nach links, wie du b
einliest (Schleife)
Wenn du ein b einliest, bewege den Kopf nach links
Ohne an eine Bedingung gekoppelt zu sein, soll das Programm den Lese-/Schreibkopf nach links bewegen
Eine Kombination der beiden Bedingungen: solange ein „b“
gelesen wird, soll der Lese-/Schreibkopf nach links bewegt werden. Wird ein „a“
erfasst, soll der Kopf nach rechts bewegt werden.
Abbildung 6 ( Bedingungssymbole)
- Seite 11 Das Programm „Visual Turing“ bietet darüber hinaus noch eine Reihe weiterer
Optionen, auf die aber erst in Kapitel 6 näher eingegangen werden soll, da sie für die
folgenden Beispiele keine Relevanz haben.
Eine simple Anwendung, die einen einfachen Einstieg bietet, ist die Addition zweier
unärer Zahlen:
3.2. Addition zweier unärer Zahlen
Werden Zahlen in der unären Darstellungsform notiert, so gilt:
Eine beliebige Zahl a ( a ∈ N 0 ) wird durch a aufeinanderfolgende „1“-en dargestellt,
z.B.:
111 entspricht der „3“ im Dezimalsystem
11111 entspricht der „5“ (5 Einsen).
Der genaue Wortlaut der Aufgabenstellung lautet:
Zwei durch ein „+“ (bzw. „#“ für „Visual Turing“, da hier „+“ nicht als Symbol des
Bandalphabets verwendet werden kann) getrennte beliebig große unäre Zahlen sollen
addiert werden, so dass das Ergebnis am Ende als unäre Zahl auf dem Turingband steht.
Der Lese-/Schreibkopf soll/muss dazu vor der Berechnung über dem äußersten linken
Ende der Zeichenkette stehen.
Das externe Bandalphabet muss zur Erfüllung dieser Aufgabe nicht mehr als 2 Zeichen
beinhalten, einmal die „1“ und einen Platzhalter (z.B. „+“ ). Somit ergibt sich
E = {1;+}
Da in diesem Beispiel das Bandalphabet nur zwei Zeichen umfasst, existieren auch nur
zwei mögliche Eingangszeichen und folglich auch nur zwei zu schreibende mögliche
neue Zeichen.
Für die Addition zweier unärer Zahlen werden 5 Register benötigt.
Zustandstabelle/Übergangsdiagramm:
1.
1 1R 1
+ 1R 2
2.
1 1R 2
+ +L 3
3.
1 +L 4
+ +S 3
4.
1 1L 4
+ +R 5
5.
1 1S 5
+ +S 5
Abbildung
- Seite 12 Per Definition (3.1.) ist der Startzustand der Maschine „1.“
Damit die Anzahl der Schritte noch übersichtlich klein bleibt, sollen die beiden
„kleinen“ Zahlen „2“ und „3“ addiert werden, das Turingband hat demnach diesen
Inhalt:
L
+ + 1 1 + 1 1 1 + + + + + + + + + + + +
Abbildung 8
Wobei sich das Band natürlich sowohl nach links als auch nach rechts unendlich
fortsetzen kann. Der Schreibkopf befindet sich, wie schon erwähnt, über der linken
Eins. Die beiden linken Einser repräsentieren die Zahl „2“, die drei rechten Einsen die
Zahl „3“.
Zustand 1 besagt: Wenn eine „1“ auf dem Band gefunden wurde, schreibe eine „1“ und
bewege den Kopf nach rechts, bleibe im Zustand 1. Dies geschieht zweimal, danach
liegt ein Freizeichen auf dem Band vor, d.h.: es wurde ein „+“ gelesen, schreibe eine
„1“, bewege den Kopf nach rechts, wechsle in den Zustand 2.
Die obere Zeile von Zustand 2 ist der des ersten sehr ähnlich, nur, dass am Ende der
zweite und nicht der erste Zustand beibehalten wird. Auf diesem Weg tastet sich die
Turingmaschine bis an das Ende der zweiten Zahl. Sobald ein Freizeichen gefunden
wurde, tritt die untere Befehlszeile in Kraft: Wenn ein „+“ gelesen wurde, schreibe ein
„+“, bewege den Kopf nach links und wechsle in den Zustand 3.
Der Lesekopf erkennt nun eine „1“, der 3. Zustand besagt: wenn du eine „1“ gelesen
hast, schreibe ein „+“, bewege den Kopf nach links und gehe in den 4. Zustand über.
Im 4. Zustand wird nun, solange eine „1“ eingelesen wird, diese auch wieder
geschrieben und der Lesekopf bis ans linke Ende der Zeichenkette bewegt. Sobald dies
erreicht ist, wird ein „+“ eingelesen. Dies bewirkt das Wenden des Kopfes nach rechts
und den Übergang in den letzten, den 5. Zustand.
Hier wird nun die äußerste linke „1“ der Zeichenkette gelesen und auch wieder auf das
Band geschrieben, die Maschine hält an (S) und der Berechnungszyklus ist beendet.
