Fuzzy Arithmetik

Fuzzy Arithmetik
Fuzzy-Zahlen, Erweiterungsprinzip
Fuzzy-Zahlen
Fuzzy-Zahlen
Ein Spezialfall von Fuzzy-Mengen sind Fuzzy-Zahlen
(Verallgemeinerung des Konzepts von Zahlen)
ungefähr 50km/h, etwa 2 Meter, circa 25°C ...
Zwischen Fuzzy-Mengen sind nur logische Operationen (z.B.
„und“, „oder“) möglich, für Fuzzy-Zahlen sind zusätzlich
arithmetische Operationen (z.B. +, -, *, \, y=x2 etc.) möglich.
Eine Fuzzy-Zahl ist eine normalisierte, konvexe Fuzzy-Menge
über dem Raum der reellen Zahlen, wenn sie folgende
Eigenschaften hat
(1) μA(x0)=1 für genau ein x0∈ℝ, x0 heißt dann Mittelwert
(2) μA ist stückweise stetig
Fuzzy-Zahlen
Eine Fuzzy-Zahl heißt positiv, falls für die Zugehörigkeitsfunktion
gilt:
 A  x =0 ∀ x0
Entsprechend heißt die Fuzzy-Zahl negativ.
Fuzzy-Zahl
μ
Fuzzy-Intervall
konvex
μ
nicht konvex!
1,0
1,0
0
1
2
3
4
5
6
x
0
1
2
3
4
Darüber hinaus kann jede reelle Zahl xeR als Spezialfall einer
Fuzzy-Zahl aufgefasst werden (μ(x)=1, sonst 0)
x
Erweiterungsprinzip
Erweiterungsprinzip
Fundamentales Prinzip von Zadeh (1965) was die Anwendung
klassischer mathematischer Konzepte auf Fuzzy-Mengen erlaubt.
Dadurch wird es u.a. möglich Abbildungs- und Funktionsbegriffe in
die Fuzzy-Theorie hineinzutragen und Rechenregeln zwischen
Fuzzy-Mengen zu definieren.
Definition: Es sei f eine klassische Funktion
f:X→Y
die zwischen den Grundmengen X und Y definiert ist. Ferner sei
A eine über der Grundmenge X definierte Fuzzymenge mit der
Zugehörigkeitsfunktion μA(x). Dann lässt sich die f -Erweiterung von A
erklären, indem man als Ergebnis eine neue Fuzzy-Menge B=f (A)
{
 B  y= sup { A  x ; y= f  x  , x ∈ X }
0 falls kein x ∈ X existiert, so dass f  x = y
erhält.
Erweiterungsprinzip
(Zadeh 1965)
Einstellinge klassische Funktion: f : X Y ; y= f  x 
A Fuzzy-Menge über endlichem X
Was versteht man unter f(A)?
 f  A  y:=
max
x ∈ X mit f  x= y
 A  x 
Existiert zu einem y kein Urbild, so wird der
Zugehörigkeitswert 0 verwendet.
Die Fuzzy-Menge f(A) wird als f-Erweiterung von A bezeichnet.
Erweiterungsprinzip
A={(x1,0.7),(x2,0.1),(x3,0.4),(x4,0.5),(x5,0.3)}
x1
x2
y1
x3
x4
y2
y3
x5
X
f
Y
Y={ y1 , y2 , y3}
B=f(A)={(y1,0.7),(y3,0.1),(y2,0.4),(y2,0.5),(y2,0.3)}
für y2 nicht eindeutig !?
μB(y2)= max (0.4,0.5,0.3)
Erweiterungsprinzip
y=f (x)
10
5
μB(y)
1,0
0,5
μA(x)
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
1,0
f  x = x 2
Gesucht: Bild der Fuzzy-Zahl
A = „ungefähr 2“
B = f (A)
x
Erweiterungsprinzip
2-stellige Operationen
x → Z mit
Definition: Seien A=A(X), B=B(Y) Fuzzy-Mengen und f : X Y
f(x,y)=z eine klassische zweistellige Funktion. Als f-Erweiterung
von A,B wird die Fuzzy-Menge C=f(A,B) in folgender Weise erklärt:
und
für solche
, die keine
- Bilder sind
arithmetische Operationen
Addition
μ A B  z  =
=
Subtraktion
μ A− B  z  =
=
sup min { μ A  x  , μ B  y }
z= x  y
sup min { μ A  x  , μ B  z− x }
x
sup min { μ A  x  , μ B  y }
z= x − y
sup min { μ A  x  , μ B  x−z }
x
arithmetische Operationen
Multiplikation
Division
μ A⋅B  z 
μ A/ B  z 
=
sup min { μ A  x  , μ B  y }
z= x⋅y
=
sup min { μ A  x  , μ B  z / x }
=
sup min { μ A  x  , μ B  y }
=
x
z =x / y
sup min { μ A  x  , μ B  x / z }
x
Fuzzy-Arithmetik
LR-Fuzzy-Zahlen
Das Rechnen mit unscharfen Zahlen kann durch spezielle
Forderungen vereinfacht werden.
Fuzzy-Zahlen in LR-Darstellung
linker Teilast und rechter Teilast
{
 
 
m− x

 A  x =
x −m
R

L
für xm
für xm
Monotone Referenzfunktionen L(x), R(x)
LR-Fuzzy-Zahlen
Werden Fuzzy-Zahlen in LR-Darstellung miteinander verknüpft, lassen
sich die Rechenergebnisse wieder im selben Schema darstellen.
häufigste Form sind LR-Zahlen vom Dreieckstyp
(lineare Referenzfunktionen L,R)
μ(x)
A
1,0
0
α
m
β
A := m ,  ,   LR
x
Fuzzy-Zahlen
arithmetische Operationen
μ(x)
1,0
0
A
B
x
y
A+B
x+y
x
LR-Fuzzy-Zahlen
Addition
zwei LR-Fuzzy-Zahlen
A := m ,  ,   LR
B := n ,  ,   LR
{




mn−x
L

 A B  x =
x −mn
R

AB := mn ,  ,   LR
für x mn
für x mn
Negative LR-Fuzzy-Zahl
und
Subtraktion
− A := −m ,  ,   RL
A := m ,  ,   LR
A := m ,  ,   LR
B := n ,  , RL
A−B := m−n ,  ,   LR
Multiplikation/Division
Multiplikation, Inversion, Division ergeben im Allgemeinen keine
Dreiecks-Fuzzy-Zahlen
können aber häufig durch Dreiecks-Fuzzy-Zahlen angenähert
werden.
Erfordert geeignete Approximation
A
A•A
B
A/B
A
Multiplikation/Division
Näherungsformeln :
A− B := m−n ,  ,   LR