Für die Addition von „2“ und „3“ werden auf diesem Weg immerhin 15 Taktzyklen
benötigt, und das, obwohl die Addition hier durch einen simplen Trick geschieht: Das
Freizeichen in der Mitte wird entfernt und stattdessen die äußerste rechte „1“ durch ein
„+“ ersetzt. Trotzdem wurden die beiden Zahlen korrekt addiert, man erhält am Ende
diese Zeichenfolge auf dem Band:
L
+ + 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + + +
Abbildung 9
5 mal das Zeichen „1“ entspricht tatsächlich der Zahl 5 ( 2 + 3 = 5 )
Die Aufgabenstellung, umgesetzt mit Hilfe von „Visual Turing“, sieht so aus:
- Seite 13 Der Programmcode:
Abbildung 10
Bedingt durch das verwendete Programm, ist das mögliche Bandalphabet nicht mehr
frei wählbar. Hier entspricht die Raute ( # ) dem Freizeichen ( + ) und das kleine „a“
der „1“. Das Band sieht hier demnach so aus:
Abbildung 11
Im Gegensatz zum vorangegangenen Modell befindet sich hier der Kopf zu Beginn
noch über einem Freizeichen links der Zeichenkette, wird aber durch eine Schleife
gleich bis zum ersten „a“ auf dem Band bewegt.
3.3. Verdoppelung einer unären Zahl
Ein etwas komplexeres Beispiel ist die Verdoppelung einer beliebig langen unären
Zahl. Sowohl die Notation als auch das verwendete Alphabet bleiben dabei gleich, die
möglichen Zustände unterscheiden sich natürlich hingegen.
Die Definition der Aufgabenstellung lautet: verdopple eine zusammenhängende
Zeichenkette, die eine unäre Zahl repräsentiert, so dass am Ende die verdoppelte unäre
Zahl auf dem Band steht. Die Verdopplung kann auch als Multiplikation mit Zwei
verstanden werden.
Für die Verdoppelung werden 7 Zustände benötigt, der Lese- bzw. Schreibkopf setzt
wieder am linken äußeren Ende der Zeichenkette an.
- Seite 14 Zustandstabelle/Übergangsdiagramm:
1.
1 +R 2
+ +R 7
2.
1 1R 2
+ +R 3
3.
1 1R 3
+ 1R 4
4.
1 1S 4
+ 1L 5
5.
1 1L
+ +L
6.
1 1L 6
+ +R 1
7.
1 1S 7
+ +S 7
5
6
Abbildung 12
Verwendet man diese Zustandstabellen, wird die Zahl der nötigen Takte bei größeren
Zahlen recht schnell unüberschaubar groß. Daher wird hier nur das Beispiel mit der
Zahl 2 „durchgespielt“, aber auch dieser Vorgang benötigt schon 22 Takte.
Das Band sieht zu Beginn also so aus:
L
+ + 1 1 + + + + + + + + + + + + + + + +
Abbildung 13
Der Lesekopf befindet sich über der linken der beiden Einsen. Es wird der erste
Zustand aufgerufen: Wenn eine Eins gelesen wurde, schreibe ein „+“, bewege den Kopf
nach rechts und gehe in den Zustand 2 über.
Hier wird erneut eine „1“ gelesen, im 2. Zustand auch wieder eine „1“ aufs Band
geschrieben, der Kopf erneut nach rechts bewegt, der Zustand beibehalten.
Jetzt findet der Lesekopf ein „+“ auf dem Band, es wird auch wieder ein „+“ auf das
Band geschrieben, der Kopf bewegt sich abermals nach rechts und die Turingmaschine
geht in den 3. Zustand über.
Dieser veranlasst die Turingmaschine, da ein „+“ gelesen wurde, eine „1“ aufs Band zu
schreiben, den Lesekopf nach rechts zu bewegen und in den 4. Zustand zu wechseln.
- Seite 15 Das Band sieht dabei so aus:
L
+ + 1 + 1 + + + + + + + + + + + + + + +
Abbildung 14
Hier wird nun ein „+“ erkannt, der 4. Zustand besagt: Wenn ein „+“ gelesen wurde,
schreibe eine „1“, bewege den Kopf nach links und gehe in den 5. Zustand über.
Nun erkennt die Maschine eine „1“, schreibt diese auch wieder auf das Band und
bewegt den Kopf nach links, unter Beibehaltung des aktuellen 5. Zustands.
Nun wird ein „+“ eingelesen, dieses wird auch wieder aufs Band geschrieben, der Kopf
nach links bewegt, aber dafür der 6. Zustand geladen. Das Band schaut im Moment so
aus:
L
+ + 1 + 1 1 + + + + + + + + + + + + + +
Abbildung 15
Zunächst bleibt die Turingmaschine in diesem Zustand, da eine „1“ auf dem Band
gefunden und beibehalten wurde; der Lesekopf wird nach links bewegt.
Jetzt wird ein „+“ gelesen, dieses wird erneut auf das Band geschrieben, der Kopf wird
jedoch zurück nach rechts bewegt und die Maschine geht wieder in den 1. Zustand
über.
Von diesem Zeitpunkt an wiederholt sich der Vorgang für jede weitere „1“ der
Ursprungszahl, in diesem Beispiel also noch ein weiteres Mal. Sobald die Maschine
wieder den 6. Zustand erreicht hat, sieht das Band so aus:
L
+ + 1 1 1 1 + + + + + + + + + + + + + +
Abbildung 16
Die Maschine geht gemäß der Definition des 6. Zustands wieder in den ersten über. Im
Gegensatz zu den vorangegangen Durchgängen findet die Maschine aber keine „1“
mehr auf dem Band vor, daher wird nun das „+“ wieder auf das Band geschrieben, die
Maschine wechselt jedoch in den 7. Zustand. Dieser enthält nun den Befehl, stehen zu
bleiben, die Berechnung ist beendet und der Lesekopf steht wieder über der äußersten
linken „1“ der Zeichenkette.
Bei diesem Beispiel wird also jede „1“ der Ursprungszahl eingelesen, durch ein
Freizeichen ersetzt und am rechten Ende der gedachten Zeichenkette wieder zweimal
auf das Band geschrieben.
Auch diese Anwendung lässt sich visualisieren und erleichtert damit das Verständnis:
- Seite 16 Das Programm:
Abbildung 17
3.4. Multiplikationsprogramm
Eine sogar real sinnvolle Anwendung würde ein Multiplikationsprogramm darstellen.
Um die Anzahl der benötigten Register klein und auch die Übersichtlichkeit der
Anwendung zu erhalten , wird für diese Anwendung das Bandalphabet ein wenig
erweitert.
E = {+;a;b;x;e}
Mit folgenden Bedeutungen:
+ bleibt weiterhin das Freizeichen
a stellt ebenso weiterhin einen Teil einer unären Zahl dar
b fungiert als Platzhalter und soll nach der Berechnung nicht mehr auf dem Band
stehen
x trennt die beiden zu multiplizierenden unären Zahlen
e entspricht dem „=“ (e wie Ergebnis)
Die genau Formulierung der Aufgabenstellung:
Multipliziere 2 unäre Zahlen, die durch ein x getrennt auf dem Turingband (ohne
Unterbrechungen der Zeichenkette) stehen. Schreibe das Ergebnis rechts der
Zeichenkette hinter ein „e“ (welches das rechte Ende der Zeichenkette markiert) auf das
Band und bewege den Lesekopf anschließend zurück zur Ursprungsposition links der
Zeichenkette.
- Seite 17 Zunächst die Zustandstabellen/das Übergangsdiagramm:
1.
+ + R
a b R
1
2
2.
+
a
e
x
S
R
S
R
2
2
2
3
3.
e e S
a b R
3
4
4.
a a R
e e R
4
5
5.
+ a L
a a R
6
5
6.
a a L
e e L
6
7
7.
a a L
b b R
7
8
8.
a b R
e e L
4
9
9.
b a L
x x L
9
10
10.
a a L 10
b b R 11
11.
a b R 2
b b R 11
x x L 12
12.
+ + S 12
b a L 12
+
a
e
x
Abbildung 18
Hier wurde zum erstenmal von der unter 3.1. erwähnten Simplifizierung Gebrauch
gemacht und einige nur durch „nicht korrekte Eingabe“ mögliche Anweisungen
weggelassen.
- Seite 18 Das Band vor der Berechnung (am Beispiel 2 x 3):
L
+ + a a x a a a e + + + + + + + + + + +
Abbildung 19
Der Lesekopf ist am linken äußeren Ende der Zeichenkette. Da der Lesekopf sofort ein
"a" einliest, muss er nicht erst nach rechts bis zum Beginn der Zeichenkette bewegt
werden. Die Turingmaschine schreib also an die Stelle des ersten „a“s ein „b“ und geht
gleich in den 2. Zustand über. Die Möglichkeit, ein „+“ einzulesen, darf eigentlich nicht
bestehen, da ansonsten die Zeichenkette nicht, wie in der Aufgabenstellung vereinbart,
auf dem Band stünde, gleiches gilt für das „e“. Der Kopf wird nun solange nach rechts
bewegt, wie das Zeichen „a“ eingelesen wird. Sobald die Turingmaschine auf das „x“
(als Multiplikationszeichen) stößt, wird dieses auf dem Band belassen, der Lese- bzw.
Schreibkopf nach rechts bewegt und zum 3. Zustand gewechselt.
Falls hier gleich ein „e“ eingelesen wird, hält die Turingmaschine natürlich an, da die
Multiplikation mit „0“ (es existieren hinter dem „x“ keine zu einer unären Zahl
gehörenden Zeichen mehr auf dem Band) kein Ergebnis liefert. Im Normalfall wird nun
ein „a“ eingelesen, durch ein „b“ ersetzt, der Lese-/Schreibkopf nach rechts bewegt und
die Maschine geht in den 4. Zustand über.
Dieser besagt: solange ein „a“ eingelesen wird, schreibe ein „a“ auf das Band, bewege
den Kopf nach rechts und bleibe in diesem Zustand. Sobald das „e“ gelesen wird,
behalte es so auf dem Band, bewege den Kopf noch ein Feld nach rechts und gehe in
den 5. Zustand über. Das Band hat nun folgende Beschriftung:
L
+ +b a x b a A e + + + + + + + + + + +
Abbildung 10
Im 5. Zustand soll nun für den Fall, dass ein „a“ gelesen wird, der Kopf solange nach
rechts bewegt werden (und der Zustand nicht gewechselt werden), bis ein Freizeichen
in Form eines „+“ gelesen wird. Dieses wird ersetzt durch ein „a“ und der Kopf ändert
seine Richtung nach links. Der anzunehmende neue Zustand ist 6.
Solange ein „a“ gelesen wird, bewegt sich der Kopf nach links; stößt die Maschine auf
das „e“, muss der Kopf um noch ein weiteres Feld nach links bewegt werden und der 7.
Zustand geladen werden.
Falls ein „a“ gelesen wird, soll dieses auch wieder auf das Band geschrieben werden
und der Kopf nach links bewegt werden. Stößt der Lesekopf hingegen auf ein „b“, soll
der Kopf, ohne das „b“ durch ein anderes Zeichen zu ersetzen, sich nach rechts
bewegen und die Maschine in den 8. Zustand übergehen.
Dieser nimmt nun eine Unterscheidung vor: wird ein „e“ gelesen, bedeutet dies, dass
auf dem Band rechts des Multiplikationszeichens und noch vor dem Zeichen „e“ nur
noch das Zeichen „b“ steht, die Zahl also schon komplett abgearbeitet wurde. Ist dies
nicht der Fall, findet die Turingmaschine ein „a“ vor, wird dieses durch ein „b“ ersetzt
und die Maschine geht zurück in den 4. Zustand, der Ablauf wird analog
vorangegangener Schilderung also für jedes „a“ der zweiten unären Zahl wiederholt.
- Seite 19 Sobald nur noch „b's" rechts des Multiplikationszeichens auf dem Band stehen, schaut
es so aus:
L
+ +b a x b b b e a a a + + + + + + + +
Abbildung 21
Die durch „b“ substituierten „a“s müssen wieder zurückgewandelt werden, dafür ist der
9. Zustand zuständig. Solange ein „b“ gelesen wird, ist dieses durch „a“ zu ersetzen.
Sobald das „x“ auftaucht, geht die Maschine in den 10. Zustand über, der Kopf wird
weiterhin nach links bewegt.
Dieser Zustand besagt: solange ein „a“ gelesen wird, schreibe ein „a“ auf das Band,
bewege den Kopf nach links und bleibe in diesem Register. Sobald ein „b“ gelesen
wird, schreibe das „b“ wieder auf das Band und wechsle in den 11. Zustand und
bewege vorher den Kopf nach rechts.
Das nun folgende Schema folgt dem Muster der zweiten unären Zahl in Bezug auf die
Prüfung der Vollständigkeit der Substitution der „a“s durch „b's“. Wird sofort nach der
Rechts-Bewegung nur noch das „x“-Zeichen gelesen, heißt das, es gibt keine „a“s mehr
auf der linken Seite des Multiplikationszeichens und folglich wurde die ganze linke
Zahl schon abgearbeitet. Ist dies nicht der Fall, wird das gelesene „a“ durch ein „b“
ersetzt und die Maschine geht zurück in den 2. Zustand. Dieser Prozess wird also für
alle „a“s der ersten unären Zahl wiederholt. Sobald die erste Zahl komplett ersetzt
wurde, sieht das Band so aus:
L
+ +b b x a a a e a a a a a a + + + + +
Abbildung 22
Nun muss diese Substitution nur noch rückgängig gemacht werden. Dies geschieht im
12. Zustand, in dem, solange ein „b“ gelesen wird, dieses durch ein „a“ ersetzt wird und
der Kopf sich weiter nach links bewegt. Sobald ein Freizeichen ( + ) erscheint, geht die
Maschine in einen Haltezustand über, die Berechnung ist abgeschlossen und alle
Substitutionen sind rückgängig gemacht worden:
L
+ +a a x a a b e a a a a a a + + + + +
Abbildung 23
- Seite 20 Das Programm in visueller Darstellung:
Abbildung 24
Besonders auffallend sind die 3 Breakpoints; die oberen beiden dienen zur Vermeidung
von Programmfehlern durch 0-Eingabe, der untere Breakpoint stellt den normalen
Endpunkt der Berechnung dar.
Das Programm schreibt also für jedes „a“ der linken Zahl zunächst ein „b“ als
Platzhalter, geht dann zur rechten Zahl, liest dort alle „a“s ein (ersetzt die dabei
kurzzeitig durch „b“s), schreibt die ersetzten „a“s rechts des „e“s wieder auf das Band,
verwandelt die substituierten „b“s der rechten Zahl wieder in „a“s und geht zurück zur
linken Zahl. Der Vorgang wird für jedes „a“ der linken Seite wiederholt und am Ende
werden die „b“s dieser Zahl auch wieder zurück in „a“s verwandelt. Der Lesekopf ist
wieder links der Zeichenkette und das Ergebnis rechts vom „e“-Zeichen.
Das Band am Anfang:
Abbildung 25
Das Band am Ende:
Abbildung 26
Man kann leicht erkennen, dass der Aufwand schon bedeutend größer ist als noch bei
der einfachen Addition. Je komplexer die Aufgabenstellungen werden, desto
umfangreicher werden auch die Programme.
- Seite 21 Um die Grenzen solcher Programme ausfindig machen zu können, und deren
Bedeutung für die Mathematik- und Computerwissenschaft zu verstehen, bedarf es
genauerer Überlegungen. Mehr dazu im nächsten Kapitel, in welchem die
Berechenbarkeitstheorie näher vorgestellt wird.
4. Theorie zur Turingmaschine
4.1. Mehrbändige Turingmaschinen
Eine der interessantesten Eigenschaften von Turingmaschinen ist ihre hohe Flexibilität.
So sind tiefgreifende Veränderungen möglich, ohne ihre Berechnungsfähigkeit
nachhaltig zu beeinflussen.
Eine Möglichkeit der Veränderung ist die Variierung der Anzahl der Turingbänder. Es
existieren auch Modelle von Maschinen mit mehr als einem Band (und entsprechend
auch mit mehr als einem Lese-/Schreibkopf). Der Vorteil solcher Maschinen lässt sich
durch das Kapitel 3.4. gut demonstrieren. Während für die Multiplikation das Symbol
„b“ als Platzhalter zur Kennzeichnung bereits eingelesener Teile der unären Zahl
diente, könnte man mit einer zweibändigen Maschine das zweite Band als temporären
Speicherort verwenden und dabei vermutlich auch einige Registerzustände einsparen.
Die Darstellung einer mehrbändigen Turingmaschine weicht dabei natürlich von der
Einbändigen ab. Während in Kapitel 3.1. noch Quintupeln der Form (q, s, q’, s’, d)
verwendet wurden, muss eine mehrbändige Turingmaschine auch mehr Angaben
erhalten. Dies geschieht in folgender Form:
(q, s1, s2..., sn, q’, s1’, s2’..., sn’, d1, d2...dn)
Lediglich q und q’ bleiben von der Veränderung unberührt, alle anderen Werte müssen
n-mal angegeben werden (wobei n die Anzahl der Bänder repräsentiert). Daher besteht
eine Turingmaschine in der allgemein Form aus (2 + 3*n)-Tupeln. Die Bedeutung der
einzelnen Symbole hat sich nicht verändert: q, der aktuelle Zustand besagt: wenn s1,
s2..., sn auf den entsprechenden Bändern gelesen wurden, schreibe s1’, s2’..., sn’ auf die
passenden Bänder, bewege deren Leseköpfe nach d1, d2...dn und gehe in den Zustand q’
über.
4.2. Größe des Bandalphabetes
Neben der Bänderanzahl kann man auch die Größe des Bandalphabetes verändern. In
Kapitel 3.4. hatte die Vergrößerung des Bandalphabetes nur kosmetischen Charakter
und half, die Anzahl der benötigten Übergangszustände in einem erträglichen Rahmen
zu halten. Es existieren bereits Beweise, dass eine Turingmaschine mit einem Alphabet
von nur 2 Zeichen ebenfalls alles berechnen kann, was eine Maschine mit einem
beliebig großen Alphabet berechnen könnte. Natürlich besteht dabei aber auch ein
Zusammenhang zwischen der Größe der Übergangsdiagramme und der entsprechenden
Alphabete. Sei Q eine Turingmaschine mit Σq = {x1, x2...xn} und n Zuständen und P
eine Turingmaschine mit Σp >> Σq und m Zuständen, so kann für die gleiche
Aufgabenstellung (entsprechend etwas komplexer) angenommen werden, dass m << n
gilt .
- Seite 22 4.3. Berechenbarkeitstheorie
Der eigentliche Grund für die Entwicklung der Turingmaschine war die Hoffnung,
einen Apparat zu finden, der auf möglichst einfache Weise entscheiden konnte, ob ein
beliebiger mathematischer Ausdruck berechenbar wäre oder nicht. Die Definition
dieser Berechenbarkeit:
eine Funktion f: Nk Æ N heißt turingberechenbar, falls es eine (deterministische)
Turingmaschine M gib, so dass für alle n1, .......,nk, m ∈ N gilt:
f(n1, .......,nk) = m genau dann, wenn:
z0bin(n1)#bin(n2)#...#bin(nk) ... zebin(m) ... wobei ze ∈ E
(Nachweis/Definition entnommen aus Schöning, Uwe: Theoretische Informatik
kurzgefasst, Ulm, Verlag Spektrum (akademischer Verlag), 1995 Seite 89,90,91)
bin(n) ist dabei die Binärdarstellung der Zahl n ∈ N ohne führende Null. Äquivalent
dazu kann n auch in unärer Form dargestellt werden. Ebenfalls deckt diese Definition
alle Wörter ab, da sich jeder Buchstabe problemlos in eine Ganzzahl konvertieren lässt
(z.B. durch die ASCII-Kodierung, die jeden Buchstaben per Binärsystem darstellen
kann) und auch eine eindeutige Rückwandlung möglich ist.
Es gilt dadurch folgende Definition (mit all ihren Folgen):
„Alles was berechenbar ist, ist durch eine Turingmaschine berechenbar!“
Und auch der Kehrsatz wurde akzeptiert:
„Alles was nicht durch eine Turingmaschine berechnet werden kann, ist überhaupt
nicht berechenbar!“
Der letzte Satz wird für das 5. Kapitel von Bedeutung sein.
4.4. Formale Bedeutung der Turingmaschine
Dieses Kapitel soll nur ein kurzer Ausblick auf die weitere Bedeutung der
Turingmaschine sein und wird sich auch nicht genauer mit Beweisen oder Beispielen
beschäftigen.
4.4.1. Turingmaschine als Generator
Eine Turingmaschine kann eine formale Sprache aufzählen. Dazu werden alle
Bestandteile der Sprache nacheinander auf das Band geschrieben und durch ein
spezielles Symbol getrennt. Daher sind Turingmaschinen auch Generatoren für formale
Sprachen. Unendliche Sprachen werden auch unendliche lange auf das unendlich lange
Turingband geschrieben. Trotzdem kann für ein bestimmtes Zeichen ein fester
Zeitpunkt angegeben werden, an dem es auf dem Band geschrieben steht.
4.4.2. Turingmaschine als Akzeptor
Eine Turingmaschine kann unterscheiden, ob ein auf das Band geschriebenes Wort zu
einer formalen Sprache gehört. Die Unterscheidung erfolgt über die Auswertung des
- Seite 23 Verhaltens der Turingmaschine: nimmt diese einen Haltezustand ein, gilt das Wort als
akzeptiert.
5. Das „Busy-Beaver-Problem“
Eine interessante Aufgabenstellung, die auch heute noch aktuell ist und dabei selbst
modernste Rechenzentren auslastet, wenn nicht sogar überfordert, ist das sog. BusyBeaver-Problem. Wie lautet diese Aufgabe, die mehr als 60 Jahre nach der Einführung
der Turingmaschine den Mathematikern noch Kopfzerbrechen bereiten kann?
Gegeben ist ein leeres Turingband (auf dem also nur das Zeichen „0“ steht), ein aus 2
Zeichen bestehendes Bandalphabet Σ = {0; 1} und eine Turingmaschine mit n = Anzahl
der möglichen Zustände.
Gesucht sind die Zustände, die bei einem vorgegeben n die größtmögliche Anzahl von
„1“en auf das Band schreiben kann, bevor die Turingmaschine in einen Haltezustand
übergeht. Diese Zahl (Σ(n)) muss existieren, da die Anzahl der Turingmaschinen auch
endlich ist und somit Σ(n) nicht unendlich groß werden kann. Formuliert wurde die
Aufgabe 1962 von Tibor Rado.
Die eigentliche Schwierigkeit des Busy-Beaver besteht darin, dass die Busy-BeaverFunktion schneller ansteigt als jede berechenbare Funktion. Beweis:
Die Busy-Beaver-Maschine Bn besitzt n Zustände und gibt Σ(n) „1“en aus. Ihr
gegenüber steht eine Turingmaschine, die aus wiederum aus drei einzelnen
Turingmaschinen zusammen gesetzt sein soll. Ihre Ein- und Ausgabe erfolgt binär. Sie
besteht im einzelnen aus folgenden Bestandteilen:
-
Die mit „C“ bezeichnete Turingmaschine wandelt eine binäre in eine unäre
Zahl um. Dazu benötigt sie eine feste Anzahl r von Zuständen.
Die zentrale Turingmaschine:
-
Die „B“ genannte Turingmaschine, welche die Busy-Beaver-Funktion
berechnet. Liest B die Zahl n ein, gibt sie Σ(n) wieder aus. Dazu benötigt sie
ebenfalls eine feste Anzahl von q Zuständen
Und schließlich die zweite „Hilfsmaschine“:
-
Die mit dem Buchstaben „A“ bezeichnete Turingmaschine, welche n auf ein
leeres Band in Binärform schreiben kann. Sie benötigt nur log(n) Zustände.
Zusammen ergeben die drei Einzelmaschinen die Busy-Beaver-Maschine ABC. Nun
kann man ABC mit Bn vergleichen:
Unter der Bedingung n ∈ N und n > log(n) + q + r kann ABC ebenso viele „1“en auf
das Turingband schreiben wie Bn, benötigt dazu aber offensichtlich weniger Zustande.
Die Teilmaschinen A und C lassen sich leicht konstruieren und da es außer Frage steht,
dass es sie wirklich gibt, kann B mit q Zuständen nicht existieren. Daher ist Σ(n) keine
berechenbare Funktion.
- Seite 24 Da die Aufgabenstellung mittlerweile ein regelrechtes „Wettrennen“ um die besten
Übergangsdiagramme geworden ist, verwendet man allgemein eine gemeinsame
Notationsform Diese weicht natürlich nicht von der Definition in Kapitel 2 ab, liest sich
aber ein wenig anders als die Schreibweise für die Beispiele im 3. Kapitel, da hier das
Bandalphabet nur auf 2 Zeichen beschränkt wurde. Als Beispiel für einen Busy-Beaver
soll der 5er-Biber dienen:
A0 --> B1L
B0 --> C1R
C0 --> A1L
D0 --> A1L
E0 --> H1R
A1 --> A1L
B1 --> B1R
C1 --> D1R
D1 --> E1R
E1 --> C0R
Abbildung 27
A ist der Anfangszustand. Wird eine „0“ auf dem Band gelesen, schreibt die
Turingmaschine eine „1“ auf das Band, bewegt den Kopf nach links und geht in den
Zustand B über. Die Schreibweise ähneltähnelt der Notationsform aus dem Kapitel 3.
Die folgenden Tabelle über den aktuellen Wissenstand der Berechnungen stammt vom
Juni 2002:
n
Σ(n)
S(n)
Quelle
1
1
1 Lin and Rado
2
4
6 Lin and Rado
3
6
21 Lin and Rado
4
13
5
107 Brady
>= 4098 >= 47,176,870 Marxen and Buntrock
6 > 1.29*10865
> 3*101730
Marxen and Buntrock
Abbildung 28
S(n) ist dabei die Anzahl der benötigten Schritte, bis Σ(n) „1“en auf dem Band stehen.
Zwei Besonderheiten fallen an der Tabelle auf: Zum einen die enormen Sprünge bei n =
5 und n = 6 und zum anderen, dass für n ∈ {1; 2; 3; 4} nachweislich das
Gleichheitszeichen verwendet werden kann (es ist bewiesen, dass für diese Anzahl von
n Zuständen nicht ein größeres Σ(n) existieren kann), für n = 5 jedoch nur ein „>=“ –
Zeichen angebracht ist und für n = 6 schließlich nur noch ein „>“-Zeichen
Berechtigung hat. Natürlich fällt ein Nachweis bei derart großen Zahlen sehr schwer,
obgleich vermutet wird, bis n = 6 sei Σ(n) noch nachweisbar. Dass es wenig Sinn
macht, auf einem handelsüblichen Heim-PC derartige Berechnungen durchzuführen,
wird sehr schnell am Beispiel von n = 6 klar:
Nimmt man an, der verwendete PC würde mit einer Taktrate von 1,8 GHz betrieben
und das Simulationsprogramm würde für die Aufrechterhaltung des Systems nur etwa
1% der Leistung benötigen, stünden ca. 1,782 * 1012 Berechungsschritte/Sekunde zur
Verfügung. Wollte man damit die 3*101730 nötigen Schritte durchführen, benötigte man
1,74 * 101718 Sekunden (5,5 * 101711 Jahre). Ein unvorstellbar großer Wert! Selbst
modernste Hochleistungsrechenzentren könnten die Dauer nur unwesentlich verkürzen.
- Seite 25 Daher werden diese Berechnungen auch nur über Abschätzungen und Ungleichungen
näherungsweise berechnet. Σ(n) steigt also schneller an, als jede berechenbare Funktion
f(n) anwachsen könnte ( Î Σ(n) ist nicht deterministisch berechenbar). So gilt für ein
entsprechend großes n stets:
I.
Σ(n) >= f(n) ( z.B. Σ(5) >= e5 )
Ein wesentlich bedeutenderes Ergebnis erhält man aber durch diese Überlegung:
II.
f(Σ(n)) < Σ(n+1) für unendlich viele Werte von n
m
Für die f-Funktion kann man z.B. verwenden: f(m) = mm
Dies funktioniert für jede feste Anzahl an Potenzierungen (in diesem Beispiel 2).
Das ändert jedoch nichts an der Gleichung I. Damit erhält man diese Formel:
Σ(n)
III.
Σ(n+1) > Σ(n)
Σ(n)
für unendliche viele Werte von n
6. Turingsimulatoren
Eine Vielzahl an Programmen, geschrieben in den unterschiedlichsten
Programmiersprachen, beschäftigen sich mit dem Thema „Turingmaschine“ und
versuchen, ein möglichst komfortables Arbeiten mit diesem Gedankenmodell zur
Verfügung zu stellen.
Eine eher simple Anwendung ist die „Freeware-Turing-Maschine“.
6.1. „Freeware-Turing-Maschine“
Dieses Programm eignet sich nur bedingt für die Simulation von Programmabläufen, da
zum einen das Bandalphabet auf 2 Zeichen beschränkt ist (und sich auch nicht ereitern
lässt) und zum anderen die Anzahl der möglichen Register auf 100 limitiert ist. Dies
mag zwar für simple Aufgabenstellungen genügen, kann jedoch zusammen mit dem
extrem beschränkten Alphabet schnell zum Engpass werden.
Hersteller & Informationen:
Copyright (c) 2002 fb-software, Osterode.
Alle Rechte vorbehalten.
fb-software - Branntweinstein 50 - 37520 Osterode am Harz –
Telefon
+ 049 5522 - 91 92 04
Fax:
+ 049 5522 - 91 92 05
6.2. „Facharbeitsturingmaschine“
Um den Mängeln des oben genannten Programms entgegenzuwirken, entstand die sog.
Facharbeitsturingmaschine. Das Programm ist in der Interpretersprache „Hypertext
Preprocessor“ (= „PHP“; ab Version 4.x bis Version 4.2 und ab hier nur noch mit der
Einstellung register_globals = „on“) geschrieben und ist unter allen Betriebssystemen
lauffähig, für die es einen entsprechenden Interpreter gibt (was wohl mehrheitlich bei
allen für Desktop oder Servereinsatz gebräuchlichen Systemen gegeben sein sollte).
- Seite 26 Eine
funktionierende
Demoversion
ist
unter
http://schorschium.net/turing/ abrufbar. Die Anwendung
erlaubt es dem Benutzer, beliebige Alphabete (aufgrund der
ASCII-Definition aber nur Zeichen aus einem vorgegebenen
Array) zu erstellen, Bänder damit zu beschriften und
entsprechende Übergangsdiagramme zu programmieren. Das
Kernstück der Anwendung, der Simulator an sich, schreibt
die Bandausgabe Schritt für Schritt untereinander. Aufgrund
der Unzulänglichkeit der Hypertextmarkuplanguage ist das
Symbol für den Lesekopf nicht über dem Feld, sondern
jeweils links davon, rot unterlegt. Das Programm umfasst
dabei knapp 1000 Zeilen Code (der eigentliche Simulator
kommt allerdings nur auf 89 Zeilen), und lief im Rahmen
dieser Facharbeit für alle in Kapitel 3. genannten Beispiele
ohne Probleme (z.B. die Addition unärer Zahlen):
Hersteller & Informationen:
Copyright (c) 2002 Stefan Schorsch, Nürnberg.
Alle Rechte vorbehalten.
Das GUI ist dabei noch sehr einfach gehalten und nur
funktional.
Abbildung 11
6.3. „Visual-Turing“
Eine Besonderheit unter den Simulationsprogrammen stellt „Visual-Turing“ dar.
Anders als bei den meisten Simulatoren arbeitet die Anwendung nicht mit
Registertabellen, sondern erlaubt es dem Benutzer, seine Programme regelrecht zu
zeichnen, angelehnt an die IDEs von namenhaften Herstellern wie Microsoft und deren
Visual-Studios (z.B. für C++, Java, uvm). Eine kurze Einführung in die Symbolik
befindet sich in Kapitel 3.1. Mit Hilfe der Arbeit von Christian Cheran können auch
komplexe Anwendungen sehr schnell umgesetzt werden, Korrektur- und
Wartungsarbeiten am Quellcode sind leicht durchzuführen. Darüber hinaus beherrscht
das Programm noch eine Reihe weiterer Optionen, Einstellungsmöglichkeiten und
Arbeitstechniken, die allerdings über den Rahmen der Facharbeit weit hinausgehen.
Eine gute Dokumentation für diese Features ist ebenfalls enthalten.
Hersteller & Informationen:
Copyright (c) 1997 Christian Cheran
Email:
[email protected]
Homepage: http://apolo.cs.pub.ro/~cheran/vturing/
- Seite 27 Das Programm ist kostenlos erhältlich und darf bei kostenloser Weitergabe auch
publiziert werden. Leider scheint die Homepage des Programmierers nicht mehr
erreichbar zu sein.
7. Schluss & Quellenangaben
7.1 Bilder (Quellennachweis):
1. Abbildung von Alan Turing (1954)
Entnommen von Internetseite „Turing Maschine-Simulator“
Systems Architecture and Software Group Department of Information Technology
University of Zurich
http://www.ifi.unizh.ch/groups/richter/achatz/turing.jpg
vom 10.4.1996, besucht am 30.12.2002
2. Modell einer Turingmaschine
Entnommen aus
Dewdney, A:K:: Der Turing Omnibus, The University of Western Ontario
Kanada, Verlag Springer, 1995
Seite 222
3. Modell eines Übergangsdiagramms
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002
4. Modell eines Übergangsdiagramms
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002
5. Liste von Symbolen für die Programmierung in „Visual Turing“
Erstellt als Screenshot aus „Visual Turing“ (siehe 6.3.), 2002
6. Liste von Symbolen für die Programmierung in „Visual Turing“
Erstellt als Screenshot aus „Visual Turing“ (siehe 6.3.), 2002
7. Beispielprogramm 1
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002
8. Band zu Beispielprogramm 1
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002
9. Band zu Beispielprogramm 1
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002.
10. Beispielprogramm 1 in „Visual Turing“
Erstellt als Screenshot aus „Visual Turing“ (siehe 6.3.), 2002
11. Turingband zu Beispielprogramm 1 aus „Visual Turing“
Erstellt als Screenshot aus „Visual Turing“ (siehe 6.3.), 2002
12. Beispielprogramm 2
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002
13. Turingband zu Beispielprogramm 2
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002
14. Turingband zu Beispielprogramm 2
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002
15. Turingband zu Beispielprogramm 2
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002
16. Turingband zu Beispielprogramm 2
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002
17. Beispielprogramm 2 in „Visual Turing“
Erstellt als Screenshot aus „Visual Turing“ (siehe 6.3.), 2002
- Seite 28 18. Beispielprogramm 3
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002
19. Turingband zu Beispielprogramm 3
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002
20. Turingband zu Beispielprogramm 3
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002
21. Turingband zu Beispielprogramm 3
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002
22. Turingband zu Beispielprogramm 3
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002
23. Turingband zu Beispielprogramm 3
Erstellt mit „Microsoft Excel 2000“, 2002
24. Beispielprogramm 3 in „Visual Turing“
Erstellt als Screenshot aus „Visual Turing“ (siehe 6.3.), 2002
25. Turingband zu Beispielprogramm 3 in „Visual Turing“
Erstellt als Screenshot aus „Visual Turing“ (siehe 6.3.), 2002
26. Turingband zu Beispielprogramm 3 in „Visual Turing“
Erstellt als Screenshot aus „Visual Turing“ (siehe 6.3.), 2002
27. Übergangsdiagramm eines 5er-Biber (Least-step-champion)
Marxen, Heiner: „Attacking the Busy-Beaver 5“, Internetseite
http://www.drb.insel.de/~heiner/BB/mabo90.html
vom 14.4.2002, aufgerufen am 30.12.2002
28. Busy-Beaver-Rekorde
Marxen, Heiner: „Busy Beaver“, Internetseite
http://www.drb.insel.de/~heiner/BB/index.html
vom 24.6.2002, aufgerufen am 30.12.2002
29. Ausgabe des „Facharbeitsturingmaschine“
Screenshot aus der „Facharbeitsturingmaschine“ (siehe 6.2.)
Zum Erstellen der Bilder (Screenshots) wurde Windows XP Professional (Version 2002
© Microsoft 1997-2002, alle Rechte vorbehalten) und Corel Photopaint ™ 8 (Version
8.232 © 1988-1997 Corel Corporation, alle Rechte vorbehalten) benutzt.
7.2. Sonstige Quellen, sortiert nach Kapiteln:
Æ Kapitel 1:
Hodges, Andrew „Alan Turing: a short biography“, Internetseiten
http://www.truing.org.uk/bio/part1.html
http://www.truing.org.uk/bio/part2.html
http://www.truing.org.uk/bio/part3.html
http://www.truing.org.uk/bio/part4.html
http://www.truing.org.uk/bio/part5.html
http://www.truing.org.uk/bio/part6.html
http://www.truing.org.uk/bio/part7.html
von 1995, aufgerufen am 30.12.2002
Æ Kapitel 2:
Dewdney, A:K:: Der Turing Omnibus, The University of Western Ontario
Kanada, Verlag Springer, 1995
diverse Kapitel
- Seite 29 Æ Kapitel 3:
Dewdney, A:K:: Der Turing Omnibus, The University of Western Ontario
Kanada, Verlag Springer, 1995
diverse Kapitel
Beispielprogramme:
Übergangsdiagramme für Programme 1&2 aus „Freeware-TuringMaschine“ (siehe 6.1.)
Übergangsdiagramm für Programm 3 selber entwickelt
„Visual-Turing-Diagramme“ für Programme 1,2 und 3 selber entwickelt
(siehe 6.3.)
Alle verwendeten Simulatorprogramme sind auf die beiliegende CD
gebrannt.
Æ Kapitel 4:
Dewdney, A:K:: Der Turing Omnibus, The University of Western Ontario
Kanada, Verlag Springer, 1995, diverse Kapitel
Schöning, Uwe: Theoretische Informatik – kurzgefasst, Ulm, Verlag
Spektrum (akademischer Verlag), 1995
Æ Kapitel 5:
Dewdney, A:K:: Der Turing Omnibus, The University of Western Ontario
Kanada, Verlag Springer, 1995, diverse Kapitel
Marxen, Heiner: „Attacking the Busy-Beaver 5“, Internetseite
http://www.drb.insel.de/~heiner/BB/mabo90.html
http://www.drb.insel.de/~heiner/BB/index.html
vom 24.6.2002, aufgerufen am 30.12.2002
Michael Bertol, Holger Petersen und Horst Prote „fleißige Biber“,
Internetseite
http://www.informatik.uni-stuttgart.de/ifi/ti/projects/beaver/bbb.html
vom 12.8.1996, aufgerufen am 30.12.2002
- Seite 30 7.3. Abschlusserklärung:
„Ich erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Facharbeit ohne fremde Hilfe angefertigt
und nur die im Literaturverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.“
Nürnberg, den 01.01.2003
............................................................
Stefan Thomas Schorsch